Un arbre de probabilité (ou arbre pondéré) est la méthode la plus sûre dès qu’une situation se déroule en plusieurs étapes (sélections successives, choix puis test, deux événements qui s’enchaînent…). Bien maîtrisé, il permet de construire le raisonnement, puis de lire et calculer des probabilités sans se perdre dans les formules.
Sur cette page, je te donne une méthode claire (niveau Première / Terminale, avec un niveau d’exigence “début prépa”) et des exercices corrigés. Pour le cours complet, tu peux aussi consulter la page sur les probabilités. Pour les méthodes de calcul hors schémas (complément, inclusion-exclusion, etc.), voir calculer une probabilité.
Arbre de probabilité : à quoi ça sert exactement ?
Quand l’arbre est la meilleure méthode
Tu utilises un arbre quand :
- l’expérience aléatoire se déroule en étapes successives (ex : “d’abord…, puis…”),
- les valeurs du second choix dépendent du premier (sans forcément parler d’“indépendance”),
- ou quand on te donne des informations de type “si…, alors…” (ex : fiabilité d’un test, contrôle qualité, diagnostic).
Ce que l’arbre te donne directement vs ce qu’il faut calculer
Ce schéma à poids te donne une représentation structurée :
- les événements possibles (les parcours complets),
- les valeurs écrites sur les flèches (souvent des valeurs “conditionnelles”),
- une lecture de toutes les issues possibles sous forme de parcours.
En revanche, tu dois encore savoir :
- calculer \(P(\text{parcours})\) (produit),
- calculer \(P(\text{cas})\) (addition de parcours),
- et vérifier que la construction est cohérente (somme des flèches au même nœud = \(1\)).
Définition (simple et utile). Un arbre de probabilité est un schéma où chaque flèche porte une valeur, et où la somme des valeurs des flèches issues d’un même nœud vaut \(1\). Un parcours complet correspond à une suite de cas “ET”.
Arbre des possibles vs arbre de probabilité : la différence qui fait gagner des points
Arbre des possibles (comptage) : quand tout est équiprobable
Un arbre des possibles sert surtout en dénombrement : on liste toutes les possibilités et on compte. Il fonctionne bien si les possibilités sont équiprobables (même chance).
Dans ce cas, on utilise souvent l’idée :
Nombre de cas favorables / nombre de cas possibles, avec une probabilité du type \(\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}\).
Schéma (exemple d’arbre des possibles). Deux lancers d’une pièce : on liste les possibilités (sans mettre de valeurs sur chaque flèche).
Arbre de probabilité (pondéré) : quand les flèches ont des poids
Un arbre de probabilité (pondéré) est indispensable dès que :
- les possibilités ne sont pas équiprobables,
- les valeurs changent au cours des étapes (ex : tirage sans remise),
- ou quand on te donne directement des valeurs du type “si \(A\) alors …”.
Schéma (exemple d’arbre de probabilité). Ici, on écrit des valeurs sur les flèches (souvent conditionnelles au niveau 2).
| Type d’arbre | Ce qu’on écrit sur les flèches | Quand l’utiliser | Calcul typique |
|---|---|---|---|
| Arbre des possibles | Possibilités / choix (souvent sans valeurs) | Possibilités équiprobables | \(\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}\) |
| Arbre pondéré | Valeurs (souvent conditionnelles) | Non-équiprobable / dépendance | Produit sur un parcours, addition de parcours |
Mini-check : comment reconnaître lequel utiliser
- Si on te dit “toutes les possibilités sont équiprobables” : arbre des possibles (ou dénombrement direct).
- Si on te donne des valeurs sur des étapes (“d’abord”, “puis”, “si…”) : arbre pondéré.
- Si les valeurs changent après un premier résultat (tirage sans remise, changement d’état, sélection…) : arbre pondéré.
Vocabulaire indispensable : nœud, branche, chemin, niveau
Chemin = intersection (idée clé)
Dans un schéma pondéré, un parcours correspond à une succession de cas réalisés. Mathématiquement, c’est un “ET”.
Exemple : si un parcours correspond à “d’abord \(A\), puis \(B\)”, alors il représente :
\(A \cap B\)Traduction immédiate :
- Parcours = “ET” = \(\cap\)
- Cas formé de plusieurs parcours = “OU” = addition
Niveau 2 = probabilités conditionnelles
Sur un arbre, les flèches du niveau 1 portent souvent des probabilités “directes” (ex : \(P(A)\)).
Les flèches du niveau 2 portent très souvent des probabilités du type “probabilité de \(B\) sachant \(A\)”, notée :
\(P(B \mid A)\)À retenir. Une flèche qui part d’un nœud “où \(A\) est déjà arrivé” porte naturellement une probabilité conditionnelle : \(P(\,\cdot \mid A)\).
Construire un arbre pondéré en 4 étapes (méthode Excellence Maths)
Exemple fil rouge. Une urne contient 3 boules roses et 2 boules bleues. On tire 2 boules sans remise. On note \(R\) : “rose”, \(B\) : “bleue”.
Étape 1 — Choisir les niveaux (ordre logique des événements)
Commence par identifier les étapes de l’expérience (au maximum 2 ou 3 au lycée). Pose-les dans l’ordre :
- “d’abord” = niveau 1,
- “puis” = niveau 2,
- etc.
Ici : niveau 1 = 1re extraction, niveau 2 = 2e extraction. Mets les étapes dans cet ordre : ça rend la lecture immédiate.
Astuce de copie : tu peux même écrire une phrase-guide du type “Mettez l’état initial au niveau 1, puis le résultat au niveau 2”.
Schéma (structure des niveaux, sans détails).
Étape 2 — Tracer les branches (sans en mettre trop)
À chaque niveau, garde seulement les possibilités nécessaires. Souvent, on met :
- un cas et son contraire (ex : \(A\) et \(\overline{A}\)),
- ou une partition simple (ex : \(R\) / \(B\)).
Ici : à chaque extraction, mets \(R\) ou \(B\).
Schéma (flèches nommées, sans valeurs).
Piège classique. Ajouter trop de possibilités “pour faire joli” : le schéma devient illisible, et tu perds le fil. Une bonne construction est minimale.
Étape 3 — Remplir le niveau 1 (probabilités directes)
Sur les flèches de niveau 1, écris les probabilités “brutes” (non conditionnelles). Mets ces deux valeurs en premier : elles pilotent tout le reste.
Ici :
\(P(R)=\frac{3}{5}\) et \(P(B)=\frac{2}{5}\).
Schéma (niveau 1 complété).
Vérifie tout de suite l’addition au départ :
\(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1\)Étape 4 — Remplir le niveau 2 (probabilités conditionnelles)
Pour chaque flèche du niveau 1, tu crées un nouveau nœud : on est désormais “dans le cas où …”. Tu dois donc écrire des probabilités conditionnelles. Mets ces valeurs en te demandant systématiquement : “sachant ce qui vient d’arriver, qu’est-ce qui reste possible ?”.
Ici :
- Après une première boule \(R\) : il reste 2 roses et 2 bleues sur 4, donc \(P(B\mid R)=\frac{2}{4}\) et \(P(R\mid R)=\frac{2}{4}\).
- Après une première boule \(B\) : il reste 3 roses et 1 bleue sur 4, donc \(P(R\mid B)=\frac{3}{4}\) et \(P(B\mid B)=\frac{1}{4}\).
Schéma (arbre complet, avec probabilités conditionnelles).
Contrôle express : à chaque nœud, l’addition des flèches vaut \(1\) (ex : \(\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1\)).
Lire un arbre de probabilité : ce que je lis et ce que je calcule
On reprend l’arbre complet de l’urne ci-dessus. L’idée centrale est la suivante :
- une flèche donne une information locale (souvent “sachant …”),
- un parcours correspond à un “ET” : on multiplie,
- un cas correspond souvent à un “OU” (plusieurs parcours) : on additionne.
Ce que je peux lire sur une branche (probabilité locale)
Depuis le nœud où \(R\) est déjà arrivé à la 1re extraction, la flèche vers \(B\) porte :
\(P(B\mid R)=\frac{2}{4}\)Lecture : “si la première boule est \(R\), alors la chance que la seconde soit \(B\) vaut \(\frac{2}{4}\).”
Ce que je peux calculer sur un parcours complet (ET) : produit
Le parcours “\(R\) puis \(B\)” correspond à :
\(R\cap B\)Et on calcule :
\(P(R\cap B)=P(R)\times P(B\mid R)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{6}{20}\)De même, le parcours “\(B\) puis \(R\)” correspond à :
\(B\cap R\)Et :
\(P(B\cap R)=P(B)\times P(R\mid B)=\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{20}\)Ce que je dois reconstituer (OU) : addition de parcours
Le cas “exactement un \(R\)” correspond à deux parcours disjoints :
- \(R\cap B\),
- \(B\cap R\).
Donc :
\(P(\text{exactement un }R)=P(R\cap B)+P(B\cap R)=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}\)Cas fréquents : “au moins un”, “exactement un”, “seulement si”
- Exactement un : souvent une addition de deux parcours (comme ci-dessus).
- Au moins un : souvent plus rapide via le complément (voir calculer une probabilité).
- Seulement si : traduis d’abord en logique, puis en parcours (attention à ne pas inverser le sens).
Pourquoi ce type d’arbre prépare la “probabilité totale” et Bayes
Quand tu additionnes des parcours correspondant à une partition (ex : \(A\) ou \(\overline{A}\)), tu obtiens une écriture globale du type :
\(P(B)=P(A)\times P(B\mid A)+P(\overline{A})\times P(B\mid \overline{A})\)Cette structure est omniprésente dans les exercices avancés, en particulier dès qu’on touche aux lois usuelles et aux outils de statistique.
Pièges fréquents (et contrôles de cohérence niveau prépa)
Branches mal alignées / mauvais niveaux (événement inversé)
Le problème n’est pas le schéma : c’est l’ordre. Si tu mets le “test” avant la “maladie”, tu te forces à inventer des valeurs qui ne sont pas celles de l’énoncé.
Confusion “équiprobable” vs “pondéré”
Ne confonds pas :
- “je compte des cas” (équiprobable),
- “je multiplie des valeurs sur des flèches” (pondéré).
Oublier que le niveau 2 est conditionnel
Si tu écris au niveau 2 une valeur “comme si rien ne s’était passé avant”, tu perds l’information principale.
Erreur classique. Écrire \(P(B)\) sur une flèche qui part du nœud “où \(A\) est déjà arrivé”. Dans ce cas, la flèche porte \(P(B\mid A)\).
Deux vérifications rapides qui évitent 90% des erreurs :
- à chaque nœud, l’addition des flèches vaut \(1\) ;
- toutes les valeurs sont entre 0 et 1 : 0 < \(P(\cdot)\) < 1 (avec les cas extrêmes possibles).
Exemple complet — Test / fiabilité : construire l’arbre et répondre aux questions
Énoncé. Une maladie touche \(1\%\) de la population. Un test est positif dans \(95\%\) des cas si la personne est malade, et positif dans \(2\%\) des cas si la personne n’est pas malade. On note \(M\) : “malade”, \(\overline{M}\) : “non malade”, \(T\) : “test positif”.
Remarque. C’est un grand classique en statistique et dans les statistiques médicales : l’arbre sert à organiser proprement les informations.
Arbre (ordre logique). Niveau 1 : état de santé. Niveau 2 : résultat du test.
Données lues sur les flèches.
- \(P(M)=0.01\) et \(P(\overline{M})=0.99\),
- \(P(T\mid M)=0.95\),
- \(P(T\mid \overline{M})=0.02\).
1) Calculer \(P(T)\) (test positif).
Deux parcours mènent à \(T\), donc :
\(P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T)\) \(P(M\cap T)=P(M)\times P(T\mid M)=0.01\times 0.95=0.0095\) \(P(\overline{M}\cap T)=P(\overline{M})\times P(T\mid \overline{M})=0.99\times 0.02=0.0198\)Donc :
\(P(T)=0.0095+0.0198=0.0293\)2) Bonus (classique) : \(P(M\mid T)\).
Ici, on “remonte” l’information. On utilise :
\(P(M\mid T)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}\)Donc :
\(P(M\mid T)=\frac{0.0095}{0.0293}\approx 0.32\)Interprétation. Même avec un test “assez bon”, un test positif ne signifie pas automatiquement “malade” : la fréquence de la maladie (ici \(1\%\)) joue un rôle décisif. C’est exactement pour ça que ces questions sont centrales en statistiques.
Pour aller plus loin : ces mécanismes apparaissent aussi dans plusieurs lois et modèles utilisés en lycée et en début de prépa.
Exercices progressifs (corrigés) pour automatiser
Tu peux t’entraîner ici avec des corrections en accordéon. Et pour une banque complète (tous niveaux), va sur exercices de probabilités corrigés.
Exercice 1 — Probabilité d’un parcours (ET)
Schéma.
Énoncé. Un arbre donne \(P(A)=0.4\) puis \(P(B\mid A)=0.7\). Calculer \(P(A\cap B)\).
Correction. Un parcours = “ET”, donc :
\(P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)=0.4\times 0.7=0.28\)Exercice 2 — Probabilité d’un cas (OU) : addition de parcours
Schéma.
Énoncé. Dans cet arbre, on veut calculer \(P(B)\).
Correction. Le cas \(B\) correspond à deux parcours disjoints :
\(B=(A\cap B)\cup(\overline{A}\cap B)\)Donc :
\(P(B)=P(A)\times P(B\mid A)+P(\overline{A})\times P(B\mid \overline{A})\) \(P(B)=0.6\times 0.3+0.4\times 0.3=0.18+0.12=0.30\)Exercice 3 — “Exactement un succès” sur 2 étapes
Schéma.
Énoncé. Une machine réussit une opération avec probabilité \(0.8\) à chaque essai (même valeur à chaque étape). On fait 2 essais. Calculer la probabilité d’avoir exactement une réussite.
Correction. Deux parcours : réussite puis échec, ou échec puis réussite.
\(P(\text{exactement une réussite})=0.8\times 0.2+0.2\times 0.8=0.32\)FAQ : réponses courtes aux questions qui reviennent
Arbre ou tableau : quand choisir ?
Choisis un arbre quand l’expérience est séquentielle (“d’abord…, puis…”) et que les probabilités peuvent dépendre du premier résultat. Un tableau est souvent pratique quand tu veux croiser deux variables en une seule vue (par exemple \(A\)/\(\overline{A}\) en ligne et \(B\)/\(\overline{B}\) en colonne).
Peut-on faire un arbre à 3 niveaux ?
Oui, si l’expérience comporte trois étapes. Mais au lycée, il faut rester très rigoureux : chaque niveau 3 doit être conditionnel à tout ce qui précède. Si le schéma devient trop lourd, vérifie si une autre méthode est plus simple (voir calculer une probabilité).
Comment trouver une valeur manquante ?
Deux techniques rapides :
- Addition à 1 sur un nœud : si deux flèches partent du même nœud, leur addition vaut \(1\).
- Addition de parcours : écris une probabilité globale (comme \(P(B)\)) en additionnant les parcours qui mènent à \(B\), puis résous.
À quel moment utiliser Bayes ?
Quand tu veux “inverser” une information, par exemple passer de \(P(T\mid M)\) à \(P(M\mid T)\). Dans les exercices de fiabilité, l’arbre sert souvent à calculer d’abord \(P(M\cap T)\) et \(P(T)\), puis à en déduire une conditionnelle.
À retenir. Un arbre pondéré n’est pas un dessin : c’est un raisonnement structuré. Si tu appliques systématiquement “parcours = produit” et “cas = addition de parcours”, tu élimines l’essentiel des erreurs. Et si tu veux t’entraîner sérieusement, va sur exercices de probabilités corrigés.
