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En cherchant les solutions d’une équation, tu tombes parfois sur… rien. Aucune solution. En mathématiques, ce « rien » porte un nom et un symbole précis : l’ensemble vide, noté \(\emptyset\). Loin d’être une curiosité inutile, c’est un objet fondamental, avec ses propres règles et un piège classique redouté en prépa. Voici tout ce qu’il faut comprendre, du lycée à la classe préparatoire.
Définition — Ensemble vide
L’ensemble vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément. On le note \(\emptyset\) (ou parfois \(\{\}\)).
Autrement dit, pour tout objet \(x\), la proposition « \(x \in \emptyset\) » est toujours fausse.
I. Qu’est-ce que l’ensemble vide ?
Tu manipules des ensembles depuis la Seconde : l’ensemble des solutions d’une équation, l’ensemble des nombres pairs, l’intervalle \([2\,;5]\)… Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments. L’ensemble vide est simplement le cas limite : la collection qui ne contient rien du tout.
A. Pourquoi un ensemble sans élément ?
Ce n’est pas un caprice de mathématicien. L’ensemble vide apparaît naturellement dès qu’on résout un problème sans solution. Considère l’équation \(x^2 + 1 = 0\) dans l’ensemble des réels.
Un carré est toujours positif ou nul, donc \(x^2 + 1\) est toujours strictement positif : cette somme vaut au minimum \(1\). Il n’existe donc aucun réel solution. L’ensemble des solutions dans \(\mathbb{R}\) est l’ensemble vide :
De la même manière, l’intervalle \([3\,;3[\) (borne gauche fermée, borne droite ouverte, avec \(3\) exclu) ne contient aucun réel : c’est un intervalle vide, égal à \(\emptyset\).
À retenir : quand tu écris « il n’y a pas de solution », le langage mathématique dit « l’ensemble des solutions est \(\emptyset\) ». C’est plus qu’une notation : c’est un objet mathématique à part entière que l’on peut réunir, intersecter, inclure.
B. Son cardinal vaut zéro
Le cardinal d’un ensemble fini est son nombre d’éléments. Puisque l’ensemble vide n’en contient aucun :
\(\mathrm{card}(\emptyset) = 0\)C’est le seul ensemble de cardinal nul. À l’inverse, un ensemble non vide contient au moins un élément.
Attention au vocabulaire : on dit « ensemble vide » et non « ensemble nul ». En français mathématique, le terme nul désigne le nombre \(0\) ou le vecteur \(\vec{0}\), pas l’ensemble \(\emptyset\). La traduction anglaise null set a induit de nombreuses confusions.
II. Le symbole ∅ : notation, LaTeX et clavier
Le symbole \(\emptyset\) est universellement utilisé, mais beaucoup d’élèves ne savent pas d’où il vient ni comment le taper proprement. Réglons ça.
A. Origine du symbole
Le symbole \(\emptyset\) a été introduit en 1939 par le groupe de mathématiciens Bourbaki, sous l’impulsion d’André Weil. Ce n’est pas la lettre grecque phi (\(\phi\)) : c’est le « ø » de l’alphabet danois et norvégien, choisi pour évoquer un rond « barré », donc vide.
B. Écrire ∅ en LaTeX
Deux commandes existent, et il faut choisir la bonne :
| Commande | Rendu | Remarque |
|---|---|---|
\emptyset |
\(\emptyset\) | Symbole standard, disponible partout |
\emptyset |
∅ (rond barré net) | Nécessite le package amssymb ; préféré par les typographes |
Sur Excellence Maths, la notation utilisée est \(\emptyset\). Dans un devoir manuscrit, trace un rond barré d’une seule diagonale — ne le confonds pas avec le zéro barré des informaticiens.
C. Taper ∅ au clavier
Pour insérer le caractère dans un traitement de texte :
- Windows : maintiens
Altet tape0216sur le pavé numérique, ou insère le caractère UnicodeU+2205. - Mac :
Option+Maj+Odonne le « Ø » danois majuscule, très proche du symbole. - Word : tape
2205puisAlt+X. - Copier-coller : le plus simple reste ∅ (ce caractère, à copier directement).
La fiche « Ensemble vide » : l’essentiel en 1 page
Définition, propriétés clés, notations LaTeX et le piège ∅ vs {∅} — tout ce qu’il faut mémoriser, prêt à imprimer.
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III. Les propriétés fondamentales de l’ensemble vide
C’est ici que l’ensemble vide devient vraiment intéressant. Ses propriétés semblent parfois contre-intuitives, mais elles découlent toutes logiquement de la définition.
A. ∅ est inclus dans tout ensemble
Propriété — Inclusion universelle
Pour tout ensemble \(E\), on a \(\emptyset \subset E\).
L’ensemble vide est donc une partie (un sous-ensemble) de n’importe quel ensemble.
Pourquoi ? Dire \(\emptyset \subset E\) signifie : « tout élément de \(\emptyset\) est aussi élément de \(E\) ». Comme \(\emptyset\) n’a aucun élément, il n’y a rien à vérifier : la condition est vide de sens à contredire, donc elle est vraie. On dit qu’elle est vraie par vacuité.
Comment retenir : pour prouver qu’une inclusion est fausse, il faudrait exhiber un élément de \(\emptyset\) qui n’appartient pas à \(E\). Mais \(\emptyset\) n’a aucun élément : impossible de trouver un contre-exemple. L’inclusion est donc forcément vraie. C’est un raisonnement du même esprit que le raisonnement par l’absurde.
B. Il n’existe qu’un seul ensemble vide
On parle de « l’ » ensemble vide, avec un article défini. Ce n’est pas une facilité de langage : l’ensemble vide est unique.
L’idée : deux ensembles sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments. Si \(\emptyset_1\) et \(\emptyset_2\) sont tous deux vides, ils ont les mêmes éléments (à savoir : aucun). Ils sont donc égaux. Il n’y a qu’un ensemble vide, quel que soit le « contexte » d’où il provient : l’ensemble des solutions d’une équation impossible et l’ensemble des licornes vivantes sont le même ensemble \(\emptyset\).
C. Intersection et réunion avec ∅
L’ensemble vide se comporte de façon très régulière dans les opérations ensemblistes. Pour tout ensemble \(A\) :
| Opération | Résultat | Interprétation |
|---|---|---|
| \(A \cap \emptyset\) | \(\emptyset\) | Aucun élément commun possible |
| \(A \cup \emptyset\) | \(A\) | Réunir avec « rien » n’ajoute rien |
| \(A \setminus \emptyset\) | \(A\) | Retirer « rien » ne change rien |
| \(\emptyset \setminus A\) | \(\emptyset\) | Rien à retirer |
Retiens l’analogie : \(\emptyset\) joue pour l’intersection le rôle « absorbant » (comme \(0\) pour la multiplication) et pour la réunion le rôle « neutre » (comme \(0\) pour l’addition).
Deux ensembles dont l’intersection est vide, \(A \cap B = \emptyset\), sont dits disjoints : ils n’ont aucun élément en commun.
D. 🟠 Prépa — ∅ appartient à l’ensemble des parties
En classe préparatoire, on manipule l’ensemble des parties d’un ensemble \(E\), noté \(\mathcal{P}(E)\) : c’est l’ensemble de tous les sous-ensembles de \(E\). Puisque \(\emptyset \subset E\) pour tout \(E\), on en déduit :
\(\emptyset \in \mathcal{P}(E)\)Le piège à ne jamais commettre : \(\emptyset \subset E\) (inclusion) mais \(\emptyset \in \mathcal{P}(E)\) (appartenance). On ne mélange pas \(\subset\) et \(\in\) ! L’ensemble vide est inclus dans \(E\), et il appartient à l’ensemble des parties de \(E\).
Conséquence : l’ensemble des parties de l’ensemble vide n’est pas vide ! Il contient exactement un élément, \(\emptyset\) lui-même :
\(\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\} \qquad \text{et} \qquad \mathrm{card}\big(\mathcal{P}(\emptyset)\big) = 2^0 = 1\)Pour approfondir ce point, consulte le cours dédié aux sous-ensembles et à l’ensemble des parties P(E).
IV. Représenter l’ensemble vide avec les diagrammes de Venn
Un diagramme de Venn représente un ensemble par une région du plan et ses éléments par des points. Représenter l’ensemble vide, c’est donc dessiner une région… sans aucun point à l’intérieur.
Deux situations reviennent souvent :
- Ensembles disjoints : deux patates qui ne se touchent pas illustrent \(A \cap B = \emptyset\).
- Complémentaire d’un ensemble par lui-même : dans un ensemble de référence \(E\), le complémentaire de \(E\) est \(\emptyset\) (il ne reste plus rien à colorier).
Astuce visuelle : l’ensemble vide n’a pas de « forme » sur un diagramme de Venn — c’est justement l’absence de point. Quand tu colories une intersection et qu’aucune zone ne se recouvre, tu viens de dessiner \(\emptyset\).
V. Exemples d’application
Voici trois exemples courts pour vérifier ta compréhension. Cherche d’abord seul, puis compare. Pour un entraînement complet, va sur les exercices corrigés du cocon.
★ Exemple 1 — Reconnaître un ensemble vide. Décris en extension l’ensemble \(A = \{\, n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est pair et impair} \,\}\).
Solution : aucun entier naturel ne peut être à la fois pair et impair. La condition n’est jamais satisfaite, donc \(A = \emptyset\) et \(\mathrm{card}(A) = 0\).
★ Exemple 2 — Opérations. Soit \(B = \{1\,;2\,;3\}\). Calcule \(B \cap \emptyset\) puis \(B \cup \emptyset\).
Solution : intersecter \(B\) avec un ensemble sans élément ne peut donner aucun élément commun : \(B \cap \emptyset = \emptyset\). Réunir \(B\) avec « rien » n’ajoute aucun élément : \(B \cup \emptyset = B = \{1\,;2\,;3\}\).
★★ Exemple 3 — Raisonnement (prépa). Les objets \(\emptyset\) et \(\{\emptyset\}\) sont-ils égaux ? Que vaut \(\mathrm{card}\big(\{\emptyset\}\big)\) ?
Solution : \(\emptyset\) ne contient aucun élément, donc \(\mathrm{card}(\emptyset) = 0\). En revanche, \(\{\emptyset\}\) est une boîte qui contient un élément — cet élément étant l’ensemble vide. Donc \(\mathrm{card}\big(\{\emptyset\}\big) = 1\). Ces deux ensembles sont différents : \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\). C’est le piège développé dans la section suivante.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
L’ensemble vide est simple à comprendre mais redoutable dans les détails. Voici les fautes qui coûtent des points, en contrôle comme en khôlle.
A. Le piège absolu : ∅ vs {∅}
C’est la distinction qui sépare un élève qui récite d’un élève qui comprend.
❌ Copie fautive : « \(\{\emptyset\} = \emptyset\) car les deux sont vides. »
Diagnostic : l’élève confond le contenant et le contenu. \(\{\emptyset\}\) n’est pas vide : c’est une boîte qui contient un objet, à savoir l’ensemble vide.
✅ Correction : \(\mathrm{card}(\emptyset) = 0\) tandis que \(\mathrm{card}\big(\{\emptyset\}\big) = 1\). Donc \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\). Par ailleurs \(\emptyset \in \{\emptyset\}\) (l’ensemble vide est un élément de cette boîte) et \(\emptyset \subset \{\emptyset\}\) (l’ensemble vide est inclus dans tout ensemble). Les deux relations sont vraies simultanément, sans se contredire.
Une bonne image : \(\emptyset\) est une boîte vide, et \(\{\emptyset\}\) est une boîte qui contient une boîte vide. La seconde n’est pas vide : elle contient quelque chose.
B. Confondre ∈ et ⊂
Erreur classique : écrire \(\emptyset \in E\) pour un ensemble \(E\) quelconque. C’est faux en général ! On a toujours \(\emptyset \subset E\) (inclusion), mais \(\emptyset \in E\) n’est vrai que si l’ensemble vide fait explicitement partie des éléments listés dans \(E\) (par exemple \(E = \mathcal{P}(F)\)).
C. Dire « ensemble nul »
Comme vu plus haut, on dit ensemble vide, jamais « ensemble nul ». Le mot « nul » se réserve au nombre \(0\), à une fonction identiquement nulle ou au vecteur nul. Cette confusion vient de l’anglais null set et fait mauvais effet sur une copie.
VII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un ensemble vide en maths ?
L’ensemble vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément. On le note \(\emptyset\). Il apparaît par exemple comme ensemble des solutions d’une équation sans solution, comme \(x^2 + 1 = 0\) dans les réels. Son cardinal (nombre d’éléments) vaut \(0\), et il est le seul ensemble dans ce cas.
Que signifie le symbole ∅ et comment s'appelle-t-il ?
Le symbole \(\emptyset\) désigne l’ensemble vide. On le lit simplement « ensemble vide ». Il a été introduit par le groupe Bourbaki en 1939 : c’est le « ø » de l’alphabet danois, un rond barré évoquant le vide, et non la lettre grecque phi.
Comment écrire l'ensemble vide en LaTeX ?
Deux commandes existent : \emptyset donne le symbole standard, et \emptyset (avec le package amssymb) donne un rond barré plus net, souvent préféré. Les deux affichent le même concept : \(\emptyset\).
Quelle est la différence entre ∅ et {∅} ?
\(\emptyset\) est un ensemble sans élément : son cardinal est \(0\). \(\{\emptyset\}\) est un ensemble qui contient un élément — cet élément étant l’ensemble vide — donc son cardinal est \(1\). Ils sont différents : \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\). Image : une boîte vide n’est pas la même chose qu’une boîte contenant une boîte vide.
Pourquoi l'ensemble vide est-il inclus dans tout ensemble ?
Dire \(\emptyset \subset E\) signifie « tout élément de \(\emptyset\) appartient à \(E\) ». Comme \(\emptyset\) n’a aucun élément, aucun contre-exemple n’est possible : la propriété est vraie « par vacuité ». C’est pourquoi \(\emptyset \subset E\) pour absolument tout ensemble \(E\).
L'ensemble des parties de l'ensemble vide est-il vide ?
Non. L’ensemble des parties \(\mathcal{P}(\emptyset)\) contient exactement un élément : l’ensemble vide lui-même. Donc \(\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}\) et son cardinal vaut \(2^0 = 1\). C’est une bonne illustration du piège \(\emptyset\) vs \(\{\emptyset\}\).
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’ensemble vide, son symbole et ses propriétés. Pour consolider ta compréhension des ensembles :
- Sous-ensembles, inclusion et ensemble des parties P(E) — pour comprendre pourquoi \(\emptyset \in \mathcal{P}(E)\).
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ — la chaîne d’inclusion des grands ensembles.
- Le raisonnement par l’absurde et par contraposée — l’esprit du raisonnement « par vacuité ».
- Les quantificateurs ∀ et ∃ — pour formaliser « il n’existe aucun élément ».
- Le cours complet de théorie des ensembles — la vue d’ensemble du chapitre.
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