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Comment exprimer \(\cos(5\theta)\) uniquement à l’aide de \(\cos\theta\) ? Comment construire le polynôme unitaire qui « oscille le moins » sur un intervalle ? Les polynômes de Tchebychev répondent à ces deux questions d’un seul geste. Ce sont des objets centraux en prépa, à la frontière de la trigonométrie, de l’algèbre des polynômes et de l’analyse. C’est aussi un classique des problèmes de concours.
Définition — Polynôme de Tchebychev (première espèce)
Pour tout entier naturel \(n\), le polynôme de Tchebychev de première espèce \(T_n\) est l’unique polynôme vérifiant, pour tout réel \(\theta\) :
\(T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)\)
Autrement dit, \(T_n\) « transforme » \(\cos\theta\) en \(\cos(n\theta)\). C’est un polynôme à coefficients réels, de degré \(n\).
I. Définition et premiers exemples
Il existe deux façons d’introduire les polynômes de Tchebychev : une définition trigonométrique, élégante mais qui demande une justification d’existence, et une définition par récurrence, immédiatement opérationnelle. Les deux coïncident, et savoir passer de l’une à l’autre est exactement ce qu’on attend de vous en colle.
A. La définition trigonométrique
L’idée fondatrice est la suivante. Pour tout entier \(n\), la formule de Moivre donne
\(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta) = (\cos\theta + i\sin\theta)^n\)En développant par le binôme de Newton et en prenant la partie réelle, \(\cos(n\theta)\) s’exprime comme un polynôme en \(\cos\theta\) et \(\sin^2\theta = 1 – \cos^2\theta\). On obtient donc bien un polynôme en la seule variable \(\cos\theta\) : c’est ce polynôme qu’on note \(T_n\).
Pourquoi l’existence n’est pas évidente : la relation \(T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)\) définit la valeur de \(T_n\) uniquement sur \([-1\,;1]\) (l’image de \(\cos\)). Mais un polynôme qui coïncide avec une fonction sur un intervalle infini de points est unique : voilà pourquoi \(T_n\) est bien défini sur tout \(\mathbb{R}\), et même sur \(\mathbb{C}\).
B. La définition par récurrence
La méthode trigonométrique se prolonge naturellement. Écrivons la formule de somme :
\(\cos\big((n+1)\theta\big) + \cos\big((n-1)\theta\big) = 2\cos(n\theta)\cos\theta\)En posant \(x = \cos\theta\), cette identité devient \(T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2x\,T_n(x)\) pour tout \(x \in [-1\,;1]\), donc pour tout \(x\) (deux polynômes égaux sur un intervalle sont égaux partout).
Relation de récurrence fondamentale
Les polynômes de Tchebychev sont entièrement déterminés par :
\(T_0 = 1, \qquad T_1 = X, \qquad T_{n+1} = 2X\,T_n – T_{n-1} \quad (n \geq 1)\)
C’est cette relation qu’on utilise en pratique pour calculer les premiers polynômes. Déroulons-la sur les premiers termes.
Calcul des premiers polynômes :
\(T_2 = 2X \cdot X – 1 = 2X^2 – 1\)
\(T_3 = 2X(2X^2 – 1) – X = 4X^3 – 3X\)
\(T_4 = 2X(4X^3 – 3X) – (2X^2 – 1) = 8X^4 – 8X^2 + 1\)
Vérification : \(T_3(\cos\theta) = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta = \cos(3\theta)\), qui est bien la formule classique de trisection. ✓
| \(n\) | \(T_n(X)\) | Degré | Coefficient dominant |
|---|---|---|---|
| 0 | \(1\) | 0 | \(1\) |
| 1 | \(X\) | 1 | \(1\) |
| 2 | \(2X^2 – 1\) | 2 | \(2\) |
| 3 | \(4X^3 – 3X\) | 3 | \(4\) |
| 4 | \(8X^4 – 8X^2 + 1\) | 4 | \(8\) |
| 5 | \(16X^5 – 20X^3 + 5X\) | 5 | \(16\) |
La colonne des coefficients dominants révèle déjà un motif (puissances de 2) que nous allons démontrer dans la section suivante.
C. Polynôme de seconde espèce (extension)
🟠 Prépa. On rencontre fréquemment un compagnon de \(T_n\) : le polynôme de Tchebychev de seconde espèce \(U_n\), défini par
\(U_n(\cos\theta)\,\sin\theta = \sin\big((n+1)\theta\big)\)Il vérifie la même récurrence \(U_{n+1} = 2X\,U_n – U_{n-1}\) avec \(U_0 = 1\) et \(U_1 = 2X\), et il est lié à \(T_n\) par \(T_n^\prime = n\,U_{n-1}\). On le retrouve notamment dans l’étude des familles de polynômes orthogonaux.
II. Propriétés et démonstrations
C’est ici que les polynômes de Tchebychev déploient toute leur richesse. Chaque propriété ci-dessous est un grand classique de colle : on en donne l’énoncé et la démonstration, commentée pas à pas.
A. Degré et coefficient dominant
Propriété 1. Pour tout \(n \geq 1\), \(T_n\) est de degré \(n\) et son coefficient dominant vaut \(2^{n-1}\).
Démonstration (par récurrence forte). La propriété est vraie pour \(n=1\) : \(T_1 = X\) a pour coefficient dominant \(1 = 2^{0}\). Supposons-la vraie aux rangs \(n-1\) et \(n\). Dans \(T_{n+1} = 2X\,T_n – T_{n-1}\), le terme \(2X\,T_n\) est de degré \(n+1\) et de coefficient dominant \(2 \times 2^{n-1} = 2^{n}\), tandis que \(T_{n-1}\) n’est que de degré \(n-1\). Le degré et le coefficient dominant sont donc imposés par le premier terme : \(\deg T_{n+1} = n+1\) et coefficient dominant \(2^{n} = 2^{(n+1)-1}\). ∎
On en déduit immédiatement que \(2^{1-n}T_n\) est unitaire — une remarque qui prendra tout son sens dans la propriété d’extrémalité.
B. Parité
Propriété 2. Pour tout \(n\), \(T_n(-X) = (-1)^n\,T_n(X)\). Le polynôme \(T_n\) a donc la parité de \(n\) : pair si \(n\) est pair, impair si \(n\) est impair.
Démonstration. Pour \(x = \cos\theta\), on a \(-x = \cos(\pi – \theta)\), donc
\(T_n(-x) = \cos\big(n(\pi – \theta)\big) = \cos(n\pi – n\theta) = \cos(n\pi)\cos(n\theta) = (-1)^n\,T_n(x)\)Cette égalité de polynômes, vraie sur \([-1\,;1]\), est vraie partout. ∎
C. Racines de \(T_n\)
C’est sans doute la propriété la plus utilisée. Comme \(T_n\) est de degré \(n\), il possède au plus \(n\) racines : nous allons montrer qu’il en a exactement \(n\), toutes réelles, toutes simples, toutes dans \(]-1\,;1[\).
Propriété 3 — Racines. Les racines de \(T_n\) (pour \(n \geq 1\)) sont les \(n\) réels distincts
\(x_k = \cos\!\left(\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{2n}\right), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1\)
En particulier, \(T_n\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\), et toutes ses racines appartiennent à \(]-1\,;1[\).
Démonstration. Cherchons les \(\theta \in [0\,;\pi]\) tels que \(T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta) = 0\). Cela équivaut à
\(n\theta = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Longleftrightarrow \quad \theta = \displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{2n}\)Pour \(\theta \in [0\,;\pi]\), les valeurs admissibles de \(k\) sont \(0, 1, \dots, n-1\), soit \(n\) angles distincts. Comme \(\cos\) est strictement décroissante (donc injective) sur \([0\,;\pi]\), les \(x_k = \cos\theta_k\) sont \(n\) réels distincts. On a donc trouvé \(n\) racines distinctes d’un polynôme de degré \(n\) : ce sont toutes ses racines, et elles sont simples. ∎
[GRAPHE_1]
Cette factorisation explicite des racines fait des polynômes de Tchebychev un outil de choix pour l’interpolation : les nœuds de Tchebychev minimisent l’erreur d’interpolation, ce qui les distingue de l’interpolation de Lagrange à nœuds équidistants.
D. Extrema sur \([-1\,;1]\)
Propriété 4. Pour tout \(x \in [-1\,;1]\), on a \(|T_n(x)| \leq 1\). De plus, \(T_n\) atteint alternativement les valeurs \(+1\) et \(-1\) aux \(n+1\) points \(y_k = \cos\!\left(\displaystyle\frac{k\pi}{n}\right)\), \(k = 0, \dots, n\).
Démonstration. Pour \(x = \cos\theta \in [-1\,;1]\), \(T_n(x) = \cos(n\theta)\) est borné par \(1\) en valeur absolue. Et \(\cos(n\theta) = \pm 1\) lorsque \(n\theta = k\pi\), soit \(\theta = \displaystyle\frac{k\pi}{n}\) ; on a alors \(T_n(y_k) = \cos(k\pi) = (-1)^k\), d’où l’alternance. ∎
L’image à retenir : sur \([-1\,;1]\), \(T_n\) « rebondit » entre \(-1\) et \(+1\) comme un signal qui sature, avec exactement \(n+1\) contacts alternés. C’est cette propriété d’équioscillation qui fonde le rôle des polynômes de Tchebychev en approximation.
Toutes les propriétés des polynômes de Tchebychev sur une fiche
Récurrence, racines, orthogonalité, extrémalité : l’essentiel du cours et les méthodes de rédaction concours, prêt à réviser avant une colle ou un DM.
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E. Orthogonalité (🟠 prépa)
Les \(T_n\) forment une famille orthogonale pour un produit scalaire intégral bien choisi : c’est ce qui les range dans la grande famille des polynômes orthogonaux.
Propriété 5 — Orthogonalité. Pour le poids \(w(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) sur \(]-1\,;1[\) :
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{T_m(x)\,T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \begin{cases} 0 & \text{si } m \neq n \\ \displaystyle\frac{\pi}{2} & \text{si } m = n \neq 0 \\ \pi & \text{si } m = n = 0 \end{cases}\)
Démonstration (changement de variable). Posons \(x = \cos\theta\), donc \(dx = -\sin\theta\,d\theta\) et \(\sqrt{1-x^2} = \sin\theta\) pour \(\theta \in ]0\,;\pi[\). Lorsque \(x\) parcourt \(]-1\,;1[\), \(\theta\) parcourt \(]0\,;\pi[\) et
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} \displaystyle\frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int_{0}^{\pi} \cos(m\theta)\cos(n\theta)\,d\theta\)La linéarisation \(\cos(m\theta)\cos(n\theta) = \displaystyle\frac{1}{2}\big(\cos((m+n)\theta) + \cos((m-n)\theta)\big)\) permet alors de conclure : l’intégrale d’un \(\cos(p\theta)\) sur \([0\,;\pi]\) est nulle dès que \(p \neq 0\). On distingue ensuite les cas selon que \(m=n\) ou non. ∎
F. Équation différentielle
Propriété 6. Le polynôme \(y = T_n\) est solution de l’équation différentielle
\((1-x^2)\,y^{\prime\prime} – x\,y^\prime + n^2\,y = 0\)
Démonstration. Sur \(]-1\,;1[\), posons \(x = \cos\theta\), donc \(T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)\). En dérivant deux fois par rapport à \(\theta\) et en substituant \(\displaystyle\frac{dx}{d\theta} = -\sin\theta\), on relie \(T_n^\prime\) et \(T_n^{\prime\prime}\) aux dérivées de \(\cos(n\theta)\), qui valent \(-n^2\cos(n\theta)\). Le calcul aboutit à l’équation annoncée, valable sur \(]-1\,;1[\) donc partout par densité. ∎
III. La propriété d’extrémalité (théorème de Tchebychev)
Voici le résultat qui justifie à lui seul l’importance de ces polynômes en analyse numérique, et qui revient régulièrement dans les problèmes de concours (Centrale, Mines). C’est l’angle que les PDF bruts de la SERP traitent rarement avec rigueur.
Théorème (problème de Tchebychev). Parmi tous les polynômes unitaires de degré \(n \geq 1\), le polynôme \(\widetilde{T}_n = 2^{1-n}T_n\) est celui qui minimise la norme sup sur \([-1\,;1]\) :
\(\displaystyle\sup_{x \in [-1;1]} \big|\widetilde{T}_n(x)\big| = 2^{1-n} \;\leq\; \sup_{x \in [-1;1]} |P(x)|\)
pour tout polynôme unitaire \(P\) de degré \(n\).
Démonstration (par l’absurde, idée d’équioscillation). Supposons qu’il existe un polynôme unitaire \(P\) de degré \(n\) tel que \(\sup_{[-1;1]}|P|\) < \(2^{1-n}\). Considérons \(D = \widetilde{T}_n – P\). Comme \(\widetilde{T}_n\) et \(P\) sont tous deux unitaires de degré \(n\), leur différence \(D\) est de degré \(\leq n-1\).
Or \(\widetilde{T}_n\) atteint la valeur \(\pm 2^{1-n}\) aux \(n+1\) points \(y_k = \cos(k\pi/n)\), avec alternance de signe. En chacun de ces points :
- là où \(\widetilde{T}_n(y_k) = +2^{1-n}\), on a \(D(y_k) = 2^{1-n} – P(y_k)\) > \(0\) (car \(|P|\) < \(2^{1-n}\)) ;
- là où \(\widetilde{T}_n(y_k) = -2^{1-n}\), on a \(D(y_k)\) < \(0\).
Donc \(D\) change de signe entre deux points consécutifs : par le théorème des valeurs intermédiaires, \(D\) s’annule au moins \(n\) fois. Un polynôme de degré \(\leq n-1\) ayant \(n\) racines est le polynôme nul, donc \(P = \widetilde{T}_n\) — contradiction avec \(\sup|P|\) < \(2^{1-n}\). ∎
L’idée à garder : c’est l’alternance des signes (équioscillation) qui force \(D\) à avoir trop de racines. Ce schéma de preuve — « équioscillation ⟹ minimax » — est un grand classique : comprenez-le une fois, vous le réutiliserez sur de nombreux problèmes d’approximation.
IV. Méthodes pas à pas
Au-delà de la théorie, trois manipulations reviennent constamment. Apprenez à les exécuter mécaniquement.
A. Calculer \(T_n\) par récurrence
- Partir de \(T_0 = 1\) et \(T_1 = X\).
- Appliquer \(T_{k+1} = 2X\,T_k – T_{k-1}\) de proche en proche.
- Développer et regrouper les termes par puissances de \(X\).
- Contrôle rapide : le coefficient dominant doit valoir \(2^{n-1}\) et la parité du polynôme doit être celle de \(n\).
B. Exprimer \(\cos(n\theta)\) en fonction de \(\cos\theta\)
Pour linéariser ou « polynomialiser », deux chemins :
- Voie Tchebychev : \(\cos(n\theta) = T_n(\cos\theta)\) — il suffit de connaître \(T_n\).
- Voie Moivre : développer \((\cos\theta + i\sin\theta)^n\) et prendre la partie réelle, puis remplacer \(\sin^2\theta\) par \(1 – \cos^2\theta\).
Exemple : exprimer \(\cos(4\theta)\) avec \(c = \cos\theta\).
Avec \(T_4 = 8X^4 – 8X^2 + 1\) :
\(\cos(4\theta) = 8c^4 – 8c^2 + 1\)
Contrôle en \(\theta = 0\) : \(\cos 0 = 1\) et \(8 – 8 + 1 = 1\). ✓
C. Valeurs hors de \([-1\,;1]\) (🟠 prépa)
La définition trigonométrique ne couvre que \([-1\,;1]\). Pour \(|x| \geq 1\), on utilise le cosinus hyperbolique : en posant \(x = \mathrm{ch}\,t\),
\(T_n(\mathrm{ch}\,t) = \mathrm{ch}(nt)\)Cette formule, démontrable par récurrence à partir de \(\mathrm{ch}((n+1)t) + \mathrm{ch}((n-1)t) = 2\,\mathrm{ch}\,t\,\mathrm{ch}(nt)\), explique pourquoi \(T_n\) croît très vite à l’extérieur de l’intervalle.
V. Exercices corrigés
Les exercices suivants sont classés par difficulté croissante. Cherchez sincèrement avant de lire la correction : c’est là que se construit la maîtrise.
Exercice 1 — Application directe (★)
Calculer \(T_5\) à l’aide de la relation de récurrence, et vérifier son coefficient dominant.
Correction. On part de \(T_3 = 4X^3 – 3X\) et \(T_4 = 8X^4 – 8X^2 + 1\) :
\(T_5 = 2X\,T_4 – T_3 = 2X(8X^4 – 8X^2 + 1) – (4X^3 – 3X)\)
\(T_5 = 16X^5 – 16X^3 + 2X – 4X^3 + 3X = 16X^5 – 20X^3 + 5X\)
Coefficient dominant : \(16 = 2^{5-1}\) ✓. Le polynôme est impair, comme attendu pour \(n=5\) impair. ✓
Exercice 2 — Parité et valeurs particulières (★)
Déterminer \(T_n(1)\), \(T_n(-1)\) et \(T_n(0)\) pour tout \(n\).
Correction. Avec \(1 = \cos 0\) : \(T_n(1) = \cos(0) = 1\). Avec \(-1 = \cos\pi\) : \(T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n\). Avec \(0 = \cos\displaystyle\frac{\pi}{2}\) :
\(T_n(0) = \cos\!\left(\displaystyle\frac{n\pi}{2}\right) = \begin{cases} (-1)^{n/2} & \text{si } n \text{ pair} \\ 0 & \text{si } n \text{ impair} \end{cases}\)
Le cas \(n\) impair confirme que \(0\) est racine d’un \(T_n\) impair (terme constant nul).
Exercice 3 — Délinéarisation (★★)
Résoudre dans \([0\,;2\pi[\) l’équation \(\cos(3\theta) = \cos\theta\) en passant par \(T_3\).
Correction. Posons \(c = \cos\theta\). L’équation devient \(T_3(c) = c\), soit \(4c^3 – 3c = c\), donc \(4c^3 – 4c = 0\) et \(4c(c^2 – 1) = 0\). D’où \(c \in \{-1, 0, 1\}\).
\(\cos\theta = 1 \Rightarrow \theta = 0\) ; \(\cos\theta = -1 \Rightarrow \theta = \pi\) ; \(\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta \in \{\displaystyle\frac{\pi}{2}, \displaystyle\frac{3\pi}{2}\}\).
L’ensemble des solutions est \(\left\{0,\ \displaystyle\frac{\pi}{2},\ \pi,\ \displaystyle\frac{3\pi}{2}\right\}\).
Exercice 4 — Raisonnement (★★★)
Montrer que pour tout \(n \geq 1\) et tout réel \(t\), \(T_n(\mathrm{ch}\,t) = \mathrm{ch}(nt)\). En déduire que \(T_n(x) \geq 1\) pour tout \(x \geq 1\).
Correction. Procédons par récurrence forte. Pour \(n=0\), \(T_0(\mathrm{ch}\,t) = 1 = \mathrm{ch}(0)\) ; pour \(n=1\), \(T_1(\mathrm{ch}\,t) = \mathrm{ch}\,t\). Supposons le résultat aux rangs \(n\) et \(n-1\). La relation de récurrence donne
\(T_{n+1}(\mathrm{ch}\,t) = 2\,\mathrm{ch}\,t\;\mathrm{ch}(nt) – \mathrm{ch}((n-1)t)\)
Or \(2\,\mathrm{ch}\,t\,\mathrm{ch}(nt) = \mathrm{ch}((n+1)t) + \mathrm{ch}((n-1)t)\) (formule de somme hyperbolique). Après simplification, \(T_{n+1}(\mathrm{ch}\,t) = \mathrm{ch}((n+1)t)\). La récurrence est établie.
Conséquence. Tout \(x \geq 1\) s’écrit \(x = \mathrm{ch}\,t\) avec \(t \geq 0\). Alors \(T_n(x) = \mathrm{ch}(nt) \geq 1\), puisque \(\mathrm{ch} \geq 1\) partout. ∎
Exercice 5 — Type concours (★★★★)
Calculer le produit des racines de \(T_n\) pour \(n\) pair, \(n = 2p\).
Correction. \(T_n\) s’écrit \(T_n = 2^{n-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(X – x_k)\). Le terme constant vaut donc \(T_n(0) = 2^{n-1}\prod_{k}(-x_k) = 2^{n-1}(-1)^n \prod_k x_k\). Pour \(n = 2p\), \((-1)^n = 1\) et \(T_n(0) = (-1)^p\) (exercice 2). On en déduit
\(\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1} x_k = \displaystyle\frac{T_n(0)}{2^{n-1}} = \displaystyle\frac{(-1)^p}{2^{2p-1}}\)
Cette approche repose sur les relations entre coefficients et racines.
VI. Erreurs fréquentes et pièges
Piège n°1 — Confondre les deux espèces. ❌ Écrire \(T_n^\prime = n\,T_{n-1}\).
Diagnostic : on calque la dérivation de \(\cos(n\theta)\) sans tenir compte du \(\sin\theta\) qui apparaît. ✅ La bonne relation est \(T_n^\prime = n\,U_{n-1}\), où \(U_{n-1}\) est le polynôme de seconde espèce.
Piège n°2 — Oublier le domaine de validité. ❌ Affirmer « \(|T_n(x)| \leq 1\) pour tout \(x\) ».
Diagnostic : la majoration ne vaut que sur \([-1\,;1]\). En dehors, \(T_n(x) = \mathrm{ch}(n\,\mathrm{argch}\,x)\) explose. ✅ Toujours préciser « pour \(x \in [-1\,;1]\) ».
Piège n°3 — Mauvais coefficient dominant. ❌ Annoncer un coefficient dominant \(2^n\).
Diagnostic : erreur d’un facteur 2. ✅ Le coefficient dominant de \(T_n\) est \(2^{n-1}\) (pour \(n \geq 1\)), et non \(2^n\) : \(T_2 = 2X^2 – 1\) le montre directement.
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Les polynômes de Tchebychev sont un terrain de prédilection des sujets de concours. Voici les attentes précises sur la copie.
- Justifier l’existence et l’unicité de \(T_n\). L’erreur fatale est de « définir » \(T_n\) par \(T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)\) sans dire un mot. Le correcteur attend : « un polynôme coïncidant avec une fonction sur l’intervalle infini \([-1\,;1]\) est unique ; l’existence vient de la récurrence ».
- Préciser le domaine à chaque égalité de polynômes. Lorsque vous passez de « vrai sur \([-1\,;1]\) » à « vrai partout », invoquez explicitement le fait que deux polynômes égaux sur un intervalle infini sont égaux.
- Soigner la preuve d’extrémalité. Sur le théorème minimax, le correcteur veut voir : la considération de \(D = \widetilde{T}_n – P\), le contrôle du degré (\(\leq n-1\)), l’argument d’alternance de signe, et la conclusion par le comptage des racines.
- Nommer les théorèmes. « Théorème des valeurs intermédiaires », « formule de Moivre » : citez-les. Cela structure la copie et rassure le correcteur sur votre maîtrise.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre polynôme de Tchebychev de première et de seconde espèce ?
Le polynôme de première espèce \(T_n\) vérifie \(T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)\), tandis que celui de seconde espèce \(U_n\) vérifie \(U_n(\cos\theta)\sin\theta = \sin((n+1)\theta)\). Les deux suivent la même récurrence \(P_{n+1} = 2X P_n – P_{n-1}\), mais avec des conditions initiales différentes (\(U_1 = 2X\) au lieu de \(T_1 = X\)). Ils sont liés par \(T_n^\prime = n\,U_{n-1}\).
Pourquoi les racines de Tchebychev sont-elles meilleures que des points équidistants pour l'interpolation ?
Les nœuds de Tchebychev (les racines de \(T_n\)) se concentrent près des bords de l’intervalle, ce qui contrôle le terme d’erreur de l’interpolation et évite le phénomène de Runge (oscillations explosives aux bords avec des nœuds équidistants). C’est une application directe de la propriété d’extrémalité.
En quoi diffèrent les polynômes de Tchebychev et de Legendre ?
Les deux familles sont orthogonales sur \([-1\,;1]\), mais pour des poids différents : poids \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) pour Tchebychev, poids constant \(1\) pour Legendre. Ce poids change tout : seul Tchebychev possède la propriété d’équioscillation et la formule trigonométrique simple.
Les polynômes de Tchebychev sont-ils au programme de prépa ?
Ils ne figurent pas explicitement comme objet du cours, mais apparaissent constamment dans les exercices, DM, colles et sujets de concours (notamment via la formule \(\cos(n\theta) = T_n(\cos\theta)\)). C’est un « classique hors programme » qu’il est vivement conseillé de maîtriser.
Comment calculer Tn(x) pour x supérieur à 1 ?
On utilise le cosinus hyperbolique : si \(x = \mathrm{ch}\,t\) avec \(t \geq 0\), alors \(T_n(x) = \mathrm{ch}(nt)\). Concrètement, \(T_n(x) = \mathrm{ch}\big(n\,\mathrm{argch}(x)\big)\) pour \(x \geq 1\).
IX. Pour aller plus loin
Vous maîtrisez désormais la définition, les propriétés et la propriété d’extrémalité des polynômes de Tchebychev. Pour consolider et relier ces notions :
- Racines d’un polynôme : multiplicité et relations coefficients-racines — pour approfondir l’analyse des racines de \(T_n\).
- Polynômes orthogonaux : Hermite et Laguerre — la grande famille dans laquelle Tchebychev s’inscrit.
- Polynôme de Legendre — la famille orthogonale « jumelle » pour le poids constant.
- Polynôme de Lagrange et interpolation — pour comprendre le rôle des nœuds de Tchebychev.
- Racines n-ièmes de l’unité — l’autre grand pont entre trigonométrie et algèbre.
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