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Pour diagonaliser une matrice, déterminer ses valeurs propres ou comprendre sa structure, tout passe par un seul objet : le polynôme caractéristique. C’est lui qui transforme un problème de géométrie (chercher des vecteurs propres) en un problème d’algèbre (chercher les racines d’un polynôme). Dans ce cours de prépa, tu vas apprendre à le définir proprement, à le calculer rapidement (cas 2×2, 3×3, matrices particulières), à lire ses coefficients (trace, déterminant) et à exploiter ses propriétés fondamentales — jusqu’à la passerelle vers Cayley-Hamilton et le polynôme minimal.
I. Définition et contexte
Le polynôme caractéristique répond à une question simple : pour quels scalaires \(\lambda\) l’équation \(A v = \lambda v\) admet-elle une solution non nulle ? Ces scalaires sont les valeurs propres, et le polynôme caractéristique est précisément l’outil qui les capture toutes en une seule expression.
Définition — Polynôme caractéristique d’une matrice
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) une matrice carrée d’ordre \(n\), où \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). On appelle polynôme caractéristique de \(A\) le polynôme
\(\chi_A(X) = \det\big(X I_n – A\big)\)
C’est un polynôme de la variable \(X\), à coefficients dans \(\mathbb{K}\), de degré exactement \(n\) et unitaire.
A. Une convention de signe à fixer une fois pour toutes
Deux conventions coexistent dans les manuels français :
- Convention unitaire (celle de ce cours, dominante en prépa) : \(\chi_A(X) = \det(X I_n – A)\). Le coefficient dominant vaut \(1\).
- Convention « \(A – X I_n\) » : \(\det(A – X I_n) = (-1)^n \chi_A(X)\). Le coefficient dominant vaut \((-1)^n\).
Les deux ont les mêmes racines (donc les mêmes valeurs propres) : le signe global ne change rien à l’essentiel. Mais en concours, fixe ta convention dès la première ligne et tiens-la. La convention unitaire est presque toujours préférée car un polynôme unitaire se factorise et se compare plus facilement.
Piège classique : mélanger les deux conventions au cours d’un même calcul. Si tu démarres avec \(\det(X I_n – A)\), ne bascule jamais vers \(\det(A – X I_n)\) en cours de route : tu introduirais un facteur \((-1)^n\) parasite sur la moitié des termes.
B. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme
La définition s’étend à un endomorphisme \(u\) d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie \(n\). On choisit une base \(\mathcal{B}\), on note \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(u)\) et on pose \(\chi_u = \chi_A\). Encore faut-il vérifier que ce choix ne dépend pas de la base : c’est l’objet de la propriété d’invariance.
Propriété — Invariance par similitude
Si \(A\) et \(B\) sont semblables, c’est-à-dire s’il existe \(P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\) telle que \(B = P^{-1} A P\), alors
\(\chi_B = \chi_A\)
En particulier, le polynôme caractéristique d’un endomorphisme est bien défini, indépendamment de la base choisie.
Démonstration. On calcule :
\(\chi_B(X) = \det(X I_n – P^{-1} A P) = \det\big(P^{-1}(X I_n – A) P\big)\)car \(X I_n = P^{-1}(X I_n) P\). La multiplicativité du déterminant donne :
\(\chi_B(X) = \det(P^{-1}) \, \det(X I_n – A) \, \det(P) = \det(X I_n – A) = \chi_A(X)\)puisque \(\det(P^{-1})\det(P) = 1\). ∎
Cette invariance fait du polynôme caractéristique un invariant de similitude : il ne « voit » que l’endomorphisme, pas la base. C’est pourquoi ses coefficients (la trace, le déterminant…) sont eux-mêmes des invariants.
II. Comment calculer le polynôme caractéristique
Maintenant que l’objet est défini, voyons comment le calculer efficacement. Le principe est toujours le même — développer un déterminant — mais la méthode optimale dépend de la taille et de la forme de la matrice.
Méthode générale en 3 étapes
- Écrire la matrice \(X I_n – A\) : soustraire \(X\) sur chaque terme diagonal de \(A\), puis changer le signe de tous les termes hors diagonale.
- Développer le déterminant (règle de Sarrus en 3×3, développement par une ligne/colonne creuse sinon).
- Ordonner le résultat selon les puissances décroissantes de \(X\) et factoriser autant que possible.
A. Le cas 2×2 : une formule à connaître par cœur
Pour une matrice \(2 \times 2\), le polynôme caractéristique a une forme remarquablement simple :
Formule — Matrice 2×2
Pour \(A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})\) :
\(\chi_A(X) = X^2 – \mathrm{tr}(A)\, X + \det(A)\)
Exemple : calculer le polynôme caractéristique de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\).
On lit directement \(\mathrm{tr}(A) = 1 + 2 = 3\) et \(\det(A) = 1 \times 2 – 2 \times 3 = -4\). D’où :
\(\chi_A(X) = X^2 – 3X – 4 = (X-4)(X+1)\)
Les valeurs propres sont donc \(4\) et \(-1\).
Le polynôme caractéristique en 1 page claire
Définition, formules 2×2 et 3×3, coefficients (trace, déterminant), propriétés et méthode de calcul — tout l’essentiel synthétisé pour réviser avant un DS ou un concours.
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B. Le cas 3×3
En dimension 3, la formule générale fait apparaître trois invariants :
\(\chi_A(X) = X^3 – \mathrm{tr}(A)\, X^2 + \sigma_2(A)\, X – \det(A)\)où \(\sigma_2(A)\) est la somme des trois mineurs principaux d’ordre 2 (les déterminants obtenus en barrant une même ligne et la même colonne). En pratique, on calcule plutôt le déterminant à la main.
Exemple : soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\).
On forme \(X I_3 – A = \begin{pmatrix} X-1 & -1 & 0 \\ 0 & X-1 & -1 \\ -1 & 0 & X-1 \end{pmatrix}\).
En développant selon la première ligne :
\(\chi_A(X) = (X-1)\big[(X-1)^2 – 0\big] – (-1)\big[0 – (-1)(-1)\big]\)
\(\chi_A(X) = (X-1)^3 + \big[0 – 1\big] = (X-1)^3 – 1\)
En posant \(Y = X-1\) : \(Y^3 – 1 = (Y-1)(Y^2 + Y + 1)\), donc
\(\chi_A(X) = (X-2)\big(X^2 – X + 1\big)\)
Lecture : \(2\) est valeur propre réelle, et \(X^2 – X + 1\) a un discriminant négatif. Sur \(\mathbb{R}\), il y a une seule valeur propre ; sur \(\mathbb{C}\), deux valeurs propres complexes conjuguées s’ajoutent. La matrice est donc diagonalisable sur \(\mathbb{C}\) mais pas sur \(\mathbb{R}\).
C. Matrices triangulaires et matrice compagnon 🔴
Certaines formes se traitent sans calcul.
Matrice triangulaire : si \(A\) est triangulaire (supérieure ou inférieure) de diagonale \((a_{11}, \dots, a_{nn})\), alors
\(\chi_A(X) = \prod_{i=1}^{n} (X – a_{ii})\)
car \(X I_n – A\) reste triangulaire et son déterminant est le produit des termes diagonaux. Les valeurs propres se lisent donc directement sur la diagonale.
Cas plus subtil : la matrice compagnon. Pour un polynôme unitaire \(P = X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dots + a_1 X + a_0\), la matrice compagnon associée a pour polynôme caractéristique \(P\) lui-même. C’est ce qui permet de réaliser n’importe quel polynôme unitaire comme polynôme caractéristique d’une matrice : un résultat structurel important pour la théorie de la réduction. On le retrouve dans le lien entre division euclidienne des polynômes et structure des sous-espaces stables.
III. Propriétés et lecture des coefficients
Le polynôme caractéristique n’est pas qu’un outil de calcul : ses coefficients encodent les invariants fondamentaux de la matrice. Savoir les lire fait gagner un temps précieux et fournit de puissants moyens de contrôle.
A. Degré, coefficient dominant, trace et déterminant
Théorème — Coefficients remarquables
Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), le polynôme \(\chi_A\) est unitaire de degré \(n\) et :
\(\chi_A(X) = X^n – \mathrm{tr}(A)\, X^{n-1} + \cdots + (-1)^n \det(A)\)
Autrement dit : le coefficient de \(X^{n-1}\) vaut \(-\mathrm{tr}(A)\) et le coefficient constant vaut \((-1)^n \det(A)\).
Démonstration (coefficient de \(X^{n-1}\)). On développe \(\det(X I_n – A)\) comme somme sur les permutations. Le seul produit qui contient au moins \(n-1\) facteurs diagonaux est le produit diagonal lui-même :
\(\prod_{i=1}^{n} (X – a_{ii}) = X^n – \Big(\sum_{i=1}^{n} a_{ii}\Big) X^{n-1} + \cdots\)Toute autre permutation \(\sigma \neq \mathrm{id}\) déplace au moins deux indices, donc le produit correspondant contient au plus \(n-2\) facteurs de la forme \((X – a_{ii})\) : il est de degré \(\leq n-2\) en \(X\). Il ne contribue donc ni à \(X^n\) ni à \(X^{n-1}\). On en déduit que le coefficient de \(X^{n-1}\) est \(-\sum a_{ii} = -\mathrm{tr}(A)\). ∎
Démonstration (coefficient constant). Le terme constant est \(\chi_A(0)\) :
\(\chi_A(0) = \det(0 \cdot I_n – A) = \det(-A) = (-1)^n \det(A)\)en sortant le scalaire \(-1\) de chacune des \(n\) colonnes. ∎
Deux relations à exploiter systématiquement. Si \(\chi_A\) est scindé de racines \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) (comptées avec multiplicité), les relations entre coefficients et racines (Viète) donnent :
\(\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \mathrm{tr}(A) \qquad \text{et} \qquad \prod_{i=1}^{n} \lambda_i = \det(A)\)
La somme des valeurs propres est la trace, leur produit est le déterminant. C’est un moyen de contrôle imparable.
B. Les racines sont les valeurs propres
Théorème fondamental
Un scalaire \(\lambda \in \mathbb{K}\) est valeur propre de \(A\) si et seulement si \(\chi_A(\lambda) = 0\). Le spectre de \(A\) est donc exactement l’ensemble des racines de son polynôme caractéristique.
Démonstration. Par définition, \(\lambda\) est valeur propre si et seulement s’il existe \(v \neq 0\) tel que \(Av = \lambda v\), c’est-à-dire \((\lambda I_n – A) v = 0\). Cela équivaut à dire que \(\lambda I_n – A\) n’est pas injective, donc non inversible, donc de déterminant nul :
\(\lambda \text{ valeur propre} \iff \det(\lambda I_n – A) = 0 \iff \chi_A(\lambda) = 0\)∎
La multiplicité algébrique d’une valeur propre est sa multiplicité comme racine de \(\chi_A\). Elle majore toujours la dimension du sous-espace propre (multiplicité géométrique) — un point central pour la diagonalisabilité.
Erreur classique : conclure qu’« une matrice réelle a toujours des valeurs propres ». Sur \(\mathbb{R}\), le polynôme caractéristique peut n’avoir aucune racine réelle (cas de la rotation plane d’angle \(\frac{\pi}{2}\)). C’est sur \(\mathbb{C}\) que \(\chi_A\) est toujours scindé (théorème de d’Alembert-Gauss), donc qu’il y a toujours au moins une valeur propre.
C. Une identité élégante : \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) 🔴
Proposition
Pour \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on a \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\). En particulier, \(AB\) et \(BA\) ont la même trace, le même déterminant et les mêmes valeurs propres.
Démonstration (cas \(A\) inversible, puis argument de densité). Si \(A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\), alors \(BA = A^{-1}(AB)A\) : les matrices \(AB\) et \(BA\) sont semblables, donc \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) par invariance.
Pour le cas général sur \(\mathbb{K} = \mathbb{C}\) : l’application \(t \mapsto \chi_{(A + t I_n)B}(X) – \chi_{B(A + t I_n)}(X)\) est polynomiale en \(t\) (à \(X\) fixé). Or \(A + t I_n\) est inversible sauf pour un nombre fini de valeurs de \(t\) (les opposés des valeurs propres de \(A\)). L’égalité, vraie pour une infinité de \(t\), l’est partout par continuité/argument polynomial. ∎
L’effet wow : \(AB\) et \(BA\) partagent tout leur spectre, même quand \(AB \neq BA\). Mieux : même si \(A \in \mathcal{M}_{n,p}\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,n}\) sont rectangulaires (tailles différentes !), \(AB\) et \(BA\) ont les mêmes valeurs propres non nulles. C’est un classique de concours qui surprend toujours.
IV. Lien avec Cayley-Hamilton et le polynôme minimal
Le polynôme caractéristique n’est pas seulement un détecteur de valeurs propres : c’est un polynôme annulateur de la matrice. C’est tout l’enjeu du théorème de Cayley-Hamilton.
Théorème de Cayley-Hamilton
Toute matrice annule son propre polynôme caractéristique :
\(\chi_A(A) = 0\)
(on remplace l’indéterminée \(X\) par la matrice \(A\), le terme constant \(c_0\) devenant \(c_0 I_n\)).
Ce résultat se démontre proprement en prépa Spé et a des applications spectaculaires : calcul de \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\), calcul des puissances d’une matrice, etc. Le développement complet est traité dans la page dédiée au théorème de Cayley-Hamilton.
Une conséquence directe concerne le polynôme minimal \(\mu_A\) (le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule \(A\)) :
Lien minimal / caractéristique
- \(\mu_A\) divise \(\chi_A\) (conséquence de Cayley-Hamilton).
- \(\mu_A\) et \(\chi_A\) ont les mêmes racines (les valeurs propres), seules les multiplicités peuvent différer.
- \(A\) est diagonalisable \(\iff\) \(\mu_A\) est scindé à racines simples.
Attention à la frontière des angles : ici on étudie le polynôme caractéristique comme objet polynomial (degré, coefficients, racines). Pour le calcul effectif des valeurs propres et la diagonalisation d’une matrice donnée, consulte le cours dédié sur les valeurs propres et vecteurs propres et la méthode de diagonalisation.
V. Exercices corrigés
Place à la pratique. Les exercices sont classés par difficulté croissante : commence par le calcul direct, puis monte vers le raisonnement type concours.
Exercice 1 — Calcul direct (★)
Énoncé. Déterminer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\).
Voir la correction
On applique la formule 2×2. Ici \(\mathrm{tr}(A) = 4 + 3 = 7\) et \(\det(A) = 4 \times 3 – 1 \times 2 = 10\). Donc :
\(\chi_A(X) = X^2 – 7X + 10 = (X-2)(X-5)\)
Les valeurs propres sont \(2\) et \(5\). Contrôle : \(2 + 5 = 7 = \mathrm{tr}(A)\) et \(2 \times 5 = 10 = \det(A)\). ✓
Exercice 2 — Une matrice 3×3 (★★)
Énoncé. Calculer \(\chi_A\) pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\), puis donner les valeurs propres.
Voir la correction
On forme \(X I_3 – A = \begin{pmatrix} X-2 & 1 & 0 \\ 1 & X-2 & 1 \\ 0 & 1 & X-2 \end{pmatrix}\) et on développe selon la première ligne :
\(\chi_A(X) = (X-2)\big[(X-2)^2 – 1\big] – 1 \cdot \big[(X-2) – 0\big]\)
\(= (X-2)^3 – (X-2) – (X-2) = (X-2)^3 – 2(X-2)\)
On factorise par \((X-2)\) :
\(\chi_A(X) = (X-2)\big[(X-2)^2 – 2\big] = (X-2)\big(X-2-\sqrt{2}\big)\big(X-2+\sqrt{2}\big)\)
Les valeurs propres sont \(2\), \(2+\sqrt{2}\) et \(2-\sqrt{2}\). Contrôle : leur somme vaut \(6 = \mathrm{tr}(A)\). ✓ La matrice (symétrique) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 3 — Matrice nilpotente (★★★, raisonnement)
Énoncé. Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) une matrice nilpotente (il existe \(p\) tel que \(A^p = 0\)). Montrer que \(\chi_A(X) = X^n\).
Voir la correction
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) (sur \(\mathbb{C}\), il en existe au moins une) et \(v \neq 0\) un vecteur propre associé : \(Av = \lambda v\). Par récurrence immédiate, \(A^p v = \lambda^p v\). Comme \(A^p = 0\), on a \(\lambda^p v = 0\), et puisque \(v \neq 0\), on en déduit \(\lambda^p = 0\), donc \(\lambda = 0\).
Ainsi \(0\) est la seule valeur propre de \(A\). Or sur \(\mathbb{C}\), \(\chi_A\) est scindé et ses racines sont exactement les valeurs propres. Étant unitaire de degré \(n\) avec \(0\) pour unique racine (de multiplicité \(n\)) :
\(\chi_A(X) = X^n\)
Réciproque vraie ? Oui : si \(\chi_A = X^n\), alors par Cayley-Hamilton \(A^n = 0\), donc \(A\) est nilpotente. ∎
Exercice 4 — Lire les invariants (★★)
Énoncé. Une matrice \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) a pour polynôme caractéristique \(\chi_A(X) = X^3 – 5X^2 + 8X – 4\). Sans calculer \(A\), déterminer \(\mathrm{tr}(A)\), \(\det(A)\), et dire si \(A\) est inversible.
Voir la correction
Le coefficient de \(X^{2}\) est \(-\mathrm{tr}(A)\), donc \(\mathrm{tr}(A) = 5\). Le terme constant est \((-1)^3 \det(A) = -\det(A) = -4\), donc \(\det(A) = 4\).
Comme \(\det(A) = 4 \neq 0\), la matrice \(A\) est inversible (de façon équivalente : \(0\) n’est pas racine de \(\chi_A\), donc pas valeur propre). On peut même factoriser : \(\chi_A(X) = (X-1)(X-2)^2\), valeurs propres \(1\) et \(2\) (double).
Exercice 5 — Spectre de \(AB\) et \(BA\) (★★★★, concours)
Énoncé. Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(\chi_{AB}\) et \(\chi_{BA}\). Que constate-t-on ?
Voir la correction
On calcule \(AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2\) et \(BA = (2) \in \mathcal{M}_1\).
Pour \(AB\) : \(\mathrm{tr}(AB) = 2\), \(\det(AB) = 0\), donc \(\chi_{AB}(X) = X^2 – 2X = X(X-2)\). Valeurs propres : \(0\) et \(2\).
Pour \(BA\) : \(\chi_{BA}(X) = X – 2\). Valeur propre : \(2\).
Constat. Les tailles diffèrent (2×2 contre 1×1), donc \(\chi_{AB} \neq \chi_{BA}\) : l’égalité \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) ne vaut que pour des matrices carrées de même ordre. En revanche, les valeurs propres non nulles coïncident : c’est \(2\) dans les deux cas. On a précisément \(\chi_{AB}(X) = X^{2-1}\,\chi_{BA}(X) = X \cdot (X-2)\). ∎
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Le calcul du polynôme caractéristique est mécanique, mais quelques pièges reviennent à chaque copie. Voici les trois plus coûteux.
❌ Copie fautive : « \(\chi_A(X) = \det(A – X I_n) = X^2 – 3X – 4\) » pour une matrice 2×2.
Diagnostic : avec la convention \(\det(A – X I_n)\), le coefficient dominant doit être \((-1)^2 = 1\) en 2×2… mais en réalité \(\det(A – X I_n) = X^2 – \mathrm{tr}(A)X + \det(A)\) seulement parce que \((-1)^2 = 1\). En dimension impaire, l’oubli du signe global change tout.
✅ Correction : fixe la convention unitaire \(\chi_A = \det(X I_n – A)\) dès le départ, et le coefficient dominant est toujours \(+1\).
❌ Erreur de signe sur les termes hors diagonale. En formant \(X I_n – A\), beaucoup oublient de changer le signe des coefficients non diagonaux de \(A\).
✅ Correction : \(X I_n – A\) s’obtient en remplaçant chaque \(a_{ii}\) par \(X – a_{ii}\) sur la diagonale, et chaque \(a_{ij}\) (avec \(i \neq j\)) par \(-a_{ij}\). Tous les termes hors diagonale changent de signe.
❌ Confondre multiplicité algébrique et géométrique. Une valeur propre double dans \(\chi_A\) ne donne pas forcément un sous-espace propre de dimension 2.
✅ Correction : la multiplicité comme racine de \(\chi_A\) (algébrique) majore la dimension du sous-espace propre (géométrique). L’égalité pour toutes les valeurs propres équivaut à la diagonalisabilité.
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur une question de réduction, la rigueur de rédaction autour du polynôme caractéristique distingue immédiatement une bonne copie. Voici les réflexes attendus.
Les attendus d’un correcteur
- Annoncer la convention : « On note \(\chi_A(X) = \det(X I_n – A)\) » en première ligne. Cela évite toute ambiguïté de signe sur l’ensemble du problème.
- Justifier le passage racines \(\to\) valeurs propres : ne pas écrire « les valeurs propres sont… » sans rappeler que ce sont les racines de \(\chi_A\). Une phrase suffit.
- Utiliser les contrôles trace/déterminant : après factorisation, vérifier \(\sum \lambda_i = \mathrm{tr}(A)\). Le correcteur valorise la vérification spontanée — et elle te protège des erreurs de calcul.
- Préciser le corps : « scindé sur \(\mathbb{C}\) » n’est pas « scindé sur \(\mathbb{R}\) ». Toute conclusion de diagonalisabilité dépend du corps de base.
- Citer les théorèmes par leur nom : d’Alembert-Gauss (scindage sur \(\mathbb{C}\)), Cayley-Hamilton (\(\chi_A(A) = 0\)).
VIII. Tableau récapitulatif
Pour fixer l’essentiel, voici les propriétés clés du polynôme caractéristique selon la situation.
| Objet / situation | Polynôme caractéristique \(\chi_A(X) = \det(X I_n – A)\) |
|---|---|
| Degré et coefficient dominant | Unitaire, degré \(n\) |
| Coefficient de \(X^{n-1}\) | \(-\mathrm{tr}(A)\) |
| Terme constant | \((-1)^n \det(A)\) |
| Matrice 2×2 | \(X^2 – \mathrm{tr}(A)X + \det(A)\) |
| Matrice triangulaire (diag. \(a_{ii}\)) | \(\prod_{i=1}^{n}(X – a_{ii})\) |
| Matrice nilpotente | \(X^n\) |
| Racines | Valeurs propres de \(A\) |
| Invariance | \(\chi_{P^{-1}AP} = \chi_A\) et \(\chi_{AB} = \chi_{BA}\) |
| Lien avec \(A\) | \(\chi_A(A) = 0\) (Cayley-Hamilton) |
IX. Questions fréquentes
Qu'est-ce que le polynôme caractéristique d'une matrice ?
C’est le polynôme \(\chi_A(X) = \det(X I_n – A)\) associé à une matrice carrée \(A\) d’ordre \(n\). Il est unitaire, de degré \(n\), et ses racines sont exactement les valeurs propres de \(A\). C’est l’outil central pour étudier la réduction d’une matrice.
Comment déterminer le polynôme caractéristique ?
On suit trois étapes : (1) former la matrice \(X I_n – A\) en soustrayant \(X\) sur la diagonale et en changeant le signe des termes hors diagonale ; (2) développer son déterminant ; (3) ordonner selon les puissances décroissantes de \(X\) et factoriser. En 2×2, on applique directement \(X^2 – \mathrm{tr}(A)X + \det(A)\).
Quelle est la différence entre polynôme caractéristique et polynôme minimal ?
Le polynôme caractéristique \(\chi_A\) est toujours de degré \(n\). Le polynôme minimal \(\mu_A\) est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule \(A\). On a toujours \(\mu_A \mid \chi_A\) et ils ont les mêmes racines, mais \(\mu_A\) peut être de degré strictement inférieur. La matrice est diagonalisable si et seulement si \(\mu_A\) est scindé à racines simples.
Le polynôme caractéristique est-il toujours unitaire ?
Avec la convention \(\chi_A(X) = \det(X I_n – A)\), oui : le coefficient dominant vaut toujours \(1\). Avec la convention \(\det(A – X I_n)\), le coefficient dominant vaut \((-1)^n\). C’est pourquoi la convention unitaire est privilégiée en prépa.
Comment lire la trace et le déterminant sur le polynôme caractéristique ?
Le coefficient de \(X^{n-1}\) vaut \(-\mathrm{tr}(A)\) et le terme constant vaut \((-1)^n \det(A)\). De façon équivalente, la somme des valeurs propres (avec multiplicité) est la trace, et leur produit est le déterminant.
Une matrice réelle a-t-elle toujours des valeurs propres réelles ?
Non. Sur \(\mathbb{R}\), le polynôme caractéristique peut n’avoir aucune racine réelle (par exemple une rotation plane). C’est sur \(\mathbb{C}\) que \(\chi_A\) est toujours scindé : il y a alors toujours au moins une valeur propre complexe.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le polynôme caractéristique : sa définition, son calcul et ses propriétés. Pour consolider et étendre :
- Théorème de Cayley-Hamilton — la démonstration complète et ses applications (puissances, inverse).
- Polynôme minimal et annulateur — la CNS de diagonalisabilité.
- Polynôme scindé, irréductible et unitaire — les notions de factorisation derrière la réduction.
- Racines d’un polynôme — multiplicité et relations coefficients-racines (Viète).
- Exercices corrigés sur les polynômes (prépa) — pour t’entraîner davantage, avec PDF.
- Les polynômes : cours complet — le pilier qui relie tout le chapitre.
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