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Quand on cherche à approcher une fonction sur un segment, la base canonique \(1, x, x^2, \dots\) est commode pour calculer, mais catastrophique pour projeter : ces polynômes ne sont pas orthogonaux. Les polynômes de Legendre résolvent exactement ce problème. Ils forment la famille orthogonale naturelle de \(\mathbb{R}[X]\) pour le produit scalaire intégral sur \([-1\,;1]\), et apparaissent partout : quadratures de Gauss, équation de Laplace en physique, théorie de l’approximation. Dans ce cours, tu vas comprendre comment ils sont construits (formule de Rodrigues), démontrer leurs propriétés clés (orthogonalité, récurrence, racines), et t’entraîner sur des exercices type concours.
I. Définition et formule de Rodrigues
Il existe deux façons d’introduire les polynômes de Legendre : par une formule explicite (Rodrigues), ou par une propriété abstraite (l’orthogonalité). Les deux sont équivalentes, et il est essentiel de comprendre le lien entre elles. Commençons par la définition la plus opérationnelle.
Définition — Polynôme de Legendre (formule de Rodrigues)
Pour tout entier \(n \in \mathbb{N}\), le \(n\)-ième polynôme de Legendre est défini par :
Cette définition mérite quelques mots. La fonction \((x^2-1)^n\) est un polynôme de degré \(2n\). En la dérivant \(n\) fois, on obtient un polynôme de degré \(2n – n = n\). La constante de normalisation \(\displaystyle\frac{1}{2^n n!}\) est choisie pour que \(P_n(1) = 1\), comme nous le démontrerons plus loin.
A. Les premiers polynômes de Legendre
Calculons les premiers termes en appliquant directement la formule. Pour \(n = 2\) par exemple : \((x^2-1)^2 = x^4 – 2x^2 + 1\), que l’on dérive deux fois pour obtenir \(12x^2 – 4\), puis on divise par \(2^2 \cdot 2! = 8\).
| \(n\) | \(P_n(x)\) | \(P_n(1)\) |
|---|---|---|
| 0 | \(1\) | 1 |
| 1 | \(x\) | 1 |
| 2 | \(\displaystyle\frac{1}{2}(3x^2 – 1)\) | 1 |
| 3 | \(\displaystyle\frac{1}{2}(5x^3 – 3x)\) | 1 |
| 4 | \(\displaystyle\frac{1}{8}(35x^4 – 30x^2 + 3)\) | 1 |
| 5 | \(\displaystyle\frac{1}{8}(63x^5 – 70x^3 + 15x)\) | 1 |
B. Degré et coefficient dominant
Pour manipuler les \(P_n\) en démonstration, il faut connaître précisément leur degré et leur terme de plus haut degré.
Propriété — Degré et coefficient dominant
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(P_n\) est de degré \(n\), et son coefficient dominant vaut :
\(a_n = \displaystyle\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}\)
Démonstration. Le terme de plus haut degré de \((x^2-1)^n\) est \(x^{2n}\). En dérivant \(n\) fois, on obtient :
\(\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}\big(x^{2n}\big) = 2n(2n-1)\cdots(n+1)\,x^{n} = \displaystyle\frac{(2n)!}{n!}\,x^n\)En divisant par \(2^n n!\), le coefficient dominant est bien \(\displaystyle\frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}\). Comme ce coefficient est non nul, \(\deg P_n = n\). ∎
Conséquence importante : la famille \((P_0, P_1, \dots, P_n)\) est échelonnée en degré (un polynôme de chaque degré de \(0\) à \(n\)). C’est donc une base de \(\mathbb{R}_n[X]\). Tout polynôme de degré \(\leq n\) se décompose de manière unique dans la base de Legendre.
II. La propriété fondamentale : l’orthogonalité
Si les polynômes de Legendre sont si importants, c’est à cause d’une seule propriété, qui les caractérise entièrement. Munissons \(\mathbb{R}[X]\) du produit scalaire défini par l’intégrale sur le segment \([-1\,;1]\).
Théorème — Orthogonalité des polynômes de Legendre
Pour le produit scalaire \(\langle P, Q\rangle = \displaystyle\int_{-1}^{1} P(t)\,Q(t)\,dt\), les polynômes de Legendre sont deux à deux orthogonaux :
\(\langle P_n, P_m\rangle = \displaystyle\int_{-1}^{1} P_n(t)\,P_m(t)\,dt = 0 \quad \text{si } n \neq m\)
De plus, leur norme au carré vaut \(\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n(t)^2\,dt = \displaystyle\frac{2}{2n+1}\).
A. Démonstration par intégrations par parties successives
C’est la démonstration phare du chapitre. L’idée est de montrer un résultat plus fort : \(P_n\) est orthogonal à tout polynôme de degré strictement inférieur à \(n\).
Lemme. Pour tout polynôme \(Q\) de degré \(m\) < \(n\), on a \(\langle P_n, Q\rangle = 0\).
Preuve. Posons \(u(x) = (x^2-1)^n\), de sorte que \(P_n = \displaystyle\frac{1}{2^n n!}\,u^{(n)}\). Le point clé est que \(\pm 1\) sont racines d’ordre \(n\) de \(u\) :
\(u^{(k)}(1) = u^{(k)}(-1) = 0 \quad \text{pour tout } 0 \leq k \leq n-1\)Calculons \(\displaystyle\int_{-1}^{1} u^{(n)}(t)\,Q(t)\,dt\) par une intégration par parties (en dérivant \(Q\), en intégrant \(u^{(n)}\)) :
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} u^{(n)} Q\,dt = \Big[u^{(n-1)} Q\Big]_{-1}^{1} – \displaystyle\int_{-1}^{1} u^{(n-1)} Q^\prime\,dt\)Le terme de bord est nul car \(u^{(n-1)}(\pm 1) = 0\). En répétant l’opération \(m+1\) fois (chaque terme de bord s’annule pour la même raison, tant que l’ordre de dérivation de \(u\) reste \(\leq n-1\)), on obtient :
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} u^{(n)} Q\,dt = (-1)^{m+1}\displaystyle\int_{-1}^{1} u^{(n-m-1)}\, Q^{(m+1)}\,dt\)Or \(\deg Q = m\), donc \(Q^{(m+1)} = 0\). L’intégrale est nulle, et donc \(\langle P_n, Q\rangle = 0\). ∎
Pour conclure sur l’orthogonalité : si \(n \neq m\), disons \(m\) < \(n\), alors \(P_m\) est de degré \(m\) < \(n\), donc \(\langle P_n, P_m\rangle = 0\). La démonstration repose entièrement sur l’intégration par parties, outil incontournable à maîtriser.
B. Calcul de la norme
Pour la norme, on applique le lemme avec \(Q = P_n\) lui-même. On a \(P_n = a_n x^n + \dots\) (termes de degré inférieur). Comme \(P_n\) est orthogonal à tous les termes de degré \(< n[/latex] :
[latex]\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n^2\,dt = a_n \displaystyle\int_{-1}^{1} t^n\,P_n(t)\,dt\)En appliquant la formule d’IPP ci-dessus avec \(Q(t) = a_n t^n\) (donc \(Q^{(n)} = a_n \, n!\)) :
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n^2\,dt = \displaystyle\frac{1}{2^n n!}\,(-1)^n a_n\, n! \displaystyle\int_{-1}^{1} (t^2-1)^n\,dt\)L’intégrale \(\displaystyle\int_{-1}^{1}(t^2-1)^n\,dt = (-1)^n \displaystyle\frac{2^{2n+1}(n!)^2}{(2n+1)!}\) (intégrale de Wallis classique). En substituant \(a_n = \displaystyle\frac{(2n)!}{2^n(n!)^2}\), tout se simplifie et l’on obtient :
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n^2\,dt = \displaystyle\frac{2}{2n+1}\)Caractérisation abstraite : \(P_n\) est l’unique polynôme de degré \(n\) vérifiant \(P_n(1)=1\) et orthogonal à \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\). Cette caractérisation est exactement celle que produit le procédé de Gram-Schmidt appliqué à la base canonique \((1, x, x^2, \dots)\), puis normalisé.
La fiche de cours « Polynômes de Legendre » en 1 page
Formule de Rodrigues, orthogonalité, norme, récurrence de Bonnet et racines : tout l’essentiel synthétisé pour tes révisions de concours.
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III. Relation de récurrence et équation différentielle
Calculer \(P_n\) avec Rodrigues devient pénible dès que \(n\) grandit. Heureusement, une relation de récurrence à trois termes permet de les générer de proche en proche — c’est de loin la méthode la plus rapide en pratique.
Théorème — Relation de récurrence (Bonnet)
Pour tout \(n \geq 1\) :
\((n+1)\,P_{n+1}(x) = (2n+1)\,x\,P_n(x) – n\,P_{n-1}(x)\)
avec \(P_0(x) = 1\) et \(P_1(x) = x\).
Exemple — Retrouver \(P_3\) par récurrence.
On part de \(P_2 = \displaystyle\frac{1}{2}(3x^2-1)\) et \(P_1 = x\). Pour \(n = 2\) :
\(3\,P_3 = 5x\,P_2 – 2\,P_1 = 5x \cdot \displaystyle\frac{1}{2}(3x^2-1) – 2x = \displaystyle\frac{15x^3 – 5x}{2} – 2x\)
\(3\,P_3 = \displaystyle\frac{15x^3 – 5x – 4x}{2} = \displaystyle\frac{15x^3 – 9x}{2}\)
D’où \(P_3 = \displaystyle\frac{1}{2}(5x^3 – 3x)\). On retrouve bien la valeur du tableau. ✓
A. L’équation différentielle de Legendre
Les \(P_n\) ne sont pas qu’une curiosité algébrique : ce sont les solutions polynomiales d’une équation différentielle linéaire d’ordre 2, qui surgit naturellement lors de la résolution de l’équation de Laplace en coordonnées sphériques.
Théorème — Équation différentielle de Legendre
\(y = P_n\) est solution de l’équation différentielle :
\((1-x^2)\,y^{\prime\prime} – 2x\,y^\prime + n(n+1)\,y = 0\)
Autrement dit, \(P_n\) est vecteur propre de l’opérateur \(L(y) = \big((1-x^2)y^\prime\big)^\prime\) pour la valeur propre \(-n(n+1)\).
Cette interprétation spectrale (opérateur auto-adjoint pour le produit scalaire intégral) explique d’ailleurs pourquoi les \(P_n\) sont orthogonaux : ce sont les vecteurs propres d’un opérateur symétrique associés à des valeurs propres distinctes.
B. 🔴 Fonction génératrice (effet wow)
Voici un résultat élégant que peu de fiches mentionnent, et qui tombe régulièrement aux concours sous forme de problème. Les polynômes de Legendre sont les coefficients du développement en série entière de la fonction :
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 – 2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^{+\infty} P_n(x)\,t^n\)Cette fonction est appelée fonction génératrice des polynômes de Legendre. Elle est issue du développement du potentiel newtonien \(\displaystyle\frac{1}{\|\vec{r} – \vec{r}’\|}\) en physique, et c’est de là que Legendre a originellement introduit ses polynômes en 1782. En dérivant cette identité par rapport à \(t\), on retrouve directement la relation de récurrence de Bonnet — un excellent exercice de synthèse.
IV. Racines des polynômes de Legendre
Une des questions les plus posées (et une PAA Google) : où se trouvent les racines de \(P_n\) ? La réponse est remarquablement nette, et elle est à la base des quadratures de Gauss.
Théorème — Racines de \(P_n\)
Pour \(n \geq 1\), le polynôme \(P_n\) possède exactement \(n\) racines, toutes réelles, simples et situées dans l’intervalle ouvert \(]-1\,;1[\).
Démonstration. C’est une preuve classique par l’absurde, fondée sur l’orthogonalité. Notons \(x_1, \dots, x_p\) les racines de \(P_n\) situées dans \(]-1\,;1[\) en lesquelles \(P_n\) change de signe (racines de multiplicité impaire). On veut montrer \(p = n\).
Supposons par l’absurde \(p\) < \(n\). Posons \(Q(x) = (x – x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_p)\), de degré \(p\) < \(n\). Alors le produit \(P_n(x)\,Q(x)\) ne change jamais de signe sur \(]-1\,;1[\) : en chaque \(x_i\), les deux facteurs changent de signe simultanément. Le produit garde donc un signe constant, et n’étant pas identiquement nul :
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n(t)\,Q(t)\,dt \neq 0\)Mais comme \(\deg Q\) < \(n\), l’orthogonalité impose \(\langle P_n, Q\rangle = 0\). Contradiction. Donc \(p = n\) : \(P_n\) a \(n\) racines de changement de signe dans \(]-1\,;1[\), qui sont nécessairement ses \(n\) racines, toutes simples. ∎
Lien avec Tchebychev : les racines de \(P_n\) n’ont pas d’expression simple (contrairement aux racines du polynôme de Tchebychev, qui sont des cosinus). On les calcule numériquement. Ce sont précisément les nœuds de la quadrature de Gauss-Legendre, qui intègre exactement les polynômes jusqu’au degré \(2n-1\) avec seulement \(n\) points.
V. Legendre face aux autres familles orthogonales
Legendre n’est qu’une famille orthogonale parmi d’autres. Ce qui les distingue, c’est le couple (intervalle, fonction poids). Ce tableau de synthèse t’aide à ne pas les confondre — une erreur classique en colle.
| Famille | Intervalle | Poids \(w(x)\) | Récurrence / particularité |
|---|---|---|---|
| Legendre \(P_n\) | \([-1\,;1]\) | \(1\) | Quadrature de Gauss, \(P_n(1)=1\) |
| Tchebychev \(T_n\) | \([-1\,;1]\) | \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)\) |
| Hermite \(H_n\) | \(\mathbb{R}\) | \(e^{-x^2}\) | Oscillateur quantique |
| Laguerre \(L_n\) | \([0\,;+\infty[\) | \(e^{-x}\) | Atome d’hydrogène |
Pour une vue d’ensemble de ces familles et de leur construction commune par Gram-Schmidt, consulte le cours dédié aux polynômes orthogonaux.
VI. Exercices corrigés
Place à la pratique. Les exercices sont classés par difficulté croissante. Cherche sincèrement avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 (★). En utilisant la formule de Rodrigues, calculer \(P_2\) et vérifier que \(P_2(1) = 1\) et \(P_2(-1) = 1\).
Exercice 1 — Voir la correction
On a \((x^2-1)^2 = x^4 – 2x^2 + 1\). Dérivons deux fois :
\(\big(x^4 – 2x^2 + 1\big)^\prime = 4x^3 – 4x\), puis \(\big(4x^3-4x\big)^\prime = 12x^2 – 4\).
On divise par \(2^2 \cdot 2! = 8\) : \(P_2(x) = \displaystyle\frac{12x^2-4}{8} = \displaystyle\frac{1}{2}(3x^2-1)\).
Vérification : \(P_2(1) = \displaystyle\frac{1}{2}(3-1) = 1\) et \(P_2(-1) = \displaystyle\frac{1}{2}(3-1) = 1\) (cohérent avec la parité, \(P_2\) est pair). ✓
Exercice 2 (★★). Démontrer la propriété de parité : pour tout \(n\), \(P_n(-x) = (-1)^n\,P_n(x)\).
Exercice 2 — Voir la correction
Posons \(g(x) = (x^2-1)^n\). C’est une fonction paire : \(g(-x) = ((-x)^2-1)^n = (x^2-1)^n = g(x)\).
On utilise la règle de parité des dérivées : la dérivée d’une fonction paire est impaire, et inversement. Plus précisément, si \(g\) est paire, alors \(g^{(n)}\) a la parité \((-1)^n\), c’est-à-dire \(g^{(n)}(-x) = (-1)^n g^{(n)}(x)\).
On le montre en dérivant \(g(-x) = g(x)\) : à chaque dérivation, la règle de la chaîne fait apparaître un facteur \((-1)\) à gauche. Après \(n\) dérivations : \((-1)^n g^{(n)}(-x) = g^{(n)}(x)\), soit \(g^{(n)}(-x) = (-1)^n g^{(n)}(x)\).
Comme \(P_n = \displaystyle\frac{1}{2^n n!}g^{(n)}\), on conclut \(P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)\). ∎
Conséquence : \(P_n\) est pair si \(n\) est pair, impair si \(n\) est impair. En particulier \(P_{2k+1}(0) = 0\).
Exercice 3 (★★). Calculer \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2\,P_2(x)\,dx\) de deux façons : directement, puis en utilisant l’orthogonalité.
Exercice 3 — Voir la correction
Méthode orthogonalité (élégante). Écrivons \(x^2\) dans la base de Legendre. On a \(P_2 = \displaystyle\frac{1}{2}(3x^2-1)\), donc \(x^2 = \displaystyle\frac{2P_2 + 1}{3} = \displaystyle\frac{2}{3}P_2 + \displaystyle\frac{1}{3}P_0\).
Ainsi : \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2 P_2\,dx = \displaystyle\frac{2}{3}\langle P_2, P_2\rangle + \displaystyle\frac{1}{3}\langle P_0, P_2\rangle\).
Le second terme est nul (orthogonalité), le premier vaut \(\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{2}{2\cdot 2+1} = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot\displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{4}{15}\).
Vérification directe : \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2 \cdot \displaystyle\frac{1}{2}(3x^2-1)\,dx = \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-1}^{1}(3x^4 – x^2)\,dx = \displaystyle\frac{1}{2}\Big(3\cdot\displaystyle\frac{2}{5} – \displaystyle\frac{2}{3}\Big) = \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{18-10}{15} = \displaystyle\frac{4}{15}\). ✓
Exercice 4 (★★★, raisonnement). Soit \(Q\) un polynôme de degré \(\leq n-1\). Montrer que \(\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n(t)\,Q(t)\,dt = 0\) entraîne que la quadrature de Gauss à \(n\) points (nœuds = racines de \(P_n\)) est exacte sur \(\mathbb{R}_{2n-1}[X]\).
Exercice 4 — Voir la correction
Soit \(F\) un polynôme de degré \(\leq 2n-1\). Effectuons la division euclidienne de \(F\) par \(P_n\) :
\(F = P_n\, Q + R, \qquad \deg Q \leq n-1,\ \deg R \leq n-1\)
Intégrons sur \([-1\,;1]\) : \(\displaystyle\int_{-1}^1 F = \underbrace{\displaystyle\int_{-1}^1 P_n Q}_{=\,0 \text{ (orthogonalité)}} + \displaystyle\int_{-1}^1 R = \displaystyle\int_{-1}^1 R\).
Par ailleurs, en chaque nœud \(x_i\) (racine de \(P_n\)) : \(F(x_i) = P_n(x_i)Q(x_i) + R(x_i) = R(x_i)\). La quadrature \(\sum_i w_i F(x_i) = \sum_i w_i R(x_i)\).
Les poids \(w_i\) étant choisis pour que la quadrature soit exacte sur \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\), elle l’est sur \(R\) : \(\sum_i w_i R(x_i) = \displaystyle\int_{-1}^1 R\). En combinant : \(\sum_i w_i F(x_i) = \displaystyle\int_{-1}^1 F\). La quadrature est exacte sur tout \(\mathbb{R}_{2n-1}[X]\). ∎
C’est le théorème fondamental de la quadrature de Gauss : \(n\) points bien choisis valent \(2n-1\) degrés d’exactitude.
VII. Erreurs fréquentes et pièges
Voici les confusions qui coûtent des points en colle et en concours.
Piège n°1 — Confondre le poids de Legendre et celui de Tchebychev.
❌ « Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire \(\displaystyle\int_{-1}^1 \displaystyle\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt\). »
Diagnostic : ce poids \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\) est celui de Tchebychev. Legendre utilise le poids constant \(w(t)=1\).
✅ Legendre : \(\langle P, Q\rangle = \displaystyle\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,dt\), poids \(1\).
Piège n°2 — Oublier la constante de normalisation \(\displaystyle\frac{1}{2^n n!}\).
❌ Écrire \(P_n = \displaystyle\frac{d^n}{dx^n}\big[(x^2-1)^n\big]\) sans le facteur.
Diagnostic : sans la constante, on n’a plus \(P_n(1)=1\), et la norme \(\displaystyle\frac{2}{2n+1}\) devient fausse. La normalisation \(P_n(1)=1\) est la convention standard de Legendre.
Piège n°3 — Penser que les racines de \(P_n\) ont une forme close.
❌ Chercher une formule analytique pour les racines comme on le ferait pour Tchebychev.
Diagnostic : contrairement à \(T_n\) dont les racines sont des \(\cos\!\big(\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{2n}\big)\), les racines de \(P_n\) n’ont pas d’expression simple. On sait seulement qu’elles sont réelles, simples, dans \(]-1\,;1[\). On les calcule numériquement.
VIII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Les polynômes de Legendre tombent souvent dans un problème de réduction ou d’analyse hilbertienne. Voici les réflexes de rédaction qui font la différence.
Démonstration d’orthogonalité : le correcteur attend que tu justifies explicitement l’annulation des termes de bord. Énonce clairement « \(\pm 1\) sont racines d’ordre \(n\) de \((x^2-1)^n\), donc \(u^{(k)}(\pm 1)=0\) pour \(k \leq n-1\) ». C’est le point que les copies bâclent.
Preuve sur les racines : introduis proprement le polynôme \(Q\) construit sur les racines de changement de signe (pas « les racines », nuance importante en présence de multiplicités). Pose le raisonnement par l’absurde, et conclus avec l’orthogonalité.
Pour Gauss : ne pars jamais sans avoir écrit la division euclidienne \(F = P_n Q + R\). C’est l’amorce attendue de tout résultat d’exactitude.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la formule du polynôme de Legendre ?
La formule la plus utilisée est la formule de Rodrigues : \(P_n(x) = \displaystyle\frac{1}{2^n n!}\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}\big[(x^2-1)^n\big]\). En pratique, on génère les polynômes plus rapidement par la relation de récurrence \((n+1)P_{n+1} = (2n+1)xP_n – nP_{n-1}\), avec \(P_0=1\) et \(P_1=x\).
Quelles sont les racines des polynômes de Legendre ?
Le polynôme \(P_n\) possède exactement \(n\) racines réelles, toutes simples et situées strictement entre \(-1\) et \(1\). Elles n’ont pas d’expression analytique simple et se calculent numériquement : ce sont les nœuds de la quadrature de Gauss-Legendre.
Quelle est la différence entre les polynômes de Legendre et de Tchebychev ?
Les deux familles sont orthogonales sur \([-1\,;1]\), mais pour des poids différents. Legendre utilise le poids constant \(w(x)=1\) ; Tchebychev utilise \(w(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\). Conséquence : les racines de Tchebychev sont des cosinus explicites, alors que celles de Legendre n’ont pas de forme close.
Pourquoi les polynômes de Legendre sont-ils orthogonaux ?
Deux raisons équivalentes. D’un point de vue algébrique, la formule de Rodrigues combinée à des intégrations par parties successives montre que \(P_n\) est orthogonal à tout polynôme de degré \(< n\). D’un point de vue spectral, ce sont les vecteurs propres de l’opérateur auto-adjoint \(L(y)=((1-x^2)y^\prime)^\prime\) pour des valeurs propres distinctes \(-n(n+1)\).
Combien vaut la norme d'un polynôme de Legendre ?
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} P_n(t)^2\,dt = \displaystyle\frac{2}{2n+1}\). Les \(P_n\) ne sont donc pas normés : pour obtenir une base orthonormée, on multiplie \(P_n\) par \(\sqrt{\displaystyle\frac{2n+1}{2}}\).
À quoi servent les polynômes de Legendre ?
Ils interviennent dans la quadrature numérique de Gauss-Legendre (intégration exacte des polynômes jusqu’au degré \(2n-1\) avec \(n\) points), dans la résolution de l’équation de Laplace en coordonnées sphériques (harmoniques sphériques en physique), et plus généralement dans l’approximation de fonctions par projection orthogonale.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la construction, l’orthogonalité et les racines des polynômes de Legendre. Pour consolider et élargir :
- Les polynômes orthogonaux : Hermite et Laguerre — la construction générale par Gram-Schmidt.
- Le polynôme de Tchebychev — l’autre grande famille sur \([-1\,;1]\), avec racines explicites.
- Racines d’un polynôme : multiplicité et relations coefficients-racines — la théorie générale sous-jacente.
- Produit scalaire et familles orthogonales — le cadre euclidien complet.
- Les polynômes : cours complet — le pilier du chapitre.
