Tu révises l’arithmétique pour le brevet ? Tu es au bon endroit ! Ce chapitre — divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM — tombe régulièrement à l’épreuve de mathématiques.
Voici 15 exercices classés par difficulté croissante, du calcul direct jusqu’aux problèmes type brevet. Chaque exercice est corrigé pas à pas : clique sur « Voir la correction » une fois que tu as cherché. Tu trouveras aussi les pièges classiques à éviter et un PDF gratuit pour réviser hors écran.
Avant de te lancer, assure-toi de maîtriser les bases en consultant notre cours d’arithmétique complet.
Rappel des notions essentielles
Voici les notions indispensables pour réussir ces exercices. Si l’une d’elles te semble floue, revois le cours avant de commencer.
| Notion | Ce qu’il faut retenir |
|---|---|
| Divisibilité | \(a\) est divisible par \(b\) si la division tombe juste (reste = 0) |
| Division euclidienne | \(a = b \times q + r\) où \(r\) est le reste (entre 0 et \(b – 1\)) |
| Nombre premier | Entier supérieur à 1 qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même |
| Décomposition | Tout entier supérieur à 1 s’écrit comme un produit de nombres premiers |
| PGCD | Plus Grand Commun Diviseur — se calcule par l’algorithme d’Euclide |
| PPCM | Plus Petit Commun Multiple — on utilise les décompositions en facteurs premiers |
| Fraction irréductible | On divise numérateur et dénominateur par leur PGCD |
Ta fiche de révision arithmétique 3ème (PDF)
PGCD, PPCM, nombres premiers, algorithme d’Euclide… Tout le chapitre résumé sur une fiche claire, prête à imprimer.
📄 Télécharger la fiche gratuiteIdéal pour réviser le brevet sans écran — 2 pages recto-verso.
Rappel — Algorithme d’Euclide : pour trouver le PGCD de deux nombres, on effectue des divisions euclidiennes successives. Le PGCD est le dernier reste non nul.
Prêt ? Cherche chaque exercice avant de regarder la correction — c’est la meilleure façon de progresser !
Exercices de calcul direct
Ces 5 premiers exercices vérifient que tu maîtrises chaque notion séparément. Durée estimée : 15 minutes.
Exercice 1 — Critères de divisibilité
Tom a 156 bonbons. Il veut les répartir équitablement en sachets de 2, de 3, ou de 9. Est-ce possible à chaque fois ? Justifie.
Voir la correction
Par 2 : 156 est pair → oui, c’est possible. ✔
Par 3 : \(1 + 5 + 6 = 12\), et 12 est divisible par 3 → oui. ✔
Par 9 : \(1 + 5 + 6 = 12\), et 12 n’est pas divisible par 9 → non, c’est impossible. ✘
Exercice 2 — Division euclidienne
Effectue la division euclidienne de 251 par 13. Écris le résultat sous la forme \(a = b \times q + r\).
Voir la correction
On cherche le plus grand multiple de 13 inférieur ou égal à 251 :
\(13 \times 19 = 247\) et \(251 – 247 = 4\).
Donc : \(251 = 13 \times 19 + 4\).
Le quotient est 19 et le reste est 4.
Exercice 3 — Reconnaître les nombres premiers
Parmi les nombres suivants, lesquels sont premiers ?
17 — 21 — 29 — 39 — 47 — 51
Voir la correction
Pour chaque nombre, on teste la divisibilité par les petits nombres premiers (2, 3, 5, 7…) :
- 17 : pas divisible par 2, 3, 5 → premier ✔
- 21 : \(21 = 3 \times 7\) → pas premier ✘
- 29 : pas divisible par 2, 3, 5 → premier ✔
- 39 : \(39 = 3 \times 13\) → pas premier ✘
- 47 : pas divisible par 2, 3, 5, 7 → premier ✔
- 51 : \(51 = 3 \times 17\) → pas premier ✘
Exercice 4 — Décomposition en facteurs premiers
Décompose 360 en produit de facteurs premiers.
Voir la correction
On divise successivement par 2, puis par 3, puis par 5 :
\(360 = 2 \times 180 = 2^2 \times 90 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 3 \times 15 = 2^3 \times 3^2 \times 5\)Résultat : \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\).
Exercice 5 — PGCD par l’algorithme d’Euclide
Calcule le PGCD de 84 et 36 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Voir la correction
\(84 = 36 \times 2 + 12\) \(36 = 12 \times 3 + 0\)Le dernier reste non nul est 12. Donc \(\mathrm{PGCD}(84\, ; \, 36) = 12\).
Exercices d’approfondissement
On monte d’un cran : ces exercices combinent plusieurs notions ou demandent un raisonnement. Durée estimée : 20 minutes.
Exercice 6 — Fraction irréductible
Rends la fraction \(\displaystyle\frac{84}{120}\) irréductible.
Voir la correction
On calcule d’abord le PGCD de 84 et 120 par l’algorithme d’Euclide :
\(120 = 84 \times 1 + 36\) \(84 = 36 \times 2 + 12\) \(36 = 12 \times 3 + 0\)Donc \(\mathrm{PGCD}(84\, ; \, 120) = 12\).
On divise numérateur et dénominateur par 12 :
\(\displaystyle\frac{84}{120} = \displaystyle\frac{84 \div 12}{120 \div 12} = \displaystyle\frac{7}{10}\)Exercice 7 — PPCM et synchronisation
Deux bus passent à l’arrêt « Mairie ». Le bus A passe toutes les 12 minutes, le bus B toutes les 18 minutes. Ils passent ensemble à 8 h 00. À quelle heure repassent-ils ensemble pour la première fois ?
Voir la correction
On cherche le PPCM de 12 et 18.
Décompositions : \(12 = 2^2 \times 3\) et \(18 = 2 \times 3^2\).
On prend chaque facteur avec le plus grand exposant :
\(\mathrm{PPCM}(12\, ; \, 18) = 2^2 \times 3^2 = 36\).
Les deux bus repassent ensemble au bout de 36 minutes, soit à 8 h 36.
Exercice 8 — Vrai ou faux ? Justifie
a) Si un nombre est divisible par 6, alors il est divisible par 3.
b) Si un nombre est divisible par 4 et par 6, alors il est divisible par 24.
Voir la correction
a) VRAI. Comme \(6 = 2 \times 3\), tout multiple de 6 est automatiquement un multiple de 3.
b) FAUX. Contre-exemple : 12 est divisible par 4 et par 6, mais \(12 \div 24 = 0{,}5\), donc 12 n’est pas divisible par 24.
Exercice 9 — Problème de partage
Un pâtissier dispose de 48 macarons à la fraise et 80 macarons au chocolat. Il veut préparer des boîtes identiques, en mettant le plus de macarons possible dans chaque boîte, sans mélanger les parfums et sans qu’il en reste.
a) Combien de boîtes peut-il faire ?
b) Que contient chaque boîte ?
Voir la correction
a) Le nombre de boîtes doit diviser 48 et 80. On cherche le plus grand possible : c’est le PGCD.
\(80 = 48 \times 1 + 32\) \(48 = 32 \times 1 + 16\) \(32 = 16 \times 2 + 0\)Donc \(\mathrm{PGCD}(48\, ; \, 80) = 16\). Le pâtissier fait 16 boîtes.
b) Chaque boîte contient \(48 \div 16 = 3\) macarons fraise et \(80 \div 16 = 5\) macarons chocolat.
Exercice 10 — Raisonnement et nombres premiers
Léo affirme : « Si un nombre se termine par 1, 3, 7 ou 9, alors il est premier. » A-t-il raison ? Justifie ta réponse.
Voir la correction
Non, Léo a tort.
Contre-exemple : 21 se termine par 1, mais \(21 = 3 \times 7\), donc 21 n’est pas premier.
Autres contre-exemples : \(27 = 3^3\), \(49 = 7^2\), \(51 = 3 \times 17\).
Regarder le dernier chiffre ne suffit pas : il faut tester la divisibilité par les nombres premiers successifs.
Exercices type brevet
Ces 5 problèmes ressemblent à ceux que tu peux rencontrer à l’épreuve du brevet. Ils mélangent plusieurs notions et demandent une rédaction soignée. Durée estimée : 25 minutes.
Exercice 11 — Les bouquets de la fleuriste
Une fleuriste dispose de 84 roses et 60 tulipes. Elle veut composer des bouquets tous identiques, en utilisant toutes les fleurs.
a) Quel est le nombre maximal de bouquets qu’elle peut faire ?
b) Quelle est la composition de chaque bouquet ?
Voir la correction
a) On cherche le PGCD de 84 et 60 :
\(84 = 60 \times 1 + 24\) \(60 = 24 \times 2 + 12\) \(24 = 12 \times 2 + 0\)Donc \(\mathrm{PGCD}(84\, ; \, 60) = 12\). Elle peut faire 12 bouquets.
b) Chaque bouquet contient \(84 \div 12 = 7\) roses et \(60 \div 12 = 5\) tulipes.
Exercice 12 — Carrelage d’une pièce
On veut recouvrir un sol rectangulaire de 240 cm par 180 cm avec des carreaux carrés les plus grands possibles, sans découpe.
a) Quel est le côté de chaque carreau ?
b) Combien de carreaux faut-il ?
Voir la correction
a) Le côté du carreau doit diviser à la fois 240 et 180. Le plus grand possible est le PGCD.
\(240 = 180 \times 1 + 60\) \(180 = 60 \times 3 + 0\)Donc \(\mathrm{PGCD}(240\, ; \, 180) = 60\). Chaque carreau mesure 60 cm de côté.
b) Nombre de carreaux : \((240 \div 60) \times (180 \div 60) = 4 \times 3 = 12\) carreaux.
Exercice 13 — Piscine et PPCM
Alice va à la piscine tous les 6 jours, Baptiste tous les 8 jours. Ils s’y retrouvent aujourd’hui. Dans combien de jours se retrouveront-ils à la piscine ?
Voir la correction
On cherche le PPCM de 6 et 8.
Décompositions : \(6 = 2 \times 3\) et \(8 = 2^3\).
\(\mathrm{PPCM}(6\, ; \, 8) = 2^3 \times 3 = 24\).
Ils se retrouveront dans 24 jours.
Exercice 14 — Problème complet
On considère les nombres 504 et 180.
a) Décompose chaque nombre en produit de facteurs premiers.
b) Déduis-en le PGCD et le PPCM de 504 et 180.
c) Rends la fraction \(\displaystyle\frac{180}{504}\) irréductible.
Voir la correction
a) On décompose chaque nombre :
\(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\) et \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\).
b) Pour le PGCD, on prend les facteurs communs avec les plus petits exposants :
\(\mathrm{PGCD}(504\, ; \, 180) = 2^2 \times 3^2 = 36\).
Pour le PPCM, on prend tous les facteurs avec les plus grands exposants :
\(\mathrm{PPCM}(504\, ; \, 180) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2\,520\).
c) On divise numérateur et dénominateur par le PGCD (= 36) :
\(\displaystyle\frac{180}{504} = \displaystyle\frac{180 \div 36}{504 \div 36} = \displaystyle\frac{5}{14}\).
Exercice 15 — QCM
Pour chaque question, une seule réponse est correcte.
1. Le PGCD de 42 et 56 est : (a) 7 (b) 14 (c) 28
2. Le nombre 91 est : (a) premier (b) divisible par 7 (c) divisible par 3
3. Le PPCM de 15 et 20 est : (a) 30 (b) 60 (c) 300
Voir la correction
1. Réponse (b) — 14. Par Euclide : \(56 = 42 \times 1 + 14\), puis \(42 = 14 \times 3 + 0\). Donc PGCD = 14.
2. Réponse (b) — divisible par 7. En effet \(91 = 7 \times 13\). Il n’est donc pas premier (et \(9 + 1 = 10\) n’est pas divisible par 3).
3. Réponse (b) — 60. \(15 = 3 \times 5\) et \(20 = 2^2 \times 5\), donc \(\mathrm{PPCM} = 2^2 \times 3 \times 5 = 60\).
Les erreurs à éviter absolument
Voici les pièges dans lesquels tombent le plus souvent les élèves de 3ème. Vérifie que tu ne fais pas ces erreurs !
❌ Erreur : « PGCD(12 ; 18) = 36 »
Diagnostic : tu as confondu PGCD et PPCM ! Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est toujours inférieur ou égal aux deux nombres. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est toujours supérieur ou égal.
✅ Correction : PGCD(12 ; 18) = 6 et PPCM(12 ; 18) = 36.
❌ Erreur : « 1 est un nombre premier. »
Diagnostic : un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Or 1 n’a qu’un seul diviseur (lui-même). Il ne remplit donc pas la condition.
✅ Correction : 1 n’est pas premier. Le plus petit nombre premier est 2.
❌ Erreur : dans l’algorithme d’Euclide, diviser le petit nombre par le grand.
Diagnostic : on divise toujours le plus grand par le plus petit, puis on continue avec le diviseur et le reste.
✅ Correction : pour PGCD(84 ; 36), on commence par \(84 = 36 \times 2 + 12\), pas par \(36 = \ldots\)
❌ Erreur : « \(\displaystyle\frac{84}{120} = \displaystyle\frac{42}{60}\), c’est irréductible ! »
Diagnostic : tu as divisé par 2, mais 42 et 60 sont encore tous les deux divisibles par 6. La simplification n’est pas terminée !
✅ Correction : divise directement par le PGCD. \(\mathrm{PGCD}(84\, ; \, 120) = 12\), donc \(\displaystyle\frac{84}{120} = \displaystyle\frac{7}{10}\).
Questions fréquentes
Comment calculer le PGCD de deux nombres ?
La méthode la plus efficace est l’algorithme d’Euclide : tu divises le plus grand nombre par le plus petit, puis tu recommences avec le diviseur et le reste, jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD. Par exemple, pour PGCD(84 ; 36) : 84 = 36 × 2 + 12, puis 36 = 12 × 3 + 0, donc PGCD = 12.
Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise les deux nombres à la fois : il est toujours plus petit ou égal à chacun d’eux. Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre dont les deux nombres sont des diviseurs : il est toujours plus grand ou égal. Par exemple, PGCD(12 ; 18) = 6 et PPCM(12 ; 18) = 36.
Comment savoir si un nombre est premier ?
Teste sa divisibilité par les nombres premiers successifs : 2, 3, 5, 7, 11… Tu peux t’arrêter dès que le carré du nombre premier testé dépasse ton nombre. Si aucun ne le divise (et que le nombre est supérieur à 1), alors il est premier. Attention : 1 n’est pas premier.
L'arithmétique tombe-t-elle souvent au brevet ?
Oui, régulièrement ! Les exercices portent le plus souvent sur le PGCD (problèmes de partage, de bouquets, de carrelage) et sur la décomposition en facteurs premiers. Entraîne-toi avec les exercices type brevet de cette page pour être prêt le jour J.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises ces 15 exercices ? Bravo ! Pour consolider tes connaissances, voici les cours associés :
- Critères de divisibilité — toutes les règles (par 2, 3, 4, 5, 9, 11…)
- Division euclidienne — le cours complet avec méthode
- Nombres premiers — définition, liste et crible d’Ératosthène
- PGCD et PPCM — algorithme d’Euclide et applications
- Décomposition en facteurs premiers — méthode pas à pas
- Exercices sur les nombres entiers (6ème) — pour retravailler les bases si besoin
Et l’arithmétique ne s’arrête pas au brevet ! En Terminale et en prépa, tu découvriras des outils plus puissants comme les congruences ou le théorème de Gauss. Retrouve la vue d’ensemble dans notre cours d’arithmétique complet.
