Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur
Derrière les noms d’Hermite, Laguerre ou Tchebychev se cache une même idée : appliquer la géométrie euclidienne (orthogonalité, projections) à l’espace des polynômes, grâce à un produit scalaire défini par une intégrale pondérée. Cette page est le hub théorique du cocon : définition, théorèmes démontrés, relation de récurrence à trois termes, et les familles d’Hermite et Laguerre, avec exercices corrigés type concours.
I. Définition : produit scalaire à poids et orthogonalité
Tout part d’un changement de point de vue : on va munir l’espace des polynômes d’une structure d’espace préhilbertien. Cela suppose de disposer d’un produit scalaire — et la nouveauté ici, c’est qu’il est défini par une intégrale pondérée plutôt que par une simple somme de coordonnées.
A. Le produit scalaire défini par une fonction poids
On se donne un intervalle \(I = ]a,b[\) (éventuellement non borné) et une fonction \(w : I \to \mathbb{R}\) appelée fonction poids. On suppose que \(w\) est continue, strictement positive sur \(I\), et que toutes les intégrales \(\displaystyle\int_a^b x^n w(x)\,dx\) convergent (existence des moments). Cette dernière condition est essentielle quand \(I\) est non borné : c’est elle qui garantit que le produit scalaire de deux polynômes est bien défini.
Définition — Produit scalaire à poids
Pour deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbb{R}[X]\), on pose
\(\displaystyle \langle P, Q\rangle = \int_a^b P(x)\,Q(x)\,w(x)\,dx.\)
Cette application est une forme bilinéaire symétrique, définie positive : c’est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[X]\). La norme associée est \(\displaystyle \Vert P\Vert = \sqrt{\langle P, P\rangle}\).
Le caractère défini positif mérite une justification, car c’est lui qui fait du produit scalaire un vrai produit scalaire et non une simple forme positive. Si \(\langle P, P\rangle = 0\), alors \(\displaystyle\int_a^b P(x)^2 w(x)\,dx = 0\) avec un intégrande continu et positif ; cet intégrande est donc nul sur \(I\). Comme \(w\) > \(0\), on a \(P(x)^2 = 0\) pour tout \(x \in I\), donc \(P\) s’annule sur un intervalle infini : le polynôme \(P\) est nul.
L’intuition à garder : tout ce que tu sais sur les produits scalaires et l’orthogonalité dans \(\mathbb{R}^n\) se transporte ici. « Orthogonal » signifie simplement « produit scalaire nul ». La seule différence : les vecteurs sont des polynômes et le produit scalaire est une intégrale.
B. Définition d’une suite de polynômes orthogonaux
Définition — Suite de polynômes orthogonaux
Une suite \((P_n)_{n \in \mathbb{N}}\) de polynômes est dite orthogonale pour le poids \(w\) si :
- pour tout \(n\), \(\deg P_n = n\) (la suite est échelonnée en degré) ;
- pour tous \(m \neq n\), \(\langle P_m, P_n\rangle = 0\).
Si de plus \(\Vert P_n\Vert = 1\) pour tout \(n\), la suite est dite orthonormale.
La condition de degré n’est pas un détail décoratif : c’est elle qui rend la famille canonique. Sans elle, on pourrait juxtaposer n’importe quels polynômes orthogonaux deux à deux sans cohérence. Avec elle, comme on le verra, la suite est essentiellement unique à une constante multiplicative près.
C. Les familles classiques en un coup d’œil
Chaque choix de poids et d’intervalle engendre une famille différente. Les quatre familles au programme de prépa sont les suivantes :
| Famille | Intervalle \(I\) | Poids \(w(x)\) | Contexte typique |
|---|---|---|---|
| Legendre | \([-1,1]\) | \(1\) | Quadrature, harmoniques sphériques |
| Tchebychev | \(]-1,1[\) | \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | Approximation minimax, séries |
| Hermite | \(\mathbb{R}\) | \(e^{-x^2}\) | Oscillateur quantique, probabilités |
| Laguerre | \([0,+\infty[\) | \(e^{-x}\) | Atome d’hydrogène, transformées |
Cette page approfondit en particulier Hermite et Laguerre. Les deux familles définies sur \([-1,1]\) disposent de leurs propres pages dédiées : Legendre et Tchebychev.
II. Existence, unicité et propriétés fondamentales
Une fois le cadre posé, deux questions s’imposent : une telle suite existe-t-elle toujours, et est-elle unique ? La réponse aux deux est oui, et elle repose entièrement sur un outil que tu connais déjà.
A. Construction par le procédé de Gram-Schmidt
Théorème — Existence et unicité
Pour tout poids \(w\) admettant des moments finis, il existe une unique suite \((P_n)\) de polynômes unitaires orthogonaux pour \(w\), avec \(\deg P_n = n\).
Démonstration. La famille canonique \((1, X, X^2, \dots)\) est échelonnée en degré, donc libre. On lui applique le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt relativement au produit scalaire \(\langle\cdot,\cdot\rangle\). On pose \(P_0 = 1\), puis par récurrence
\(\displaystyle P_n = X^n – \sum_{k=0}^{n-1} \displaystyle\frac{\langle X^n, P_k\rangle}{\langle P_k, P_k\rangle}\, P_k.\)À chaque étape, \(P_n\) est obtenu en retranchant à \(X^n\) une combinaison de polynômes de degré \(\leq n-1\) : son terme dominant reste \(X^n\), donc \(P_n\) est unitaire de degré \(n\). Par construction, \(P_n\) est orthogonal à \(P_0, \dots, P_{n-1}\). L’unicité vient de ce que la condition « unitaire de degré \(n\) et orthogonal aux degrés inférieurs » détermine \(P_n\) sans ambiguïté : deux tels polynômes ont une différence de degré \(\leq n-1\) orthogonale à elle-même, donc nulle. ∎
Trois normalisations courantes : on peut imposer aux \(P_n\) d’être unitaires (terme dominant 1), orthonormaux (norme 1), ou suivre une normalisation historique propre à chaque famille (par exemple \(P_n(1)=1\) pour Legendre). Une même famille apparaît donc sous plusieurs constantes multiplicatives selon les ouvrages : ne sois pas surpris.
La fiche de synthèse « Polynômes orthogonaux » en 1 page
Produit scalaire à poids, récurrence à trois termes, racines, et le mémo complet Hermite / Laguerre — tout l’essentiel exigible en Spé, prêt à réviser.
📄 Télécharger la fiche PDFPour réviser efficacement avant tes DS et tes concours.
B. Base de \(\mathbb{R}_n[X]\) et orthogonalité aux degrés inférieurs
La famille échelonnée \((P_0, P_1, \dots, P_n)\) est libre (degrés deux à deux distincts) et comporte \(n+1\) éléments dans un espace de dimension \(n+1\) : c’est donc une base orthogonale de \(\mathbb{R}_n[X]\). On en déduit une propriété qui revient sans cesse dans les exercices.
Propriété clé — Orthogonalité à tout polynôme de degré strictement inférieur
Pour tout polynôme \(Q\) tel que \(\deg Q\) < \(n\), on a \(\langle P_n, Q\rangle = 0\).
En effet, un tel \(Q\) se décompose sur \((P_0, \dots, P_{n-1})\), et \(P_n\) est orthogonal à chacun de ces vecteurs. Cette caractérisation est souvent plus maniable que la définition : pour montrer qu’un polynôme est « le » \(n\)-ième de la famille, il suffit de vérifier son degré et son orthogonalité à \(1, X, \dots, X^{n-1}\).
Erreur classique : écrire \(\langle P_n, Q\rangle = 0\) pour \(\deg Q = n\). C’est faux ! L’orthogonalité ne vaut que pour les degrés strictement inférieurs. En particulier \(\langle P_n, P_n\rangle\) > \(0\), et \(\langle P_n, X^n\rangle \neq 0\).
III. La relation de récurrence à trois termes
Voici le théorème le plus important — et le plus fréquemment tombé en concours. Il affirme qu’on n’a jamais besoin de plus de trois polynômes consécutifs pour générer toute la famille. C’est ce qui rend les polynômes orthogonaux algorithmiquement bon marché.
A. Énoncé du théorème
Théorème — Récurrence à trois termes
Soit \((P_n)\) la suite des polynômes orthogonaux unitaires pour \(w\). Il existe deux suites réelles \((\alpha_n)\) et \((\beta_n)\) telles que, pour tout \(n \geq 1\),
\(\displaystyle P_{n+1}(x) = (x – \alpha_n)\,P_n(x) – \beta_n\,P_{n-1}(x),\)
avec \(\displaystyle \alpha_n = \displaystyle\frac{\langle x P_n, P_n\rangle}{\langle P_n, P_n\rangle}\) et \(\displaystyle \beta_n = \displaystyle\frac{\langle P_n, P_n\rangle}{\langle P_{n-1}, P_{n-1}\rangle}\) > \(0\).
B. Démonstration
Démonstration. Le polynôme \(xP_n\) est de degré \(n+1\). On le décompose dans la base orthogonale \((P_0, \dots, P_{n+1})\) :
\(\displaystyle x P_n = \sum_{k=0}^{n+1} c_k\, P_k, \qquad c_k = \displaystyle\frac{\langle x P_n, P_k\rangle}{\langle P_k, P_k\rangle}.\)L’astuce centrale est la symétrie de la multiplication par \(x\) : \(\langle x P_n, P_k\rangle = \langle P_n, x P_k\rangle\). Or, pour \(k \leq n-2\), le polynôme \(x P_k\) est de degré \(k+1 \leq n-1\) < \(n\), donc orthogonal à \(P_n\) d’après la propriété clé. On a donc \(c_k = 0\) dès que \(k \leq n-2\).
Il ne reste que trois termes : \(x P_n = c_{n+1}P_{n+1} + c_n P_n + c_{n-1}P_{n-1}\). Comme \(P_n\) et \(P_{n+1}\) sont unitaires, l’identification des termes dominants donne \(c_{n+1}=1\). En posant \(\alpha_n = c_n\) et \(\beta_n = c_{n-1}\), on réarrange pour obtenir \(P_{n+1} = (x-\alpha_n)P_n – \beta_n P_{n-1}\).
Enfin, \(\displaystyle\beta_n = c_{n-1} = \displaystyle\frac{\langle xP_n, P_{n-1}\rangle}{\langle P_{n-1},P_{n-1}\rangle}\) ; or \(\langle x P_n, P_{n-1}\rangle = \langle P_n, x P_{n-1}\rangle\) et \(x P_{n-1}\) est unitaire de degré \(n\), donc \(xP_{n-1} = P_n + (\text{degré} \leq n-1)\), d’où \(\langle P_n, x P_{n-1}\rangle = \langle P_n, P_n\rangle\). On conclut \(\displaystyle\beta_n = \displaystyle\frac{\langle P_n,P_n\rangle}{\langle P_{n-1},P_{n-1}\rangle}\) > \(0\). ∎
Conséquence pratique : dès que tu connais \(P_0\), \(P_1\) et la suite des \((\alpha_n, \beta_n)\), tu génères toute la famille par simple récurrence. C’est exactement ce qu’exploitent les algorithmes de quadrature de Gauss, où \(\beta_n\) > \(0\) garantit que la matrice tridiagonale de Jacobi associée est diagonalisable à valeurs propres réelles.
IV. Les racines des polynômes orthogonaux
Une propriété spectaculaire distingue les polynômes orthogonaux des polynômes quelconques : leurs racines sont toujours « rangées proprement ». Cette régularité est ce qui fait leur utilité en approximation numérique.
Théorème — Localisation des racines
Pour tout \(n \geq 1\), le polynôme \(P_n\) admet \(n\) racines réelles, simples, toutes situées dans l’intervalle ouvert \(]a,b[\).
Démonstration. Comme \(n \geq 1\), \(P_n\) est orthogonal à \(P_0 = 1\), donc \(\displaystyle\int_a^b P_n(x)\,w(x)\,dx = 0\). Avec \(w\) > \(0\), \(P_n\) ne peut pas garder un signe constant : il change de signe au moins une fois dans \(]a,b[\).
Notons \(x_1, \dots, x_m\) les points de \(]a,b[\) où \(P_n\) change effectivement de signe (racines de multiplicité impaire), et supposons par l’absurde \(m\) < \(n\). Posons \(\displaystyle Q(x) = \prod_{i=1}^m (x – x_i)\), de degré \(m\) < \(n\). Le produit \(P_n\,Q\) ne change de signe en aucun point de \(]a,b[\) : il est de signe constant. Donc
\(\displaystyle \langle P_n, Q\rangle = \int_a^b P_n(x)\,Q(x)\,w(x)\,dx \neq 0.\)Mais \(\deg Q\) < \(n\) entraîne \(\langle P_n, Q\rangle = 0\) : contradiction. Donc \(m = n\), ce qui force \(n\) racines réelles distinctes dans \(]a,b[\), nécessairement simples (sinon le degré serait dépassé). ∎
![Tracé des polynômes de Hermite H_1, H_2, H_3 et H_4 sur [-3,3].](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/06/hermite_racines.png)
Propriété d’entrelacement (bonus) : entre deux racines consécutives de \(P_n\) se trouve exactement une racine de \(P_{n+1}\). C’est une conséquence fine de la récurrence à trois termes, et un résultat qu’aucune fiche de cours classique ne mentionne — pourtant central pour comprendre pourquoi les nœuds de quadrature de Gauss se répartissent harmonieusement.
V. Les familles classiques : Hermite et Laguerre
Place aux deux familles vedettes du programme de Spé. Elles partagent toute la théorie précédente, mais chacune apporte sa formule de Rodrigues, sa relation de récurrence explicite et son équation différentielle caractéristique.
A. Les polynômes d’Hermite
Les polynômes d’Hermite sont orthogonaux sur \(\mathbb{R}\) pour le poids gaussien \(w(x) = e^{-x^2}\). C’est la famille de la physique quantique (états propres de l’oscillateur harmonique) et de la statistique (lien avec la loi normale).
Définition — Formule de Rodrigues (Hermite « physiciens »)
\(\displaystyle H_n(x) = (-1)^n\, e^{x^2}\, \displaystyle\frac{d^n}{dx^n}\!\left(e^{-x^2}\right).\)
Premiers termes : \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 – 2\), \(H_3 = 8x^3 – 12x\).
Ces polynômes vérifient la relation de récurrence (sous cette normalisation non unitaire) :
\(\displaystyle H_{n+1}(x) = 2x\,H_n(x) – 2n\,H_{n-1}(x),\)l’équation différentielle \(\,H_n^{\prime\prime} – 2x\,H_n^\prime + 2n\,H_n = 0\,\), et la relation de dérivation \(\,H_n^\prime = 2n\,H_{n-1}\). Leur norme vaut \(\displaystyle \Vert H_n\Vert^2 = 2^n\, n!\, \sqrt{\pi}\).
Exemple — Orthogonalité de \(H_1\) et \(H_2\).
On calcule \(\displaystyle \langle H_1, H_2\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} 2x\,(4x^2-2)\,e^{-x^2}\,dx\). L’intégrande est une fonction impaire intégrée sur \(\mathbb{R}\) symétrique : l’intégrale est nulle. On retrouve \(\langle H_1, H_2\rangle = 0\) sans aucun calcul. La parité du poids gaussien est un raccourci précieux.
B. Les polynômes de Laguerre
Les polynômes de Laguerre sont orthogonaux sur \([0, +\infty[\) pour le poids \(w(x) = e^{-x}\). Ils apparaissent dans la résolution de l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène.
Définition — Formule de Rodrigues (Laguerre)
\(\displaystyle L_n(x) = \displaystyle\frac{e^{x}}{n!}\, \displaystyle\frac{d^n}{dx^n}\!\left(x^n e^{-x}\right).\)
Premiers termes : \(L_0 = 1\), \(L_1 = 1 – x\), \(L_2 = \displaystyle\frac{1}{2}(x^2 – 4x + 2)\).
Sous cette normalisation, la suite vérifie \(\,\langle L_m, L_n\rangle = \delta_{mn}\,\) (famille orthonormale), la récurrence
\(\displaystyle (n+1)\,L_{n+1}(x) = (2n+1 – x)\,L_n(x) – n\,L_{n-1}(x),\)et l’équation différentielle \(\,x\,L_n^{\prime\prime} + (1-x)\,L_n^\prime + n\,L_n = 0\).
Voici un tableau de synthèse qui rassemble les caractéristiques essentielles des deux familles, à connaître par cœur en Spé :
| Caractéristique | Hermite \(H_n\) | Laguerre \(L_n\) |
|---|---|---|
| Intervalle | \(\mathbb{R}\) | \([0,+\infty[\) |
| Poids | \(e^{-x^2}\) | \(e^{-x}\) |
| Récurrence | \(H_{n+1}=2xH_n-2nH_{n-1}\) | \((n{+}1)L_{n+1}=(2n{+}1{-}x)L_n-nL_{n-1}\) |
| Éq. différentielle | \(y^{\prime\prime}-2xy^\prime+2ny=0\) | \(xy^{\prime\prime}+(1-x)y^\prime+ny=0\) |
| Parité | \(H_n(-x)=(-1)^nH_n(x)\) | aucune (intervalle non symétrique) |
Le fil rouge des familles classiques : chacune est une famille propre d’un opérateur différentiel d’ordre 2 auto-adjoint (problème de Sturm-Liouville). L’orthogonalité n’est alors qu’une traduction du fait que les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes d’un opérateur auto-adjoint sont orthogonaux — exactement comme en réduction des matrices symétriques.
VI. Exercices corrigés
Place à la pratique. Les exercices sont classés par difficulté croissante : applications directes (★), résultats structurants (★★), puis problèmes type concours (★★★). Travaille-les avant d’ouvrir les corrections.
Exercice 1 (★) — Construire une famille orthogonale par Gram-Schmidt
Énoncé. Sur \([-1,1]\) avec le poids \(w(x)=1\), déterminer les polynômes unitaires orthogonaux \(P_0, P_1, P_2\).
Correction. On pose \(P_0 = 1\). Ensuite \(\displaystyle P_1 = X – \displaystyle\frac{\langle X, P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle}P_0\). Or \(\displaystyle\langle X, 1\rangle = \int_{-1}^1 x\,dx = 0\) (intégrande impair), donc \(P_1 = X\).
Pour \(\displaystyle P_2 = X^2 – \displaystyle\frac{\langle X^2,P_0\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle}P_0 – \displaystyle\frac{\langle X^2,P_1\rangle}{\langle P_1,P_1\rangle}P_1\). On calcule \(\displaystyle\langle X^2, 1\rangle = \int_{-1}^1 x^2 dx = \displaystyle\frac{2}{3}\), \(\langle 1,1\rangle = 2\), et \(\displaystyle\langle X^2, X\rangle = \int_{-1}^1 x^3 dx = 0\). D’où \(\displaystyle P_2 = X^2 – \displaystyle\frac{1}{3}\).
On reconnaît les polynômes de Legendre dans leur version unitaire.
Exercice 2 (★) — Vérifier une orthogonalité par parité
Énoncé. Montrer que \(\langle H_2, H_3\rangle = 0\) pour le poids d’Hermite, sans calculer l’intégrale explicitement.
Correction. \(H_2(x) = 4x^2-2\) est pair, \(H_3(x)=8x^3-12x\) est impair, et le poids \(e^{-x^2}\) est pair. Le produit \(H_2(x)H_3(x)e^{-x^2}\) est donc le produit pair × impair × pair = impair. Son intégrale sur \(\mathbb{R}\) (domaine symétrique, intégrabilité assurée par la décroissance gaussienne) est nulle. ∎
Exercice 3 (★★) — Caractériser un polynôme par son orthogonalité
Énoncé. Soit \((P_n)\) la famille unitaire orthogonale pour un poids \(w\). Montrer que \(P_n\) est l’unique polynôme unitaire de degré \(n\) tel que \(\langle P_n, X^k\rangle = 0\) pour tout \(0 \leq k \leq n-1\).
Correction. Existence : \(P_n\) convient, car \(X^k\) (de degré \(k\) < \(n\)) appartient à \(\mathbb{R}_{n-1}[X] = \mathrm{Vect}(P_0,\dots,P_{n-1})\), auquel \(P_n\) est orthogonal.
Unicité : soit \(R\) un autre polynôme unitaire de degré \(n\) vérifiant ces conditions. Alors \(D = P_n – R\) est de degré \(\leq n-1\) (les termes dominants se compensent) et orthogonal à \(1, X, \dots, X^{n-1}\), donc à tout \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\). En particulier \(\langle D, D\rangle = 0\) puisque \(D \in \mathbb{R}_{n-1}[X]\), d’où \(D=0\) et \(R = P_n\). ∎
Cette caractérisation est l’outil n°1 pour identifier un polynôme orthogonal en concours.
Toutes les démonstrations + le mémo Hermite / Laguerre
La fiche compacte avec les preuves clés et les deux familles à garder sous la main pendant tes DS et tes khôlles.
📄 L’essentiel du cours en 1 pageIdéale pour réviser juste avant une épreuve.
Exercice 4 (★★) — Calcul d’un coefficient de récurrence
Énoncé. Pour les polynômes de Legendre unitaires sur \([-1,1]\), calculer \(\displaystyle\beta_1 = \displaystyle\frac{\langle P_1,P_1\rangle}{\langle P_0,P_0\rangle}\) avec \(P_0=1\), \(P_1=X\).
Correction. \(\displaystyle\langle P_1,P_1\rangle = \int_{-1}^1 x^2 dx = \displaystyle\frac{2}{3}\) et \(\displaystyle\langle P_0,P_0\rangle = \int_{-1}^1 dx = 2\). Donc \(\displaystyle\beta_1 = \displaystyle\frac{2/3}{2} = \displaystyle\frac{1}{3}\). La récurrence donne alors \(\displaystyle P_2 = (X – \alpha_1)P_1 – \displaystyle\frac{1}{3}P_0\) avec \(\displaystyle\alpha_1 = \displaystyle\frac{\langle XP_1,P_1\rangle}{\langle P_1,P_1\rangle} = 0\) (intégrande impair), soit \(\displaystyle P_2 = X^2 – \displaystyle\frac{1}{3}\), en accord avec l’exercice 1.
Exercice 5 (★★★) — Type concours : intégrale et racines
Énoncé. Soit \((P_n)\) orthogonale pour un poids \(w\) sur \(]a,b[\). Montrer que pour tout polynôme \(Q\) de degré \(\leq 2n-1\), on a \(\displaystyle\int_a^b Q(x)w(x)dx = \sum_{i=1}^n \lambda_i\, Q(x_i)\), où les \(x_i\) sont les racines de \(P_n\) et les \(\lambda_i\) > \(0\) des poids appropriés (principe de la quadrature de Gauss).
Correction (idée directrice). On effectue la division euclidienne \(Q = A\,P_n + B\) avec \(\deg A, \deg B \leq n-1\). Alors
\(\displaystyle \int_a^b Qw = \underbrace{\int_a^b A P_n w}_{=\,0} + \int_a^b Bw = \int_a^b B w,\)la première intégrale étant nulle car \(\deg A \leq n-1 \Rightarrow A \perp P_n\). On choisit ensuite les poids \(\lambda_i\) comme intégrales des polynômes de Lagrange associés aux nœuds \(x_i\) : la formule \(\sum \lambda_i Q(x_i)\) est exacte sur \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\) par construction, et comme \(P_n(x_i)=0\), elle reste exacte pour \(Q = AP_n + B\). La positivité \(\lambda_i\) > \(0\) vient de \(\displaystyle\lambda_i = \int_a^b \ell_i(x)^2 w(x)dx\) où \(\ell_i\) est le polynôme de Lagrange élémentaire. ∎
Ce résultat — une formule à \(n\) points exacte jusqu’au degré \(2n-1\) — est la raison d’être des polynômes orthogonaux en analyse numérique.
Exercice 6 (★★★) — Type concours : Rodrigues et intégration par parties
Énoncé. En utilisant la formule de Rodrigues d’Hermite et des intégrations par parties répétées, montrer que \(\langle H_m, H_n\rangle = 0\) pour \(m\) < \(n\).
Correction. Avec \(\displaystyle H_n = (-1)^n e^{x^2}\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\), on a \(\displaystyle\langle H_m, H_n\rangle = (-1)^n\int_{-\infty}^{+\infty} H_m(x)\,\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}(e^{-x^2})\,dx\) (le facteur \(e^{x^2}\) annule le poids \(e^{-x^2}\)).
On intègre par parties \(n\) fois. À chaque étape, le terme de bord est nul car \(\displaystyle\frac{d^k}{dx^k}(e^{-x^2})\) s’écrit (polynôme)\(\times e^{-x^2}\) et tend vers 0 en \(\pm\infty\). Après \(n\) IPP, on obtient \(\displaystyle\langle H_m,H_n\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} H_m^{(n)}(x)\,e^{-x^2}\,dx\). Comme \(\deg H_m = m\) < \(n\), la dérivée \(n\)-ième \(H_m^{(n)} = 0\), donc l’intégrale est nulle. ∎
VII. Erreurs fréquentes et rédaction concours
Les correcteurs voient revenir les mêmes maladresses. Les repérer à l’avance te fait gagner des points immédiats.
Erreur n°1 — Oublier de justifier l’existence du produit scalaire.
❌ Copie fautive : « On munit \(\mathbb{R}[X]\) du produit scalaire \(\displaystyle\langle P,Q\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}PQe^{-x^2}dx\) et on passe directement aux calculs. »
Diagnostic : sur un intervalle non borné, il faut justifier la convergence de l’intégrale. La décroissance de \(e^{-x^2}\) domine toute croissance polynomiale.
✅ Correction : « Pour tout couple \((P,Q)\), \(|PQ|e^{-x^2} = o(e^{-x^2/2})\) en \(\pm\infty\), donc l’intégrale converge. L’application est alors bien définie, bilinéaire, symétrique, définie positive. »
Erreur n°2 — Confondre les normalisations.
Un même polynôme « de Hermite » peut désigner la version physiciens (\(H_n\), poids \(e^{-x^2}\)) ou probabilistes (\(\mathrm{He}_n\), poids \(e^{-x^2/2}\)). Indique toujours explicitement ton poids et ta normalisation en début de copie. Le correcteur ne devine pas tes conventions.
Erreur n°3 — Croire que \(P_n\) est orthogonal à tous les polynômes.
Faux : \(P_n\) est orthogonal aux degrés strictement inférieurs uniquement. La quantité \(\langle P_n, X^n\rangle\) est non nulle et sert précisément à calculer la norme.
Ce que le correcteur attend (rédaction concours). Sur une question d’orthogonalité, structure ta preuve en trois temps : (1) poser le bon produit scalaire et justifier qu’il est bien défini ; (2) exploiter l’argument-clé adapté — parité du poids, orthogonalité au degré inférieur, ou IPP via Rodrigues ; (3) conclure en revenant à l’énoncé exact. Une preuve par parité doit toujours mentionner que le domaine d’intégration est symétrique et l’intégrabilité acquise. C’est sur ces justifications, et non sur le calcul, que se gagnent les points.
VIII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un polynôme orthogonal exactement ?
C’est un élément d’une suite \((P_n)\) de polynômes, avec \(\deg P_n = n\), deux à deux orthogonaux pour un produit scalaire défini par une intégrale pondérée \(\displaystyle\langle P,Q\rangle = \int_a^b PQ\,w\,dx\). « Orthogonal » signifie que le produit scalaire de deux polynômes distincts de la famille est nul. Le choix du poids \(w\) et de l’intervalle détermine la famille (Legendre, Hermite, Laguerre, Tchebychev).
Quelle est la différence entre polynômes orthogonaux et polynômes premiers entre eux ?
Aucun rapport, malgré la proximité du vocabulaire. Deux polynômes premiers entre eux n’ont aucune racine commune (PGCD égal à 1) : c’est une notion d’arithmétique dans \(\mathbb{R}[X]\). Deux polynômes orthogonaux ont un produit scalaire nul pour un poids donné : c’est une notion de géométrie euclidienne. Par exemple \(X\) et \(X^2-\displaystyle\frac{1}{3}\) sont orthogonaux pour Legendre, mais cela ne dit rien sur leurs racines.
Pourquoi les racines d'un polynôme orthogonal sont-elles toutes réelles ?
Parce que \(P_n\) est orthogonal à la constante 1, donc d’intégrale pondérée nulle : il change de signe. Un raisonnement par l’absurde sur le nombre de changements de signe montre qu’il en a exactement \(n\), tous dans \(]a,b[\). C’est cette propriété qui rend les polynômes orthogonaux utilisables comme nœuds de quadrature numérique.
À quoi servent concrètement les polynômes orthogonaux ?
Trois grandes applications : la quadrature de Gauss (intégration numérique optimale, exacte jusqu’au degré \(2n-1\) avec \(n\) points), l’approximation de fonctions par projection sur une base orthogonale (séries de Legendre, de Tchebychev), et la physique (états propres de l’oscillateur harmonique pour Hermite, atome d’hydrogène pour Laguerre).
La relation de récurrence à trois termes vaut-elle pour toutes les familles ?
Oui. C’est un théorème général : toute suite de polynômes orthogonaux pour un poids quelconque vérifie une récurrence de la forme \(P_{n+1} = (x-\alpha_n)P_n – \beta_n P_{n-1}\) avec \(\beta_n\) > \(0\). Seules les valeurs de \(\alpha_n\) et \(\beta_n\) changent d’une famille à l’autre. C’est ce qui rend leur calcul algorithmiquement très efficace.
Faut-il connaître les polynômes d'Hermite et Laguerre par cœur ?
Tu dois connaître leurs poids, leur intervalle, leur formule de Rodrigues et savoir retrouver les premiers termes. La relation de récurrence et l’équation différentielle sont souvent fournies en concours, mais les mémoriser fait gagner un temps précieux. La fiche PDF de cette page rassemble exactement l’essentiel exigible.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais la théorie générale des polynômes orthogonaux : produit scalaire à poids, récurrence à trois termes, localisation des racines, et les familles d’Hermite et de Laguerre. Pour approfondir chaque pan du sujet :
- Le polynôme de Tchebychev — la famille orthogonale liée au cosinus, reine de l’approximation minimax.
- Le polynôme de Legendre — orthogonal pour le poids constant sur \([-1,1]\).
- Les racines d’un polynôme — multiplicité, relations coefficients-racines et théorèmes structurants.
- Le polynôme de Lagrange — indispensable pour comprendre la quadrature de Gauss.
- Le produit scalaire et les familles orthogonales — le cadre euclidien dont tout découle.
- Le cours complet sur les polynômes — la vue d’ensemble du chapitre.
- Les exercices corrigés sur les polynômes — pour t’entraîner davantage.
Les polynômes orthogonaux concentrent une grande partie de l’élégance du programme de Spé, à la croisée de l’algèbre, de l’analyse et de la géométrie. Si tu veux les manipuler avec la fluidité attendue aux concours, un accompagnement ciblé fait toute la différence.
