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Tout l’édifice des mathématiques modernes repose sur une seule idée : celle d’ensemble. Dès qu’on écrit \(x \in \mathbb{R}\), qu’on définit une fonction, qu’on résout une équation ou qu’on démontre un théorème, on manipule des ensembles sans toujours le dire. Au programme de Seconde (vocabulaire, ensembles de nombres) comme en début de MPSI/PCSI (logique, applications, relations), ce chapitre est le socle invisible de tout le reste. Tu trouveras ici : le vocabulaire complet, les opérations, les ensembles de nombres, un panorama de la logique et des applications, des exercices corrigés et les pièges classiques.
I. Vocabulaire et notions fondamentales
Avant toute opération ou démonstration, il faut fixer le vocabulaire. Tout part d’une intuition simple : un ensemble, c’est une « boîte » qui contient des objets. La rigueur vient ensuite, avec deux relations à ne jamais confondre : l’appartenance et l’inclusion.
A. Ensemble et appartenance
Définition — Ensemble et appartenance
Un ensemble est une collection d’objets distincts, appelés ses éléments. Si un objet \(x\) est élément d’un ensemble \(E\), on dit que \(x\) appartient à \(E\) et on note \(x \in E\). Dans le cas contraire, on note \(x \notin E\).
On peut décrire un ensemble de deux façons. En extension, en listant ses éléments entre accolades : \(A = \{1, 2, 3, 5, 7\}\). En compréhension, en donnant la propriété qui caractérise ses éléments : \(B = \{\, n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est premier et } n \leq 10 \,\}\). Ces deux ensembles sont d’ailleurs égaux.
Deux principes à retenir. Dans un ensemble, l’ordre n’a aucune importance (\(\{1,2\} = \{2,1\}\)) et un élément ne compte qu’une seule fois (\(\{1,1,2\} = \{1,2\}\)). Un ensemble ne « compte » pas les répétitions : il enregistre seulement la présence ou l’absence d’un élément.
Le cardinal d’un ensemble fini \(E\), noté \(\mathrm{card}(E)\) ou \(|E|\), est son nombre d’éléments. Ainsi \(\mathrm{card}(\{1,2,3,5,7\}) = 5\).
B. Inclusion et sous-ensembles
Définition — Inclusion
On dit que \(A\) est inclus dans \(B\), et on note \(A \subset B\), lorsque tout élément de \(A\) est aussi élément de \(B\) :
\(A \subset B \iff \forall x,\; (x \in A \Rightarrow x \in B)\)
On dit alors que \(A\) est un sous-ensemble (ou une partie) de \(B\).
La distinction entre \(\in\) et \(\subset\) est la première difficulté du chapitre, et la source d’innombrables erreurs en prépa. Retiens la règle :
- \(\in\) relie un élément à un ensemble : \(2 \in \{1,2,3\}\).
- \(\subset\) relie un ensemble à un ensemble : \(\{2\} \subset \{1,2,3\}\).
L’égalité de deux ensembles se démontre presque toujours par double inclusion, c’est l’une des techniques les plus utilisées de toute la prépa :
Méthode — Égalité par double inclusion. Pour montrer que \(A = B\), on prouve \(A \subset B\) puis \(B \subset A\). Concrètement : on prend un \(x \in A\) quelconque et on montre que \(x \in B\), puis on recommence dans l’autre sens. C’est le réflexe de rédaction n°1 des concepts ensemblistes.
C. Ensemble vide et ensemble des parties
Deux objets jouent un rôle à part : l’ensemble qui ne contient rien, et l’ensemble de tous les sous-ensembles.
Définition — Ensemble vide et ensemble des parties
L’ensemble vide, noté \(\emptyset\), est l’ensemble ne contenant aucun élément. Il est inclus dans tout ensemble : \(\emptyset \subset E\) pour tout \(E\).
L’ensemble des parties de \(E\), noté \(\mathcal{P}(E)\), est l’ensemble de tous les sous-ensembles de \(E\). Ses éléments sont des ensembles.
Par exemple, si \(E = \{a, b\}\), alors \(\mathcal{P}(E) = \{\, \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a,b\} \,\}\). On remarque que \(\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 4 = 2^2\). Ce résultat se généralise.
Résultat clé : si \(E\) est fini de cardinal \(n\), alors \(\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n\).
Idée : construire une partie de \(E\) revient à décider, pour chacun des \(n\) éléments, s’il est dedans ou dehors. Cela fait \(2\) choix indépendants répétés \(n\) fois, soit \(2^n\) parties possibles.
Pour aller plus loin sur ces deux notions, consulte les pages dédiées : l’ensemble vide ∅ et les sous-ensembles et P(E).
II. Les ensembles de nombres
Le premier contact avec les ensembles, au collège puis en Seconde, se fait à travers les ensembles de nombres. Ils s’emboîtent les uns dans les autres selon une chaîne d’inclusion qu’il faut connaître par cœur.
La chaîne d’inclusion fondamentale
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
Chaque ensemble contient le précédent et ajoute de nouveaux nombres.
| Symbole | Nom | Description | Exemple typique |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Entiers naturels | \(0, 1, 2, 3, \dots\) | \(7\) |
| \(\mathbb{Z}\) | Entiers relatifs | Les naturels et leurs opposés | \(-4\) |
| \(\mathbb{D}\) | Décimaux | Quotients \(\displaystyle\frac{a}{10^n}\) | \(1{,}25\) |
| \(\mathbb{Q}\) | Rationnels | Quotients \(\displaystyle\frac{p}{q}\), \(q \neq 0\) | \(\displaystyle\frac{2}{3}\) |
| \(\mathbb{R}\) | Réels | Tous les points de la droite | \(\sqrt{2},\ \pi\) |
| \(\mathbb{C}\) | Complexes | Nombres de la forme \(a+ib\) | \(3 + 2i\) |
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Tout le cours condensé : vocabulaire, opérations ∪ ∩, lois de De Morgan, méthodes et pièges. Le concentré à relire avant un DS ou une colle.
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Un nombre comme \(\sqrt{2}\) appartient à \(\mathbb{R}\) mais pas à \(\mathbb{Q}\) : c’est un nombre irrationnel. La preuve de son irrationalité est l’exemple canonique du raisonnement par l’absurde.
Notation pratique. On ajoute un astérisque pour exclure \(0\) : \(\mathbb{R}^*\), \(\mathbb{N}^*\). On ajoute \(^+\) ou \(^-\) pour le signe : \(\mathbb{R}^+\) désigne les réels positifs. Ainsi \(\mathbb{R}_+^*\) désigne les réels strictement positifs.
Pour approfondir cette chaîne, ses symboles et la notion de densité, va voir la page dédiée : les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ. Pour ℕ et ℤ, le cocon nombres entiers complète l’arithmétique, et pour ℂ, le cocon nombres complexes.
III. Les opérations sur les ensembles
Une fois le vocabulaire posé, on combine les ensembles. Quatre opérations de base et une cinquième (le produit cartésien) suffisent à construire toute la théorie.
A. Réunion et intersection
Définition — Réunion et intersection
La réunion de \(A\) et \(B\) est l’ensemble des éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\) (au moins l’un des deux) :
\(A \cup B = \{\, x \mid x \in A \ \text{ou}\ x \in B \,\}\)
L’intersection de \(A\) et \(B\) est l’ensemble des éléments appartenant à \(A\) et à \(B\) :
\(A \cap B = \{\, x \mid x \in A \ \text{et}\ x \in B \,\}\)
Le « ou » des mathématiques est inclusif : il autorise le cas où \(x\) est dans les deux ensembles à la fois. C’est une différence essentielle avec le langage courant, où « ou » est souvent exclusif (« fromage ou dessert »).
Exemple : avec \(A = \{1,2,3,4\}\) et \(B = \{3,4,5,6\}\) :
\(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\) et \(A \cap B = \{3,4\}\).
Quand \(A \cap B = \emptyset\), on dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints. La formule du crible relie les cardinaux :
\(\mathrm{card}(A \cup B) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) – \mathrm{card}(A \cap B)\)B. Complémentaire et différence
Définition — Complémentaire et différence
Soit \(A \subset E\). Le complémentaire de \(A\) dans \(E\), noté \(\mathrm{C}_E A\) ou \(\overline{A}\), est l’ensemble des éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\) :
\(\overline{A} = \{\, x \in E \mid x \notin A \,\}\)
La différence \(A \setminus B\) est l’ensemble des éléments de \(A\) qui ne sont pas dans \(B\) : \(A \setminus B = A \cap \overline{B}\).
Les deux résultats les plus célèbres reliant complémentaire, union et intersection sont les lois de De Morgan :
Lois de De Morgan (version ensembliste) :
\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \qquad \text{et} \qquad \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
« Le complémentaire d’une union est l’intersection des complémentaires » — et inversement. Le passage au complémentaire échange \(\cup\) et \(\cap\).
Ces lois ont une version logique (sur les propositions) et une version ensembliste (sur les ensembles), démontrées respectivement par table de vérité et par double inclusion. Le détail complet, la démonstration et la généralisation à \(n\) termes sont sur la page dédiée : les lois de De Morgan.
C. Produit cartésien
Définition — Produit cartésien
Le produit cartésien de \(E\) et \(F\) est l’ensemble des couples \((x, y)\) où \(x \in E\) et \(y \in F\) :
\(E \times F = \{\, (x, y) \mid x \in E \ \text{et}\ y \in F \,\}\)
Ici, l’ordre compte : \((1, 2) \neq (2, 1)\). C’est exactement la notion qui se cache derrière les coordonnées d’un point du plan, qui vit dans \(\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}\). Pour les ensembles finis : \(\mathrm{card}(E \times F) = \mathrm{card}(E) \times \mathrm{card}(F)\). Tout est détaillé sur la page produit cartésien.
Piège classique — couple vs paire. Un couple \((x,y)\) est ordonné : \((1,2) \neq (2,1)\). Une paire \(\{x,y\}\) est un ensemble, donc non ordonnée : \(\{1,2\} = \{2,1\}\). Ne mélange jamais les accolades \(\{\ \}\) et les parenthèses \((\ )\) : elles ne désignent pas les mêmes objets.
IV. Logique, applications et relations : le panorama
La théorie des ensembles ne vit jamais seule : elle se déploie en trois directions que tu vas explorer en détail dans le cocon. Ce H2 t’en donne la carte d’ensemble.
A. Logique et quantificateurs
Pour parler des ensembles avec rigueur, on a besoin de la logique propositionnelle (les connecteurs \(\neg\), \(\wedge\), \(\vee\), \(\Rightarrow\), \(\Leftrightarrow\)) et des quantificateurs \(\forall\) (« pour tout ») et \(\exists\) (« il existe »). Le lien entre les deux mondes est direct :
Le dictionnaire ensembles ↔ logique :
- \(x \in A \cup B\) \(\iff\) \((x \in A) \vee (x \in B)\)
- \(x \in A \cap B\) \(\iff\) \((x \in A) \wedge (x \in B)\)
- \(x \in \overline{A}\) \(\iff\) \(\neg(x \in A)\)
- \(A \subset B\) \(\iff\) \(\forall x,\ (x \in A \Rightarrow x \in B)\)
C’est ce dictionnaire qui explique pourquoi les lois de De Morgan existent en double version. Pour approfondir : les connecteurs et tables de vérité et les quantificateurs ∀ et ∃. Les grands modes de démonstration (absurde, contraposée) sont traités sur raisonnement par l’absurde et contraposée.
B. Applications
Une application de \(E\) dans \(F\) associe à chaque élément de \(E\) un unique élément de \(F\). C’est la formalisation rigoureuse de la notion de fonction. Trois propriétés structurent toute l’étude :
- une application est injective si deux éléments distincts ont des images distinctes ;
- surjective si tout élément d’arrivée est atteint ;
- bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Ces notions, fondamentales en prépa, sont détaillées sur injection, surjection et bijection. Elles s’appuient directement sur le produit cartésien, car le graphe d’une application est une partie de \(E \times F\).
C. Relations binaires
Une relation binaire sur \(E\) est, formellement, une partie de \(E \times E\). Deux familles dominent le programme de prépa : les relations d’équivalence (réflexive, symétrique, transitive — elles partitionnent \(E\) en classes) et les relations d’ordre (réflexive, antisymétrique, transitive — comme \(\leq\) sur \(\mathbb{R}\) ou \(\subset\) sur \(\mathcal{P}(E)\)). Tout est sur la page relations binaires.
V. Exercices corrigés
Place à la pratique. Les exercices sont classés par difficulté croissante, du calcul ensembliste direct (🔵 Lycée) jusqu’au raisonnement de niveau concours (🔴). Pour un entraînement complet, deux pages dédiées : exercices Seconde et exercices Prépa.
Exercice 1 — 🔵 Lecture d’appartenance et d’inclusion (★)
Soit \(E = \{0, 1, 2, \{1,2\}\}\). Les affirmations suivantes sont-elles vraies ?
(a) \(1 \in E\) ; (b) \(\{1,2\} \in E\) ; (c) \(\{1,2\} \subset E\) ; (d) \(\{0\} \in E\).
Correction.
(a) Vrai : \(1\) figure dans la liste des éléments de \(E\).
(b) Vrai : l’ensemble \(\{1,2\}\) est, ici, un élément de \(E\) (il est listé tel quel).
(c) Vrai : \(1 \in E\) et \(2 \in E\), donc tous les éléments de \(\{1,2\}\) sont dans \(E\).
(d) Faux : \(\{0\}\) n’est pas listé parmi les éléments de \(E\). En revanche \(\{0\} \subset E\) est vrai. Cet exercice illustre que \(\{1,2\}\) peut être à la fois élément et sous-ensemble de \(E\).
Exercice 2 — 🔵 Opérations sur des intervalles (★)
On pose \(A = [-2\,;\,3]\) et \(B = [\,0\,;\,5\,]\). Déterminer \(A \cup B\), \(A \cap B\) et \(A \setminus B\).
Correction.
\(A \cup B = [-2\,;\,5]\) (on prend la plus grande étendue couverte).
\(A \cap B = [\,0\,;\,3\,]\) (la zone commune aux deux intervalles).
\(A \setminus B = [-2\,;\,0\,[\) : les réels de \(A\) qui ne sont pas dans \(B\). Attention au crochet ouvert en \(0\), car \(0 \in B\) est exclu.
Exercice 3 — 🟠 Égalité par double inclusion (★★)
Soient \(A, B, C\) trois ensembles. Démontrer que \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\) (distributivité).
Correction (par double inclusion).
Sens ⊂. Soit \(x \in A \cap (B \cup C)\). Alors \(x \in A\) et \(x \in B \cup C\). Donc \(x \in A\) et (\(x \in B\) ou \(x \in C\)). Si \(x \in B\), alors \(x \in A \cap B\) ; si \(x \in C\), alors \(x \in A \cap C\). Dans les deux cas \(x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\).
Sens ⊃. Soit \(x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\). Alors \(x \in A \cap B\) ou \(x \in A \cap C\). Dans les deux cas \(x \in A\), et \(x \in B\) ou \(x \in C\), donc \(x \in A \cap (B \cup C)\).
Par double inclusion, les deux ensembles sont égaux. ∎
Exercice 4 — 🟠 Dénombrement de parties (★★)
Soit \(E\) de cardinal \(n = 5\). Combien \(E\) admet-il de sous-ensembles ? Combien en a-t-il qui contiennent exactement \(2\) éléments ?
Correction.
Nombre total de parties : \(\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^5 = 32\).
Parties à \(2\) éléments : il s’agit du nombre de choix de \(2\) éléments parmi \(5\), soit \({5 \choose 2} = \displaystyle\frac{5 \times 4}{2} = 10\).
Exercice 5 — 🔴 Raisonnement (★★★)
Soient \(A\) et \(B\) deux parties de \(E\). Démontrer que \(A \subset B \iff A \cup B = B\).
Correction.
(⟹) Supposons \(A \subset B\). On a toujours \(B \subset A \cup B\). Réciproquement, soit \(x \in A \cup B\) : alors \(x \in A\) (donc \(x \in B\) par hypothèse) ou \(x \in B\). Dans les deux cas \(x \in B\), donc \(A \cup B \subset B\). Par double inclusion, \(A \cup B = B\).
(⟸) Supposons \(A \cup B = B\). Soit \(x \in A\). Alors \(x \in A \cup B = B\), donc \(x \in B\). Ainsi \(A \subset B\).
L’équivalence est démontrée. ∎
VI. Erreurs fréquentes et pièges
La théorie des ensembles est un terrain miné de confusions subtiles. Voici les fautes que je corrige le plus souvent sur les copies.
Piège n°1 — Confondre \(\in\) et \(\subset\).
❌ Copie fautive : « \(2 \subset \{1,2,3\}\) ».
Diagnostic : \(2\) est un élément, pas un ensemble ; on ne peut pas l’inclure.
✅ Correction : \(2 \in \{1,2,3\}\) (appartenance), ou bien \(\{2\} \subset \{1,2,3\}\) (inclusion du singleton).
Piège n°2 — Confondre \(\emptyset\) et \(\{\emptyset\}\).
L’ensemble vide \(\emptyset\) ne contient aucun élément : \(\mathrm{card}(\emptyset) = 0\).
L’ensemble \(\{\emptyset\}\) contient un élément (qui se trouve être l’ensemble vide) : \(\mathrm{card}(\{\emptyset\}) = 1\).
Ce ne sont donc pas les mêmes objets : \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\), mais \(\emptyset \in \{\emptyset\}\).
Piège n°3 — Le « ou » exclusif.
Dans \(A \cup B\), le « ou » est inclusif : les éléments de \(A \cap B\) sont bien dedans. Oublier ce point fausse tous les dénombrements (d’où le terme correcteur dans la formule du crible).
Piège n°4 — Oublier de préciser l’ensemble de référence pour le complémentaire.
Écrire \(\overline{A}\) n’a de sens que si l’on sait dans quel ensemble \(E\) on travaille. Le complémentaire de \(\{1,2\}\) n’est pas le même dans \(\{1,2,3\}\) que dans \(\mathbb{N}\).
VII. Questions fréquentes
C'est quoi un ensemble en maths ?
Un ensemble est une collection d’objets distincts appelés ses éléments. On le note entre accolades, soit en listant ses éléments (\(\{1, 2, 3\}\)), soit en donnant la propriété qui les caractérise. La relation de base est l’appartenance : \(x \in E\) signifie que \(x\) est un élément de \(E\).
Quelle est la différence entre appartenance (∈) et inclusion (⊂) ?
L’appartenance \(\in\) relie un élément à un ensemble : \(2 \in \{1,2,3\}\). L’inclusion \(\subset\) relie un ensemble à un ensemble : \(\{2\} \subset \{1,2,3\}\). La règle : à gauche de \(\in\) on met un élément, à gauche de \(\subset\) on met un ensemble. Les confondre est l’erreur n°1 du chapitre.
Quels sont les différents ensembles de nombres ?
Ils s’emboîtent selon la chaîne \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\) : entiers naturels, entiers relatifs, décimaux, rationnels, réels et complexes. Chaque ensemble contient le précédent et ajoute de nouveaux nombres (les opposés, les fractions, les irrationnels comme \(\sqrt{2}\), puis les nombres imaginaires).
Pourquoi ∅ et {∅} ne sont-ils pas la même chose ?
\(\emptyset\) est l’ensemble vide : il ne contient aucun élément, son cardinal vaut \(0\). \(\{\emptyset\}\) est un ensemble qui contient un seul élément, à savoir l’ensemble vide : son cardinal vaut \(1\). On a donc \(\emptyset \neq \{\emptyset\}\), mais \(\emptyset \in \{\emptyset\}\).
À quoi sert la théorie des ensembles ?
Elle fournit le langage universel des mathématiques. Fonctions, suites, probabilités, géométrie, algèbre linéaire : tout se définit à partir d’ensembles. En prépa, elle structure le début d’année (logique, applications, relations) et conditionne la rigueur de toutes les démonstrations à venir.
Comment montrer que deux ensembles sont égaux ?
La méthode standard est la double inclusion : on montre \(A \subset B\), puis \(B \subset A\). Concrètement, on prend un élément \(x \in A\) quelconque et on prouve qu’il est dans \(B\), puis on recommence dans l’autre sens. C’est le réflexe de rédaction le plus utilisé en théorie des ensembles.
Combien un ensemble à n éléments a-t-il de sous-ensembles ?
Exactement \(2^n\). Pour construire une partie, on décide pour chacun des \(n\) éléments s’il est dedans ou dehors, soit \(2\) choix indépendants répétés \(n\) fois. C’est pourquoi \(\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n\).
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais le socle de la théorie des ensembles. Pour approfondir chaque brique, explore les pages du cocon :
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ, ℂ — la chaîne d’inclusion en détail
- L’ensemble vide ∅ — propriétés, notation, pièges
- Sous-ensembles, inclusion et P(E)
- Le produit cartésien
- Les lois de De Morgan
- Connecteurs logiques et tables de vérité
- Les quantificateurs ∀ et ∃
- Raisonnement par l’absurde et contraposée
- Relations binaires : équivalence et ordre
- Injection, surjection, bijection
Et pour t’entraîner : les exercices niveau Seconde et les exercices niveau Prépa.
Dernière mise à jour : 25/06/2026. Conforme au programme officiel 2025-2026 (Seconde et CPGE scientifiques). Pour le programme du lycée, consulte les ressources Eduscol.
