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L’arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers : divisibilité, nombres premiers, PGCD et leurs relations. Au programme du collège (dès la 5e), de Terminale Maths Expertes et de classe préparatoire, elle constitue un socle fondamental. Tu trouveras ici : définitions, théorèmes clés (Bézout, Gauss, TFA), formules, exercices corrigés et pièges à éviter. Conforme aux programmes officiels 2025-2026 (Eduscol).
I. Qu’est-ce que l’arithmétique ?
On confond souvent « arithmétique » avec « calcul mental » ou « opérations de base ». En réalité, l’arithmétique va beaucoup plus loin : c’est une discipline à part entière, avec ses propres théorèmes et ses méthodes de démonstration.
Définition — Arithmétique
L’arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers (naturels et relatifs) et les relations entre eux : divisibilité, factorisation, congruences. Elle cherche à répondre à des questions du type : « un entier divise-t-il un autre ? », « quels sont les facteurs premiers d’un nombre ? », « deux entiers sont-ils premiers entre eux ? ».
Le mot vient du grec arithmos (nombre). Selon le niveau scolaire et le degré de profondeur, on distingue trois grandes branches :
| Branche | Ce qu’on étudie | Niveau scolaire |
|---|---|---|
| Arithmétique élémentaire | Multiples, diviseurs, PGCD, PPCM, nombres premiers, fractions irréductibles | Collège (5e–3e) |
| Arithmétique modulaire et théorèmes | Bézout, Gauss, TFA, congruences, calcul modulo \(n\) | Tle Maths Expertes + CPGE |
| Théorie des nombres | Répartition des nombres premiers, conjectures, problèmes ouverts | Enseignement supérieur et recherche |
Ne pas confondre : l’arithmétique (étude des nombres entiers) et les suites arithmétiques (suites dont chaque terme est obtenu en ajoutant une constante au précédent). Ce sont deux notions très différentes, même si elles partagent le même adjectif.
II. L’arithmétique au programme : du collège à la prépa
L’arithmétique est l’un des rares domaines qui traverse l’intégralité du cursus mathématique, de la 5e à la classe préparatoire. Voici ce qui t’attend à chaque étape :
| Collège (5e–3e) | Tle spé Maths | Tle Maths Expertes | CPGE (MPSI / PCSI) |
|---|---|---|---|
| Multiples, diviseurs, critères de divisibilité, PGCD, PPCM, nombres premiers, fractions irréductibles | Prérequis pour le dénombrement (pas de chapitre dédié) | Division euclidienne, congruences, théorèmes de Bézout et Gauss, TFA | Anneau \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), théorème chinois des restes, petit théorème de Fermat |
A. Au collège (5e–3e)
En 5e, tu découvres les notions de multiples, de diviseurs et les critères de divisibilité. En 3e, tu approfondis avec le PGCD (algorithme d’Euclide), le PPCM et les nombres premiers. Ce sont les outils de base de l’arithmétique élémentaire — et ils sont incontournables au brevet.
B. Au lycée
En Seconde, l’arithmétique n’est pas reprise comme chapitre à part entière. Les acquis du collège servent de prérequis, notamment pour les fonctions et les démonstrations.
En Terminale spé Maths, l’arithmétique n’apparaît pas non plus comme chapitre dédié. Elle intervient en arrière-plan dans le dénombrement et les probabilités.
En Terminale Maths Expertes (option), l’arithmétique revient en force avec un chapitre complet : division euclidienne, congruences, théorèmes de Bézout et de Gauss, décomposition en facteurs premiers.
C. En prépa (MPSI / PCSI)
En classe préparatoire, l’arithmétique prend une dimension algébrique. Tu travailles dans l’anneau \(\mathbb{Z}\), tu étudies les congruences de façon systématique (avec \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)), et tu rencontres le théorème chinois des restes et le petit théorème de Fermat.
Fiche PDF — Arithmétique : définitions, théorèmes et formules
Bézout, Gauss, TFA, algorithme d’Euclide, critères de divisibilité… Tout sur une fiche recto-verso, prête à imprimer.
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III. Les notions fondamentales de l’arithmétique
Avant d’aborder les grands théorèmes, assure-toi de maîtriser les trois piliers de l’arithmétique élémentaire. Chaque notion dispose d’un cours détaillé que tu peux consulter en cliquant sur les liens.
A. Nombres entiers et opérations
L’arithmétique porte sur les nombres entiers : les entiers naturels \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) et les entiers relatifs \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\). Ces ensembles sont stables par addition, soustraction et multiplication — mais pas par division. C’est précisément cette impossibilité de toujours diviser qui donne naissance aux notions de divisibilité, de reste et de PGCD.
B. Divisibilité et division euclidienne
Divisibilité
On dit que l’entier \(a\) divise l’entier \(b\) (noté \(a \mid b\)) s’il existe un entier \(k\) tel que \(b = ka\).
La division euclidienne est l’outil fondamental : pour tous entiers \(a\) et \(b\) avec \(b\) > \(0\), il existe un unique couple \((q, r)\) tel que :
\(a = bq + r \quad \text{avec} \quad 0 \leq r\) < \(b\)
Le quotient \(q\) et le reste \(r\) sont à la base de nombreuses démonstrations. Les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9, 11…) permettent de vérifier rapidement si un nombre est divisible par un autre sans poser la division.
C. PGCD, PPCM et nombres premiers
Le PGCD et PPCM (plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple) sont les deux outils qui mesurent les « liens de divisibilité » entre deux entiers. L’algorithme d’Euclide permet de calculer efficacement le PGCD par divisions euclidiennes successives.
Les nombres premiers sont les « briques élémentaires » des entiers : un entier \(p \geq 2\) est premier s’il n’admet aucun diviseur autre que 1 et lui-même. La décomposition en facteurs premiers exprime tout entier \(n \geq 2\) comme produit de nombres premiers — c’est la clé de voûte de toute l’arithmétique.
Relation fondamentale : pour tous entiers \(a\) et \(b\) strictement positifs :
\(\mathrm{PGCD}(a, b) \times \mathrm{PPCM}(a, b) = a \times b\)
Cette formule est souvent utilisée au brevet et au bac pour calculer le PPCM à partir du PGCD (ou inversement).
IV. Les trois grands théorèmes de l’arithmétique
L’arithmétique de niveau Terminale Maths Expertes et prépa repose sur trois théorèmes structurants. Ils se complètent mais ne disent pas la même chose — une confusion fréquente que nous allons dissiper.
A. Théorème de Bézout
Théorème de Bézout
Deux entiers \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux (c’est-à-dire \(\mathrm{PGCD}(a, b) = 1\)) si et seulement s’il existe deux entiers relatifs \(u\) et \(v\) tels que :
\(au + bv = 1\)
Ce théorème est un outil d’existence : il garantit que les coefficients \(u\) et \(v\) existent. En pratique, on les trouve grâce à l’algorithme d’Euclide étendu (en « remontant » les étapes de l’algorithme).
Exemple : montrons que 7 et 11 sont premiers entre eux. On cherche \(u\) et \(v\) tels que \(7u + 11v = 1\). Par tâtonnement ou par l’algorithme : \(7 \times (-3) + 11 \times 2 = -21 + 22 = 1\). Donc \(\mathrm{PGCD}(7, 11) = 1\).
B. Théorème de Gauss
Théorème de Gauss
Si un entier \(a\) divise le produit \(bc\) et si \(a\) est premier avec \(b\) (c’est-à-dire \(\mathrm{PGCD}(a, b) = 1\)), alors \(a\) divise \(c\).
\(a \mid bc \quad \text{et} \quad \mathrm{PGCD}(a, b) = 1 \quad \Rightarrow \quad a \mid c\)
Ce théorème est un outil d’implication : il permet de « transférer » la divisibilité d’un produit vers l’un de ses facteurs, à condition que l’hypothèse de coprimalité soit vérifiée. Sa démonstration repose directement sur le théorème de Bézout.
Le théorème de Gauss est au programme de Terminale Maths Expertes et constitue un outil central pour les exercices de CPGE. Retrouve son énoncé complet, sa démonstration commentée et des exercices sur la page dédiée.
C. Théorème fondamental de l’arithmétique (TFA)
Théorème fondamental de l’arithmétique
Tout entier \(n \geq 2\) se décompose de façon unique (à l’ordre des facteurs près) en produit de nombres premiers :
\(n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}\)
où \(p_1\) < \(p_2\) < \(\cdots\) < \(p_k\) sont des nombres premiers et \(\alpha_1, \ldots, \alpha_k \geq 1\).
Exemple : \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Cette décomposition est unique — on ne peut pas trouver d’autres nombres premiers dont le produit donnerait 360.
Le théorème fondamental de l’arithmétique justifie que la décomposition en facteurs premiers est une opération bien définie. Retrouve sa démonstration complète (existence et unicité) sur la page dédiée.
V. Formules clés et calculs en arithmétique
Voici un récapitulatif des formules essentielles d’arithmétique, du collège à la prépa. Ce tableau te sera utile pour tes révisions — tu peux aussi le télécharger en PDF en fin de page.
| Résultat | Formule | Conditions / remarques |
|---|---|---|
| Division euclidienne | \(a = bq + r\) avec \(0 \leq r\) < \(b\) | \(a \in \mathbb{Z}\), \(b \in \mathbb{N}^*\) |
| Relation PGCD–PPCM | \(\mathrm{PGCD}(a,b) \times \mathrm{PPCM}(a,b) = a \times b\) | \(a, b\) > \(0\) |
| Théorème de Bézout | \(\mathrm{PGCD}(a,b) = 1 \iff \exists\, u, v \in \mathbb{Z},\; au + bv = 1\) | Outil d’existence |
| Théorème de Gauss | \(a \mid bc\) et \(\mathrm{PGCD}(a,b) = 1 \;\Rightarrow\; a \mid c\) | Outil d’implication |
| TFA | \(n = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) (unicité) | \(n \geq 2\), \(p_i\) premiers |
| Petit théorème de Fermat 🔴 | \(a^p \equiv a \;[p]\) | \(p\) premier (CPGE) |
Attention à la polysémie : le terme « formule arithmétique » peut aussi désigner la formule du terme général d’une suite arithmétique (\(u_n = u_0 + n \times r\)). Ce n’est pas le même sujet. L’arithmétique au sens de cette page concerne les propriétés des nombres entiers, pas les suites.
Les calculs en arithmétique reposent essentiellement sur ces formules : algorithme d’Euclide pour le PGCD, algorithme d’Euclide étendu pour les coefficients de Bézout, et calcul modulo \(n\) (voir la page congruences pour les techniques de calcul modulaire avancées).
VI. Exercices corrigés d’arithmétique
Voici trois exercices classiques couvrant les thèmes clés, du niveau brevet au niveau Maths Expertes. Chaque correction est détaillée pas à pas.
Exercice 1 — PGCD et fraction irréductible (★)
Énoncé : Détermine le PGCD de 156 et 104 à l’aide de l’algorithme d’Euclide. Déduis-en la fraction irréductible égale à \(\displaystyle\frac{104}{156}\).
Voir la correction
Étape 1 — Algorithme d’Euclide :
- \(156 = 1 \times 104 + 52\)
- \(104 = 2 \times 52 + 0\)
Le dernier reste non nul est 52, donc \(\mathrm{PGCD}(156, 104) = 52\).
Étape 2 — Simplification :
On divise numérateur et dénominateur par le PGCD :
\(\displaystyle\frac{104}{156} = \displaystyle\frac{104 \div 52}{156 \div 52} = \displaystyle\frac{2}{3}\)
La fraction irréductible est \(\displaystyle\frac{2}{3}\).
Exercice 2 — Théorème de Bézout (★★)
Énoncé : Montrer que pour tout entier naturel \(n\), les entiers \(2n + 1\) et \(3n + 2\) sont premiers entre eux.
Voir la correction
Stratégie : on cherche une relation de Bézout, c’est-à-dire des entiers \(u\) et \(v\) tels que \(u(2n+1) + v(3n+2) = 1\).
Calcul : l’idée est d’éliminer \(n\) par combinaison linéaire. Essayons \(u = -3\) et \(v = 2\) :
\((-3)(2n + 1) + 2(3n + 2) = -6n – 3 + 6n + 4 = 1\)
Conclusion : on a trouvé \(u = -3\) et \(v = 2\) tels que \(u(2n+1) + v(3n+2) = 1\). D’après le théorème de Bézout, \(\mathrm{PGCD}(2n + 1,\; 3n + 2) = 1\), donc ces deux entiers sont bien premiers entre eux pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Exercice 3 — Théorème de Gauss (★★★)
Énoncé : Soient \(a\) et \(b\) deux entiers. On suppose que \(7\) divise \(3a + 5b\) et que \(7\) divise \(2a + 6b\). Montrer que \(7\) divise \(a\) et que \(7\) divise \(b\).
Voir la correction
Étape 1 — Éliminer \(a\) par combinaison linéaire.
Calculons \(2(3a + 5b) – 3(2a + 6b)\) :
\(6a + 10b – 6a – 18b = -8b\)
Puisque 7 divise \(3a + 5b\) et \(2a + 6b\), il divise toute combinaison linéaire de ces deux expressions. Donc \(7 \mid 8b\).
Étape 2 — Appliquer le théorème de Gauss.
Or \(\mathrm{PGCD}(7, 8) = 1\) (car 7 est premier et ne divise pas 8). D’après le théorème de Gauss, puisque \(7 \mid 8b\) et \(\mathrm{PGCD}(7, 8) = 1\), on conclut que \(7 \mid b\).
Étape 3 — En déduire que 7 divise \(a\).
Puisque \(7 \mid b\), on a \(7 \mid 5b\), donc \(7 \mid (3a + 5b) – 5b = 3a\), c’est-à-dire \(7 \mid 3a\). Or \(\mathrm{PGCD}(7, 3) = 1\). Par le théorème de Gauss, \(7 \mid a\).
Pour t’entraîner davantage, consulte notre page de exercices d’arithmétique corrigés pour la 3ème ou les exercices spécifiques de chaque théorème dans les pages dédiées du cocon.
VII. Erreurs typiques en arithmétique
Voici les cinq erreurs les plus fréquentes repérées dans les copies de brevet, de bac et de concours. Chacune est un piège classique — et chacune peut te coûter des points si tu n’y prends pas garde.
Erreur n°1 — Confondre « nombre premier » et « premiers entre eux »
❌ « 6 et 35 ne sont pas premiers entre eux car 6 n’est pas un nombre premier. »
✅ Correction : un nombre premier est un entier \(p \geq 2\) dont les seuls diviseurs sont 1 et lui-même (ex : 2, 3, 5, 7…). Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1 — même s’ils ne sont pas eux-mêmes premiers. Ici, \(\mathrm{PGCD}(6, 35) = 1\), donc 6 et 35 sont premiers entre eux.
Erreur n°2 — Croire que 1 est un nombre premier
❌ « Les nombres premiers sont 1, 2, 3, 5, 7, 11… »
✅ Correction : par convention (et pour que le théorème fondamental de l’arithmétique fonctionne avec l’unicité de la décomposition), 1 n’est pas considéré comme premier. Le plus petit nombre premier est 2.
Erreur n°3 — Confondre PGCD et PPCM
❌ « Le PGCD de 12 et 18 est 36. »
✅ Correction : le PGCD est le plus grand diviseur commun (ici, \(\mathrm{PGCD}(12, 18) = 6\)). Le PPCM est le plus petit multiple commun (ici, \(\mathrm{PPCM}(12, 18) = 36\)). Retiens : le PGCD est toujours inférieur ou égal aux deux nombres, le PPCM est toujours supérieur ou égal.
Erreur n°4 — Confondre Bézout (existence) et Gauss (implication)
❌ « Par le théorème de Gauss, il existe u et v tels que au + bv = 1. »
✅ Correction : c’est le théorème de Bézout qui donne l’existence des coefficients. Le théorème de Gauss dit autre chose : si \(a \mid bc\) et \(\mathrm{PGCD}(a,b) = 1\), alors \(a \mid c\). Les deux se complètent, mais ne sont pas interchangeables.
Erreur n°5 — Généraliser à tort : « \(a \mid bc\) donc \(a \mid b\) ou \(a \mid c\) »
❌ « 6 divise 4 × 9 = 36, donc 6 divise 4 ou 6 divise 9. »
✅ Correction : cette implication est fausse en général. Ici, \(6 \mid 36\) mais \(6 \not\mid 4\) et \(6 \not\mid 9\). L’implication ne fonctionne que si \(a\) est premier avec \(b\) (théorème de Gauss) ou si \(a\) est un nombre premier (lemme d’Euclide).
VIII. Questions fréquentes sur l’arithmétique
Qu'est-ce que l'arithmétique en maths ?
L’arithmétique est la branche des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers et les relations entre eux (divisibilité, factorisation, congruences). Elle englobe des notions comme le PGCD, le PPCM, les nombres premiers, ainsi que des théorèmes fondamentaux (Bézout, Gauss, TFA). À ne pas confondre avec le simple « calcul mental ».
Quelle est la différence entre l'arithmétique et les mathématiques ?
L’arithmétique est une partie des mathématiques, pas un synonyme. Les mathématiques englobent aussi l’algèbre, la géométrie, l’analyse (fonctions, intégrales), les probabilités, les statistiques, etc. L’arithmétique se concentre exclusivement sur les propriétés des nombres entiers.
C'est quoi un calcul d'arithmétique ?
Au sens large, un calcul d’arithmétique désigne toute opération sur les nombres entiers : addition, soustraction, multiplication, division euclidienne. Au sens mathématique (niveau lycée/prépa), cela désigne plutôt des calculs de PGCD (algorithme d’Euclide), de coefficients de Bézout, de décomposition en facteurs premiers ou de congruences modulo \(n\).
Quels sont les théorèmes principaux de l'arithmétique ?
Les trois théorèmes fondamentaux sont :
- Théorème de Bézout : \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux si et seulement s’il existe \(u, v\) entiers tels que \(au + bv = 1\).
- Théorème de Gauss : si \(a \mid bc\) et \(\mathrm{PGCD}(a,b) = 1\), alors \(a \mid c\).
- Théorème fondamental de l’arithmétique (TFA) : tout entier \(n \geq 2\) admet une décomposition unique en produit de nombres premiers.
À quel niveau étudie-t-on l'arithmétique en France ?
L’arithmétique élémentaire (divisibilité, PGCD, nombres premiers) est au programme du collège de la 5e à la 3e. Les théorèmes de Bézout, Gauss et le TFA sont étudiés en Terminale Maths Expertes (option). En classe préparatoire (MPSI/PCSI), on approfondit avec les congruences, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) et le théorème chinois des restes. L’arithmétique n’est pas un chapitre à part entière en Seconde ni en Terminale spécialité.
Comment réviser l'arithmétique pour le brevet ?
Pour le brevet, concentre-toi sur 4 compétences clés :
- Savoir appliquer les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 9).
- Calculer un PGCD avec l’algorithme d’Euclide.
- Simplifier une fraction grâce au PGCD.
- Reconnaître si un nombre est premier (tester la divisibilité jusqu’à sa racine carrée).
Entraîne-toi avec nos exercices d’arithmétique 3ème corrigés.
Quelle est la différence entre le théorème de Bézout et le théorème de Gauss ?
Bézout est un théorème d’existence : il affirme que si deux entiers sont premiers entre eux, alors il existe des coefficients \(u, v\) vérifiant \(au + bv = 1\). Gauss est un théorème d’implication : si \(a \mid bc\) et \(\mathrm{PGCD}(a,b) = 1\), alors \(a \mid c\). Les deux se complètent (la preuve de Gauss utilise Bézout), mais ils répondent à des questions différentes.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises les bases de l’arithmétique ? Voici les ressources pour approfondir chaque thème :
- Théorèmes : Théorème de Gauss — énoncé, démonstration et exercices · Théorème fondamental de l’arithmétique — démonstration
- Arithmétique modulaire : Congruences — cours, exercices et arithmétique modulaire
- Exercices : Exercices d’arithmétique 3ème — corrigés et PDF
- Notions de base : nombres entiers · PGCD et PPCM · nombres premiers · division euclidienne · critères de divisibilité
📄 Révise 2× plus vite — fiche PDF
