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L’épreuve de Maths B de la Banque PT 2026 propose deux exercices indépendants à résoudre en 4 heures, sans calculatrice. Le premier exercice explore l’algèbre linéaire dans un espace de polynômes muni d’un produit scalaire, avant de bifurquer vers les rotations dans \(\mathbb{R}^3\). Le second exercice construit progressivement l’étude d’une conique via les nombres complexes, puis s’étend aux quadriques et surfaces de révolution. Le niveau d’ensemble est soutenu, avec un gradient de difficulté bien marqué dans chaque exercice : les premières questions de chaque partie sont abordables, tandis que les dernières exigent une maîtrise technique réelle.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 – Partie A (Q1-3) | Sous-espace de polynômes et endomorphisme | Accessible | Sous-espace vectoriel, base, dimension, endomorphisme |
| Exercice 1 – Partie B (Q4-9) | Produit scalaire et orthogonalité | Élevé | Produit scalaire, bilinéarité, orthonormalisation, projection |
| Exercice 1 – Partie C (Q10-12) | Rotation dans l’espace euclidien | Élevé | Rotation, matrice orthogonale, puissance de matrice |
| Exercice 1 – Partie D (Q13-14) | Matrice d’endomorphisme et changement de base | Accessible | Matrice dans une base, changement de base, orthogonalité |
| Exercice 2 – Partie A (Q1-3) | Coniques et transformations planes | Accessible | Ellipse, hyperbole, rotation complexe |
| Exercice 2 – Partie B (Q4-6) | Conique définie par modules complexes | Élevé | Projection orthogonale, affixe, définition foyer-directrice |
| Exercice 2 – Partie C (Q7-9) | Étude complète d’une conique | Élevé | Hyperbole, asymptotes, tangente, tracé de courbe |
| Exercice 2 – Partie D (Q10-13) | Quadrique et surface de révolution | Très élevé | Surface, point régulier, plan tangent, sections planes |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 : algèbre linéaire dans un espace de polynômes
Cet exercice se déploie en quatre parties articulées autour de l’espace \(\mathbb{R}_3[X]\) des polynômes de degré au plus 3 et du sous-espace vectoriel \(H = \{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid 6P(0) = P^{(3)}(0)\}\).
Partie A (Q1-3) — Tu dois d’abord montrer que \(H\) est un espace vectoriel de dimension 3 et en exhiber une base. On te demande ensuite d’étudier la linéarité de \(h : P \mapsto P^\prime(0)\) et de prouver que l’application \(f\) fournie par l’énoncé est un endomorphisme de \(H\).
Partie B (Q4-9) — On passe au produit scalaire. Après un rappel de définition, tu démontres qu’une application linéaire par rapport à sa première variable et symétrique est nécessairement bilinéaire. On introduit alors \(\varphi(P, Q) = \displaystyle\sum_{k=0}^{3} \displaystyle\frac{P^{(k)}(0)\,Q^{(k)}(0)}{(k!)^2}\), que l’on admet être un produit scalaire. Les questions 7 à 9 te guident vers la construction d’une base orthonormée de \(H\) contenant \(X\) et \(X^2\), puis vers le calcul de la projection orthogonale du polynôme constant 1 sur \(H\) et l’identification de \(H^\perp\).
Partie C (Q10-12) — On change de cadre pour travailler dans \(\mathbb{R}^3\) euclidien. Tu étudies la rotation \(r\) d’axe dirigé par \(\vec{u} = \vec{j} – \vec{k}\) et d’angle \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Les questions portent sur la construction d’une base orthonormée adaptée, le calcul de la matrice orthogonale \(R\) dans la base canonique, et l’identification des endomorphismes associés à \(R^T\), \(R^{2025}\) et \(R^{2026}\).
Partie D (Q13-14) — La synthèse finale relie les parties précédentes : tu calcules la matrice de \(f\) dans la base orthonormée de la partie B, puis tu détermines une base \(\mathcal{B}^{\prime\prime}\) dans laquelle cette matrice prend exactement la forme de la matrice de rotation de la partie C. La question de l’orthogonalité de \(\mathcal{B}^{\prime\prime}\) pour \(\varphi\) conclut l’exercice.
Exercice 2 : coniques, nombres complexes et géométrie dans l’espace
Partie A (Q1-3) — Questions de cours classiques : nature et paramétrisation de l’ellipse et de l’hyperbole, définition d’une conique par foyer-directrice-excentricité, interprétation géométrique de \(z^\prime = e^{i\theta}\,z\).
Partie B (Q4-6) — On étudie l’ensemble \(\mathcal{C}\) des points \(M\) d’affixe \(z\) vérifiant \(|z| = |z + \bar{z}\,e^{i\pi/3} – 3\,e^{i\pi/6}|\). Après avoir exprimé la projection orthogonale sur la droite \(\mathcal{D} : \sqrt{3}\,x + y = 3\), tu montres que \(\mathcal{C}\) est une conique dont tu identifies la nature, le foyer, la directrice et l’excentricité.
Partie C (Q7-9) — Une rotation d’angle \(-\alpha\) transforme \(\mathcal{C}\) en une conique \(\mathcal{C}^\prime\) d’équation cartésienne \(3x^2 – 12x – y^2 + 9 = 0\). Tu en détermines toutes les caractéristiques (centre, sommets, asymptotes), la tangente en un point donné, et tu traces la courbe.
Partie D (Q10-13) — Extension à \(\mathbb{R}^3\) : on considère la courbe \(\mathcal{C}^{\prime\prime}\) définie par \(3x^2 – y^2 = 3,\ z = 1\) et la surface \(S : -3x^2 + y^2 + 3z^2 = 0\). Tu montres que \(\mathcal{C}^{\prime\prime} \subset S\), étudies les points réguliers et les plans tangents, puis tu analyses les sections de \(S\) par des plans parallèles pour conclure que \(S\) est un cône de révolution. La dernière question demande l’équation de la surface de révolution engendrée par une branche de \(\mathcal{C}^{\prime\prime}\) autour de \((Ox)\).
Notions et chapitres testés
- Algèbre linéaire : sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}_n[X]\), bases, dimension, applications linéaires, endomorphismes, noyau et image.
- Produits scalaires : définition axiomatique (bilinéarité, symétrie, définie positive), orthogonalité, procédé de Gram-Schmidt, projection orthogonale, supplémentaire orthogonal.
- Matrices : matrice d’un endomorphisme dans une base, changement de base, puissance de matrice, matrice de rotation.
- Géométrie euclidienne dans \(\mathbb{R}^3\) : rotations, axe et angle, bases orthonormées directes.
- Coniques : ellipse et hyperbole (équations réduites, paramétrisations), définition foyer-directrice-excentricité.
- Nombres complexes : module, conjugué, rotations complexes, projection orthogonale via les affixes.
- Géométrie dans l’espace : surfaces quadriques (cônes), points réguliers, gradient, plan tangent, sections planes, surfaces de révolution.
- Dérivées successives : dérivée \(k\)-ème d’un polynôme, formule de Taylor pour les polynômes.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet s’inscrit dans la lignée des Maths B Banque PT des dernières sessions, avec un équilibre entre algèbre et géométrie. Comparé aux années 2023-2025, le premier exercice est plutôt classique dans sa structure progressive (espace → produit scalaire → rotation → synthèse matricielle), mais la connexion finale entre l’endomorphisme \(f\) et la rotation de la partie C apporte une vraie originalité.
Le second exercice est plus ambitieux que les sujets récents sur les coniques : la construction par les nombres complexes (partie B) est techniquement exigeante, et la partie D sur les quadriques et surfaces de révolution dépasse le niveau habituel. L’absence de calculatrice rend les calculs matriciels et trigonométriques plus lourds, ce qui accentue la difficulté effective.
Globalement, un candidat bien préparé peut espérer traiter complètement les parties A et B des deux exercices ainsi que la partie C du premier exercice. Les parties D des deux exercices départagent les très bons candidats.
Pièges et points techniques délicats
Exercice 1, Q1 — Caractérisation de \(H\) : Si tu poses \(P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3\), la condition \(6P(0) = P^{(3)}(0)\) donne \(6a_0 = 6a_3\), soit \(a_3 = a_0\). Le piège est d’oublier de vérifier que \(H\) est bien non vide et stable par combinaison linéaire — ou, plus efficacement, de le voir comme le noyau d’une forme linéaire.
Exercice 1, Q3 — Montrer que \(f(H) \subset H\) : Le calcul est assez lourd. Tu dois calculer \(f(P)(0)\) et \(f(P)^{(3)}(0)\) séparément à partir de la formule, puis vérifier que \(6f(P)(0) = f(P)^{(3)}(0)\) pour tout \(P \in H\). Attention à ne pas confondre les évaluations en 0 des différents polynômes coefficients.
Exercice 1, Q6 — Deux méthodes distinctes : L’énoncé demande explicitement deux démonstrations différentes du fait que \(P(0) = P^\prime(0) = P^{\prime\prime}(0) = P^{(3)}(0) = 0\) entraîne \(P = 0\). La première méthode naturelle est l’identification des coefficients (si \(P = \sum a_k X^k\), alors \(P^{(k)}(0) = k!\,a_k = 0\)). La seconde peut utiliser la formule de Taylor à l’ordre 3 en 0. Ne te contente pas de reformuler la même idée.
Exercice 1, Q10 — Construction de la base adaptée : Le vecteur \(\vec{u} = \vec{j} – \vec{k}\) n’est pas unitaire (\(\|\vec{u}\| = \sqrt{2}\)). Tu dois d’abord normaliser pour obtenir \(\vec{u}^\prime\), puis choisir \(\vec{v}^\prime\) orthogonal à \(\vec{u}^\prime\) et compléter par \(\vec{w}^\prime = \vec{u}^\prime \wedge \vec{v}^\prime\) pour obtenir une base directe. Le choix \(\vec{v}^\prime = \vec{i}\) simplifie considérablement les calculs. Pense à vérifier tes formules trigonométriques pour l’angle \(-\displaystyle\frac{\pi}{2}\).
Exercice 2, Q4 — Projection orthogonale en complexes : Le passage des coordonnées \((x^\prime, y^\prime)\) à la formule en affixes \(z^\prime = \displaystyle\frac{1}{2}\left(z – \bar{z}\,e^{i\pi/3} + 3\,e^{i\pi/6}\right)\) nécessite une manipulation soigneuse. Le piège classique est de se tromper dans le signe de \(\bar{z}\,e^{i\pi/3}\) ou de confondre \(e^{i\pi/3}\) et \(e^{i\pi/6}\).
Exercice 2, Q12 — Sections du cône : L’indication de l’énoncé (\(-3x^2 + y^2 + 3z^2 = x^2 + y^2 + z^2 – (2x – \sqrt{2}\,z)(2x + \sqrt{2}\,z)\)) est la clé. Sans elle, tu risques de t’enliser dans des calculs interminables. En fixant \(2x + \sqrt{2}\,z = \lambda\), la contrainte se ramène à une équation de cercle dans le plan \(P_\lambda\), à condition de travailler dans un repère orthonormé adapté.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
Q1 : Écris \(P = a_0(1 + X^3) + a_1 X + a_2 X^2\) pour montrer que \(H = \mathrm{Vect}(1 + X^3,\, X,\, X^2)\), famille libre de 3 vecteurs.
Q5 : L’argument central est que la symétrie de \(\varphi\) permet de transférer la linéarité de la première variable à la seconde : \(\varphi(P,\, \alpha Q_1 + \beta Q_2) = \varphi(\alpha Q_1 + \beta Q_2,\, P) = \alpha\,\varphi(Q_1, P) + \beta\,\varphi(Q_2, P) = \alpha\,\varphi(P, Q_1) + \beta\,\varphi(P, Q_2)\).
Q7-8 : Le calcul de \(\varphi\) revient à comparer les coefficients de Taylor : \(\varphi(P, Q) = \sum a_k b_k\) où \(P = \sum a_k X^k\) et \(Q = \sum b_k X^k\). C’est le produit scalaire canonique sur les coefficients. Cela donne directement \(\varphi(X, X) = 1\), \(\varphi(X^2, X^2) = 1\), \(\varphi(X, X^2) = 0\), et \((1 + X^3)\) est déjà orthogonal à \(X\) et \(X^2\), de norme \(\sqrt{2}\). La base orthonormée, classée par degré décroissant, est \(\mathcal{B} = \left(\displaystyle\frac{1 + X^3}{\sqrt{2}},\, X^2,\, X\right)\).
Q9 : La projection de 1 sur \(H\) se calcule par \(\mathrm{proj}_H(1) = \varphi(1, e_1)\,e_1 + \varphi(1, e_2)\,e_2 + \varphi(1, e_3)\,e_3\). Seul le terme en \(e_1 = (1+X^3)/\sqrt{2}\) survit, donnant \(\mathrm{proj}_H(1) = (1+X^3)/2\). Puis \(H^\perp = \mathrm{Vect}(1 – X^3)\).
Q11 : Utilise \(R = P\,R^\prime\,P^{-1}\) où \(P\) est la matrice de passage (orthogonale, donc \(P^{-1} = P^T\)).
Q12 : La rotation \(r\) a pour angle \(-\pi/2\), donc \(r^4 = \mathrm{Id}\). Déduis les puissances par réduction modulo 4 : \(R^{2025} = R^{4 \times 506 + 1} = R\) et \(R^{2026} = R^2\) (rotation d’angle \(-\pi\) autour du même axe, soit un demi-tour).
Exercice 2
Q5-6 : Exprime \(z – z^\prime\) puis identifie \(|z| = 2\,|z – z^\prime| = 2\,d(M, \mathcal{D})\). Reconnais la définition d’une conique de foyer \(O\), de directrice \(\mathcal{D}\) et d’excentricité \(\varepsilon = 2\), donc une hyperbole.
Q8 : La rotation d’angle \(-\alpha = -\pi/6\) simplifie l’équation en \(|Z| = |Z + \bar{Z} – 3|\), soit \(|Z| = |2x – 3|\). En élevant au carré : \(3x^2 – 12x – y^2 + 9 = 0\), qui se met sous forme réduite \((x-2)^2 – \displaystyle\frac{y^2}{3} = 1\).
Q10-11 : Pour \(\mathcal{C}^{\prime\prime} \subset S\), injecte \(z = 1\) et \(3x^2 – y^2 = 3\) dans \(-3x^2 + y^2 + 3z^2\). Les points réguliers de \(S\) sont ceux où le gradient \((-6x, 2y, 6z)\) est non nul, c’est-à-dire tous les points sauf l’origine.
Q13 : En faisant tourner la branche \(\mathcal{C}_+^{\prime\prime}\) autour de \((Ox)\), un point \((x, y, 1)\) engendre un cercle de rayon \(\sqrt{y^2 + 1} = \sqrt{3x^2 – 2}\). L’équation de \(\Sigma\) est donc \(y^2 + z^2 = 3x^2 – 2\).
Conseils pour les futurs candidats
Maîtrise les espaces vectoriels de polynômes. Les sous-espaces de \(\mathbb{R}_n[X]\) définis par des conditions sur les dérivées en un point reviennent très régulièrement à la Banque PT. Entraîne-toi à identifier rapidement une base en exploitant la relation entre coefficients et dérivées successives en 0.
Travaille les produits scalaires sur les espaces fonctionnels. Le produit scalaire \(\varphi\) de cet exercice est en réalité le produit scalaire canonique sur les coefficients. Savoir reconnaître ce type de structure te permet de gagner un temps considérable sur l’orthonormalisation.
Consolide les rotations dans \(\mathbb{R}^3\). Construire une base orthonormée directe adaptée à un axe de rotation est un classique incontournable. Révise la formule de Rodrigues et les propriétés de la matrice transposée d’une matrice orthogonale (inverse = transposée).
Ne néglige pas les coniques. Le sujet montre que l’étude d’une conique peut démarrer par les nombres complexes et aboutir à une surface dans l’espace. Assure-toi de connaître par cœur les équations réduites, les paramétrisations et la définition foyer-directrice pour l’ellipse et l’hyperbole.
Enfin, accorde une attention particulière à la géométrie dans l’espace (quadriques, surfaces de révolution, plans tangents). Cette thématique, présente en partie D du second exercice, fait partie du programme PT et peut surprendre les candidats qui concentrent leurs révisions sur l’algèbre pure. Un entraînement régulier sur les sujets des années précédentes est la meilleure garantie de réussite.
