Un arbre de probabilité (ou arbre pondéré) est la méthode la plus sûre dès qu’une situation se déroule en plusieurs étapes (sélections successives, choix puis test, deux événements qui s’enchaînent…). Bien maîtrisé, il permet de construire le raisonnement, puis de lire et calculer des probabilités sans se perdre dans les formules.

Sur cette page, tu trouveras une méthode claire (niveau Première / Terminale, avec un niveau d’exigence « début prépa ») et des exercices corrigés.

Navigation — Chapitre Probabilités

Les 3 règles de l’arbre pondéré (référence rapide)

  • Nœud : la somme des probabilités des branches qui en partent vaut \(1\).
  • Chemin : on multiplie les probabilités le long d’un chemin (= « ET »).
  • Événement : on additionne les chemins qui mènent à cet événement (= « OU »).

Arbre de probabilité : à quoi ça sert exactement ?

Quand l’arbre est la meilleure méthode

Tu utilises un arbre quand :

  • l’expérience aléatoire se déroule en étapes successives (ex : « d’abord…, puis… »),
  • les probabilités du second choix dépendent du premier (tirage sans remise, test médical…),
  • ou quand on te donne des informations de type « si…, alors… » (fiabilité d’un test, contrôle qualité, diagnostic).

Ce que l’arbre te donne directement vs ce qu’il faut calculer

Ce schéma à poids te donne une représentation structurée : les événements possibles, les probabilités sur les flèches (souvent des probabilités conditionnelles) et une lecture de toutes les issues possibles sous forme de chemins.

En revanche, tu dois encore savoir calculer \(P(\text{chemin})\) (produit), calculer \(P(\text{événement})\) (addition de chemins) et vérifier que la construction est cohérente (somme des flèches au même nœud = \(1\)).

Définition. Un arbre de probabilité est un schéma où chaque flèche porte une probabilité, et où la somme des probabilités des flèches issues d’un même nœud vaut \(1\). Un chemin complet correspond à une suite de « ET » (intersection).

Arbre des possibles vs arbre pondéré : la différence qui fait gagner des points

Arbre des possibles (comptage) : quand tout est équiprobable

Un arbre des possibles sert surtout en dénombrement : on liste toutes les possibilités et on compte. Il fonctionne bien si les possibilités sont équiprobables.

Dans ce cas, on utilise : \(P(A) = \displaystyle\frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\).

Exemple : arbre des possibles. Deux lancers d’une pièce — on liste les possibilités (sans probabilités sur les flèches).

Arbre des possibles : deux lancers d'une pièce, 4 issues PP, PF, FP, FF

Arbre de probabilité (pondéré) : quand les flèches ont des poids

Un arbre de probabilité (pondéré) est indispensable dès que les possibilités ne sont pas équiprobables, que les probabilités changent au cours des étapes (tirage sans remise), ou quand on te donne directement des probabilités conditionnelles.

Exemple : arbre pondéré. On écrit des probabilités sur les flèches (conditionnelles au niveau 2).

Arbre de probabilité pondéré : A et non A au niveau 1, B et non B au niveau 2 avec probabilités

Arbre des possibles vs arbre pondéré : choisir la bonne méthode
Type d’arbre Ce qu’on écrit sur les flèches Quand l’utiliser Calcul typique
Arbre des possibles Possibilités / choix (sans probabilités) Possibilités équiprobables \(\displaystyle\frac{\text{favorables}}{\text{possibles}}\)
Arbre pondéré Probabilités (souvent conditionnelles) Non-équiprobable / dépendance Produit sur un chemin, addition de chemins

Mini-check : comment reconnaître lequel utiliser

  • Si on te dit « toutes les possibilités sont équiprobables » : arbre des possibles (ou dénombrement direct via calculer une probabilité).
  • Si on te donne des probabilités sur des étapes (« d’abord », « puis », « si… ») : arbre pondéré.
  • Si les probabilités changent après un premier résultat (tirage sans remise, changement d’état) : arbre pondéré.

Vocabulaire indispensable : nœud, branche, chemin, niveau

Chemin = intersection (idée clé)

Dans un arbre pondéré, un chemin correspond à une succession d’événements réalisés. Mathématiquement, c’est un « ET » :

Si un chemin correspond à « d’abord \(A\), puis \(B\) », alors il représente \(A \cap B\).

Traduction immédiate :

  • Chemin = « ET » = \(\cap\) → on multiplie
  • Événement formé de plusieurs chemins = « OU » → on additionne

Niveau 2 = probabilités conditionnelles

Sur un arbre, les flèches du niveau 1 portent des probabilités « directes » (ex : \(P(A)\)). Les flèches du niveau 2 portent des probabilités conditionnelles du type « probabilité de \(B\) sachant \(A\) » : \(P(B\mid A)\).

À retenir. Une flèche qui part d’un nœud « où \(A\) est déjà arrivé » porte naturellement une probabilité conditionnelle : \(P(\,\cdot\mid A)\).

Construire un arbre pondéré en 4 étapes (méthode pas à pas)

Exemple fil rouge. Une urne contient 3 boules roses et 2 boules bleues. On tire 2 boules sans remise. On note \(R\) : « rose », \(B\) : « bleue ».

Étape 1 — Choisir les niveaux (ordre logique des événements)

Identifie les étapes de l’expérience (au maximum 2 ou 3 au lycée). Pose-les dans l’ordre : « d’abord » = niveau 1, « puis » = niveau 2.

Ici : niveau 1 = 1re extraction, niveau 2 = 2e extraction.

Étape 1 : structure des niveaux (sans détails).

Structure d'un arbre de probabilité à deux niveaux, sans étiquettes

Étape 2 — Tracer les branches (sans en mettre trop)

À chaque niveau, garde seulement les possibilités nécessaires : un événement et son contraire, ou une partition simple (ex : \(R\) / \(B\)).

Étape 2 : branches nommées, sans probabilités.

Arbre de probabilité avec étiquettes R et B, sans probabilités

Piège classique. Ajouter trop de possibilités « pour faire joli » : l’arbre devient illisible et tu perds le fil. Une bonne construction est minimale.

Étape 3 — Remplir le niveau 1 (probabilités directes)

Sur les flèches de niveau 1, écris les probabilités « brutes » (non conditionnelles). Ici :

\(P(R) = \displaystyle\frac{3}{5}\) et \(P(B) = \displaystyle\frac{2}{5}\).

Étape 3 : niveau 1 complété.

Arbre de probabilité avec probabilités 3/5 et 2/5 au niveau 1

Vérifie immédiatement : \(\displaystyle\frac{3}{5} + \displaystyle\frac{2}{5} = 1\). ✓

Étape 4 — Remplir le niveau 2 (probabilités conditionnelles)

Pour chaque nœud du niveau 1, tu es « dans le cas où… ». Tu dois écrire des probabilités conditionnelles. Demande-toi : « sachant ce qui vient d’arriver, qu’est-ce qui reste ? »

  • Après \(R\) : il reste 2 roses et 2 bleues sur 4, donc \(P(R\mid R) = \displaystyle\frac{2}{4}\) et \(P(B\mid R) = \displaystyle\frac{2}{4}\).
  • Après \(B\) : il reste 3 roses et 1 bleue sur 4, donc \(P(R\mid B) = \displaystyle\frac{3}{4}\) et \(P(B\mid B) = \displaystyle\frac{1}{4}\).

Étape 4 : arbre complet (tirage sans remise).

Arbre de probabilité complet d'une urne avec tirage sans remise : probabilités conditionnelles au niveau 2

Contrôle express : à chaque nœud, l’addition des flèches vaut \(1\) (ex : \(\displaystyle\frac{2}{4} + \displaystyle\frac{2}{4} = 1\)).

Lire un arbre de probabilité : ce que je lis et ce que je calcule

On reprend l’arbre complet de l’urne ci-dessus.

Ce que je lis sur une branche (probabilité locale)

Depuis le nœud où \(R\) est déjà arrivé, la flèche vers \(B\) porte \(P(B\mid R) = \displaystyle\frac{2}{4}\). Lecture : « si la première boule est rose, alors la probabilité que la seconde soit bleue vaut \(\displaystyle\frac{2}{4}\). »

Ce que je calcule sur un chemin complet (ET) : produit

Le chemin « \(R\) puis \(B\) » correspond à \(R \cap B\) :

\(P(R \cap B) = P(R) \times P(B\mid R) = \displaystyle\frac{3}{5} \times \displaystyle\frac{2}{4} = \displaystyle\frac{6}{20}\)

De même, le chemin « \(B\) puis \(R\) » :

\(P(B \cap R) = P(B) \times P(R\mid B) = \displaystyle\frac{2}{5} \times \displaystyle\frac{3}{4} = \displaystyle\frac{6}{20}\)

Ce que je reconstitue (OU) : addition de chemins

L’événement « exactement un \(R\) » correspond à deux chemins disjoints : \(R \cap B\) et \(B \cap R\). Donc :

\(P(\text{exactement un } R) = \displaystyle\frac{6}{20} + \displaystyle\frac{6}{20} = \displaystyle\frac{12}{20} = \displaystyle\frac{3}{5}\)

Cas fréquents : « au moins un », « exactement un »

Pourquoi l’arbre prépare la probabilité totale et Bayes

Quand tu additionnes des chemins correspondant à une partition (ex : \(A\) ou \(\overline{A}\)), tu obtiens :

\(P(B) = P(A)\,P(B\mid A) + P(\overline{A})\,P(B\mid \overline{A})\)

C’est exactement la formule des probabilités totales. Et si tu veux « inverser » pour trouver \(P(A\mid B)\), tu utilises la formule de Bayes.

Pièges fréquents (et contrôles de cohérence)

Branches mal alignées / mauvais niveaux

Le problème n’est pas le schéma : c’est l’ordre. Si tu mets le « test » avant la « maladie », tu te forces à inventer des probabilités qui ne sont pas celles de l’énoncé.

Confusion « équiprobable » vs « pondéré »

Ne confonds pas « je compte des cas » (équiprobable) et « je multiplie des probabilités sur des flèches » (pondéré).

Oublier que le niveau 2 est conditionnel

Erreur classique. Écrire \(P(B)\) sur une flèche qui part du nœud « où \(A\) est déjà arrivé ». Dans ce cas, la flèche porte \(P(B\mid A)\), pas \(P(B)\). Pour le cours complet sur les conditionnelles : Probabilité conditionnelle.

Deux vérifications rapides qui évitent 90 % des erreurs :

  • à chaque nœud, l’addition des flèches vaut \(1\) ;
  • toutes les probabilités sont entre 0 et 1.

Exemple complet — Test médical : construire l’arbre et répondre aux questions

Énoncé. Une maladie touche \(1\,\%\) de la population. Un test est positif dans \(95\,\%\) des cas si la personne est malade, et positif dans \(2\,\%\) des cas si la personne n’est pas malade. On note \(M\) : « malade », \(\overline{M}\) : « non malade », \(T\) : « test positif ».

Arbre (ordre logique). Niveau 1 : état de santé. Niveau 2 : résultat du test.

Arbre de probabilité d'un test médical : malade ou non malade, puis test positif ou négatif avec probabilités

Données lues sur les flèches : \(P(M) = 0{,}01\), \(P(\overline{M}) = 0{,}99\), \(P(T\mid M) = 0{,}95\), \(P(T\mid \overline{M}) = 0{,}02\).

1) Calculer \(P(T)\) (test positif).

Deux chemins mènent à \(T\) (probabilités totales) :

\(P(M \cap T) = 0{,}01 \times 0{,}95 = 0{,}0095\)
\(P(\overline{M} \cap T) = 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0198\)
\(P(T) = 0{,}0095 + 0{,}0198 = 0{,}0293\)

2) Bonus (classique) : \(P(M\mid T)\).

On « remonte » l’information avec la formule de Bayes :

\(P(M\mid T) = \displaystyle\frac{P(M \cap T)}{P(T)} = \displaystyle\frac{0{,}0095}{0{,}0293} \approx 0{,}32\)

Interprétation : même avec un test « assez bon », un test positif ne signifie pas automatiquement « malade » : la faible prévalence (\(1\,\%\)) joue un rôle décisif.

Exercices corrigés : arbre de probabilité

3 exercices progressifs pour automatiser « chemin = produit, événement = addition ». Pour une banque complète : exercices de probabilités corrigés (tous niveaux).

Exercice 1 — Probabilité d’un chemin (ET).

Arbre de probabilité exercice 1 : P(A) = 0,4 puis P(B sachant A) = 0,7

L’arbre donne \(P(A) = 0{,}4\) puis \(P(B\mid A) = 0{,}7\). Calculer \(P(A \cap B)\).

▶ Voir la correction

Un chemin = « ET », donc on multiplie :

\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B\mid A) = 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}28\).

Exercice 2 — Probabilité d’un événement (OU) : addition de chemins.

Arbre de probabilité exercice 2 : P(A) = 0,6, P(B sachant A) = 0,3

On veut calculer \(P(B)\).

▶ Voir la correction

\(B\) correspond à deux chemins disjoints : \((A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B)\). Donc :

\(P(B) = P(A)\,P(B\mid A) + P(\overline{A})\,P(B\mid \overline{A}) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}18 + 0{,}12 = 0{,}30\).

(C’est exactement la formule des probabilités totales.)

Exercice 3 — « Exactement un succès » sur 2 étapes.

Arbre de probabilité exercice 3 : deux essais indépendants, succès 0,8 et échec 0,2

Une machine réussit une opération avec probabilité \(0{,}8\) à chaque essai (indépendant). On fait 2 essais. Calculer la probabilité d’avoir exactement une réussite.

▶ Voir la correction

Deux chemins : succès puis échec, ou échec puis succès.

\(P(\text{exactement un succès}) = 0{,}8 \times 0{,}2 + 0{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}16 + 0{,}16 = 0{,}32\).

Pour des exercices plus avancés par niveau : 3e · Seconde · Terminale.

Questions fréquentes sur l’arbre de probabilité


Comment construire un arbre de probabilité ?

En 4 étapes : (1) identifie les niveaux (ordre des événements), (2) trace les branches (une partition par nœud), (3) remplis le niveau 1 avec les probabilités directes, (4) remplis le niveau 2 avec les probabilités conditionnelles. Vérifie à chaque nœud que les branches somment à 1.


C'est quoi un arbre pondéré ?

Un arbre pondéré est un arbre de probabilité dont les branches portent des probabilités (des « poids »). On le distingue de l’arbre des possibles (qui liste les cas sans probabilités). L’arbre pondéré est indispensable dès que les probabilités ne sont pas équiprobables ou dépendent des étapes précédentes.


Peut-on faire un arbre à 3 niveaux ?

Oui, si l’expérience comporte trois étapes successives. La règle est la même : chaque flèche de niveau 3 porte une probabilité conditionnelle sachant tout ce qui précède. Attention : l’arbre peut devenir lourd (8 feuilles minimum). Si c’est trop complexe, vérifie si une autre méthode est plus simple (voir calculer une probabilité).


Comment trouver une probabilité manquante sur un arbre ?

Deux techniques : (1) la somme des branches partant d’un même nœud vaut 1, donc la branche manquante = 1 moins les autres ; (2) pour une probabilité globale, additionne les chemins qui mènent à l’événement et résous l’équation.


Arbre ou tableau : quand choisir ?

Choisis un arbre quand l’expérience est séquentielle (« d’abord…, puis… ») et que les probabilités dépendent du premier résultat. Un tableau est souvent plus pratique quand tu veux croiser deux variables en une seule vue (voir les méthodes dans probabilité conditionnelle).


Quel lien entre arbre de probabilité et formule de Bayes ?

L’arbre te permet de calculer \(P(A \cap B)\) (chemin = produit) et \(P(B)\) (addition de chemins = probabilité totale). Ensuite, pour « inverser » et trouver \(P(A\mid B)\), tu fais le quotient : c’est la formule de Bayes.


Pour aller plus loin

Tu veux progresser rapidement en probabilités ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le lycée, avec un professeur diplômé de Polytechnique.