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Quand tu écris qu’un nombre est « entier », « décimal » ou « relatif », tu utilises sans le savoir une classification très précise des nombres. Le symbole \(\mathbb{Z}\) désigne l’ensemble des entiers relatifs, \(\mathbb{N}\) les entiers naturels, \(\mathbb{R}\) les réels. Comprendre ces ensembles et la façon dont ils s’emboîtent, c’est poser les fondations de tout le raisonnement mathématique du lycée jusqu’à la prépa.
Définition — Ensemble de nombres
Un ensemble de nombres est une collection de nombres partageant une même propriété. On note \(x \in E\) pour dire que « le nombre \(x\) appartient à l’ensemble \(E\) ». Les cinq ensembles de référence sont \(\mathbb{N}\) (entiers naturels), \(\mathbb{Z}\) (entiers relatifs), \(\mathbb{D}\) (décimaux), \(\mathbb{Q}\) (rationnels) et \(\mathbb{R}\) (réels).
I. Qu’est-ce qu’un ensemble de nombres ?
Avant de détailler chaque ensemble, il faut comprendre l’idée générale : on range les nombres dans des « boîtes » de plus en plus grandes, selon ce qu’on a le droit d’y faire. Dans certaines boîtes, on ne peut pas soustraire librement ; dans d’autres, on ne peut pas diviser. Chaque nouvel ensemble corrige un manque du précédent.
A. La notation « appartient à »
Le symbole clé est \(\in\), qui se lit « appartient à ». Par exemple :
- \(7 \in \mathbb{N}\) : le nombre 7 est un entier naturel.
- \(-3 \in \mathbb{Z}\) : le nombre −3 est un entier relatif.
- \(0{,}5 \in \mathbb{D}\) : le nombre 0,5 est un décimal.
Pour dire qu’un nombre n’appartient pas à un ensemble, on barre le symbole : \(-3 \notin \mathbb{N}\) (car −3 n’est pas un entier naturel).
Pourquoi ces lettres ? \(\mathbb{N}\) vient de « Naturel », \(\mathbb{Z}\) de l’allemand Zahl (nombre), \(\mathbb{D}\) de « Décimal », \(\mathbb{Q}\) de « Quotient », \(\mathbb{R}\) de « Réel ». Ces lettres s’écrivent en gras à double barre (police « ajourée ») pour les distinguer d’une variable ordinaire.
B. Le symbole de l’ensemble Z
La question la plus posée est justement : que signifie le symbole \(\mathbb{Z}\) ? Il désigne l’ensemble de tous les entiers, positifs, négatifs et zéro :
C’est précisément l’ensemble \(\mathbb{N}\) auquel on a ajouté les opposés : \(-1, -2, -3, \ldots\) On appelle ces nombres des entiers relatifs. Pour un cours approfondi centré sur l’arithmétique de ces entiers, tu peux consulter la fiche dédiée aux nombres entiers.
II. Les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ et ℂ
Passons en revue chaque ensemble, du plus petit au plus grand. À chaque étape, retiens le manque qu’il vient combler.
A. ℕ — les entiers naturels
Ce sont les nombres servant à compter : \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \ldots\}\). Ils sont tous positifs ou nuls. Dans \(\mathbb{N}\), on peut additionner et multiplier, mais on ne peut pas toujours soustraire : \(3 – 5\) n’existe pas dans \(\mathbb{N}\).
B. ℤ — les entiers relatifs
Pour rendre la soustraction toujours possible, on ajoute les nombres négatifs : \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\). Maintenant \(3 – 5 = -2\) a bien un sens. En revanche, la division ne tombe pas toujours juste : \(1 \div 3\) n’est pas un entier.
C. 𝔻 — les nombres décimaux
Un nombre décimal est un nombre dont l’écriture décimale est finie (elle s’arrête). C’est l’ensemble le plus souvent oublié dans les cours en ligne, alors qu’il est au programme.
Définition — Nombre décimal
Un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme \(\displaystyle\frac{a}{10^n}\) avec \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\). Autrement dit, un nombre à virgule qui « s’arrête ».
Exemples : \(0{,}5 = \displaystyle\frac{5}{10}\) et \(3{,}125 = \displaystyle\frac{3125}{1000}\) sont décimaux. Mais \(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) ne l’est pas : son écriture ne s’arrête jamais.
D. ℚ — les nombres rationnels
Un rationnel est un quotient de deux entiers. C’est la réponse directe à la PAA « c’est quoi l’ensemble Q ».
Définition — Nombre rationnel
Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire \(\displaystyle\frac{p}{q}\) avec \(p \in \mathbb{Z}\) et \(q \in \mathbb{Z}\), \(q \neq 0\). On note leur ensemble \(\mathbb{Q}\).
Exemples : \(\displaystyle\frac{2}{3}\), \(\displaystyle\frac{-7}{4}\), mais aussi \(5 = \displaystyle\frac{5}{1}\). Un rationnel a toujours une écriture décimale finie ou périodique (les décimales se répètent) : \(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots\)
E. ℝ — les nombres réels
Certains nombres ne sont ni des fractions ni des décimaux : ce sont les irrationnels, comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\). L’ensemble \(\mathbb{R}\) réunit tous les rationnels et tous les irrationnels : il correspond à tous les points d’une droite graduée (la « droite réelle »).
Exemple — un irrationnel célèbre
\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots\) : son écriture décimale est infinie et non périodique. On peut démontrer qu’il n’est pas rationnel grâce à un raisonnement par l’absurde. Donc \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) mais \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
F. 🟠 ℂ — les nombres complexes (extension prépa)
🟠 Niveau Terminale / Prépa. Certaines équations, comme \(x^2 = -1\), n’ont pas de solution dans \(\mathbb{R}\). On construit alors un ensemble encore plus grand, \(\mathbb{C}\), contenant un nombre \(i\) tel que \(i^2 = -1\). Tout nombre complexe s’écrit \(z = a + ib\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\). Pour un cours détaillé, va voir la fiche sur les nombres complexes.
Attention à la confusion « Z » et « z » ! Le symbole \(\mathbb{Z}\) (majuscule ajourée) désigne l’ensemble des entiers relatifs. La lettre \(z\) (minuscule) désigne souvent un nombre complexe. C’est pourquoi la question « comment calculer le conjugué de \(z\) » porte sur les nombres complexes, pas sur l’ensemble \(\mathbb{Z}\). Deux notions totalement différentes.
Tous les ensembles de nombres résumés en 1 page
ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ : définitions, chaîne d’inclusion et exemples réunis dans une fiche mémo claire et prête à imprimer.
📄 Télécharger la fiche mémoLe réflexe pour ne plus jamais confondre les ensembles en contrôle.
III. La chaîne d’inclusion ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Le point le plus important de tout le chapitre : ces ensembles ne sont pas indépendants, ils s’emboîtent comme des poupées russes. Chaque ensemble est inclus dans le suivant.
Propriété — Chaîne d’inclusion
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
Le symbole \(\subset\) se lit « est inclus dans ». Il signifie que tout élément de l’ensemble de gauche est aussi un élément de l’ensemble de droite.
Concrètement : tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un décimal, tout décimal est un rationnel, tout rationnel est un réel. Pour approfondir la notion d’inclusion elle-même, consulte la fiche sur les sous-ensembles et l’inclusion.
Comment retenir l’ordre ? Chaque flèche « ajoute » quelque chose : ℤ ajoute les négatifs à ℕ, 𝔻 ajoute les virgules finies, ℚ ajoute les fractions périodiques, ℝ ajoute les irrationnels. Une phrase mnémotechnique : « Nos Zèbres Dansent Quotidiennement Régulièrement ».
A. Ces inclusions sont strictes
Chaque ensemble est strictement plus grand que le précédent : il contient au moins un nombre que le précédent n’a pas.
- \(-2 \in \mathbb{Z}\) mais \(-2 \notin \mathbb{N}\) : donc ℤ est strictement plus grand que ℕ.
- \(0{,}5 \in \mathbb{D}\) mais \(0{,}5 \notin \mathbb{Z}\).
- \(\displaystyle\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\) mais \(\displaystyle\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}\) (écriture décimale infinie).
- \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) mais \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\).
B. Tableau récapitulatif
| Ensemble | Nom | Description | Exemple typique |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Entiers naturels | Pour compter, positifs ou nuls | \(0,\ 7,\ 152\) |
| \(\mathbb{Z}\) | Entiers relatifs | ℕ + les négatifs | \(-4,\ 0,\ 18\) |
| \(\mathbb{D}\) | Décimaux | Écriture décimale finie | \(0{,}25,\ -3{,}7\) |
| \(\mathbb{Q}\) | Rationnels | Quotients d’entiers | \(\displaystyle\frac{2}{3},\ \displaystyle\frac{-7}{5}\) |
| \(\mathbb{R}\) | Réels | Rationnels + irrationnels | \(\sqrt{2},\ \pi,\ e\) |
IV. Propriétés, opérations et notations avancées
Maintenant que la structure est en place, voyons ce qu’on a le droit de faire dans chaque ensemble et quelques notations utiles.
A. Quelles opérations dans ℤ ?
Dans \(\mathbb{Z}\), on peut additionner, soustraire et multiplier : le résultat reste toujours un entier relatif. On dit que ℤ est stable par ces trois opérations. En revanche, la division n’y est pas toujours possible : \(7 \div 2 = 3{,}5 \notin \mathbb{Z}\). Il faut passer à \(\mathbb{Q}\) pour diviser librement (sauf par zéro).
B. Notations utiles : étoile, plus, moins
On restreint souvent un ensemble avec des symboles en exposant ou en indice :
| Notation | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| \(\mathbb{Z}^*\) | ℤ privé de 0 | \(-2, 1, 5\) (pas 0) |
| \(\mathbb{Z}^+\) | Entiers relatifs positifs (= ℕ) | \(0, 1, 2, \ldots\) |
| \(\mathbb{Z}^-\) | Entiers relatifs négatifs | \(\ldots, -2, -1, 0\) |
| \(\mathbb{R}^*\) | Réels privés de 0 | tous les réels sauf 0 |
| \(\mathbb{R}^+\) | Réels positifs ou nuls | \([0\,;+\infty[\) |
C. 🟠 La densité de ℚ dans ℝ (prépa)
🟠 Niveau Prépa. Une propriété fascinante : entre deux réels aussi proches soient-ils, on trouve toujours un rationnel. On dit que \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\).
Propriété — Densité de ℚ dans ℝ
Pour tous réels \(a\) et \(b\) tels que \(a\) < \(b\), il existe un rationnel \(r \in \mathbb{Q}\) tel que \(a\) < \(r\) < \(b\). Autrement dit, tout intervalle ouvert non vide de ℝ contient un rationnel (et même une infinité).
C’est ce qui permet d’approcher n’importe quel réel (comme \(\pi\)) d’aussi près que l’on veut par des rationnels ou des décimaux : c’est le principe des valeurs approchées.
D. 🔴 L’ensemble ℤ/nℤ (concours)
🔴 Niveau Concours / Prépa. La PAA « qu’est-ce que ℤ/5ℤ » renvoie à une construction d’arithmétique modulaire. L’ensemble \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) regroupe les entiers selon leur reste dans la division par 5 : on obtient 5 « classes » \(\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}\). C’est un exemple fondamental de structure quotient, étudié via les relations d’équivalence. On ne le détaille pas ici : retiens simplement que \(\mathbb{Z}\) sert de socle à des constructions bien plus riches en prépa.
V. Méthode : à quel ensemble appartient un nombre ?
Une question tombe très souvent en contrôle : « ce nombre appartient-il à ℤ, ℚ, ℝ ? ». Voici une méthode fiable en 4 étapes.
- Simplifie et calcule le nombre pour obtenir sa forme la plus réduite (une fraction irréductible, une racine simplifiée…).
- Est-ce un entier ? S’il n’a pas de partie décimale, c’est un élément de \(\mathbb{Z}\) (et de ℕ s’il est positif ou nul).
- Sinon, l’écriture décimale s’arrête-t-elle ? Si oui, c’est un décimal (ℤ ⊂ 𝔻). Si elle est périodique, c’est un rationnel (𝔻 ⊂ ℚ).
- Sinon (racine non exacte, \(\pi\), \(e\)…) : le nombre est irrationnel, il est dans \(\mathbb{R}\) mais pas dans \(\mathbb{Q}\).
Exemple — Classer \(\sqrt{16}\) et \(\displaystyle\frac{6}{4}\)
\(\sqrt{16} = 4\) : c’est un entier naturel, donc \(\sqrt{16} \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Attention à ne pas se fier à la racine !
\(\displaystyle\frac{6}{4} = \displaystyle\frac{3}{2} = 1{,}5\) : écriture décimale finie, donc \(\displaystyle\frac{6}{4} \in \mathbb{D}\) (mais pas dans ℤ).
Règle d’or pour donner l’ensemble « le plus petit ». Quand on demande à quel ensemble appartient un nombre, on cherche le plus petit qui le contient. Donner ce plus petit ensemble suffit : par inclusion, il appartient automatiquement à tous les plus grands.
VI. Exercices d’application corrigés
Voici trois exercices pour vérifier ta compréhension. Pour t’entraîner davantage, retrouve une série complète dans les exercices corrigés sur les ensembles de nombres (Seconde).
Exercice 1 (★) — Appartenance
Pour chacun des nombres, donne le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ auquel il appartient :
\(a = -8\) ; \(b = \displaystyle\frac{5}{2}\) ; \(c = \displaystyle\frac{2}{3}\) ; \(d = \pi\) ; \(e = \sqrt{9}\).
Correction
- \(a = -8\) : entier négatif \(\Rightarrow a \in \mathbb{Z}\).
- \(b = \displaystyle\frac{5}{2} = 2{,}5\) : décimal fini \(\Rightarrow b \in \mathbb{D}\).
- \(c = \displaystyle\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots\) : décimal infini périodique \(\Rightarrow c \in \mathbb{Q}\).
- \(d = \pi\) : irrationnel \(\Rightarrow d \in \mathbb{R}\).
- \(e = \sqrt{9} = 3\) : entier naturel \(\Rightarrow e \in \mathbb{N}\).
Exercice 2 (★) — Vrai ou faux
Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant :
(1) \(-5 \in \mathbb{N}\) ; (2) \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}\) ; (3) \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\) ; (4) \(4{,}2 \in \mathbb{D}\).
Correction
- (1) Faux : −5 est négatif, il n’est pas dans ℕ, mais dans ℤ.
- (2) Vrai : tout entier \(n\) s’écrit \(\displaystyle\frac{n}{1}\), donc c’est un rationnel.
- (3) Faux : \(\sqrt{2}\) est irrationnel, il est dans ℝ mais pas dans ℚ.
- (4) Vrai : \(4{,}2 = \displaystyle\frac{42}{10}\), écriture décimale finie.
Exercice 3 (★★) — Raisonnement
Le nombre \(x = 0{,}999\ldots\) (avec une infinité de 9) est-il un entier ? Justifie.
Correction
Posons \(x = 0{,}999\ldots\) Alors \(10x = 9{,}999\ldots\) En soustrayant : \(10x – x = 9{,}999\ldots – 0{,}999\ldots = 9\), donc \(9x = 9\), d’où \(x = 1\).
Ainsi \(0{,}999\ldots = 1\) : c’est bien un entier naturel, \(x \in \mathbb{N}\). Cet exercice montre qu’une écriture peut être trompeuse : c’est la valeur du nombre qui compte, pas son apparence.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les confusions qui coûtent le plus de points en contrôle.
Piège n°1 — Croire qu’une racine est toujours irrationnelle.
❌ Copie fautive : « \(\sqrt{25}\) est irrationnel car il y a une racine. »
Diagnostic : la présence d’une racine ne suffit pas. Il faut calculer.
✅ Correction : \(\sqrt{25} = 5 \in \mathbb{N}\). Seules les racines non exactes (comme \(\sqrt{2}\)) sont irrationnelles.
Piège n°2 — Confondre le sens de \(\subset\) et \(\in\).
❌ « \(3 \subset \mathbb{Z}\) »
Diagnostic : \(\subset\) relie deux ensembles, \(\in\) relie un élément à un ensemble.
✅ On écrit \(3 \in \mathbb{Z}\) (3 est un élément) et \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) (ℕ est un sous-ensemble).
Piège n°3 — Oublier l’ensemble 𝔻 des décimaux.
Beaucoup d’élèves sautent directement de ℤ à ℚ. Pourtant, un nombre comme \(2{,}5\) n’est pas entier mais reste décimal. Le plus petit ensemble qui le contient est 𝔻, pas ℚ.
VIII. Questions fréquentes
Que signifie l'ensemble Z en mathématiques ?
\(\mathbb{Z}\) désigne l’ensemble des entiers relatifs, c’est-à-dire tous les entiers positifs, négatifs et le zéro : \(\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\). La lettre Z vient de l’allemand Zahl, qui signifie « nombre ».
C'est quoi l'ensemble Q ?
\(\mathbb{Q}\) est l’ensemble des nombres rationnels, c’est-à-dire tous les nombres qui peuvent s’écrire comme un quotient de deux entiers \(\displaystyle\frac{p}{q}\) avec \(q \neq 0\). Exemples : \(\displaystyle\frac{2}{3}\), \(-\displaystyle\frac{7}{5}\), ou encore \(4 = \displaystyle\frac{4}{1}\).
Quelles opérations sont possibles dans l'ensemble Z ?
Dans \(\mathbb{Z}\), on peut additionner, soustraire et multiplier : le résultat reste toujours un entier relatif. En revanche, la division n’est pas toujours possible dans ℤ (par exemple \(7 \div 2 = 3{,}5\) n’est pas entier). Il faut alors passer à ℚ.
Quelle est la différence entre l'ensemble Z et le nombre z ?
Ce sont deux notions différentes malgré la même lettre. \(\mathbb{Z}\) (majuscule ajourée) est l’ensemble des entiers relatifs. La lettre \(z\) minuscule désigne souvent un nombre complexe de la forme \(a + ib\). Le « conjugué de \(z\) » concerne les complexes, pas l’ensemble ℤ.
Comment savoir à quel ensemble appartient un nombre ?
Simplifie d’abord le nombre. S’il n’a pas de partie décimale, c’est un entier (ℤ). Si son écriture décimale s’arrête, c’est un décimal (𝔻). Si elle est infinie périodique, c’est un rationnel (ℚ). Sinon (racine non exacte, π, e), c’est un irrationnel de ℝ.
Zéro appartient-il à ℕ ?
Oui, en France, \(0 \in \mathbb{N}\) : zéro est un entier naturel. Si l’on veut exclure zéro, on note \(\mathbb{N}^*\) (« ℕ étoile »), l’ensemble des entiers naturels strictement positifs.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les ensembles de nombres et leur chaîne d’inclusion. Pour continuer :
- La théorie des ensembles : cours complet — le pilier qui relie toutes ces notions.
- Sous-ensembles, inclusion et ensemble des parties — pour approfondir le symbole ⊂.
- Les nombres entiers ℕ et ℤ — l’arithmétique des entiers en détail.
- Les nombres complexes ℂ — l’ensemble qui prolonge ℝ.
- L’ensemble vide ∅ — un ensemble sans aucun élément.
- Exercices corrigés sur les ensembles de nombres — pour t’entraîner.
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