Théorème Spectral : Énoncé, Démonstrations et Exercices Corrigés

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Le théorème spectral est l’aboutissement du chapitre « espaces euclidiens » en classes préparatoires. Il garantit que tout endomorphisme auto-adjoint d’un espace euclidien se diagonalise en base orthonormée — un résultat dont les conséquences traversent l’algèbre bilinéaire, l’analyse numérique et les sciences des données. Tu trouveras ici l’énoncé complet, deux démonstrations comparées (récurrence et quotient de Rayleigh), la méthode de diagonalisation orthogonale en 4 étapes, et trois exercices type concours corrigés pas à pas.

I. Rappels : espace euclidien et endomorphismes auto-adjoints

A. Espace euclidien et produit scalaire

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel \(E\) de dimension finie, muni d’un produit scalaire \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) — c’est-à-dire d’une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Ce produit scalaire induit une norme \(\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) et une notion d’orthogonalité : \(x \perp y \iff \langle x, y \rangle = 0\). On dit qu’une base \(\mathcal{B} = (e_1, \ldots, e_n)\) est orthonormée (abrégé BON) si \(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\).

Tout espace euclidien admet une BON, constructible par le procédé de Gram-Schmidt.

B. Endomorphismes auto-adjoints

Traduction matricielle. Si \(\mathcal{B}\) est une BON de \(E\) et \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\), alors :

\(u \text{ auto-adjoint} \iff A = A^T \iff A \in S_n(\mathbb{R})\)

Autrement dit, les endomorphismes auto-adjoints correspondent exactement aux matrices symétriques réelles en base orthonormée. Cette équivalence est le pont entre le formalisme abstrait et le calcul matriciel concret.

Les deux propriétés clés dont nous aurons besoin sont démontrées en section III (lemmes fondamentaux) :

1. Toutes les valeurs propres d’un endomorphisme auto-adjoint sont réelles.
2. Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

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II. Énoncé du théorème spectral

A. Théorème spectral en dimension finie

Autrement dit, dans la BON de vecteurs propres, la matrice de \(u\) est diagonale :

\(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\)

avec \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}\) (les valeurs propres, comptées avec multiplicité).

B. Version matricielle : matrices symétriques réelles

La matrice \(P\) est la matrice de passage de la base canonique vers la BON de vecteurs propres. Puisque \(P \in O_n(\mathbb{R})\), on a \(P^{-1} = P^T\), ce qui simplifie considérablement les calculs.

C. Caractérisation : quand un endomorphisme est-il diagonalisable en BON ?

Le théorème spectral admet une réciproque (en dimension finie réelle) :

Sens (1) ⟹ (2). Si \(u\) se diagonalise dans une BON \((e_1, \ldots, e_n)\), alors \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) avec \(\lambda_i \in \mathbb{R}\). Cette matrice est symétrique, donc \(u\) est auto-adjoint.

Sens (2) ⟹ (1). C’est précisément le théorème spectral.

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III. Démonstrations du théorème spectral

Nous présentons d’abord les deux lemmes fondamentaux (utilisés dans les deux preuves), puis la démonstration par récurrence (⋆ exigible) et la démonstration par le quotient de Rayleigh.

A. Lemmes fondamentaux

Démonstration. Soit \(A \in S_n(\mathbb{R})\) la matrice de \(u\) dans une BON. Soit \(\lambda \in \mathbb{C}\) une racine de \(\chi_A\) et \(v \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}\) tel que \(Av = \lambda v\).

Considérons le produit hermitien canonique sur \(\mathbb{C}^n\) : \(\langle x, y \rangle_{\mathbb{C}} = \overline{x}^{\,T} y\). On calcule :

\(\langle Av, v \rangle_{\mathbb{C}} = \langle \lambda v, v \rangle_{\mathbb{C}} = \overline{\lambda} \, \|v\|^2\)

D’autre part, puisque \(A\) est réelle et \(A = A^T\) :

\(\langle v, Av \rangle_{\mathbb{C}} = \overline{v}^{\,T}(Av) = \overline{v}^{\,T} \lambda v = \lambda \, \|v\|^2\)

Or \(\langle Av, v \rangle_{\mathbb{C}} = \overline{v}^{\,T} A^T v = \overline{v}^{\,T} A v = \langle v, Av \rangle_{\mathbb{C}}\) (car \(A = A^T\) à coefficients réels). On obtient \(\overline{\lambda} = \lambda\), donc \(\lambda \in \mathbb{R}\). ∎

Démonstration. Soient \(x \in E_\lambda(u)\) et \(y \in E_\mu(u)\). On a :

\(\lambda \langle x, y \rangle = \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle = \mu \langle x, y \rangle\)

D’où \((\lambda – \mu) \langle x, y \rangle = 0\). Puisque \(\lambda \neq \mu\), on conclut \(\langle x, y \rangle = 0\). ∎

B. Démonstration par récurrence sur la dimension ⋆

Cette démonstration est exigible aux concours (marquée ⋆ dans les programmes MP, PSI, PC).

Démonstration. On raisonne par récurrence sur \(n = \dim E\).

Initialisation (\(n = 1\)). L’endomorphisme \(u\) est une homothétie \(u = \lambda \, \mathrm{Id}_E\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\). Tout vecteur unitaire \(e_1\) constitue une BON de vecteurs propres.

Hérédité. Supposons le résultat vrai pour tout espace euclidien de dimension \(\leq n – 1\). Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) de dimension \(n\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint.

Étape 1 — Existence d’une valeur propre réelle. Le polynôme caractéristique \(\chi_u \in \mathbb{R}[X]\) est de degré \(n \geq 1\) : par le théorème de d’Alembert-Gauss, il admet une racine \(\lambda_1 \in \mathbb{C}\). Par le lemme 1, \(\lambda_1 \in \mathbb{R}\).

Étape 2 — Vecteur propre unitaire. Soit \(x_1 \in E_{\lambda_1}(u) \setminus \{0\}\). On pose \(e_1 = \displaystyle\frac{x_1}{\|x_1\|}\). On a \(u(e_1) = \lambda_1 e_1\) et \(\|e_1\| = 1\).

Étape 3 — Stabilité du supplémentaire orthogonal. Posons \(F = (\mathbb{R} e_1)^\perp = \{y \in E : \langle y, e_1 \rangle = 0\}\). C’est un sous-espace vectoriel de dimension \(n – 1\). Montrons que \(F\) est stable par \(u\) : pour tout \(y \in F\),

\(\langle u(y), e_1 \rangle = \langle y, u(e_1) \rangle = \langle y, \lambda_1 e_1 \rangle = \lambda_1 \langle y, e_1 \rangle = 0\)

Donc \(u(y) \in F\). L’endomorphisme \(u|_F \in \mathcal{L}(F)\) est bien défini.

Étape 4 — Auto-adjonction de la restriction. Pour tous \(y, z \in F\) :

\(\langle u|_F(y), z \rangle = \langle u(y), z \rangle = \langle y, u(z) \rangle = \langle y, u|_F(z) \rangle\)

Donc \(u|_F\) est auto-adjoint sur l’espace euclidien \((F, \langle \cdot, \cdot \rangle|_F)\) de dimension \(n – 1\).

Étape 5 — Application de l’hypothèse de récurrence. Par hypothèse de récurrence, il existe une BON \((e_2, \ldots, e_n)\) de \(F\) formée de vecteurs propres de \(u|_F\).

Conclusion. La famille \((e_1, e_2, \ldots, e_n)\) est une BON de \(E\) (car \(e_1 \perp F\) et \((e_2, \ldots, e_n)\) est une BON de \(F\)) formée de vecteurs propres de \(u\). ∎

C. Démonstration par le quotient de Rayleigh

Cette seconde démonstration construit directement un vecteur propre par optimisation, sans invoquer le lemme 1 séparément.

Démonstration. On raisonne à nouveau par récurrence sur \(n = \dim E\). L’initialisation est identique. Pour l’hérédité :

Étape 1 — Optimisation sur la sphère unité. La sphère unité \(S = \{x \in E : \|x\| = 1\}\) est un compact de \(E\) (fermé borné en dimension finie). La fonction \(\varphi : x \mapsto \langle u(x), x \rangle\) est continue sur \(S\). Par le théorème des bornes atteintes, \(\varphi\) atteint son maximum en un point \(e_1 \in S\). Notons \(M = \varphi(e_1)\).

Étape 2 — \(e_1\) est un vecteur propre. Pour tout \(y \in E\) et \(t \in \mathbb{R}\) assez petit, posons :

\(g(t) = \displaystyle\frac{\langle u(e_1 + ty), e_1 + ty \rangle}{\|e_1 + ty\|^2}\)

La fonction \(g\) atteint son maximum en \(t = 0\) (car \(g(0) = M = \max_S \varphi\) et \(g(t) = \varphi\!\left(\displaystyle\frac{e_1 + ty}{\|e_1 + ty\|}\right) \leq M\)). Donc \(g^\prime(0) = 0\).

Or, en développant le numérateur et le dénominateur au voisinage de \(t = 0\) :

\(g^\prime(0) = 2\langle u(e_1), y \rangle – 2M \langle e_1, y \rangle = 2\langle u(e_1) – M e_1, y \rangle\)

Comme ceci vaut \(0\) pour tout \(y \in E\), on conclut \(u(e_1) = M e_1\). Le vecteur \(e_1\) est un vecteur propre de valeur propre \(M \in \mathbb{R}\).

Étape 3. On conclut exactement comme dans la démonstration par récurrence : on pose \(F = (\mathbb{R} e_1)^\perp\), on vérifie que \(F\) est stable par \(u\) et que \(u|_F\) est auto-adjoint, puis on applique l’hypothèse de récurrence. ∎

D. Quelle démonstration retenir en kholle ?

Tu maîtrises maintenant deux preuves du théorème spectral. Voici un comparatif pour choisir la bonne selon le contexte :

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IV. Méthode : diagonaliser une matrice symétrique en BON

Le théorème spectral garantit l’existence de la diagonalisation orthogonale. Voici comment la calculer explicitement.

A. Méthode en 4 étapes

B. Exemple résolu — matrice symétrique 2×2

C. Exemple résolu — matrice symétrique 3×3 avec Gram-Schmidt

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V. Exercices corrigés

Trois exercices progressifs : entraînement première année, kholle de deuxième année, et exercice de concours.

Exercice 1 (★ — Entraînement MPSI/PCSI) — Durée estimée : 15 min

Diagonaliser en base orthonormée la matrice \(A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}\).

Voir la correction

Étape 1. \(A = A^T\) ✓ : le théorème spectral s’applique.

Étape 2. \(\chi_A(\lambda) = (5 – \lambda)(2 – \lambda) – 4 = \lambda^2 – 7\lambda + 6 = (\lambda – 1)(\lambda – 6)\)

Valeurs propres : \(\lambda_1 = 1\) et \(\lambda_2 = 6\).

Étape 3.

• \(E_1 = \ker \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
• \(E_6 = \ker \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Vérification d’orthogonalité : \(\langle (1, 2), (2, -1) \rangle = 2 – 2 = 0\) ✓ (automatique par le lemme 2).

Étape 4. Normalisation :

\(e_1 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad e_2 = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Conclusion :

\(P = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \in O_2(\mathbb{R}), \quad P^T A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}\)

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Exercice 2 (★★★ — Kholle MP/PSI) — Durée estimée : 25 min

Soient \(A, B \in S_n(\mathbb{R})\) telles que \(AB = BA\). Montrer que \(A\) et \(B\) sont simultanément diagonalisables dans une même BON : il existe \(P \in O_n(\mathbb{R})\) telle que \(P^TAP\) et \(P^TBP\) sont toutes deux diagonales.

Voir la correction

Étape 1 — Diagonalisation orthogonale de \(A\). Par le théorème spectral, il existe \(Q \in O_n(\mathbb{R})\) telle que \(Q^TAQ = D_A = \mathrm{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)\) avec \(\mu_i \in \mathbb{R}\).

Posons \(B^\prime = Q^TBQ\). Comme \(Q\) est orthogonale et \(B\) est symétrique, \(B^\prime\) est symétrique : \((B^\prime)^T = Q^TB^TQ = Q^TBQ = B^\prime\).

Étape 2 — Commutation dans la nouvelle base. La condition \(AB = BA\) donne, après conjugaison par \(Q\) :

\(D_A B^\prime = Q^T A Q \cdot Q^T B Q = Q^T A B Q = Q^T B A Q = B^\prime D_A\)

Étape 3 — Structure de \(B^\prime\). La relation \(D_A B^\prime = B^\prime D_A\) donne, coefficient par coefficient :

\(\mu_i \, b^\prime_{ij} = \mu_j \, b^\prime_{ij} \quad \text{pour tout } (i, j)\)

Si \(\mu_i \neq \mu_j\), alors \(b^\prime_{ij} = 0\). Donc \(B^\prime\) est bloc-diagonale, les blocs correspondant aux sous-espaces propres de \(A\).

Étape 4 — Diagonalisation par blocs. Notons \(\alpha_1, \ldots, \alpha_p\) les valeurs propres distinctes de \(A\) et \(d_k = \dim E_{\alpha_k}\). Le bloc de \(B^\prime\) associé à \(\alpha_k\) est une matrice \(B_k \in S_{d_k}(\mathbb{R})\). Par le théorème spectral, chaque \(B_k\) se diagonalise en BON : il existe \(R_k \in O_{d_k}(\mathbb{R})\) telle que \(R_k^T B_k R_k\) est diagonale.

La matrice \(R = \mathrm{diag}(R_1, \ldots, R_p) \in O_n(\mathbb{R})\) satisfait :

• \(R^T D_A R = D_A\) (car \(R\) agit à l’intérieur de chaque espace propre de \(A\))
• \(R^T B^\prime R\) est diagonale.

Conclusion. La matrice \(P = QR \in O_n(\mathbb{R})\) vérifie \(P^TAP = D_A\) et \(P^TBP = R^TB^\prime R\) diagonal. ∎

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Exercice 3 (★★★★★ — D’après oral X-ENS MP) — Durée estimée : 40 min

Soit \((E, \langle \cdot, \cdot \rangle)\) un espace euclidien de dimension \(n\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\) un endomorphisme auto-adjoint positif, c’est-à-dire tel que \(\forall x \in E, \; \langle u(x), x \rangle \geq 0\).

1. Montrer que toutes les valeurs propres de \(u\) sont positives ou nulles.
2. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme auto-adjoint positif \(v \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(v^2 = u\). On l’appelle racine carrée positive de \(u\) et on le note \(\sqrt{u}\).
3. Montrer que \(v\) commute avec tout endomorphisme qui commute avec \(u\).

Voir la correction

(a) Positivité des valeurs propres.

Par le théorème spectral, \(u\) se diagonalise dans une BON \((e_1, \ldots, e_n)\) avec \(u(e_i) = \lambda_i e_i\). Pour chaque \(i\) :

\(\lambda_i = \lambda_i \|e_i\|^2 = \langle u(e_i), e_i \rangle \geq 0\)

Donc \(\lambda_i \geq 0\) pour tout \(i\). ∎

(b) Existence et unicité de la racine carrée positive.

Existence. Par le théorème spectral, fixons une BON \((e_1, \ldots, e_n)\) de vecteurs propres de \(u\), avec \(u(e_i) = \lambda_i e_i\) et \(\lambda_i \geq 0\) (d’après (a)). Définissons \(v \in \mathcal{L}(E)\) par \(v(e_i) = \sqrt{\lambda_i} \, e_i\).

• \(v\) est auto-adjoint : sa matrice dans la BON \((e_i)\) est \(\mathrm{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})\), qui est symétrique.
• \(v\) est positif : ses valeurs propres \(\sqrt{\lambda_i} \geq 0\).
• \(v^2 = u\) : pour tout \(i\), \(v^2(e_i) = v(\sqrt{\lambda_i} \, e_i) = \sqrt{\lambda_i} \cdot \sqrt{\lambda_i} \, e_i = \lambda_i \, e_i = u(e_i)\).

Unicité. Soit \(w \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint positif avec \(w^2 = u\). Comme \(w\) commute avec \(w^2 = u\), il commute avec \(u\). Donc \(w\) stabilise chaque sous-espace propre \(E_{\lambda_i}(u)\) (argument classique : si \(u(x) = \lambda x\), alors \(u(w(x)) = w(u(x)) = \lambda w(x)\), donc \(w(x) \in E_\lambda\)).

Sur \(E_{\lambda_i}(u)\), l’endomorphisme \(w|_{E_{\lambda_i}}\) est auto-adjoint positif et vérifie \((w|_{E_{\lambda_i}})^2 = \lambda_i \, \mathrm{Id}_{E_{\lambda_i}}\). Ses valeurs propres \(\mu\) satisfont \(\mu^2 = \lambda_i\) et \(\mu \geq 0\), donc \(\mu = \sqrt{\lambda_i}\) (unique). Ainsi \(w|_{E_{\lambda_i}} = \sqrt{\lambda_i} \, \mathrm{Id}_{E_{\lambda_i}} = v|_{E_{\lambda_i}}\).

Puisque \(E = \bigoplus E_{\lambda_i}(u)\), on conclut \(w = v\). ∎

(c) Commutation.

Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(f \circ u = u \circ f\). Alors \(f\) stabilise chaque \(E_{\lambda_i}(u)\) (même argument que dans (b)).

Or \(v|_{E_{\lambda_i}} = \sqrt{\lambda_i} \, \mathrm{Id}_{E_{\lambda_i}}\), donc pour tout \(x \in E_{\lambda_i}\) :

\(v(f(x)) = \sqrt{\lambda_i} \, f(x) = f(\sqrt{\lambda_i} \, x) = f(v(x))\)

Ceci valant sur chaque \(E_{\lambda_i}\) et \(E = \bigoplus E_{\lambda_i}\), on obtient \(v \circ f = f \circ v\). ∎

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VI. Erreurs fréquentes et rédaction concours

A. Pièges classiques en colle et à l’écrit

B. Rédiger le théorème spectral en 6 lignes propres

Voici un modèle de rédaction optimisé pour la kholle ou l’écrit. Apprends-le par cœur :

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VII. Applications et prolongements

A. Analyse en composantes principales (ACP)

L’application la plus directe du théorème spectral en sciences des données est l’analyse en composantes principales (ACP). Le principe :

1. On dispose de \(N\) observations dans \(\mathbb{R}^n\), centrées (de moyenne nulle).
2. On forme la matrice de covariance \(C = \displaystyle\frac{1}{N} X^T X \in S_n(\mathbb{R})\), qui est symétrique positive (semi-définie).
3. Par le théorème spectral, \(C\) se diagonalise en BON : \(C = P \, \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \, P^T\) avec \(\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_n \geq 0\).
4. Les vecteurs propres (colonnes de \(P\)) sont les composantes principales : les directions de variance maximale.
5. Les valeurs propres \(\lambda_i\) mesurent la variance expliquée par chaque composante.

En ne conservant que les \(k\) premières composantes (celles associées aux plus grandes valeurs propres), on obtient la meilleure approximation de rang \(k\) des données au sens de la norme de Frobenius — c’est le théorème d’Eckart-Young, qui repose directement sur le théorème spectral.

B. Prolongements : dimension infinie et opérateurs compacts

🔴 Prolongement (hors programme CPGE)

En dimension infinie, le théorème spectral se généralise de plusieurs façons :

• Opérateurs compacts auto-adjoints (théorème spectral de Hilbert-Schmidt) : si \(T\) est un opérateur compact auto-adjoint sur un espace de Hilbert séparable \(H\), alors \(H\) admet une base hilbertienne de vecteurs propres de \(T\). Les valeurs propres forment une suite réelle tendant vers 0.
• Opérateurs normaux : dans le cas complexe, le théorème spectral s’étend aux endomorphismes normaux (\(u \circ u^* = u^* \circ u\)), qui incluent les auto-adjoints, les unitaires et les anti-auto-adjoints.
• Cas hermitien : sur un espace hermitien (espace vectoriel complexe muni d’un produit hermitien), le théorème spectral s’applique aux endomorphismes auto-adjoints (ou hermitiens) : \(\langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle\). La démonstration est analogue, les valeurs propres étant automatiquement réelles par le même argument que le lemme 1.

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant le théorème spectral : énoncé, deux démonstrations, méthode de calcul et exercices de concours. Pour approfondir le chapitre « espaces euclidiens » :

• Espace euclidien — le cours complet du chapitre (page pilier)
• Endomorphismes auto-adjoints — définition, propriétés et exercices (prérequis du théorème spectral)
• Procédé de Gram-Schmidt — la méthode d’orthonormalisation utilisée à l’étape 4 de la diagonalisation
• Matrices orthogonales et groupe orthogonal — les propriétés de la matrice de passage \(P\)
• Isométries vectorielles — rotations, réflexions et classification (applications du théorème spectral en dimension 2 et 3)
• Inégalité de Cauchy-Schwarz — le résultat fondamental sur les espaces euclidiens

Conforme au programme officiel CPGE 2025-2026 — filières MP, PSI, PC, PT.

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