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En arithmétique, prouver qu’un nombre en divise un autre est souvent le cœur du problème. Le théorème de Gauss permet de transférer une relation de divisibilité d’un produit vers l’un de ses facteurs — à condition que ces facteurs soient premiers entre eux. Au programme de Maths Expertes en Terminale et incontournable en prépa, ce théorème intervient dans presque tous les exercices de divisibilité. Conforme au programme officiel 2025-2026.
Tu trouveras ici l’énoncé précis, une démonstration commentée pas à pas, un schéma de décision pour savoir quand l’utiliser, des exemples progressifs et 5 exercices corrigés.
I. Énoncé du théorème de Gauss
A. Énoncé formel
Théorème de Gauss
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers. Si :
- \(a\) divise le produit \(bc\) (on note \(a \mid bc\)),
- \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux : \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\),
alors \(a\) divise \(c\) (c’est-à-dire \(a \mid c\)).
B. Ce que dit le théorème (intuitivement)
Imagine que \(a\) divise un produit \(b \times c\). D’où vient cette divisibilité ? Elle peut venir de \(b\), de \(c\), ou d’un mélange des deux.
Le théorème de Gauss dit : si \(a\) n’a aucun facteur commun avec \(b\) (autrement dit \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\)), alors toute la divisibilité provient nécessairement de \(c\). C’est logique : si \(a\) ne partage aucun facteur premier avec \(b\), il doit les partager tous avec \(c\).
Illustration rapide
\(7 \mid 3 \times 14 = 42\). On a \(\mathrm{pgcd}(7, 3) = 1\) (7 est premier et ne divise pas 3). Par le théorème de Gauss : \(7 \mid 14\). Effectivement, \(14 = 2 \times 7\). ✓
C. Prérequis : PGCD et théorème de Bézout
Pour comprendre et utiliser le théorème de Gauss, tu dois maîtriser trois notions :
- Divisibilité : \(a \mid b\) signifie qu’il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka\). Revoir les critères de divisibilité si nécessaire.
- PGCD et nombres premiers entre eux : \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\) signifie que \(a\) et \(b\) n’ont aucun diviseur commun autre que 1. Consulte le cours sur le PGCD et PPCM.
- Théorème de Bézout : c’est l’outil clé de la démonstration de Gauss.
Rappel — Théorème de Bézout
Deux entiers \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers \(u\) et \(v\) tels que :
\(au + bv = 1\)
C’est cette identité qui sert de point de départ à la démonstration du théorème de Gauss.
Attention — La condition \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\) est indispensable !
Sans elle, le théorème est faux.
Contre-exemple : \(6 \mid 4 \times 3 = 12\). Pourtant, \(6\) ne divise ni \(4\), ni \(3\).
Ici \(\mathrm{pgcd}(6, 4) = 2 \neq 1\) et \(\mathrm{pgcd}(6, 3) = 3 \neq 1\) : le théorème de Gauss ne s’applique pas.
| Élément | Détail |
|---|---|
| Hypothèses | \(a \mid bc\) et \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\) |
| Conclusion | \(a \mid c\) |
| Outil de la preuve | Théorème de Bézout |
| Cas d’usage | Transférer la divisibilité d’un produit vers un facteur |
| Piège n°1 | Oublier de vérifier \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\) |
II. Démonstration commentée pas à pas
La démonstration du théorème de Gauss est l’une des plus classiques du programme de Maths Expertes. Elle repose entièrement sur le théorème de Bézout. Commençons par comprendre la stratégie avant de rentrer dans le calcul.
Stratégie de la preuve en une phrase
On veut montrer que \(a \mid c\). L’idée : utiliser Bézout pour écrire \(au + bv = 1\), multiplier par \(c\), puis constater que chaque terme du résultat est divisible par \(a\).
Hypothèses : \(a \mid bc\) et \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\).
Objectif : montrer que \(a \mid c\).
Étape 1 — Appliquer le théorème de Bézout.
Puisque \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\), le théorème de Bézout garantit l’existence de deux entiers \(u\) et \(v\) tels que :
\(au + bv = 1\)Pourquoi cette étape ? C’est la seule façon d’exploiter la condition « premiers entre eux ». L’identité de Bézout traduit cette condition en une égalité algébrique utilisable.
Étape 2 — Multiplier les deux membres par \(c\).
\(auc + bvc = c\)Pourquoi ? On fait apparaître \(c\) isolé à droite. À gauche, on a deux termes qu’on va montrer divisibles par \(a\).
Étape 3 — Montrer que \(a\) divise chaque terme à gauche.
- Premier terme : \(auc = a \times (uc)\). Ce terme est évidemment divisible par \(a\).
- Deuxième terme : \(bvc = (bc) \times v\). Or, par hypothèse, \(a \mid bc\). Donc \(a \mid bvc\).
Étape 4 — Conclure.
Comme \(a \mid auc\) et \(a \mid bvc\), le nombre \(a\) divise leur somme :
\(a \mid (auc + bvc)\)Or \(auc + bvc = c\) (étape 2). Donc \(a \mid c\). ∎
Schéma de la démonstration
\(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\) → Bézout → \(au + bv = 1\) → \(\times\, c\) → \(auc + bvc = c\) → \(a\) divise les deux termes → \(a \mid c\).
Le théorème de Gauss résumé en une fiche claire
Énoncé, démonstration, lemme d’Euclide, schéma de décision et méthode type bac — tout sur une page recto-verso.
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III. Corollaire : le lemme d’Euclide
Le théorème de Gauss a un corollaire immédiat lorsqu’on l’applique à un nombre premier. Ce résultat porte le nom de lemme d’Euclide (parfois appelé « théorème de Gauss pour les nombres premiers »).
Lemme d’Euclide
Si \(p\) est un nombre premier et si \(p \mid ab\), alors \(p \mid a\) ou \(p \mid b\).
Démonstration :
Supposons que \(p\) ne divise pas \(a\). Comme \(p\) est premier, ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\). Puisque \(p \not\mid a\), on a nécessairement \(\mathrm{pgcd}(p, a) = 1\).
Or \(p \mid ab\). On est exactement dans les hypothèses du théorème de Gauss avec \(p\) jouant le rôle de \(a\), \(a\) jouant le rôle de \(b\), et \(b\) jouant le rôle de \(c\). Donc \(p \mid b\). ∎
Pourquoi ce résultat est fondamental
Le lemme d’Euclide est la clé de voûte du théorème fondamental de l’arithmétique (unicité de la décomposition en facteurs premiers). Sans lui, on ne pourrait pas garantir que la décomposition d’un entier en facteurs premiers est unique.
Généralisation par récurrence (🟡 Avancé) :
Si \(p\) est premier et \(p \mid a_1 a_2 \cdots a_n\), alors \(p\) divise au moins l’un des \(a_i\). La preuve se fait par récurrence sur \(n\) en appliquant le lemme d’Euclide à chaque étape.
IV. Quand utiliser le théorème de Gauss ?
En arithmétique, plusieurs outils permettent de travailler sur la divisibilité : Bézout, Gauss, le lemme d’Euclide, les congruences… Les élèves les confondent souvent. Voici un tableau comparatif pour savoir lequel utiliser selon la situation.
| Outil | Ce que tu sais | Ce que tu obtiens | Quand l’utiliser |
|---|---|---|---|
| Bézout | \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\) | \(\exists\, u, v : au + bv = 1\) | Prouver une coprimalité ou trouver des coefficients |
| Gauss | \(a \mid bc\) et \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\) | \(a \mid c\) | Transférer la divisibilité d’un produit vers un facteur |
| Lemme d’Euclide | \(p\) premier et \(p \mid ab\) | \(p \mid a\) ou \(p \mid b\) | Divisibilité par un nombre premier |
| Congruences | Restes modulo \(n\) | Calculs simplifiés, critères de divisibilité | Restes, puissances modulo, critères de divisibilité |
Le réflexe à avoir
Dès que tu lis « \(a\) divise un produit \(bc\) » dans un énoncé, pense immédiatement à Gauss : vérifie si \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\). Si oui, tu peux conclure \(a \mid c\) en une ligne.
V. Exemples résolus
Voici trois exemples d’application directe du théorème de Gauss, classés par difficulté croissante.
A. Exemple 1 — Application directe (★)
Énoncé : Soit \(n\) un entier tel que \(7 \mid 3n\). Montrer que \(7 \mid n\).
Solution :
On a \(7 \mid 3n\), c’est-à-dire \(7 \mid 3 \times n\).
Or \(7\) est premier et \(7\) ne divise pas \(3\), donc \(\mathrm{pgcd}(7, 3) = 1\).
Par le théorème de Gauss, \(7 \mid n\). ✓
B. Exemple 2 — Avec un entier non premier (★★)
Énoncé : Soit \(n\) un entier tel que \(8 \mid 15n\). Montrer que \(8 \mid n\).
Solution :
On a \(8 \mid 15n\). Cette fois, \(8\) n’est pas premier (\(8 = 2^3\)). On ne peut pas utiliser le lemme d’Euclide directement.
Calculons le PGCD : \(8 = 2^3\) et \(15 = 3 \times 5\). Ces deux nombres n’ont aucun facteur premier commun, donc \(\mathrm{pgcd}(8, 15) = 1\).
Par le théorème de Gauss : \(8 \mid n\). ✓
Remarque : cet exemple montre que Gauss s’applique même quand \(a\) n’est pas premier — à condition de vérifier que \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\).
C. Exemple 3 — Application structurée type bac (★★★)
Énoncé : On pose \(A = 7n + 3\) et \(B = 5n + 2\) pour un entier \(n\).
- Calculer \(5A – 7B\).
- En déduire que \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux.
- Montrer que si \(A \mid 11B\), alors \(A \mid 11\).
Solution :
1. \(5A – 7B = 5(7n+3) – 7(5n+2) = 35n + 15 – 35n – 14 = 1\).
2. L’entier \(\mathrm{pgcd}(A, B)\) divise toute combinaison linéaire de \(A\) et \(B\), en particulier \(5A – 7B = 1\). Donc \(\mathrm{pgcd}(A, B) \mid 1\), ce qui donne \(\mathrm{pgcd}(A, B) = 1\).
3. On a \(A \mid 11B\) (hypothèse) et \(\mathrm{pgcd}(A, B) = 1\) (question 2). Par le théorème de Gauss, on conclut \(A \mid 11\). ✓
Ce schéma en trois temps (combinaison linéaire → coprimalité → Gauss) est le plus fréquent au bac et en Maths Expertes.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les quatre erreurs que les correcteurs voient le plus souvent dans les copies. Lis-les attentivement pour ne pas les reproduire.
Erreur n°1 — Oublier de vérifier \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\)
❌ Copie fautive :
« On sait que \(6 \mid 12\) et \(12 = 4 \times 3\). Par le théorème de Gauss, \(6 \mid 4\). »
Diagnostic : L’élève applique Gauss sans vérifier la condition de coprimalité. Or \(\mathrm{pgcd}(6, 3) = 3 \neq 1\). Le théorème ne s’applique pas.
✅ Ce qu’il fallait écrire : « \(\mathrm{pgcd}(6, 3) = 3 \neq 1\), donc le théorème de Gauss ne s’applique pas ici. Et effectivement, \(6\) ne divise pas \(4\). »
Erreur n°2 — Confondre Bézout et Gauss
Confusion fréquente :
- Bézout donne l’existence de coefficients : \(\mathrm{pgcd}(a,b)=1 \Rightarrow \exists\, u,v : au+bv=1\).
- Gauss donne une conclusion de divisibilité : \(a \mid bc\) et \(\mathrm{pgcd}(a,b)=1 \Rightarrow a \mid c\).
Bézout est un outil (il fournit une identité). Gauss est un résultat (il conclut sur la divisibilité). D’ailleurs, on démontre Gauss à l’aide de Bézout.
Erreur n°3 — Confondre Gauss et le lemme d’Euclide
Piège : écrire « par le théorème de Gauss, \(a \mid b\) ou \(a \mid c\) ».
Correction : Gauss dit \(a \mid c\) (un seul facteur), pas « \(a \mid b\) ou \(a \mid c\) ». La conclusion avec un « ou » est celle du lemme d’Euclide, qui ne s’applique que lorsque \(a\) est premier.
Erreur n°4 — Croire que Gauss est une équivalence
Piège : le théorème de Gauss est une implication, pas une équivalence.
\(a \mid bc\) et \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\) \(\Rightarrow\) \(a \mid c\)
La réciproque est triviale : si \(a \mid c\), alors évidemment \(a \mid bc\). Mais attention : ce n’est pas un résultat « profond » dans l’autre sens. Le sens utile est toujours de gauche à droite.
VII. Exercices corrigés
Voici 5 exercices classés par difficulté croissante. Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction.
Exercice 1 (★) — Application directe
Soit \(n\) un entier tel que \(11 \mid 4n\). Montrer que \(11 \mid n\).
Voir la correction
On a \(11 \mid 4n\), c’est-à-dire \(11 \mid 4 \times n\).
\(11\) est un nombre premier et \(11\) ne divise pas \(4\), donc \(\mathrm{pgcd}(11, 4) = 1\).
Par le théorème de Gauss : \(11 \mid n\). ∎
Exercice 2 (★★) — Montrer une coprimalité
Soit \(n\) un entier. Montrer que \(\mathrm{pgcd}(4n+3,\; 5n+4) = 1\).
Voir la correction
Calculons la combinaison linéaire \(5(4n+3) – 4(5n+4)\) :
\(5(4n+3) – 4(5n+4) = 20n + 15 – 20n – 16 = -1\)Or \(\mathrm{pgcd}(4n+3,\; 5n+4)\) divise toute combinaison linéaire de \(4n+3\) et \(5n+4\), donc il divise \(-1\).
Ainsi \(\mathrm{pgcd}(4n+3,\; 5n+4) = 1\). ∎
Astuce : pour trouver la bonne combinaison linéaire, on cherche des coefficients \(\alpha, \beta\) tels que le terme en \(n\) s’annule. Ici \(\alpha \times 4 + \beta \times 5 = 0\), d’où \(\alpha = 5, \beta = -4\).
Exercice 3 (★★) — Transfert de divisibilité
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers tels que \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\), \(a \mid c\) et \(b \mid c\). Montrer que \(ab \mid c\).
Voir la correction
Puisque \(a \mid c\), il existe un entier \(q\) tel que \(c = aq\).
D’autre part, \(b \mid c = aq\), c’est-à-dire \(b \mid a \times q\).
Or \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\). Par le théorème de Gauss, on en déduit que \(b \mid q\).
Donc il existe un entier \(k\) tel que \(q = bk\), et alors :
\(c = aq = a(bk) = abk\)Ainsi \(ab \mid c\). ∎
Ce résultat est un classique absolu : il montre que deux diviseurs premiers entre eux « se multiplient » pour diviser le même nombre.
Exercice 4 (★★★) — Problème type bac
Soient \(n\) un entier naturel, \(A = 2n + 1\) et \(B = 3n + 2\).
- Calculer \(3A – 2B\).
- En déduire que \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux.
- On suppose que \(B \mid 5A\). Montrer que \(B \mid 5\).
- Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que \((3n+2) \mid (10n+5)\).
Indice
Pour la question 4, remarque que \(10n + 5 = 5(2n+1) = 5A\).
Voir la correction
1. \(3A – 2B = 3(2n+1) – 2(3n+2) = 6n + 3 – 6n – 4 = -1\).
2. Le \(\mathrm{pgcd}(A, B)\) divise toute combinaison linéaire de \(A\) et \(B\), en particulier \(3A – 2B = -1\). Donc \(\mathrm{pgcd}(A, B) \mid 1\), soit \(\mathrm{pgcd}(A, B) = 1\).
3. On a \(B \mid 5A\) et \(\mathrm{pgcd}(A, B) = 1\) (question 2). Par le théorème de Gauss, \(B \mid 5\).
4. On remarque que \(10n + 5 = 5(2n+1) = 5A\). La condition \((3n+2) \mid (10n+5)\) s’écrit donc \(B \mid 5A\).
Par la question 3, \(B \mid 5\). Comme \(B = 3n + 2 \geq 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\), les valeurs possibles sont \(B \in \{1,\; 5\}\) parmi les diviseurs positifs de 5.
- \(B = 1\) : \(3n + 2 = 1 \Rightarrow n = -\displaystyle\frac{1}{3} \notin \mathbb{N}\).
- \(B = 5\) : \(3n + 2 = 5 \Rightarrow n = 1 \in \mathbb{N}\). ✓
Vérification : pour \(n = 1\), \(A = 3\), \(B = 5\), et \(10 + 5 = 15 = 5 \times 3\). Bien \(5 \mid 15\). ✓
L’unique solution est \(n = 1\). ∎
Exercice 5 (★★★ 🟠 Prépa) — Produit de copremiers
Soient \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers tels que \(\mathrm{pgcd}(a, b) = 1\) et \(\mathrm{pgcd}(a, c) = 1\). Montrer que \(\mathrm{pgcd}(a,\; bc) = 1\).
Indice
Écris les deux identités de Bézout et multiplie-les entre elles.
Voir la correction
Par le théorème de Bézout appliqué à chaque hypothèse, il existe des entiers \(u, v, s, t\) tels que :
\(au + bv = 1 \quad \text{et} \quad as + ct = 1\)Multiplions ces deux égalités membre à membre :
\((au + bv)(as + ct) = 1\)Développons le membre de gauche :
\(a^2 us + auct + abvs + bcvt = 1\)Regroupons en factorisant par \(a\) et \(bc\) :
\(a\underbrace{(aus + uct + bvs)}_{= U} + bc\underbrace{(vt)}_{= V} = 1\)On a donc trouvé deux entiers \(U\) et \(V\) tels que \(aU + bcV = 1\).
Par la réciproque du théorème de Bézout, \(\mathrm{pgcd}(a,\; bc) = 1\). ∎
Ce résultat est très utile en prépa : il signifie que « copremier avec \(b\) » et « copremier avec \(c\) » implique « copremier avec \(bc\) ». La coprimalité se transmet au produit.
VIII. Questions fréquentes
Quel est l'énoncé du théorème de Gauss en arithmétique ?
Si \(a\) divise le produit \(bc\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux (\(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\)), alors \(a\) divise \(c\). Ce théorème permet de transférer une divisibilité d’un produit vers un seul facteur lorsque l’autre facteur est « étranger » à \(a\).
Quelle est la différence entre le théorème de Bézout et le théorème de Gauss ?
Bézout et Gauss sont complémentaires mais différents. Bézout traduit la coprimalité en une identité algébrique : \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1 \Leftrightarrow \exists\, u, v : au + bv = 1\). Gauss utilise cette coprimalité pour conclure sur la divisibilité : si \(a \mid bc\) et \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\), alors \(a \mid c\). D’ailleurs, on démontre Gauss à l’aide de Bézout.
Comment démontrer le théorème de Gauss ?
La démonstration utilise le théorème de Bézout. Puisque \(\mathrm{pgcd}(a,b) = 1\), on écrit \(au + bv = 1\). On multiplie par \(c\) : \(auc + bvc = c\). Le premier terme est divisible par \(a\) (facteur \(a\) visible), et le second aussi (car \(a \mid bc\)). Donc \(a\) divise la somme, c’est-à-dire \(c\).
Qu'est-ce que le lemme d'Euclide ?
Le lemme d’Euclide est un cas particulier du théorème de Gauss pour les nombres premiers : si \(p\) est premier et \(p \mid ab\), alors \(p \mid a\) ou \(p \mid b\). Il se démontre en remarquant que si \(p\) ne divise pas \(a\), alors \(\mathrm{pgcd}(p,a) = 1\) (car \(p\) est premier), et Gauss donne \(p \mid b\).
Quand utiliser le théorème de Gauss plutôt que Bézout ou les congruences ?
Utilise Gauss quand tu sais qu’un entier \(a\) divise un produit \(bc\) et que tu veux montrer qu’il divise un seul facteur. Utilise Bézout quand tu veux prouver une coprimalité ou trouver des coefficients. Utilise les congruences quand tu travailles avec des restes de divisions ou des puissances modulaires.
Le théorème de Gauss est-il au programme du bac ?
Le théorème de Gauss est au programme de l’option Maths Expertes en Terminale, et au programme de CPGE scientifique (MPSI, PCSI…). Il n’est pas au programme du tronc commun de spécialité maths. Sa démonstration est exigible en Maths Expertes et en prépa.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le théorème de Gauss et son corollaire le lemme d’Euclide. Voici comment approfondir :
- Cours complet d’arithmétique : retrouve l’ensemble des théorèmes (Bézout, Gauss, TFA) dans le cours d’arithmétique.
- Unicité de la décomposition : le lemme d’Euclide est la clé de la démonstration du théorème fondamental de l’arithmétique.
- Arithmétique modulaire : le théorème de Gauss se prolonge dans les congruences et la structure de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
- Exercices de niveau 3ème : pour consolider les bases (divisibilité, PGCD), consulte les exercices d’arithmétique 3ème.
- Prérequis : revoir la division euclidienne et les nombres premiers.
🔴 Extension CPGE — Gauss dans les anneaux
En MPSI/PCSI, le théorème de Gauss se généralise à l’anneau \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\). Les inversibles de cet anneau sont les classes \(\bar{a}\) telles que \(\mathrm{pgcd}(a, n) = 1\) — précisément la condition qui intervient dans le théorème de Gauss. Le lemme d’Euclide, lui, est le point de départ de la preuve que \(\mathbb{Z}\) est un anneau factoriel et que l’anneau \(\mathbb{Z}[X]\) l’est aussi (lemme de Gauss pour les polynômes).
