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Tu sais déjà que pour étudier un endomorphisme, on cherche ses valeurs propres et on essaie de le diagonaliser. Mais comment savoir, sans calculer les sous-espaces propres un par un, si une matrice est diagonalisable ? La réponse tient dans un seul polynôme : le polynôme minimal. C’est le plus petit polynôme qui « tue » l’endomorphisme, et il code à lui seul presque toute l’information sur sa réduction. Dans ce cours, tu vas comprendre ce qu’est un polynôme annulateur, pourquoi le minimal existe et est unique, comment le calculer, et comment il fournit la fameuse condition nécessaire et suffisante de diagonalisation.
I. Polynôme annulateur et polynôme minimal : définitions
Tout part d’une idée simple : appliquer un polynôme à un endomorphisme. Si \(u\) est un endomorphisme d’un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) et si \(P = \sum_{k=0}^{d} a_k X^k\) est un polynôme, on note \(P(u) = \sum_{k=0}^{d} a_k \, u^k\), où \(u^k = u \circ u \circ \cdots \circ u\) et \(u^0 = \mathrm{Id}_E\). De même, pour une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on pose \(P(A) = \sum_{k=0}^{d} a_k A^k\).
A. Polynôme annulateur
Définition — Polynôme annulateur
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) (resp. \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\)). Un polynôme \(P \in \mathbb{K}[X]\) est un polynôme annulateur de \(u\) lorsque \(P(u) = 0\) (l’endomorphisme nul), c’est-à-dire \(P(u)(x) = 0_E\) pour tout \(x \in E\).
L’exemple fondateur : si \(p\) est un projecteur (\(p \circ p = p\)), alors \(p^2 – p = 0\), donc \(P = X^2 – X\) est un polynôme annulateur de \(p\). De même, une symétrie vérifie \(s^2 = \mathrm{Id}\), donc \(X^2 – 1\) l’annule.
L’ensemble des polynômes annulateurs de \(u\), noté \(I_u = \{ P \in \mathbb{K}[X] \mid P(u) = 0 \}\), a une structure remarquable.
Propriété — L’idéal annulateur
L’ensemble \(I_u\) est un idéal de \(\mathbb{K}[X]\) : il est stable par somme, et pour tout \(P \in I_u\) et tout \(Q \in \mathbb{K}[X]\), on a \(QP \in I_u\).
La vérification est immédiate : si \(P(u) = 0\) et \(Q(u’) = 0\) alors \((P+Q)(u) = P(u)+Q(u) = 0\) ; et \((QP)(u) = Q(u)\circ P(u) = Q(u) \circ 0 = 0\), car l’application \(P \mapsto P(u)\) est un morphisme d’algèbres. C’est ce statut d’idéal qui va tout déclencher.
B. Définition du polynôme minimal
En dimension finie, \(I_u\) n’est jamais réduit à \(\{0\}\). Comme \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau principal, tout idéal non nul est engendré par un unique générateur unitaire. C’est lui, le polynôme minimal.
Définition — Polynôme minimal
Soit \(E\) de dimension finie et \(u \in \mathcal{L}(E)\). Le polynôme minimal de \(u\), noté \(\pi_u\) (ou \(\mu_u\)), est l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal annulateur : \(I_u = \pi_u \, \mathbb{K}[X]\). De façon équivalente, c’est le polynôme annulateur unitaire de plus petit degré.
La notation \(\pi_A\) s’emploie de la même façon pour une matrice. Deux matrices semblables ont le même polynôme minimal, car \(P(QAQ^{-1}) = Q\,P(A)\,Q^{-1}\).
C. Existence et unicité
Démonstration — Existence et unicité (au programme)
Existence d’un annulateur non nul. Posons \(n = \dim E\). L’espace \(\mathcal{L}(E)\) est de dimension \(n^2\). La famille \(\big(\mathrm{Id},\, u,\, u^2,\, \dots,\, u^{n^2}\big)\) compte \(n^2+1\) vecteurs : elle est donc liée. Il existe des scalaires non tous nuls \(a_0,\dots,a_{n^2}\) tels que \(\sum_k a_k u^k = 0\). Le polynôme \(P = \sum_k a_k X^k\) est non nul et annulateur, donc \(I_u \neq \{0\}\).
Existence du minimal. Comme \(\mathbb{K}[X]\) est principal et \(I_u \neq \{0\}\), il existe \(P_0 \neq 0\) tel que \(I_u = P_0\,\mathbb{K}[X]\). En divisant par son coefficient dominant, on obtient un générateur unitaire \(\pi_u\).
Unicité. Si \(\pi_u\) et \(\tilde\pi_u\) sont deux générateurs unitaires, ils se divisent mutuellement, donc sont associés ; étant tous deux unitaires, ils sont égaux. ∎
Le lien entre « générateur de l’idéal » et « plus petit degré » repose sur la division euclidienne dans \(\mathbb{K}[X]\) : tout annulateur \(P\) s’écrit \(P = Q\,\pi_u + R\) avec \(\deg R\) < \(\deg \pi_u\) ; comme \(R(u) = P(u) – Q(u)\pi_u(u) = 0\), la minimalité du degré force \(R = 0\), donc \(\pi_u \mid P\). On retiendra ce résultat central de la section suivante.
II. Propriétés fondamentales
Le polynôme minimal n’est pas un objet isolé : il divise tout, il est divisé par le caractéristique, et ses racines portent un sens géométrique précis. Ces trois propriétés sont la colonne vertébrale de tous les exercices de réduction.
A. Le minimal divise tout annulateur
Théorème — Divisibilité
Pour tout polynôme \(P\), on a l’équivalence : \(P(u) = 0 \Longleftrightarrow \pi_u \mid P\). Autrement dit, \(\pi_u\) divise tous les polynômes annulateurs de \(u\).
C’est exactement la traduction de \(I_u = \pi_u\,\mathbb{K}[X]\) démontrée ci-dessus. Conséquence pratique : dès que tu connais un annulateur de \(u\), le minimal en est un diviseur. C’est souvent le point de départ d’un calcul.
B. Lien avec le polynôme caractéristique (Cayley-Hamilton)
Le résultat le plus utile relie le minimal au polynôme caractéristique \(\chi_u\).
Théorème de Cayley-Hamilton (et conséquence)
Le polynôme caractéristique annule l’endomorphisme : \(\chi_u(u) = 0\). Par divisibilité, on en déduit :
\(\pi_u \mid \chi_u \qquad \text{et donc} \qquad \deg \pi_u \leq \deg \chi_u = n.\)
La démonstration complète du théorème de Cayley-Hamilton fait l’objet d’une page dédiée. Retiens ici qu’il garantit que le minimal a un degré majoré par \(n\), ce qui borne sévèrement les candidats lors d’un calcul.
C. Les racines du minimal sont les valeurs propres
Théorème — Racines de \(\pi_u\)
Les racines de \(\pi_u\) dans \(\mathbb{K}\) sont exactement les valeurs propres de \(u\) :
\(\lambda \text{ valeur propre de } u \Longleftrightarrow \pi_u(\lambda) = 0.\)
Ainsi \(\pi_u\) et \(\chi_u\) ont les mêmes racines (mais pas forcément les mêmes multiplicités).
Démonstration
(⟹) Soit \(\lambda\) une valeur propre, et \(x \neq 0_E\) tel que \(u(x) = \lambda x\). Pour tout polynôme \(P\), on a \(P(u)(x) = P(\lambda)\,x\). Avec \(P = \pi_u\) : \(0_E = \pi_u(u)(x) = \pi_u(\lambda)\,x\). Comme \(x \neq 0_E\), on obtient \(\pi_u(\lambda) = 0\).
(⟸) Supposons \(\pi_u(\lambda) = 0\). Alors \(\pi_u = (X-\lambda)\,Q\) avec \(\deg Q\) < \(\deg \pi_u\). Par minimalité, \(Q(u) \neq 0\) : il existe \(x\) tel que \(y = Q(u)(x) \neq 0_E\). On calcule alors \((u – \lambda \mathrm{Id})(y) = (u-\lambda \mathrm{Id})\circ Q(u)\,(x) = \pi_u(u)(x) = 0_E\). Donc \(y\) est un vecteur propre associé à \(\lambda\), et \(\lambda\) est valeur propre. ∎
Piège fréquent : « mêmes racines » ne veut pas dire « même polynôme ». Pour \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\), on a \(\chi_A = (X-2)^2\) mais \(\pi_A = X – 2\). Les multiplicités diffèrent : le minimal « écrase » les répétitions des facteurs dès que la diagonalisabilité le permet.
La fiche-méthode « Polynôme minimal » en 1 page
Définitions, propriétés clés, CNS de diagonalisation et méthode de calcul : tout l’essentiel synthétisé pour réviser avant les concours.
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III. Méthode : calculer un polynôme minimal
Maintenant que la théorie est posée, voyons comment trouver \(\pi_u\) concrètement. Deux situations se présentent : on connaît déjà \(\chi_u\) (méthode des diviseurs), ou on part de zéro (méthode des puissances).
A. La méthode en 4 étapes (à partir du caractéristique)
Méthode — Quand \(\chi_u\) est connu
- Calculer \(\chi_u\) et le factoriser : \(\chi_u = \prod_i (X-\lambda_i)^{m_i}\).
- Le minimal s’écrit forcément \(\pi_u = \prod_i (X-\lambda_i)^{r_i}\) avec \(1 \leq r_i \leq m_i\) (toutes les valeurs propres sont racines, et \(\pi_u \mid \chi_u\)).
- Tester les candidats par degré croissant : commencer par \(\prod_i (X-\lambda_i)\), et évaluer le polynôme en \(u\).
- Le premier candidat qui annule \(u\) est \(\pi_u\).
Cette méthode est efficace car le nombre de candidats est très limité : on ne fait varier que les exposants entre \(1\) et \(m_i\).
B. La méthode des puissances (sans le caractéristique)
Méthode — Recherche directe
- Calculer les puissances successives \(\mathrm{Id}, A, A^2, A^3, \dots\)
- Chercher la plus petite valeur de \(k\) telle que \(A^k\) soit combinaison linéaire de \(\mathrm{Id}, A, \dots, A^{k-1}\).
- La relation \(A^k = \sum_{j<k} c_j A^j\) donne directement \(\pi_A = X^k – \sum_{j<k} c_j X^j\).
C. Exemples résolus
Exemple 1 🟠 — Un projecteur. Soit \(p\) un projecteur non trivial (\(p \neq 0\) et \(p \neq \mathrm{Id}\)). On a \(p^2 – p = 0\), donc \(X^2 – X = X(X-1)\) annule \(p\). Donc \(\pi_p \mid X(X-1)\).
Les diviseurs unitaires sont \(1,\ X,\ X-1,\ X(X-1)\). Comme \(p \neq 0\), \(X\) ne convient pas ; comme \(p \neq \mathrm{Id}\), \(X-1\) ne convient pas. Donc \(\pi_p = X(X-1)\) : il est scindé à racines simples, ce qui confirme qu’un projecteur est toujours diagonalisable.
Exemple 2 🟠 — Distinguer deux matrices de même caractéristique. Considérons
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.\)
Les deux ont \(\chi = (X-2)^3\). Les candidats minimal sont \((X-2),\ (X-2)^2,\ (X-2)^3\).
Pour \(A\) : \(A – 2I = 0\), donc \(\pi_A = X – 2\) (diagonalisable, elle est déjà diagonale).
Pour \(B\) : \(B – 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0\), et \((B-2I)^2 = 0\). Donc \(\pi_B = (X-2)^2\). Comme il n’est pas à racines simples, \(B\) n’est pas diagonalisable.
Exemple 3 🔴 — Matrice compagnon. Pour la matrice compagnon d’un polynôme unitaire \(Q\) de degré \(n\), on a toujours \(\pi_C = \chi_C = Q\). C’est un cas extrême où minimal et caractéristique coïncident : la famille \((\mathrm{Id}, C, \dots, C^{n-1})\) est libre, donc aucun annulateur de degré \(\lt\) \(n\) n’existe.
IV. Polynôme minimal et diagonalisation
Voici l’application reine du polynôme minimal, et la raison pour laquelle on l’introduit en prépa : il fournit un critère de diagonalisation purement polynomial, sans aucun calcul de sous-espaces propres.
Théorème — CNS de diagonalisation
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) en dimension finie. Alors :
\(u \text{ est diagonalisable} \Longleftrightarrow \pi_u \text{ est scindé à racines simples sur } \mathbb{K}.\)
De façon analogue : \(u\) est trigonalisable si et seulement si \(\pi_u\) est scindé (racines éventuellement multiples).
Démonstration (au programme)
(⟸) Supposons \(\pi_u = \prod_{i=1}^{p} (X – \lambda_i)\) avec les \(\lambda_i\) deux à deux distincts. Ces facteurs sont premiers entre eux deux à deux, donc le lemme des noyaux donne :
\(E = \ker \pi_u(u) = \bigoplus_{i=1}^{p} \ker(u – \lambda_i \mathrm{Id}).\)
Or \(\ker \pi_u(u) = E\) car \(\pi_u(u) = 0\). Chaque \(\ker(u-\lambda_i\mathrm{Id})\) est un sous-espace propre, et leur somme directe vaut \(E\) : \(u\) est diagonalisable.
(⟹) Supposons \(u\) diagonalisable, de valeurs propres distinctes \(\lambda_1,\dots,\lambda_p\). Posons \(P = \prod_{i=1}^{p}(X-\lambda_i)\). Sur chaque sous-espace propre \(\ker(u-\lambda_i\mathrm{Id})\), le facteur \((u-\lambda_i\mathrm{Id})\) est nul, donc \(P(u)\) est nul sur ce sous-espace. Comme \(E\) est la somme directe des sous-espaces propres, \(P(u) = 0\) : \(P\) est annulateur, donc \(\pi_u \mid P\). Mais toutes les valeurs propres sont racines de \(\pi_u\), donc \(P \mid \pi_u\). Étant unitaires, \(\pi_u = P\), scindé à racines simples. ∎
Le réflexe à avoir : pour tester la diagonalisabilité, calcule un annulateur simple (souvent suggéré par l’énoncé), puis vérifie s’il est scindé à racines simples. Si oui, \(u\) est diagonalisable — inutile de chercher les sous-espaces propres. C’est le procédé de diagonalisation le plus rapide quand un annulateur est donné.
Exemple 4 🔴 — Diagonalisable sans calcul. Soit \(A\) telle que \(A^3 = A\). Alors \(X^3 – X = X(X-1)(X+1)\) est annulateur, scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\). Le minimal \(\pi_A\) divise ce polynôme, donc il est lui aussi scindé à racines simples : \(A\) est diagonalisable, ses valeurs propres étant à choisir parmi \(\{-1, 0, 1\}\). Aucun calcul de noyau nécessaire.
V. Minimal et caractéristique : ne pas les confondre
Les deux polynômes sont si liés qu’on les mélange souvent. Ce tableau récapitule leurs différences, et la dernière colonne montre ce qu’ils apprennent sur la réduction.
| Critère | Polynôme minimal \(\pi_u\) | Polynôme caractéristique \(\chi_u\) |
|---|---|---|
| Degré | \(\deg \pi_u \leq n\) (variable) | \(\deg \chi_u = n\) (toujours) |
| Unitaire | Oui par définition | Oui (au signe de convention près) |
| Racines | Les valeurs propres (sans multiplicité forcée) | Les valeurs propres avec leur multiplicité |
| Divisibilité | \(\pi_u \mid \chi_u\) | \(\chi_u\) est multiple de \(\pi_u\) |
| Diagonalisable ? | Oui ⟺ scindé à racines simples | Scindé seul ne suffit pas |
| Annule \(u\) ? | Oui, et c’est le plus petit | Oui (Cayley-Hamilton) |
Une mise en garde : un caractéristique scindé n’implique pas la diagonalisabilité (cf. la matrice \(B\) de l’exemple 2). Seul le minimal tranche, via la simplicité de ses racines. Pour approfondir les notions de polynôme scindé et irréductible, une page dédiée détaille ces vocabulaires.
VI. Exercices corrigés
Place à la pratique. Les exercices sont classés par difficulté croissante : commence par les ★ pour ancrer les automatismes, puis attaque les ★★★ de niveau concours.
Exercice 1 ★ — Polynôme minimal d’une symétrie.
Soit \(s\) une symétrie d’un espace vectoriel \(E\), avec \(s \neq \mathrm{Id}\) et \(s \neq -\mathrm{Id}\). Déterminer \(\pi_s\) et conclure sur la diagonalisabilité.
Correction. Une symétrie vérifie \(s^2 = \mathrm{Id}\), donc \(X^2 – 1 = (X-1)(X+1)\) annule \(s\) et \(\pi_s \mid (X-1)(X+1)\). Comme \(s \neq \mathrm{Id}\), \(X-1\) ne convient pas ; comme \(s \neq -\mathrm{Id}\), \(X+1\) ne convient pas. Donc \(\pi_s = (X-1)(X+1)\). Il est scindé à racines simples : \(s\) est diagonalisable, de valeurs propres \(1\) et \(-1\). ✔
Exercice 2 ★★ — Calcul par les puissances.
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Déterminer \(\pi_A\) et \(\chi_A\).
Correction. On calcule \(A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(A^3 = 0\). Donc \(X^3\) annule \(A\), et \(\pi_A \mid X^3\). Comme \(A^2 \neq 0\), on a \(\pi_A = X^3\).
D’autre part \(\chi_A = X^3\) (matrice triangulaire à diagonale nulle). Ici \(\pi_A = \chi_A\). Comme \(\pi_A = X^3\) n’est pas à racines simples, \(A\) n’est pas diagonalisable (c’est un nilpotent non nul). ✔
Exercice 3 ★★ — Distinguer deux matrices.
Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\). Montrer qu’elles ont le même caractéristique mais des minimaux différents.
Correction. Les deux ont \(\chi = (X-1)^2\). Pour \(D = I\) : \(D – I = 0\) donc \(\pi_D = X – 1\). Pour \(A\) : \(A – I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0\) et \((A-I)^2 = 0\), donc \(\pi_A = (X-1)^2\). Conclusion : \(D\) est diagonalisable (\(\pi_D\) à racines simples), \(A\) ne l’est pas. Cela illustre que le caractéristique ne suffit pas à caractériser la réduction. ✔
Toutes les méthodes de calcul du polynôme minimal
La fiche récapitulative avec la méthode des diviseurs, la méthode des puissances et le critère de diagonalisation, illustrés par des exemples types.
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Exercice 4 ★★★ — Raisonnement : diagonalisabilité par annulateur.
Soit \(u \in \mathcal{L}(E)\) tel que \(u^2 – 3u + 2\mathrm{Id} = 0\). Sans calculer de sous-espace propre, montrer que \(u\) est diagonalisable et préciser ses valeurs propres possibles.
Correction. Le polynôme \(P = X^2 – 3X + 2 = (X-1)(X-2)\) est annulateur de \(u\). Il est scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\). Comme \(\pi_u \mid P\), le minimal est lui aussi scindé à racines simples (tout diviseur unitaire de \((X-1)(X-2)\) l’est). Donc \(u\) est diagonalisable, et ses valeurs propres sont incluses dans \(\{1, 2\}\). Selon que \(u = \mathrm{Id}\), \(u = 2\mathrm{Id}\) ou ni l’un ni l’autre, \(\pi_u\) vaut \(X-1\), \(X-2\) ou \((X-1)(X-2)\). ✔
Exercice 5 ★★★ — Minimal d’un endomorphisme par blocs.
Soit \(u\) dont la matrice est diagonale par blocs \(\mathrm{diag}(M_1, M_2)\). Montrer que \(\pi_u = \mathrm{ppcm}(\pi_{M_1}, \pi_{M_2})\).
Correction. Un polynôme \(P\) annule \(\mathrm{diag}(M_1, M_2)\) si et seulement si \(P(\mathrm{diag}(M_1,M_2)) = \mathrm{diag}(P(M_1), P(M_2)) = 0\), c’est-à-dire \(P(M_1) = 0\) et \(P(M_2) = 0\). Donc \(P\) est annulateur de \(u\) \(\Longleftrightarrow\) \(\pi_{M_1} \mid P\) et \(\pi_{M_2} \mid P\) \(\Longleftrightarrow\) \(\mathrm{ppcm}(\pi_{M_1}, \pi_{M_2}) \mid P\). L’idéal annulateur est donc engendré par ce ppcm, qui est le polynôme minimal. ✔
Pour t’entraîner davantage, consulte la page d’exercices corrigés sur les polynômes et les exercices de diagonalisation et réduction.
VII. Erreurs fréquentes et pièges
Ces trois erreurs reviennent à chaque copie de concours. Les repérer te fait gagner des points immédiatement.
❌ Copie fautive : « \(\chi_A = (X-1)^2(X-2)\) est scindé, donc \(A\) est diagonalisable. »
Diagnostic : confusion entre caractéristique et minimal. Le caractéristique scindé donne seulement la trigonalisabilité.
✅ Correction : il faut tester si \((X-1)(X-2)\) annule \(A\). Si oui, \(\pi_A = (X-1)(X-2)\) (racines simples) et \(A\) est diagonalisable ; sinon \(\pi_A = (X-1)^2(X-2)\) et \(A\) ne l’est pas.
❌ Copie fautive : « \(\pi_A\) a pour racine \(\lambda\) avec multiplicité égale à celle dans \(\chi_A\). »
Diagnostic : le minimal partage les racines du caractéristique, mais pas les multiplicités. La multiplicité de \(\lambda\) dans \(\pi_A\) est la taille du plus grand bloc de Jordan associé à \(\lambda\), pas sa multiplicité algébrique.
✅ Correction : retenir « mêmes racines, multiplicités a priori différentes ».
❌ Copie fautive : oublier que la diagonalisabilité dépend du corps \(\mathbb{K}\).
Diagnostic : \(\pi_A = X^2 + 1\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{C}\) mais pas sur \(\mathbb{R}\) (pas de racine réelle).
✅ Correction : une rotation d’angle \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) est diagonalisable sur \(\mathbb{C}\) mais pas sur \(\mathbb{R}\). Toujours préciser le corps.
Rédaction concours : pour prouver \(\pi_A = P\), le correcteur attend deux inclusions : montrer que \(P\) annule \(A\) (donc \(\pi_A \mid P\)), puis que tout diviseur strict de \(P\) n’annule pas \(A\) (souvent en exhibant que toutes les valeurs propres doivent être racines). Une seule des deux ne suffit jamais.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la définition du polynôme minimal ?
Le polynôme minimal d’un endomorphisme \(u\) (en dimension finie) est l’unique polynôme unitaire qui engendre l’idéal des polynômes annulateurs de \(u\). Autrement dit, c’est le polynôme annulateur unitaire de plus petit degré : il vérifie \(\pi_u(u) = 0\), et tout autre annulateur de \(u\) est un multiple de \(\pi_u\).
Comment déterminer un polynôme minimal ?
Deux méthodes. Si tu connais le polynôme caractéristique, factorise-le, puis teste les candidats unitaires (ayant toutes les valeurs propres comme racines) par degré croissant : le premier qui annule \(u\) est le minimal. Sinon, calcule les puissances \(\mathrm{Id}, A, A^2, \dots\) et repère la première relation de liaison.
Quelle est la différence entre polynôme minimal et polynôme annulateur ?
Un polynôme annulateur est n’importe quel polynôme \(P\) tel que \(P(u) = 0\) : il en existe une infinité. Le polynôme minimal est le plus petit d’entre eux (unitaire, de degré minimal), et il divise tous les autres. Le caractéristique, par exemple, est un annulateur particulier (Cayley-Hamilton), mais pas toujours le minimal.
Comment le polynôme minimal donne-t-il la diagonalisabilité ?
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples sur le corps considéré. C’est une condition nécessaire et suffisante très puissante : elle évite de calculer chaque sous-espace propre. S’il est seulement scindé (racines multiples), l’endomorphisme est trigonalisable mais pas diagonalisable.
Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique ont-ils les mêmes racines ?
Oui, ils ont exactement les mêmes racines : ce sont les valeurs propres de \(u\). En revanche, les multiplicités diffèrent en général. Le minimal divise le caractéristique (\(\pi_u \mid \chi_u\)), et les deux coïncident notamment pour les matrices compagnon.
Quel est le polynôme minimal d'une matrice diagonale ?
Si \(D\) est diagonale avec pour valeurs propres distinctes \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\), son polynôme minimal est \(\prod_{i=1}^{p}(X – \lambda_i)\) — un facteur par valeur propre distincte, sans répétition. C’est cohérent avec le critère : une matrice diagonale est diagonalisable, donc son minimal est scindé à racines simples.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais le polynôme minimal, son lien avec le caractéristique et le critère de diagonalisation. Pour consolider la « trinité de la réduction » et l’algèbre des polynômes :
- Polynôme caractéristique — l’autre invariant clé, dont le minimal est un diviseur.
- Théorème de Cayley-Hamilton — pourquoi \(\chi_u(u) = 0\) et comment l’exploiter.
- Polynôme scindé, irréductible et unitaire — le vocabulaire central de la diagonalisation.
- Diagonalisation d’une matrice — l’angle calcul, complémentaire de ce cours.
- Puissance d’une matrice — une application directe des polynômes annulateurs.
- Les polynômes : cours complet — le pilier qui structure tout le chapitre.
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