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Une matrice peut-elle être « racine » de son propre polynôme caractéristique ? C’est exactement ce qu’affirme le théorème de Cayley-Hamilton, l’un des résultats les plus utiles de la réduction des endomorphismes. Il transforme le polynôme caractéristique en une relation polynomiale satisfaite par la matrice elle-même, ce qui ouvre la porte au calcul des puissances \(A^k\), à l’inversion d’une matrice et à la théorie du polynôme minimal. Dans cet article : l’énoncé exact, la fausse démonstration à éviter, deux preuves rigoureuses et les applications en exercices et en concours.
I. Énoncé du théorème et contexte
Avant tout énoncé, fixons les notations. Dans tout l’article, \(\mathbb{K}\) désigne le corps \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), et \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) une matrice carrée d’ordre \(n\). On note \(I_n\) la matrice identité.
A. Rappel : le polynôme caractéristique
Le théorème porte sur le polynôme caractéristique de \(A\). Rappelons sa définition.
Définition — Polynôme caractéristique
Le polynôme caractéristique de \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est le polynôme de degré \(n\) défini par
\(\chi_A(X) = \det\!\left(X I_n – A\right) \in \mathbb{K}[X].\)
C’est un polynôme unitaire : son coefficient dominant vaut \(1\). Ses racines dans \(\mathbb{C}\) sont exactement les valeurs propres de \(A\).
Attention à la convention : certains ouvrages posent \(\det(A – X I_n)\), qui vaut \((-1)^n \chi_A(X)\). Cela ne change ni les racines, ni l’énoncé de Cayley-Hamilton. Nous adoptons ici la convention unitaire \(\det(X I_n – A)\), la plus répandue en prépa.
B. L’énoncé de Cayley-Hamilton
L’idée centrale est qu’on peut « évaluer » un polynôme en une matrice : si \(P(X) = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k\), on pose \(P(A) = \sum_{k=0}^{d} a_k A^k\), avec la convention \(A^0 = I_n\). C’est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
Théorème de Cayley-Hamilton ⋆
Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\),
\(\chi_A(A) = 0_{\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}.\)
Autrement dit, toute matrice annule son propre polynôme caractéristique. De manière équivalente, pour un endomorphisme \(u\) d’un espace vectoriel \(E\) de dimension finie, \(\chi_u(u) = 0_{\mathcal{L}(E)}\).
Concrètement, si \(\chi_A(X) = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X + a_0\), le théorème affirme la relation matricielle
\(A^n + a_{n-1}A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I_n = 0_n.\)C’est une relation de dépendance linéaire entre les puissances \(I_n, A, A^2, \dots, A^n\) : la puissance \(A^n\) s’exprime à l’aide des puissances inférieures. Tout le pouvoir calculatoire du théorème vient de là.
C. Le cas fondamental \(n=2\)
Pour \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\), le polynôme caractéristique s’écrit explicitement
\(\chi_A(X) = X^2 – \mathrm{tr}(A)\,X + \det(A).\)Cayley-Hamilton donne alors la relation à connaître par cœur :
Relation à mémoriser (n = 2) : pour toute matrice \(2 \times 2\),
\(A^2 – \mathrm{tr}(A)\,A + \det(A)\,I_2 = 0_2.\)
C’est l’outil le plus rentable en colle et au concours : il ramène instantanément \(A^2\) à une combinaison de \(A\) et \(I_2\).
Maintenant que l’énoncé est posé, la question naturelle est : pourquoi est-ce vrai ? Et surtout, pourquoi la « preuve évidente » est-elle fausse ?
II. La fausse démonstration (le piège à éviter absolument)
Tous les ans, des élèves « démontrent » Cayley-Hamilton en deux lignes — et perdent tous les points. Décortiquons l’erreur, car la comprendre est la meilleure façon de comprendre le théorème lui-même.
❌ La preuve fausse :
« Puisque \(\chi_A(X) = \det(X I_n – A)\), il suffit de remplacer \(X\) par \(A\) : \(\chi_A(A) = \det(A I_n – A) = \det(0_n) = 0\). »
Diagnostic : cette ligne mélange deux opérations totalement différentes.
- L’expression \(\det(X I_n – A)\) est un déterminant d’une matrice à coefficients polynomiaux. Le résultat est un polynôme \(\chi_A(X) \in \mathbb{K}[X]\), donc un scalaire pour chaque valeur de \(X\).
- L’expression \(\chi_A(A)\) est l’évaluation de ce polynôme en la matrice \(A\) : le résultat est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
Écrire \(\det(A I_n – A)\) consiste à substituer la matrice \(A\) à l’intérieur du déterminant, ce qui n’a aucun sens : on remplacerait chaque coefficient scalaire \(X\) par toute une matrice \(A\), et le « déterminant » obtenu n’est ni un scalaire ni la matrice \(\chi_A(A)\). ✅ Correction : il faut d’abord calculer le polynôme \(\chi_A(X)\), puis y substituer la matrice. La démonstration correcte exige un vrai travail (section III).
La morale : substituer une matrice dans un polynôme et substituer une matrice dans un déterminant sont deux gestes incompatibles. Voyons maintenant comment démontrer rigoureusement le résultat.
Tout Cayley-Hamilton sur une seule page
Énoncé, démonstration par la comatrice, et les 3 applications-clés (inverse, puissances, minimal) : la fiche de synthèse à garder sous les yeux avant une colle ou un concours.
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III. Démonstrations rigoureuses
Nous présentons deux preuves complémentaires : la preuve par la comatrice (algébrique, valable sur tout corps, exigible) et la preuve par trigonalisation (géométrique, très éclairante sur \(\mathbb{C}\)).
A. Démonstration par la comatrice ⋆
C’est la preuve de référence. Elle repose sur l’identité fondamentale de la comatrice (matrice complémentaire).
Rappel — Identité de la comatrice : pour toute matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\),
\(M \cdot {}^{t}\mathrm{com}(M) = \det(M)\, I_n.\)
Cette identité reste valable dans l’anneau \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}[X])\) des matrices à coefficients polynomiaux.
Étape 1 — Appliquer l’identité à \(M = X I_n – A\). On travaille dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K}[X])\). Posons
\(N(X) = {}^{t}\mathrm{com}(X I_n – A).\)L’identité de la comatrice donne
\((X I_n – A)\, N(X) = \det(X I_n – A)\, I_n = \chi_A(X)\, I_n. \qquad (\ast)\)Étape 2 — Contrôler les degrés. Chaque coefficient de \(N(X)\) est, au signe près, un mineur d’ordre \(n-1\) de \(X I_n – A\) : c’est donc un polynôme de degré au plus \(n-1\). On peut alors écrire \(N(X)\) comme un « polynôme à coefficients matriciels » :
\(N(X) = \sum_{k=0}^{n-1} X^k\, N_k, \qquad N_k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}).\)Étape 3 — Identifier les coefficients. Écrivons \(\chi_A(X) = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\) avec \(a_n = 1\). En développant le membre de gauche de \((\ast)\) :
\((X I_n – A)\,N(X) = \sum_{k=0}^{n-1} X^{k+1} N_k – \sum_{k=0}^{n-1} X^k\, A N_k.\)En identifiant terme à terme avec \(\sum_{k=0}^{n} a_k X^k I_n\), on obtient le système :
| Puissance | Relation |
|---|---|
| \(X^0\) | \(-A N_0 = a_0 I_n\) |
| \(X^k\ (1 \le k \le n-1)\) | \(N_{k-1} – A N_k = a_k I_n\) |
| \(X^n\) | \(N_{n-1} = a_n I_n = I_n\) |
Étape 4 — Multiplier par \(A^k\) et sommer (le télescopage). Multiplions chaque relation \(a_k I_n = \dots\) à gauche par \(A^k\), puis sommons sur \(k\) de \(0\) à \(n\). Le membre de gauche redonne précisément \(\chi_A(A)\) :
\(\chi_A(A) = \sum_{k=0}^{n} a_k A^k = -A N_0 + \sum_{k=1}^{n-1} \left(A^k N_{k-1} – A^{k+1} N_k\right) + A^n N_{n-1}.\)La somme centrale se télescope :
\(\sum_{k=1}^{n-1} A^k N_{k-1} = A N_0 + A^2 N_1 + \cdots + A^{n-1}N_{n-2},\) \(\sum_{k=1}^{n-1} A^{k+1} N_k = A^2 N_1 + A^3 N_2 + \cdots + A^{n} N_{n-1}.\)La différence vaut donc \(A N_0 – A^n N_{n-1}\). En reportant :
\(\chi_A(A) = -A N_0 + \big(A N_0 – A^n N_{n-1}\big) + A^n N_{n-1} = 0_n.\)Tout s’annule. On a démontré \(\chi_A(A) = 0\). ∎
Erreur classique dans cette preuve : vouloir « remplacer \(X\) par \(A\) » directement dans l’égalité \((\ast)\). Impossible : \(X\) commute avec tout, mais \(A\) ne commute pas a priori avec les \(N_k\). C’est justement pourquoi on passe par l’identification des coefficients matriciels et la multiplication contrôlée par \(A^k\) à gauche.
B. Démonstration par trigonalisation (sur ℂ)
Cette seconde preuve, plus géométrique, met en lumière le rôle des valeurs propres. On la mène d’abord sur \(\mathbb{C}\), où toute matrice est trigonalisable.
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). Il existe \(P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\) telle que \(T = P^{-1} A P\) soit triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) (les valeurs propres comptées avec multiplicité). Alors
\(\chi_A(X) = \chi_T(X) = \prod_{i=1}^{n} (X – \lambda_i).\)Notons \((e_1, \dots, e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{C}^n\) et \(F_k = \mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_k)\), avec \(F_0 = \{0\}\). La triangularité signifie que \(T(e_k) \in F_k\) pour tout \(k\), avec une composante \(\lambda_k\) sur \(e_k\). On en déduit le lemme clé :
\((T – \lambda_k I_n)\,(F_k) \subset F_{k-1}.\)Comme les facteurs \((T – \lambda_i I_n)\) sont des polynômes en \(T\), ils commutent entre eux. On peut donc montrer par récurrence sur \(k\) que
\((T – \lambda_1 I_n)(T – \lambda_2 I_n)\cdots(T – \lambda_k I_n)\,(F_k) \subset F_0 = \{0\}.\)Pour \(k = n\), cela donne \(\chi_T(T) = \prod_{i=1}^n (T – \lambda_i I_n) = 0\) sur \(F_n = \mathbb{C}^n\) tout entier, donc \(\chi_T(T) = 0_n\). Enfin
\(\chi_A(A) = \chi_A(P T P^{-1}) = P\,\chi_A(T)\,P^{-1} = P\,\chi_T(T)\,P^{-1} = 0_n.\)∎
Et sur \(\mathbb{R}\) ? Une matrice réelle est aussi une matrice complexe. On lui applique le résultat sur \(\mathbb{C}\) : \(\chi_A(A) = 0\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\). Mais \(\chi_A(A)\) est à coefficients réels (les \(a_k\) et \(A\) le sont), donc l’égalité avec \(0\) vaut aussi dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). La preuve par comatrice, elle, fonctionne directement sur tout corps.
Une troisième approche, plus rapide, consiste à invoquer la densité des matrices diagonalisables dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) : Cayley-Hamilton est évident pour une matrice diagonalisable (chaque \((A – \lambda_i I)\) annule l’espace propre correspondant), et l’application \(A \mapsto \chi_A(A)\) est continue, donc nulle partout par densité. Élégante, mais réservée à \(\mathbb{C}\). Voyons à présent comment exploiter le théorème.
IV. Méthode et applications
Cayley-Hamilton n’est pas qu’un beau théorème : c’est un outil de calcul. Voici les trois usages incontournables.
A. Lien avec le polynôme minimal
Le théorème fournit immédiatement un polynôme annulateur de \(A\), à savoir \(\chi_A\). Or le polynôme minimal \(\mu_A\) est, par définition, le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule \(A\), et il divise tout polynôme annulateur. On en déduit :
Corollaire — Le minimal divise le caractéristique
Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\),
\(\mu_A \mid \chi_A.\)
En particulier \(\deg \mu_A \le n\). De plus, \(\mu_A\) et \(\chi_A\) ont les mêmes racines (les valeurs propres), seules leurs multiplicités diffèrent.
C’est ce corollaire qui rend opérationnel le critère de diagonalisabilité : une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.
B. Calcul de l’inverse
Si \(A\) est inversible, Cayley-Hamilton donne une expression de \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\). Partons de
\(A^n + a_{n-1}A^{n-1} + \cdots + a_1 A + a_0 I_n = 0_n.\)Le terme constant vaut \(a_0 = \chi_A(0) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)\). Si \(A\) est inversible, \(\det(A) \ne 0\) donc \(a_0 \ne 0\). En isolant et en factorisant par \(A\) :
\(A\left(A^{n-1} + a_{n-1}A^{n-2} + \cdots + a_1 I_n\right) = -a_0 I_n,\) \(A^{-1} = -\displaystyle\frac{1}{a_0}\left(A^{n-1} + a_{n-1}A^{n-2} + \cdots + a_1 I_n\right).\)Réciproquement, on retrouve un critère d’inversibilité : \(A\) est inversible si et seulement si \(0\) n’est pas racine de \(\chi_A\), c’est-à-dire \(a_0 \ne 0\).
C. Calcul des puissances \(A^m\)
C’est l’application reine en concours. L’idée : faire la division euclidienne de \(X^m\) par \(\chi_A\).
Méthode — Calculer \(A^m\) avec Cayley-Hamilton (en 4 étapes)
- Calculer \(\chi_A(X)\), de degré \(n\).
- Effectuer la division euclidienne \(X^m = Q(X)\,\chi_A(X) + R(X)\) avec \(\deg R \lt n\).
- Comme \(\chi_A(A) = 0\), on a \(A^m = R(A)\).
- Déterminer les coefficients de \(R\) en évaluant la relation \(X^m = Q\chi_A + R\) aux racines de \(\chi_A\) (en tenant compte des dérivées si une racine est multiple).
Exemple résolu 🟠 : soit \(A\) telle que \(\chi_A(X) = X^2 – 3X + 2 = (X-1)(X-2)\). Calculons \(A^m\) pour \(m \ge 1\).
On cherche \(R(X) = \alpha X + \beta\) tel que \(X^m \equiv R(X) \pmod{\chi_A}\). En évaluant aux racines \(1\) et \(2\) :
\(\begin{cases} \alpha + \beta = 1^m = 1 \\ 2\alpha + \beta = 2^m \end{cases}\)
D’où \(\alpha = 2^m – 1\) et \(\beta = 2 – 2^m\). Comme \(A^m = R(A) = \alpha A + \beta I_2\) :
\(A^m = (2^m – 1)\,A + (2 – 2^m)\,I_2.\)
Vérification (\(m=1\)) : \((2-1)A + (2-2)I_2 = A\) ✓.
Ces trois usages — minimal, inverse, puissances — couvrent l’essentiel des questions de concours qui mobilisent Cayley-Hamilton. Mettons-les en pratique.
V. Exercices corrigés
Les exercices sont classés par difficulté croissante. Cherche-les avant de consulter la correction.
Exercice 1 — Vérification directe ★ 🟠
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_A\) et vérifier que \(\chi_A(A) = 0_2\).
Corrigé de l'exercice 1
\(\mathrm{tr}(A) = 3\) et \(\det(A) = 1\cdot 2 – 2 \cdot 3 = -4\), donc
\(\chi_A(X) = X^2 – 3X – 4.\)
On calcule \(A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix}\). Alors
\(A^2 – 3A – 4 I_2 = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 0_2.\) ✓
Exercice 2 — Inverse par Cayley-Hamilton ★★ 🟠
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\). Exprimer \(A^{-1}\) à l’aide de \(A\) et \(I_2\).
Corrigé de l'exercice 2
\(\mathrm{tr}(A) = 3\), \(\det(A) = 1\), donc \(\chi_A(X) = X^2 – 3X + 1\) et
\(A^2 – 3A + I_2 = 0_2 \;\Longrightarrow\; I_2 = 3A – A^2 = A(3I_2 – A).\)
Ainsi \(A^{-1} = 3 I_2 – A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\). On vérifie \(A A^{-1} = I_2\) ✓.
Exercice 3 — Puissances en dimension 3 ★★★ 🟠
Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(\chi_A(X) = (X-1)^2(X-2)\). Déterminer \(A^m\) sous la forme \(\alpha A^2 + \beta A + \gamma I_3\).
Corrigé de l'exercice 3
On cherche le reste \(R(X) = \alpha X^2 + \beta X + \gamma\) de la division de \(X^m\) par \(\chi_A\). Comme \(1\) est racine double, on impose trois conditions : \(R(1) = 1\), \(R^\prime(1) = m\) (dérivée de \(X^m\) en \(1\)) et \(R(2) = 2^m\).
\(\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 1 \\ 2\alpha + \beta = m \\ 4\alpha + 2\beta + \gamma = 2^m \end{cases}\)
En soustrayant la première de la troisième : \(3\alpha + \beta = 2^m – 1\). Avec \(2\alpha + \beta = m\), on obtient \(\alpha = 2^m – 1 – m\), puis \(\beta = m – 2\alpha = 3m + 2 – 2^{m+1}\) et \(\gamma = 1 – \alpha – \beta = 2^m – 2m\).
D’où \(A^m = (2^m – 1 – m)\,A^2 + (3m + 2 – 2^{m+1})\,A + (2^m – 2m)\,I_3\).
Contrôle (\(m=1\)) : \(\alpha = 0\), \(\beta = 1\), \(\gamma = 0\), soit \(A^1 = A\) ✓.
Exercice 4 — Raisonnement : matrice nilpotente ★★★ 🔴
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) nilpotente, c’est-à-dire \(A^p = 0\) pour un certain \(p \ge 1\). Démontrer que \(\chi_A(X) = X^n\) et en déduire que \(A^n = 0\).
Corrigé de l'exercice 4
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\), de vecteur propre \(x \ne 0\) : \(Ax = \lambda x\). Alors \(A^p x = \lambda^p x = 0\), donc \(\lambda^p = 0\), d’où \(\lambda = 0\). La seule valeur propre est \(0\). Comme on est sur \(\mathbb{C}\), \(\chi_A\) est scindé et ne possède que la racine \(0\) (avec multiplicité \(n\)) :
\(\chi_A(X) = X^n.\)
Cayley-Hamilton donne alors \(\chi_A(A) = A^n = 0_n\). Conclusion remarquable : une matrice nilpotente de taille \(n\) vérifie toujours \(A^n = 0\), quel que soit l’indice de nilpotence \(p\) de départ. ∎
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VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Au-delà de la fausse démonstration déjà disséquée, voici les pièges qui coûtent des points.
Piège 1 — Confondre minimal et caractéristique. Cayley-Hamilton dit \(\chi_A(A)=0\), pas que \(\chi_A\) est le plus petit polynôme annulateur. Exemple : \(A = I_n\) a pour caractéristique \((X-1)^n\) mais pour minimal \(X-1\). Toujours distinguer \(\mu_A \mid \chi_A\).
Piège 2 — Oublier le terme constant lors du calcul de \(A^{-1}\). L’expression de \(A^{-1}\) n’est valide que si \(a_0 = \chi_A(0) \ne 0\). Vérifie d’abord que \(A\) est inversible (i.e. \(0\) n’est pas valeur propre).
Piège 3 — Évaluer le reste sans tenir compte des multiplicités. Pour calculer \(A^m\) quand \(\chi_A\) a une racine multiple, deux équations \(R(\lambda)=\lambda^m\) ne suffisent pas : il faut aussi dériver, \(R^\prime(\lambda) = m\lambda^{m-1}\), etc. (autant de conditions que la multiplicité). C’est l’erreur de l’exercice 3 si on l’oublie.
Maîtriser ces pièges, c’est déjà sécuriser sa copie. Reste à savoir ce que le correcteur attend exactement.
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Cayley-Hamilton est un théorème du cours : tu as le droit de l’invoquer sans le redémontrer, sauf si l’énoncé demande explicitement la démonstration (sujets d’oral type X-ENS, développements d’agrégation).
- Citation correcte. Écris : « D’après le théorème de Cayley-Hamilton, \(\chi_A(A) = 0\) ». Nomme le théorème — un correcteur valorise la culture mathématique.
- Ne jamais produire la fausse preuve. Si l’énoncé demande la démonstration et que tu écris \(\det(A-A)=0\), c’est la note minimale assurée sur la question. Mieux vaut poser proprement l’identité de la comatrice.
- Justifier l’inversibilité avant d’inverser. Quand tu utilises Cayley-Hamilton pour exprimer \(A^{-1}\), précise toujours « \(A\) inversible car \(\det A \ne 0\) » (ou « \(0\) n’est pas valeur propre »).
- Soigner la transition minimal/caractéristique. Pour conclure à la diagonalisabilité, énonce clairement : « \(\mu_A\) divise \(\chi_A\) par Cayley-Hamilton, et \(\mu_A\) est scindé à racines simples, donc \(A\) est diagonalisable ».
Le réflexe gagnant en colle : dès qu’on te demande \(A^m\), \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\), ou de borner \(\deg \mu_A\), pense « Cayley-Hamilton ». C’est souvent l’argument attendu en une ligne.
Pour situer le théorème parmi les autres résultats de réduction, voici une synthèse comparative.
| Polynôme | Définition | Degré | Annule A ? |
|---|---|---|---|
| Caractéristique \(\chi_A\) | \(\det(XI_n – A)\) | exactement \(n\) | Oui (Cayley-Hamilton) |
| Minimal \(\mu_A\) | annulateur unitaire de degré minimal | \(\le n\) | Oui (par définition) |
| Annulateur quelconque | \(P\) tel que \(P(A)=0\) | multiple de \(\deg \mu_A\) | Oui |
VIII. Questions fréquentes
Que dit le théorème de Cayley-Hamilton en une phrase ?
Toute matrice carrée annule son propre polynôme caractéristique : si \(\chi_A(X) = \det(XI_n – A)\), alors \(\chi_A(A) = 0\). Cela fournit une relation entre les puissances de \(A\), avec de nombreuses applications (calcul de \(A^m\), de \(A^{-1}\), étude du polynôme minimal).
Pourquoi ne peut-on pas écrire χ_A(A) = det(A − A) = 0 ?
Parce que \(\det(XI_n – A)\) est un déterminant qui produit un polynôme scalaire, alors que \(\chi_A(A)\) est l’évaluation de ce polynôme en une matrice. Substituer \(A\) à l’intérieur du déterminant n’a pas de sens : on ne remplace pas le scalaire \(X\) par une matrice ligne par ligne. Il faut d’abord calculer le polynôme, puis y injecter la matrice.
Quelle est la différence entre polynôme caractéristique et polynôme minimal ?
Le polynôme caractéristique \(\chi_A\) a toujours pour degré \(n\). Le polynôme minimal \(\mu_A\) est le polynôme annulateur unitaire de plus petit degré ; il divise \(\chi_A\) (conséquence de Cayley-Hamilton) et peut être strictement plus petit. Tous deux ont les mêmes racines (les valeurs propres), mais des multiplicités différentes. Pour la diagonalisabilité, c’est le minimal qui compte.
Cayley-Hamilton permet-il de diagonaliser une matrice ?
Pas directement, mais il est l’argument clé : il garantit que \(\mu_A \mid \chi_A\), donc que le minimal est de degré \(\le n\). On conclut ensuite : \(A\) est diagonalisable si et seulement si \(\mu_A\) est scindé à racines simples. Le théorème borne les recherches mais ne donne pas la base de vecteurs propres.
Le théorème est-il valable sur n'importe quel corps ?
Oui. La démonstration par la comatrice fonctionne sur tout corps commutatif (et même sur tout anneau commutatif), car elle n’utilise que l’identité \(M\cdot {}^{t}\mathrm{com}(M) = \det(M)I_n\). La preuve par trigonalisation, elle, suppose le corps algébriquement clos (typiquement \(\mathbb{C}\)), puis on redescend sur \(\mathbb{R}\) par inclusion.
À quoi sert concrètement Cayley-Hamilton dans un problème ?
Trois usages reviennent sans cesse : exprimer \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\), calculer \(A^m\) via la division euclidienne de \(X^m\) par \(\chi_A\), et majorer le degré du polynôme minimal pour étudier la réduction. C’est un théorème de boîte à outils, à dégainer dès qu’on manipule des puissances ou l’inverse d’une matrice.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais l’énoncé, les preuves et les applications de Cayley-Hamilton. Pour consolider la réduction, poursuis avec :
- Le polynôme caractéristique : calcul, coefficients et racines
- Polynôme minimal et polynôme annulateur
- Polynôme scindé, irréductible et unitaire
- La diagonalisation d’une matrice, pour appliquer le critère du minimal
- Valeurs propres et vecteurs propres, l’angle calcul des racines du caractéristique
- Les exercices corrigés sur les polynômes (prépa)
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