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Quand tu places un point sur un repère, tu manipules sans le savoir un produit cartésien : un point du plan, c’est un couple de coordonnées \((x,y)\), c’est-à-dire un élément de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Cette opération qui « croise » deux ensembles pour fabriquer des couples est l’une des briques les plus fondamentales de toutes les mathématiques : elle sert à définir les relations binaires, les applications, les espaces produits et tout le dénombrement combinatoire. Dans ce cours, tu vas comprendre précisément ce qu’est un produit cartésien, démontrer ses propriétés, maîtriser sa formule de cardinal et éviter les confusions classiques.
Définition — Produit cartésien de deux ensembles
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. Le produit cartésien de \(E\) par \(F\), noté \(E \times F\), est l’ensemble des couples \((x,y)\) dont la première composante appartient à \(E\) et la seconde à \(F\) :
\(E \times F = \{\, (x,y) \mid x \in E \text{ et } y \in F \,\}\)
Le symbole \(\times\) se lit « croix » et l’expression \(E \times F\) se lit « \(E\) croix \(F\) ».
I. Définition, couples et premiers exemples
Le cœur du produit cartésien, c’est la notion de couple. Un couple \((x,y)\) est une donnée ordonnée de deux objets : l’ordre compte. C’est précisément ce qui le distingue d’une paire (un ensemble à deux éléments), où l’ordre n’a aucune importance.
Couple \((a,b)\) vs paire \(\{a,b\}\). Ne confonds jamais les deux. Pour un couple, \((a,b) = (c,d)\) si et seulement si \(a = c\) et \(b = d\) : l’ordre est imposé. Pour une paire, \(\{a,b\} = \{b,a\}\) : l’ordre n’existe pas. Ainsi \((1,2) \neq (2,1)\) alors que \(\{1,2\} = \{2,1\}\).
A. La caractérisation fondamentale de l’égalité des couples
Toute la théorie repose sur la propriété suivante, qui sert de définition opératoire du couple.
Propriété caractéristique des couples
Pour tous objets \(a, b, c, d\) :
\((a,b) = (c,d) \iff (a = c \text{ et } b = d)\)
En prépa, on aime savoir qu’un objet existe vraiment. Le couple peut se construire à l’intérieur de la théorie des ensembles, sans le poser comme primitif, grâce à la définition de Kuratowski.
Pour aller plus loin — la construction de Kuratowski (1921). On peut définir le couple uniquement avec des accolades :
\((a,b) := \big\{ \{a\},\, \{a,b\} \big\}\)
On démontre alors la propriété caractéristique \((a,b)=(c,d) \iff a=c \text{ et } b=d\) comme un théorème, et non comme un axiome. C’est ce qui justifie que le produit cartésien est un ensemble parfaitement légitime dans la théorie ZF. Tu n’as pas à l’utiliser en pratique, mais c’est l’argument qui ferme toute discussion sur l’existence des couples.
B. Notation et cas particulier \(E^2\)
Lorsque les deux ensembles sont identiques, on note le produit cartésien avec un exposant.
Notation — carré cartésien
Si \(E = F\), on écrit \(E \times E = E^2\). Plus généralement, le produit de \(E\) par lui-même \(n\) fois se note \(E^n\) (voir section IV).
Ainsi \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) est l’ensemble des couples de réels — exactement les points du plan muni d’un repère.
C. Exemples concrets
Exemple 1 — Produit de deux ensembles finis. Soit \(E = \{1, 2\}\) et \(F = \{a, b, c\}\). Alors :
\(E \times F = \{(1,a),\,(1,b),\,(1,c),\,(2,a),\,(2,b),\,(2,c)\}\)
On obtient \(6\) couples : chacune des \(2\) valeurs de \(E\) est associée à chacune des \(3\) valeurs de \(F\).
En inversant l’ordre :
\(F \times E = \{(a,1),\,(a,2),\,(b,1),\,(b,2),\,(c,1),\,(c,2)\}\)
On a bien \(6\) couples là aussi, mais ce ne sont pas les mêmes : \((1,a) \in E\times F\) tandis que \((a,1) \in F \times E\). Donc \(E \times F \neq F \times E\).
Cette représentation en quadrillage de points est la clé visuelle du produit cartésien : croiser deux ensembles, c’est remplir un tableau à double entrée dont les cases sont les couples. Voyons maintenant ce que cette structure entraîne comme propriétés algébriques.
II. Propriétés du produit cartésien
Le produit cartésien n’est pas une multiplication ordinaire : il a ses propres règles. Trois faits structurent tout : il n’est pas commutatif, il « écrase » le vide, et il se distribue sur les opérations ensemblistes.
A. Produit cartésien et ensemble vide
Proposition — caractérisation du produit vide
Pour tous ensembles \(E\) et \(F\) :
\(E \times F = \emptyset \iff (E = \emptyset \text{ ou } F = \emptyset)\)
Démonstration (exigible)
Procédons par double implication, en raisonnant sur la contraposée du sens direct.
Sens \(\Leftarrow\). Supposons \(E = \emptyset\). Un élément de \(E\times F\) serait un couple \((x,y)\) avec \(x \in E = \emptyset\), ce qui est impossible. Donc \(E \times F = \emptyset\). Le cas \(F = \emptyset\) est symétrique.
Sens \(\Rightarrow\) (par contraposée). Supposons \(E \neq \emptyset\) et \(F \neq \emptyset\). Il existe alors \(x \in E\) et \(y \in F\), donc \((x,y) \in E\times F\), et par conséquent \(E \times F \neq \emptyset\). ∎
Pour la démonstration par contraposée mobilisée ici, tu peux revoir notre fiche dédiée au raisonnement par contraposée.
B. Non-commutativité
Proposition — le produit cartésien n’est pas commutatif
En général, \(E \times F \neq F \times E\). Plus précisément, lorsque \(E\) et \(F\) sont tous deux non vides :
\(E \times F = F \times E \iff E = F\)
Démonstration
Si \(E = F\), l’égalité \(E\times F = F \times E\) est immédiate. Réciproquement, supposons \(E\) et \(F\) non vides et \(E \times F = F \times E\). Soit \(x \in E\). Comme \(F \neq \emptyset\), on choisit \(y \in F\), donc \((x,y) \in E \times F = F \times E\). Par définition de \(F \times E\), cela impose \(x \in F\). D’où \(E \subset F\). Par symétrie des rôles, \(F \subset E\), et finalement \(E = F\). ∎
L’hypothèse de non-vacuité est essentielle : si \(E = \emptyset\), alors \(E \times F = F \times E = \emptyset\) quel que soit \(F\), et l’équivalence tombe.
C. Distributivité sur l’union et l’intersection
C’est la propriété la plus utile en pratique : le produit cartésien se distribue à droite comme à gauche sur l’union et l’intersection.
Proposition — distributivité
Pour tous ensembles \(E\), \(F\), \(G\) :
\(E \times (F \cup G) = (E \times F) \cup (E \times G)\)
\(E \times (F \cap G) = (E \times F) \cap (E \times G)\)
Et de même à gauche : \((F \cup G) \times E = (F\times E) \cup (G \times E)\), etc.
Démonstration de \(E \times (F \cap G) = (E \times F) \cap (E \times G)\) (exigible)
On raisonne par équivalences sur l’appartenance d’un couple quelconque \((x,y)\).
\((x,y) \in E \times (F \cap G)\) équivaut à \(x \in E\) et \(y \in F \cap G\), c’est-à-dire \(x \in E\) et \(y \in F\) et \(y \in G\).
En dédoublant la condition sur \(x\) (vraie « deux fois »), cela équivaut à : \((x \in E \text{ et } y \in F)\) et \((x \in E \text{ et } y \in G)\), soit \((x,y) \in E\times F\) et \((x,y) \in E \times G\), donc \((x,y) \in (E\times F) \cap (E \times G)\).
Les deux ensembles ont les mêmes éléments : ils sont égaux. ∎
D. Intersection de deux produits et inclusion
Proposition — intersection de produits
Pour tous ensembles \(A, B, C, D\) :
\((A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)\)
De plus, la monotonie pour l’inclusion : si \(A \subset C\) et \(B \subset D\), alors \(A \times B \subset C \times D\).
Attention — l’union ne se comporte pas pareil. En général :
\((A \times B) \cup (C \times D) \neq (A \cup C) \times (B \cup D)\)
Le membre de droite contient des couples « croisés » du type \((a, d)\) avec \(a \in A\) et \(d \in D\) qui n’apparaissent pas forcément à gauche. Prends \(A=\{1\}, B=\{1\}, C=\{2\}, D=\{2\}\) : à gauche tu as \(\{(1,1),(2,2)\}\), à droite tu as les \(4\) couples de \(\{1,2\}^2\). La distributivité ne marche que pour l’intersection de produits.
Ces propriétés algébriques deviennent vraiment puissantes lorsqu’on compte les éléments. C’est tout l’objet de la formule du cardinal.
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III. Cardinal du produit cartésien
Quand \(E\) et \(F\) sont finis, on sait exactement combien de couples contient \(E \times F\). C’est le résultat le plus utilisé en dénombrement et en probabilités.
Théorème — cardinal d’un produit cartésien
Si \(E\) et \(F\) sont deux ensembles finis, alors \(E \times F\) est fini et :
\(\mathrm{card}(E \times F) = \mathrm{card}(E) \times \mathrm{card}(F)\)
On note aussi \(|E \times F| = |E| \times |F|\). C’est le principe multiplicatif : il y a \(|E|\) choix possibles pour la première composante, et pour chacun, \(|F|\) choix pour la seconde.
Démonstration (par le principe des choix successifs)
Notons \(p = \mathrm{card}(E)\) et écrivons \(E = \{x_1, \dots, x_p\}\). Pour chaque indice \(i\), l’ensemble des couples de première composante \(x_i\) est :
\(\{x_i\} \times F = \{ (x_i, y) \mid y \in F \}\)qui est en bijection évidente avec \(F\), donc de cardinal \(\mathrm{card}(F)\). Ces \(p\) ensembles sont deux à deux disjoints (deux couples de premières composantes distinctes sont différents) et leur réunion est \(E \times F\). Par additivité du cardinal sur une réunion disjointe :
\(\mathrm{card}(E\times F) = \sum_{i=1}^{p} \mathrm{card}(\{x_i\}\times F) = \sum_{i=1}^{p} \mathrm{card}(F) = p \times \mathrm{card}(F)\)soit \(\mathrm{card}(E)\times\mathrm{card}(F)\). ∎
Exemple 2 — un menu au restaurant. Un menu propose \(4\) entrées et \(5\) plats. Un repas « entrée + plat » est un couple (entrée, plat), élément de \(E \times P\) avec \(|E| = 4\) et \(|P| = 5\). Le nombre de menus possibles est donc :
\(|E \times P| = 4 \times 5 = 20\)
Pour \(E = F\), on obtient une formule très fréquente : \(\mathrm{card}(E^2) = \mathrm{card}(E)^2\). Par exemple, un échiquier compte \(8 \times 8 = 64\) cases, chaque case étant un couple (ligne, colonne).
A. Lien avec le dénombrement et les probabilités
Le produit cartésien est le squelette du dénombrement. Le nombre de \(p\)-listes (suites ordonnées avec répétition) d’éléments d’un ensemble à \(n\) éléments est précisément \(\mathrm{card}(E^p) = n^p\). En probabilités, l’univers d’une expérience répétée se modélise par un produit cartésien : lancer deux dés revient à choisir un élément de \(\{1,\dots,6\}^2\), qui contient \(36\) issues équiprobables.
Le pont avec \(\mathcal{P}(E)\). Une autre formule de comptage célèbre, \(\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^{\,\mathrm{card}(E)}\), se démontre via un produit cartésien : se donner une partie de \(E\) revient à choisir, pour chacun des \(n\) éléments, s’il est « dedans » ou « dehors », soit un élément de \(\{0,1\}^n\). Approfondis ce résultat dans le cours sur l’ensemble des parties et l’inclusion.
IV. Généralisation : produit de \(n\) ensembles
Un couple a deux composantes ; on peut en vouloir trois, quatre, ou \(n\). On parle alors de triplets, de quadruplets et plus généralement de \(n\)-uplets.
Définition — produit cartésien de \(n\) ensembles
Soient \(E_1, E_2, \dots, E_n\) des ensembles. Leur produit cartésien est l’ensemble des \(n\)-uplets :
\(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} E_i = E_1 \times E_2 \times \cdots \times E_n = \{\, (x_1, \dots, x_n) \mid \forall i \in \{1,\dots,n\},\ x_i \in E_i \,\}\)
Lorsque tous les \(E_i\) sont égaux à un même ensemble \(E\), on note \(E^n\) l’ensemble des \(n\)-uplets d’éléments de \(E\).
Théorème — cardinal du produit de \(n\) ensembles finis
Si \(E_1, \dots, E_n\) sont finis :
\(\displaystyle \mathrm{card}\!\left(\prod_{i=1}^{n} E_i\right) = \prod_{i=1}^{n} \mathrm{card}(E_i)\)
En particulier \(\mathrm{card}(E^n) = \mathrm{card}(E)^n\).
Démonstration (par récurrence sur \(n\))
L’initialisation pour \(n=2\) est le théorème de la section III. Supposons le résultat vrai au rang \(n\). En identifiant \(E_1 \times \cdots \times E_{n+1}\) à \((E_1 \times \cdots \times E_n) \times E_{n+1}\) (via l’application qui à un \((n+1)\)-uplet associe le couple formé du \(n\)-uplet et de la dernière composante, qui est une bijection), on applique le cas \(2\) puis l’hypothèse de récurrence :
\(\displaystyle \mathrm{card}\!\left(\prod_{i=1}^{n+1} E_i\right) = \mathrm{card}\!\left(\prod_{i=1}^{n} E_i\right) \times \mathrm{card}(E_{n+1}) = \prod_{i=1}^{n+1}\mathrm{card}(E_i)\)ce qui conclut. La rédaction soignée de ce raisonnement par récurrence est détaillée dans la fiche méthode correspondante. ∎
Le produit n’est pas vraiment associatif — mais on l’identifie. Stricto sensu, \((a,b,c)\), \(((a,b),c)\) et \((a,(b,c))\) sont des objets différents : un triplet n’est pas un couple de couple. On dispose néanmoins de bijections canoniques entre \((E\times F)\times G\), \(E\times(F\times G)\) et \(E\times F\times G\). En pratique on les identifie systématiquement, mais sache que cette identification est une commodité, pas une égalité.
Munis de la définition générale, regardons comment le produit cartésien irrigue le reste du programme.
V. Le rôle fondateur : relations et applications
Pourquoi le produit cartésien est-il si central en prépa ? Parce qu’il est l’ensemble dans lequel vivent les relations et les applications. C’est l’idée la plus importante de tout ce cours.
Définition — relation binaire et graphe
Une relation binaire de \(E\) vers \(F\) est entièrement décrite par son graphe, qui est une partie \(\Gamma \subset E \times F\). Dire que \(x\) est en relation avec \(y\) signifie \((x,y) \in \Gamma\).
Autrement dit : étudier les relations binaires (équivalence, ordre), c’est étudier des sous-ensembles d’un produit cartésien. Une application \(f : E \to F\) est un cas particulier : c’est une relation dont le graphe \(\Gamma_f = \{(x, f(x)) \mid x \in E\} \subset E \times F\) vérifie que chaque \(x \in E\) possède un unique partenaire. C’est exactement ce qui permet de définir rigoureusement les notions d’injection, surjection et bijection.
Exemple 3 — le graphe d’une fonction. Pour \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2\), le graphe est \(\Gamma_f = \{(x, x^2) \mid x \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{R}^2\). C’est précisément la parabole que tu traces dans un repère : la « courbe représentative » au sens du lycée n’est rien d’autre qu’une partie de \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\).
Cette idée — un objet mathématique = un sous-ensemble d’un produit cartésien — se retrouve partout : la loi d’un produit (en algèbre) est une application \(E \times E \to E\), le produit scalaire est une application \(E \times E \to \mathbb{R}\), et un espace vectoriel produit se construit par produit cartésien. Le produit cartésien n’est pas une curiosité : c’est l’atelier où l’on fabrique les structures.
VI. Exemples d’application résolus
Voici trois exemples gradués pour ancrer la méthode. Pour t’entraîner davantage, l’ensemble du chapitre dispose d’une page dédiée d’exercices corrigés sur les ensembles et applications (Prépa).
A. 🔵 Lister un produit cartésien
Énoncé. Soient \(A = \{0, 1\}\) et \(B = \{x, y\}\). Déterminer \(A \times B\), puis \((A\times B) \cap (B \times A)\).
Solution. On a \(A \times B = \{(0,x),(0,y),(1,x),(1,y)\}\) et \(B \times A = \{(x,0),(x,1),(y,0),(y,1)\}\). Aucun couple n’apparaît dans les deux listes (à gauche les premières composantes sont \(0\) ou \(1\), à droite \(x\) ou \(y\)). Donc :
\((A\times B) \cap (B \times A) = \emptyset\)
B. 🟠 Un calcul de cardinal
Énoncé. On considère \(E = \{1,2,3,4,5\}\). Combien de couples \((a,b) \in E^2\) vérifient \(a \neq b\) ?
Solution. On compte par complémentaire. Au total \(\mathrm{card}(E^2) = 5^2 = 25\) couples. Les couples avec \(a = b\) sont \((1,1),\dots,(5,5)\), soit \(5\) couples. Donc le nombre de couples avec \(a \neq b\) vaut :
\(25 – 5 = 20\)
On retrouve le nombre d’arrangements \(5 \times 4 = 20\) : \(5\) choix pour \(a\), puis \(4\) choix restants pour \(b\).
C. 🔴 Un raisonnement ensembliste
Énoncé. Montrer que pour tous ensembles non vides \(A, B, C, D\) : \(A \times B \subset C \times D \iff (A \subset C \text{ et } B \subset D)\).
Solution.
\(\Leftarrow\) Si \(A \subset C\) et \(B \subset D\), tout couple \((x,y) \in A \times B\) vérifie \(x \in A \subset C\) et \(y \in B \subset D\), donc \((x,y) \in C\times D\). D’où l’inclusion.
\(\Rightarrow\) Supposons \(A\times B \subset C\times D\), avec \(A,B\) non vides. Soit \(x \in A\). Comme \(B \neq \emptyset\), on choisit \(y \in B\) ; alors \((x,y) \in A\times B \subset C\times D\), donc \(x \in C\). Ainsi \(A \subset C\). De même, en fixant un \(x \in A\) (possible car \(A\neq\emptyset\)) et en faisant varier \(y \in B\), on obtient \(B \subset D\). ∎
Remarque de rédaction. L’hypothèse de non-vacuité doit impérativement servir explicitement dans le sens \(\Rightarrow\) : c’est elle qui autorise à « choisir » un élément. Un correcteur de concours sanctionne l’oubli de cette justification.
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VII. Pièges classiques à éviter
Le produit cartésien concentre quelques confusions récurrentes. Les voici, avec leur diagnostic.
Piège 1 — confondre \(E \times F\) avec \(E \cup F\) ou \(E \cap F\).
❌ Copie fautive : « \(\{1,2\} \times \{2,3\} = \{1,2,3\}\) ».
Diagnostic : l’élève confond une opération qui fabrique des couples avec une opération qui fabrique un ensemble d’éléments simples. \(E\times F\) n’est jamais inclus dans \(E\) ni dans \(F\) (ses éléments ne sont même pas du même type).
✅ Correction : \(\{1,2\}\times\{2,3\} = \{(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)\}\) — quatre couples.
Piège 2 — croire que \(E\times F = F \times E\).
❌ « Comme \(2 \times 3 = 3 \times 2\), on a \(E\times F = F\times E\). »
Diagnostic : le calcul des cardinaux est bien commutatif (\(|E|\times|F|=|F|\times|E|\)), mais pas l’ensemble des couples. \((1,a) \neq (a,1)\).
✅ Retenir : l’égalité des cardinaux n’entraîne pas l’égalité des ensembles.
Piège 3 — oublier que \(E \times \emptyset = \emptyset\).
❌ Écrire « \(E \times \emptyset = E\) » par analogie avec \(E \cup \emptyset = E\).
Diagnostic : pour l’union, \(\emptyset\) est neutre ; pour le produit cartésien, \(\emptyset\) est absorbant. Pas de seconde composante possible \(\Rightarrow\) aucun couple.
✅ \(E \times \emptyset = \emptyset \times E = \emptyset\).
VIII. Questions fréquentes
Qu'est-ce que le produit cartésien de deux ensembles ?
Le produit cartésien de deux ensembles \(E\) et \(F\), noté \(E \times F\), est l’ensemble de tous les couples \((x,y)\) dont la première composante \(x\) appartient à \(E\) et la seconde \(y\) appartient à \(F\). C’est l’opération qui « croise » deux ensembles pour produire des couples ordonnés. Le plan \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\times\mathbb{R}\) en est l’exemple le plus connu.
Quelle est la formule du cardinal d'un produit cartésien ?
Pour deux ensembles finis, \(\mathrm{card}(E\times F) = \mathrm{card}(E) \times \mathrm{card}(F)\). Plus généralement, pour \(n\) ensembles finis, le cardinal du produit est le produit des cardinaux : \(\mathrm{card}(E_1 \times \cdots \times E_n) = \mathrm{card}(E_1)\times\cdots\times\mathrm{card}(E_n)\). En particulier \(\mathrm{card}(E^n) = \mathrm{card}(E)^n\).
Quelle est la différence entre produit cartésien et union de deux ensembles ?
Ce sont deux opérations de nature totalement différente. L’union \(E \cup F\) rassemble les éléments de \(E\) et de \(F\) dans un même ensemble : ses éléments sont du même type que ceux de \(E\) et \(F\). Le produit cartésien \(E \times F\) fabrique des couples : ses éléments sont de type nouveau. Côté cardinal, \(\mathrm{card}(E\cup F) \le \mathrm{card}(E)+\mathrm{card}(F)\) (avec égalité si disjoints) tandis que \(\mathrm{card}(E\times F)=\mathrm{card}(E)\times\mathrm{card}(F)\).
Le produit cartésien est-il commutatif ?
Non. En général \(E\times F \neq F \times E\), car \((x,y)\) et \((y,x)\) sont des couples différents dès que \(x \neq y\). L’égalité \(E\times F = F\times E\) n’a lieu, pour des ensembles non vides, que si \(E = F\). Seul le cardinal est insensible à l’ordre, puisque la multiplication des entiers est commutative.
Pourquoi le produit cartésien est-il nommé d'après Descartes ?
Le nom rend hommage à René Descartes, qui a introduit au XVIIᵉ siècle l’idée de repérer un point du plan par un couple de coordonnées. Identifier le plan géométrique à \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) est l’acte de naissance de la géométrie analytique : c’est cette correspondance entre points et couples qui a donné son nom à l’opération.
À quoi sert concrètement le produit cartésien en prépa ?
Il sert de fondation. Une relation binaire est une partie d’un produit cartésien, une application est une relation à graphe fonctionnel, une loi de composition interne est une application \(E\times E \to E\), et tout le dénombrement (listes, arrangements, univers probabilistes) repose sur le principe multiplicatif \(\mathrm{card}(E\times F)=\mathrm{card}(E)\times\mathrm{card}(F)\). Maîtriser le produit cartésien, c’est comprendre l’ossature commune des relations, des fonctions et des structures algébriques.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le produit cartésien, son cardinal et son rôle fondateur. Pour consolider le chapitre :
- Théorie des ensembles : le cours complet (pilier)
- Relations binaires : équivalence, classe d’équivalence et ordre — l’application directe du produit cartésien.
- Injection, surjection, bijection — les applications comme graphes particuliers.
- Sous-ensembles, inclusion et ensemble des parties P(E) — le lien \(\mathrm{card}(\mathcal{P}(E))=2^n\).
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ — pour comprendre \(\mathbb{R}^2\) et \(\mathbb{C}\).
- Exercices corrigés : ensembles, applications et relations (Prépa)
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Dernière mise à jour : 25/06/2026. Conforme au programme officiel de classes préparatoires scientifiques 2025-2026.
