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Combien de menus différents peux-tu composer avec trois ingrédients, en t’autorisant à n’en prendre aucun ? La réponse — huit — n’est pas un hasard : c’est exactement le nombre de parties d’un ensemble à trois éléments. Derrière cette question se cache l’une des notions les plus structurantes du début de prépa : l’inclusion, les sous-ensembles, et l’ensemble des parties \(\mathcal{P}(E)\). Tu vas apprendre à manier ces objets avec rigueur, à démontrer la formule \(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(E) = 2^n\), et surtout à ne plus jamais confondre \(\in\) et \(\subset\).
I. Qu’est-ce qu’une partie d’un ensemble ?
Une partie d’un ensemble \(E\) est tout simplement un ensemble dont tous les éléments sont aussi des éléments de \(E\). Les mots « partie », « sous-ensemble » et « sous-partie » sont synonymes. Le lien logique sous-jacent est l’inclusion.
Définition — Inclusion et partie
Soient \(A\) et \(E\) deux ensembles. On dit que \(A\) est inclus dans \(E\), et on note \(A \subset E\), lorsque :
\(A \subset E \iff \big(\forall x,\ x \in A \Rightarrow x \in E\big)\)
On dit alors que \(A\) est une partie (ou un sous-ensemble) de \(E\).
Autrement dit, vérifier que \(A \subset E\), c’est prendre un élément quelconque de \(A\) et montrer qu’il appartient à \(E\). Cette structure « soit \(x \in A\) ; montrons que \(x \in E\) » est la matrice de quasiment toutes les preuves d’inclusion que tu rencontreras en prépa.
A. Inclusion large et inclusion stricte
La notation \(\subset\) adoptée dans le supérieur français désigne l’inclusion au sens large : un ensemble est inclus dans lui-même, \(E \subset E\). Lorsqu’on veut exclure ce cas, on parle d’inclusion stricte.
Définition — Partie propre
\(A\) est une partie propre de \(E\) lorsque \(A \subset E\) et \(A \neq E\). On note parfois A ⊊ E.
Attention aux conventions : certains auteurs (souvent anglo-saxons) utilisent \(\subseteq\) pour l’inclusion large et \(\subset\) pour l’inclusion stricte. En prépa française, \(\subset\) est large par défaut. Lis toujours la convention de ton cours avant de répondre à une question type « partie propre ».
B. Le piège fondamental : ∈ contre ⊂
C’est la confusion qui coûte le plus de points en début d’année. Les symboles \(\in\) et \(\subset\) ne relient pas les mêmes types d’objets.
- \(\in\) relie un élément à un ensemble : \(x \in E\).
- \(\subset\) relie un ensemble à un ensemble : \(A \subset E\).
Prenons \(E = \{1,\ 2,\ \{3,4\}\}\). Cet ensemble a trois éléments : les nombres \(1\), \(2\), et l’ensemble \(\{3,4\}\) (qui est lui-même un objet). Alors :
- \(1 \in E\) : vrai, \(1\) est un élément.
- \(\{1\} \subset E\) : vrai, \(\{1\}\) est une partie (le seul élément \(1\) est bien dans \(E\)).
- \(\{3,4\} \in E\) : vrai, \(\{3,4\}\) figure comme élément de la liste.
- \(\{3,4\} \subset E\) : faux, car \(3 \notin E\) et \(4 \notin E\).
Réflexe à garder : entre accolades, on lit la liste des éléments. Pour \(\in\), demande-toi « cet objet est-il dans la liste ? ». Pour \(\subset\), demande-toi « chaque élément du premier est-il dans le second ? ».
Maintenant que la définition est posée, intéressons-nous aux règles de calcul qui font de l’inclusion un outil de démonstration.
II. Les propriétés de l’inclusion
L’inclusion n’est pas qu’une notation : c’est une relation d’ordre sur les ensembles. Trois propriétés la caractérisent.
Propriété — L’inclusion est une relation d’ordre
Pour tous ensembles \(A\), \(B\), \(C\) :
- Réflexivité : \(A \subset A\).
- Antisymétrie : \(\big(A \subset B \text{ et } B \subset A\big) \Rightarrow A = B\).
- Transitivité : \(\big(A \subset B \text{ et } B \subset C\big) \Rightarrow A \subset C\).
La propriété d’antisymétrie est de loin la plus utile en pratique : c’est le principe de la double inclusion, méthode reine pour prouver l’égalité de deux ensembles.
Méthode — Prouver \(A = B\) par double inclusion :
- Montrer \(A \subset B\) : soit \(x \in A\), … donc \(x \in B\).
- Montrer \(B \subset A\) : soit \(x \in B\), … donc \(x \in A\).
- Conclure : \(A = B\) par antisymétrie.
Démontrons la transitivité pour illustrer la rédaction attendue.
Démonstration de la transitivité. Supposons \(A \subset B\) et \(B \subset C\). Soit \(x \in A\) quelconque. Comme \(A \subset B\), on a \(x \in B\). Comme \(B \subset C\), on en déduit \(x \in C\). Ainsi \(\forall x,\ x \in A \Rightarrow x \in C\), c’est-à-dire \(A \subset C\). ∎
Deux inclusions remarquables encadrent tout sous-ensemble.
Propriété — Bornes de l’inclusion
Pour tout ensemble \(E\) :
\(\emptyset \subset E \qquad \text{et} \qquad E \subset E.\)
Le fait que \(\emptyset \subset E\) surprend souvent. Il se démontre par une implication vacuément vraie : l’énoncé « \(\forall x,\ x \in \emptyset \Rightarrow x \in E\) » est vrai car l’hypothèse \(x \in \emptyset\) n’est jamais réalisée. Une implication à hypothèse fausse est toujours vraie — un point qui s’éclaire si tu as travaillé les tables de vérité de l’implication. Pour aller plus loin sur les propriétés de \(\emptyset\), consulte la page dédiée à l’ensemble vide.
Ces propriétés en main, nous pouvons rassembler toutes les parties d’un ensemble dans un nouvel objet.
La fiche-méthode « Parties d’un ensemble » en 1 page
Inclusion, P(E), card P(E) = 2ⁿ et les 4 pièges classiques : tout l’essentiel synthétisé pour tes révisions de khôlle.
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III. L’ensemble des parties P(E)
L’idée est audacieuse : puisque les parties de \(E\) sont des objets, on peut les regrouper dans un ensemble d’ensembles.
Définition — Ensemble des parties
Soit \(E\) un ensemble. L’ensemble des parties de \(E\), noté \(\mathcal{P}(E)\), est l’ensemble dont les éléments sont exactement les parties de \(E\) :
\(\mathcal{P}(E) = \{\, A \mid A \subset E \,\}.\)
Autrement dit : \(A \in \mathcal{P}(E) \iff A \subset E\).
Retiens bien l’équivalence centrale : « appartenir à \(\mathcal{P}(E)\) » et « être inclus dans \(E\) » disent la même chose. C’est ce dictionnaire qui transforme une inclusion en appartenance, et réciproquement.
A. Exemples détaillés
Exemple 1 — \(E = \{a, b\}\). On liste toutes les parties :
\(\mathcal{P}(E) = \big\{\ \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a,b\}\ \big\}.\)
\(\mathcal{P}(E)\) possède donc \(4\) éléments. Remarque que \(\emptyset\) et \(E\) lui-même y figurent toujours.
Exemple 2 — \(E = \{a, b, c\}\).
\(\mathcal{P}(E) = \big\{\ \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,b\},\ \{a,c\},\ \{b,c\},\ \{a,b,c\}\ \big\}.\)
On compte \(8\) parties : \(1\) partie vide, \(3\) singletons, \(3\) paires, \(1\) partie pleine.
Erreur classique — les parties de l’ensemble vide. Beaucoup écrivent \(\mathcal{P}(\emptyset) = \emptyset\). C’est faux ! L’ensemble vide possède une partie : lui-même. Donc :
\(\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\} \neq \emptyset.\)
\(\mathcal{P}(\emptyset)\) a un élément (le vide), alors que \(\emptyset\) n’en a aucun. Distinguer \(\emptyset\) de \(\{\emptyset\}\) est un réflexe de prépa.
B. Deux éléments toujours présents
Quel que soit \(E\), les deux inclusions remarquables vues plus haut se traduisent immédiatement en appartenances :
\(\emptyset \subset E \ \Longrightarrow\ \emptyset \in \mathcal{P}(E), \qquad E \subset E \ \Longrightarrow\ E \in \mathcal{P}(E).\)L’ensemble vide et l’ensemble plein sont donc toujours des éléments de \(\mathcal{P}(E)\). C’est un bon garde-fou : si ton dénombrement de parties oublie \(\emptyset\) ou \(E\), il est faux.
Combien d’éléments \(\mathcal{P}(E)\) contient-il exactement ? Le passage de \(2\) éléments à \(4\) parties, puis de \(3\) à \(8\), trahit une régularité. Démontrons-la.
IV. Le cardinal de P(E) : pourquoi 2ⁿ ?
Le résultat le plus célèbre de ce chapitre est aussi un grand classique de khôlle. Il mérite que tu connaisses plusieurs démonstrations, car chacune éclaire une facette différente.
Théorème — Cardinal de l’ensemble des parties
Si \(E\) est un ensemble fini de cardinal \(n\), alors :
\(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(E) = 2^{\,n}.\)
A. Démonstration par les fonctions indicatrices (★ la plus élégante)
L’idée : choisir une partie \(A\) de \(E\), c’est décider pour chaque élément de \(E\) s’il est dedans ou dehors. Cette décision se code par une fonction à valeurs dans \(\{0,1\}\).
Démonstration. Notons \(\{0,1\}^{E}\) l’ensemble des fonctions de \(E\) dans \(\{0,1\}\). On définit l’application
\(\varphi : \mathcal{P}(E) \longrightarrow \{0,1\}^{E}, \qquad A \longmapsto \mathbf{1}_A\)
où \(\mathbf{1}_A\) est la fonction indicatrice de \(A\), définie par \(\mathbf{1}_A(x) = 1\) si \(x \in A\) et \(\mathbf{1}_A(x) = 0\) sinon.
\(\varphi\) est bijective : sa réciproque associe à toute fonction \(f : E \to \{0,1\}\) la partie \(A_f = \{\, x \in E \mid f(x) = 1 \,\}\). On vérifie sans peine que \(\varphi(A_f) = f\) et \(A_{\mathbf{1}_A} = A\).
Par bijection, \(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(E) = \mathrm{Card}\,\{0,1\}^{E}\). Or une fonction de \(E\) (à \(n\) éléments) vers un ensemble à \(2\) éléments est déterminée par \(n\) choix indépendants à \(2\) possibilités, soit \(2^{n}\) fonctions. D’où \(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(E) = 2^{n}\). ∎
Cette bijection avec \(\{0,1\}^{E}\) est l’argument que les correcteurs attendent : c’est le plus court et le plus conceptuel. Tu peux le relier à la notion d’application bijective, cœur de la preuve.
B. Démonstration par récurrence (🟠 Prépa)
Démonstration. Pour \(n \in \mathbb{N}\), notons \(P(n)\) : « tout ensemble à \(n\) éléments possède \(2^{n}\) parties ».
Initialisation. Pour \(n = 0\), le seul ensemble est \(\emptyset\), qui a une unique partie. Or \(2^{0} = 1\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(P(n)\) vraie. Soit \(E\) à \(n+1\) éléments ; fixons \(a \in E\) et posons \(F = E \setminus \{a\}\), de cardinal \(n\). Les parties de \(E\) se répartissent en deux familles disjointes : celles qui ne contiennent pas \(a\) (ce sont exactement les parties de \(F\)) et celles qui contiennent \(a\) (de la forme \(B \cup \{a\}\) avec \(B \subset F\)). Chaque famille compte \(2^{n}\) parties par hypothèse, d’où
\(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(E) = 2^{n} + 2^{n} = 2^{\,n+1}.\)
\(P(n+1)\) est vraie. Par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\). ∎
Cette preuve mobilise le principe de récurrence, que tu retrouveras partout en sup.
C. Démonstration par les coefficients binomiaux (🔴 Concours)
On peut aussi compter les parties par taille. Le nombre de parties de \(E\) à exactement \(k\) éléments est \({n \choose k}\). En sommant sur toutes les tailles possibles :
\(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(E) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = (1+1)^{n} = 2^{n},\)la dernière égalité venant de la formule du binôme de Newton appliquée à \((1+1)^{n}\). Trois preuves, un seul résultat : c’est ce genre de recul qui distingue une copie de concours.
Passons maintenant à la mise en pratique sur des exemples calibrés concours.
V. Exemples d’application résolus
Voici trois exemples gradués. Pour t’entraîner davantage, la page d’exercices corrigés ensembles et applications propose un panel complet.
Exemple 1 (🟢 Lycée) — Lister et compter. Soit \(E = \{1,2,3,4\}\). Combien \(E\) a-t-il de parties ? Combien à exactement deux éléments ?
Solution. \(\mathrm{Card}\,E = 4\) donc \(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(E) = 2^{4} = 16\). Les parties à deux éléments sont au nombre de \({4 \choose 2} = 6\) : \(\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}\).
Exemple 2 (🟠 Prépa) — Vrai ou faux. Soit \(E = \{0,\ \{1\}\}\). Les énoncés suivants sont-ils vrais ?
(a) \(\{1\} \in E\) ; (b) \(\{1\} \subset E\) ; (c) \(\{\{1\}\} \subset E\) ; (d) \(\emptyset \in \mathcal{P}(E)\).
Solution.
- (a) Vrai : \(\{1\}\) figure comme élément de \(E\).
- (b) Faux : pour que \(\{1\} \subset E\), il faudrait \(1 \in E\), or \(1 \notin E\) (les éléments de \(E\) sont \(0\) et \(\{1\}\)).
- (c) Vrai : le seul élément de \(\{\{1\}\}\) est \(\{1\}\), et \(\{1\} \in E\).
- (d) Vrai : \(\emptyset \subset E\) donc \(\emptyset \in \mathcal{P}(E)\).
Exemple 3 (🔴 Concours) — Inclusion croisée. Soient \(A\) et \(B\) deux ensembles. Montrer que \(A \subset B \iff \mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)\).
Solution.
Sens direct. Supposons \(A \subset B\). Soit \(X \in \mathcal{P}(A)\), c’est-à-dire \(X \subset A\). Par transitivité de l’inclusion, \(X \subset A \subset B\) donne \(X \subset B\), donc \(X \in \mathcal{P}(B)\). Ainsi \(\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)\).
Réciproque. Supposons \(\mathcal{P}(A) \subset \mathcal{P}(B)\). Comme \(A \subset A\), on a \(A \in \mathcal{P}(A)\), donc \(A \in \mathcal{P}(B)\), c’est-à-dire \(A \subset B\). ∎
Le ressort de la réciproque — appliquer l’hypothèse à \(X = A\) — est un grand classique : pour exploiter une information « pour toute partie », teste-la sur l’ensemble plein.
Ces exemples reposent tous sur une poignée de pièges récurrents ; recensons-les.
VI. Pièges classiques à éviter
Piège n°1 — Confondre \(\in\) et \(\subset\).
❌ Copie fautive : « Comme \(2 \in \{1,2,3\}\), alors \(2 \subset \{1,2,3\}\). »
🔍 Diagnostic : \(2\) est un élément, pas un ensemble ; \(\subset\) est réservé aux ensembles.
✅ Correction : on écrit \(2 \in \{1,2,3\}\) ou \(\{2\} \subset \{1,2,3\}\), jamais \(2 \subset \{1,2,3\}\).
Piège n°2 — Oublier \(\emptyset\) et \(E\) dans \(\mathcal{P}(E)\).
❌ Copie fautive : pour \(E = \{a,b\}\), « \(\mathcal{P}(E) = \{\{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\) ».
🔍 Diagnostic : on a oublié la partie vide. Il manque un élément, le compte tombe à \(3\) au lieu de \(4\).
✅ Correction : \(\mathcal{P}(E) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}\), soit \(2^{2} = 4\) parties.
Piège n°3 — Croire que \(\mathcal{P}(\emptyset) = \emptyset\).
🔍 Diagnostic : \(\emptyset\) possède une partie, lui-même. Donc \(\mathcal{P}(\emptyset)\) n’est pas vide.
✅ Correction : \(\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}\), qui a \(2^{0} = 1\) élément.
Piège n°4 — Mélanger inclusion et appartenance avec \(\mathcal{P}(E)\).
❌ Copie fautive : « \(A \subset E\) donc \(A \subset \mathcal{P}(E)\). »
🔍 Diagnostic : une partie de \(E\) est un élément de \(\mathcal{P}(E)\), pas une partie.
✅ Correction : \(A \subset E \iff A \in \mathcal{P}(E)\). Le bon symbole est \(\in\).
Pour finir, voici les questions que les élèves posent le plus souvent.
VII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une partie d'un ensemble ?
Une partie (ou sous-ensemble) d’un ensemble \(E\) est un ensemble \(A\) dont tous les éléments appartiennent à \(E\). On note \(A \subset E\). Par exemple, \(\{1,3\}\) est une partie de \(\{1,2,3,4\}\). L’ensemble vide \(\emptyset\) et \(E\) lui-même sont toujours des parties de \(E\).
Comment calculer le nombre de parties d'un ensemble ?
Si \(E\) est fini et possède \(n\) éléments, alors son ensemble des parties \(\mathcal{P}(E)\) en compte \(2^{n}\). Ainsi un ensemble à \(3\) éléments a \(2^{3} = 8\) parties, un ensemble à \(5\) éléments en a \(2^{5} = 32\). L’idée : pour chaque élément, on choisit « dedans » ou « dehors », soit \(2\) possibilités indépendantes.
Quelle est la différence entre ∈ et ⊂ ?
Le symbole \(\in\) relie un élément à un ensemble : \(x \in E\) signifie « \(x\) est un élément de \(E\) ». Le symbole \(\subset\) relie deux ensembles : \(A \subset E\) signifie « tout élément de \(A\) est élément de \(E\) ». En résumé : \(\in\) regarde un objet, \(\subset\) compare deux collections.
Que vaut P(∅) ?
L’ensemble vide a exactement une partie : lui-même. Donc \(\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}\), qui contient un seul élément. Attention à ne pas confondre \(\emptyset\) (zéro élément) et \(\{\emptyset\}\) (un élément, le vide). Cohérent avec la formule : \(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(\emptyset) = 2^{0} = 1\).
Pourquoi l'ensemble vide est-il inclus dans tout ensemble ?
Par définition, \(\emptyset \subset E\) signifie « pour tout \(x\), si \(x \in \emptyset\) alors \(x \in E\) ». Comme aucun \(x\) n’appartient à \(\emptyset\), l’hypothèse est toujours fausse, donc l’implication est vacuément vraie. L’inclusion \(\emptyset \subset E\) est donc valable pour tout ensemble \(E\).
L'ensemble des parties est-il fini ou infini ?
Cela dépend de \(E\). Si \(E\) est fini de cardinal \(n\), alors \(\mathcal{P}(E)\) est fini, de cardinal \(2^{n}\). Si \(E\) est infini, \(\mathcal{P}(E)\) l’est aussi — et le théorème de Cantor montre même qu’il est « strictement plus gros » que \(E\), ce qui dépasse le programme mais illustre la richesse de la notion.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais l’inclusion, les sous-ensembles et l’ensemble des parties \(\mathcal{P}(E)\). Pour consolider et relier ces notions :
- Théorie des ensembles : cours complet — le pilier qui rassemble vocabulaire, opérations et applications.
- L’ensemble vide ∅ — propriétés, notation et le piège \(\emptyset\) contre \(\{\emptyset\}\).
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ — la chaîne d’inclusion fondatrice.
- Le produit cartésien — pour comprendre \(\mathrm{Card}(E \times F) = \mathrm{Card}(E) \times \mathrm{Card}(F)\) et la notion de couple.
- Les relations binaires — équivalence et ordre, définies comme parties de \(E \times E\).
- Injection, surjection, bijection — le cœur de la démonstration de \(\mathrm{Card}\,\mathcal{P}(E) = 2^{n}\).
- Exercices corrigés : ensembles et applications — pour t’entraîner intensivement.
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