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Regrouper des objets « du même type », identifier ce qui doit être considéré comme identique, ou au contraire classer par ordre de priorité : ces gestes intuitifs se formalisent en mathématiques grâce aux relations binaires. Parmi elles, la relation d’équivalence est l’outil qui permet de construire les objets quotients (congruences, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), espaces vectoriels quotients) omniprésents en prépa. Ce cours définit précisément la notion, démontre le théorème fondamental partition/quotient, et la distingue de la relation d’ordre.
I. Relations binaires : le cadre général
Avant de parler d’équivalence ou d’ordre, il faut fixer un cadre commun : celui des relations binaires. Une relation binaire est simplement une manière de dire, pour deux éléments d’un ensemble, s’ils sont « en relation » ou non.
A. Définition d’une relation binaire
Définition — Relation binaire
Soit \(E\) un ensemble. Une relation binaire \(\mathcal{R}\) sur \(E\) est la donnée d’une partie \(\Gamma \subset E \times E\) appelée graphe de la relation. Pour \((x,y) \in E \times E\), on écrit \(x \mathcal{R} y\) lorsque \((x,y) \in \Gamma\), et on dit que « \(x\) est en relation avec \(y\) ».
Une relation binaire est donc, formellement, un sous-ensemble du produit cartésien \(E \times E\). Cette définition ensembliste est utile pour démontrer, mais dans la pratique on manipule surtout la notation \(x \mathcal{R} y\) et les quatre propriétés ci-dessous.
Exemples familiers de relations binaires : l’égalité \(=\), l’ordre \(\leq\) sur \(\mathbb{R}\), la divisibilité \(\mid\) sur \(\mathbb{N}\), le parallélisme entre droites, la congruence modulo \(n\).
B. Les quatre propriétés fondamentales
Presque toute la théorie repose sur quatre propriétés qu’une relation peut vérifier ou non.
Définition — Propriétés d’une relation binaire
Soit \(\mathcal{R}\) une relation binaire sur \(E\). On dit que \(\mathcal{R}\) est :
- réflexive si \(\forall x \in E,\ x \mathcal{R} x\) ;
- symétrique si \(\forall (x,y) \in E^2,\ x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x\) ;
- antisymétrique si \(\forall (x,y) \in E^2,\ (x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} x) \Rightarrow x = y\) ;
- transitive si \(\forall (x,y,z) \in E^3,\ (x \mathcal{R} y \text{ et } y \mathcal{R} z) \Rightarrow x \mathcal{R} z\).
La maîtrise de ces énoncés passe par une lecture rigoureuse des quantificateurs : c’est en niant correctement ces propriétés qu’on démontre par contre-exemple qu’une relation n’est pas réflexive, symétrique, etc.
Piège — Symétrie ≠ antisymétrie
« Antisymétrique » n’est pas le contraire de « symétrique ». Une relation peut être les deux à la fois (c’est le cas de l’égalité \(=\)), ou ni l’une ni l’autre. L’antisymétrie autorise \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}x\) uniquement quand \(x=y\).
Ces briques posées, deux combinaisons dominent le programme : réflexive + symétrique + transitive donne l’équivalence ; réflexive + antisymétrique + transitive donne l’ordre. Commençons par la première.
II. La relation d’équivalence
Une relation d’équivalence formalise l’idée d’« être du même type » : elle identifie des éléments distincts que l’on souhaite traiter comme interchangeables selon un critère précis.
A. Définition et notation
Définition — Relation d’équivalence
Une relation binaire \(\mathcal{R}\) sur \(E\) est une relation d’équivalence si elle est à la fois réflexive, symétrique et transitive.
On note alors souvent \(x \sim y\) au lieu de \(x \mathcal{R} y\).
La réponse directe à la question « qu’est-ce qu’une relation d’équivalence ? » tient donc en une phrase : c’est une relation réflexive, symétrique et transitive. Ces trois propriétés sont exactement celles que possède l’égalité — une relation d’équivalence est une manière affaiblie et contrôlée de « rendre égaux » certains éléments.
B. Exemples fondamentaux
Exemple 1 — La congruence modulo \(n\) (🟠 Prépa)
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). Sur \(\mathbb{Z}\), on définit \(a \equiv b \ [n]\) par : \(n\) divise \(b – a\). Vérifions les trois propriétés :
- Réflexivité : \(n \mid (a-a) = 0\), donc \(a \equiv a\ [n]\).
- Symétrie : si \(n \mid (b-a)\), alors \(n \mid -(b-a) = a-b\), donc \(b \equiv a\ [n]\).
- Transitivité : si \(n \mid (b-a)\) et \(n \mid (c-b)\), alors \(n\) divise la somme \((b-a)+(c-b) = c-a\), donc \(a \equiv c\ [n]\).
C’est une relation d’équivalence. ∎
Exemple 2 — Une relation qui n’en est pas une (🔵 Lycée → 🟠 Prépa)
Sur \(\mathbb{R}\), la relation \(x \mathcal{R} y \iff x \leq y\) est réflexive et transitive, mais pas symétrique : \(2 \leq 3\) mais \(3 \not\leq 2\). Ce n’est donc pas une relation d’équivalence (c’est une relation d’ordre, voir la section IV).
D’autres exemples classiques : le parallélisme entre droites du plan, l’égalité des restes, la relation « avoir la même image par une application \(f\) » (voir la FAQ). Chaque relation d’équivalence porte en elle une structure géométrique : elle découpe l’ensemble en morceaux. C’est l’objet de la section suivante.
La fiche de synthèse « Relations d’équivalence et d’ordre »
Définitions, propriétés, théorème partition/quotient, méthode en 3 étapes et pièges : tout l’essentiel condensé sur une seule page, prêt à réviser avant la khôlle.
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III. Classes d’équivalence et ensemble quotient
Le vrai intérêt d’une relation d’équivalence n’est pas la relation elle-même, mais le découpage qu’elle induit sur \(E\). C’est le cœur du chapitre en prépa.
A. Classe d’équivalence
Définition — Classe d’équivalence
Soit \(\sim\) une relation d’équivalence sur \(E\) et \(x \in E\). La classe d’équivalence de \(x\) est l’ensemble
\(\mathrm{cl}(x) = \{\, y \in E \mid y \sim x \,\}.\)
On la note aussi \(\bar{x}\) ou \(\dot x\). Tout élément \(y \in \mathrm{cl}(x)\) est un représentant de la classe.
Point essentiel : une classe est un sous-ensemble de \(E\), pas un élément de \(E\). Par réflexivité, \(x \in \mathrm{cl}(x)\), donc une classe n’est jamais vide.
B. Le lemme clé sur les classes
Lemme — Trichotomie des classes
Pour \(x, y \in E\), les trois assertions suivantes sont équivalentes :
\((i)\ x \sim y \qquad (ii)\ \mathrm{cl}(x) = \mathrm{cl}(y) \qquad (iii)\ \mathrm{cl}(x) \cap \mathrm{cl}(y) \neq \emptyset.\)
Autrement dit : deux classes sont soit égales, soit disjointes. Jamais partiellement superposées.
Démonstration (⋆ exigible). On montre \((i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i)\).
\((i) \Rightarrow (ii)\) : supposons \(x \sim y\). Soit \(z \in \mathrm{cl}(x)\), c’est-à-dire \(z \sim x\). Par transitivité avec \(x \sim y\), on obtient \(z \sim y\), donc \(z \in \mathrm{cl}(y)\). D’où \(\mathrm{cl}(x) \subset \mathrm{cl}(y)\). Par symétrie de \(\sim\), on a aussi \(y \sim x\), et le même argument donne l’inclusion réciproque. Donc \(\mathrm{cl}(x) = \mathrm{cl}(y)\).
\((ii) \Rightarrow (iii)\) : puisque \(x \in \mathrm{cl}(x) = \mathrm{cl}(y)\) (réflexivité), l’intersection \(\mathrm{cl}(x) \cap \mathrm{cl}(y)\) contient \(x\), donc est non vide.
\((iii) \Rightarrow (i)\) : soit \(z \in \mathrm{cl}(x) \cap \mathrm{cl}(y)\). Alors \(z \sim x\) et \(z \sim y\). Par symétrie \(x \sim z\), puis par transitivité avec \(z \sim y\) : \(x \sim y\). ∎
C. Partition et ensemble quotient
Définition — Ensemble quotient
L’ensemble des classes d’équivalence de \(\sim\) est appelé ensemble quotient de \(E\) par \(\sim\), noté
\(E/\!\sim\ =\ \{\, \mathrm{cl}(x) \mid x \in E \,\}.\)
C’est un ensemble de parties de \(E\), donc \(E/\!\sim\ \subset \mathcal{P}(E)\).
Rappelons qu’une partition de \(E\) est une famille de parties de \(E\) non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion vaut \(E\). Le théorème suivant est le résultat central du chapitre.
Théorème fondamental — Équivalences ↔ partitions
Soit \(E\) un ensemble.
(1) Si \(\sim\) est une relation d’équivalence sur \(E\), alors l’ensemble quotient \(E/\!\sim\) est une partition de \(E\).
(2) Réciproquement, toute partition \(\mathcal{P}\) de \(E\) provient d’une unique relation d’équivalence, définie par : \(x \sim y\) si et seulement si \(x\) et \(y\) appartiennent au même bloc de \(\mathcal{P}\).
Démonstration de (1) (⋆ exigible).
- Classes non vides : pour tout \(x\), \(x \in \mathrm{cl}(x)\) par réflexivité, donc \(\mathrm{cl}(x) \neq \emptyset\).
- Recouvrement : tout \(x \in E\) appartient à sa propre classe, donc \(E = \bigcup_{x \in E} \mathrm{cl}(x)\).
- Disjonction : d’après le lemme de trichotomie, deux classes sont égales ou disjointes.
Les trois conditions d’une partition sont vérifiées. ∎
Démonstration de (2) (esquisse). On vérifie que la relation « être dans le même bloc » est réflexive (chaque élément est dans son bloc), symétrique (relation d’appartenance à un même ensemble) et transitive (deux blocs contenant un élément commun sont égaux, par définition d’une partition). L’unicité découle du fait que la relation détermine et est déterminée par les blocs. ∎
À retenir : « relation d’équivalence » et « partition » sont deux visages du même objet. Se donner une manière de regrouper les éléments (partition) revient exactement à se donner un critère « être équivalent » (relation). C’est cette correspondance qui rend le quotient si puissant : \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), espaces quotients, groupes quotients en découlent tous.
Cette correspondance quotient/partition est l’élément à mobiliser en priorité en khôlle. Reste à la distinguer d’une autre grande famille de relations : les relations d’ordre.
IV. La relation d’ordre (la distinction à connaître)
La relation d’ordre partage deux propriétés avec l’équivalence (réflexivité et transitivité), mais remplace la symétrie par l’antisymétrie. Ce simple échange change radicalement la nature de l’objet.
A. Définition
Définition — Relation d’ordre
Une relation binaire \(\preceq\) sur \(E\) est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive. Le couple \((E, \preceq)\) est alors appelé ensemble ordonné.
Exemples : \((\mathbb{R}, \leq)\), la divisibilité \((\mathbb{N}^*, \mid)\), l’inclusion \((\mathcal{P}(E), \subset)\). Là où l’équivalence regroupe, l’ordre hiérarchise.
B. Ordre total ou partiel
Définition — Ordre total / partiel
Un ordre \(\preceq\) sur \(E\) est total si deux éléments quelconques sont toujours comparables : \(\forall (x,y) \in E^2,\ x \preceq y \text{ ou } y \preceq x\). Sinon, l’ordre est dit partiel.
Exemple : \((\mathbb{R}, \leq)\) est totalement ordonné. En revanche \((\mathcal{P}(E), \subset)\) est seulement partiel : pour \(E = \{1,2\}\), les parties \(\{1\}\) et \(\{2\}\) ne sont pas comparables (aucune n’est incluse dans l’autre).
C. Équivalence vs ordre : le tableau récapitulatif
| Propriété | Équivalence | Ordre |
|---|---|---|
| Réflexive | ✔ Oui | ✔ Oui |
| Symétrique | ✔ Oui | ✘ Non |
| Antisymétrique | ✘ Non (sauf l’égalité) | ✔ Oui |
| Transitive | ✔ Oui | ✔ Oui |
| Objet induit | Partition / quotient \(E/\!\sim\) | Hiérarchie, majorants, bornes |
| Idée intuitive | « Être du même type » | « Être plus petit / avant » |
| Exemple type | Congruence \(\equiv\ [n]\) | \(\leq\) sur \(\mathbb{R}\), \(\subset\) sur \(\mathcal{P}(E)\) |
La question piège du concours : « Une relation peut-elle être à la fois d’équivalence et d’ordre ? » Oui, mais une seule : l’égalité \(=\). Elle est réflexive, symétrique, antisymétrique et transitive. C’est la seule relation à la fois symétrique et antisymétrique sur \(E\) (car \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}x\) forcent \(x=y\), donc la relation se réduit à la diagonale).
Maintenant que le paysage est clair, formalisons la méthode pour prouver, en pratique, qu’une relation donnée est bien une relation d’équivalence.
V. Méthode : montrer qu’une relation est d’équivalence
C’est l’exercice le plus fréquent du chapitre, et la réponse à la PAA « comment montrer qu’une relation est d’équivalence ? ». La démarche est toujours la même, en trois temps.
Méthode en 3 étapes
- Réflexivité. Fixer \(x \in E\) quelconque et vérifier \(x \mathcal{R} x\).
- Symétrie. Supposer \(x \mathcal{R} y\) et démontrer \(y \mathcal{R} x\) (partir de l’hypothèse, ne jamais supposer la conclusion).
- Transitivité. Supposer \(x \mathcal{R} y\) et \(y \mathcal{R} z\), et démontrer \(x \mathcal{R} z\).
Une fois les trois établies : conclure explicitement « donc \(\mathcal{R}\) est une relation d’équivalence ». Puis, si demandé, décrire les classes.
Exemple résolu (🟠 Prépa). Sur \(E = \mathbb{R}\), on pose \(x \mathcal{R} y \iff x^2 = y^2\). Montrer que \(\mathcal{R}\) est une relation d’équivalence et décrire ses classes.
Réflexivité : \(x^2 = x^2\) est vrai pour tout \(x\), donc \(x\mathcal{R}x\).
Symétrie : si \(x^2 = y^2\), alors \(y^2 = x^2\), donc \(y\mathcal{R}x\).
Transitivité : si \(x^2 = y^2\) et \(y^2 = z^2\), alors \(x^2 = z^2\), donc \(x\mathcal{R}z\).
C’est bien une relation d’équivalence. Classes : \(x^2 = y^2 \iff y = x\) ou \(y = -x\). Donc \(\mathrm{cl}(x) = \{x, -x\}\). La classe de \(0\) est le singleton \(\{0\}\), les autres classes ont deux éléments. L’ensemble quotient s’identifie naturellement à \(\mathbb{R}_+\) (chaque classe a un unique représentant positif). ∎
Exemple résolu — le noyau d’une application (🔴 Concours). Soit \(f : E \to F\) une application. On définit \(x \mathcal{R} y \iff f(x) = f(y)\). Alors \(\mathcal{R}\) est une relation d’équivalence (la réflexivité, la symétrie et la transitivité découlent immédiatement de celles de l’égalité dans \(F\)). Ses classes sont les images réciproques \(f^{-1}(\{f(x)\})\), et le quotient \(E/\!\sim\) est en bijection avec \(\mathrm{Im}(f)\).
Ce résultat est la version ensembliste du théorème de factorisation ; il éclaire le lien avec les notions d’injection, surjection et bijection.
La technique est robuste, mais elle laisse la place à des erreurs de logique récurrentes. Recensons-les.
VI. Pièges classiques
Piège n°1 — Le faux argument « réflexivité déduite de la symétrie + transitivité ».
❌ Copie fautive : « Si \(x\mathcal{R}y\), alors par symétrie \(y\mathcal{R}x\), puis par transitivité \(x\mathcal{R}x\) : la réflexivité est automatique. »
🔎 Diagnostic : ce raisonnement suppose qu’il existe un \(y\) tel que \(x\mathcal{R}y\). Un élément isolé (en relation avec personne) ne serait alors pas atteint. La relation vide sur un ensemble non vide est symétrique et transitive mais pas réflexive.
✅ Correction : la réflexivité doit toujours être vérifiée séparément, pour tout \(x \in E\).
Piège n°2 — Confondre classe (ensemble) et représentant (élément).
Écrire « \(\mathrm{cl}(x) = x\) » ou « la classe \(3\) » sans préciser est ambigu. Une classe est un sous-ensemble de \(E\) ; \(x\) en est un représentant. On écrit \(x \in \mathrm{cl}(x)\), jamais \(x = \mathrm{cl}(x)\).
Piège n°3 — Croire que symétrie et antisymétrie s’excluent.
Voir la section IV : l’égalité est les deux. À l’inverse, la relation « \(x \mathcal{R} y \iff x – y \in \mathbb{Z}\) » sur \(\mathbb{R}\) est symétrique mais pas antisymétrique. Toujours tester sur des cas concrets.
Piège n°4 — Oublier de vérifier que les classes couvrent bien \(E\).
Quand on décrit un ensemble quotient, il faut s’assurer que tout élément est dans une classe (recouvrement) et donner un système de représentants. Une description incomplète des classes coûte des points en concours.
Ces erreurs évitées, il reste à soigner la rédaction, car c’est souvent là que se joue la note en khôlle et à l’écrit.
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Attendus du correcteur (khôlle / écrit)
- Structurer visiblement les trois vérifications. Annoncer « Réflexivité : … », « Symétrie : … », « Transitivité : … ». Le correcteur cherche ces trois marqueurs.
- Pour la symétrie et la transitivité : commencer par « Soit \((x,y) \in E^2\) tel que \(x\mathcal{R}y\). Montrons que… ». Ne jamais partir de la conclusion.
- Conclure explicitement : « \(\mathcal{R}\) est réflexive, symétrique et transitive, c’est donc une relation d’équivalence. »
- Décrire les classes proprement : résoudre l’équation \(y \sim x\) d’inconnue \(y\), donner un représentant canonique par classe, préciser le cardinal du quotient si possible.
- Ne pas confondre les registres : en prépa on écrit « Démontrer que » et « \(\forall x \in E\) » en symbolique, pas « on voit que la relation marche ».
La rigueur d’écriture repose souvent sur la maîtrise du raisonnement et sur une lecture nette des quantificateurs. C’est le genre d’automatisme que l’on consolide en s’entraînant sur des relations variées.
VIII. Exemples d’application
Trois applications pour tester ta maîtrise. Cherche avant de dérouler la correction. Pour un entraînement complet, une banque d’exercices dédiée existe (voir plus bas).
Application 1 (★). Sur \(\mathbb{Z}\), la relation \(x \mathcal{R} y \iff x + y\) est pair est-elle une relation d’équivalence ?
Correction : Réflexivité : \(x + x = 2x\) est pair ✔. Symétrie : \(x+y\) pair \(\Rightarrow y+x\) pair ✔. Transitivité : si \(x+y\) et \(y+z\) sont pairs, leur somme \(x + 2y + z\) est paire, donc \(x+z\) est pair ✔. Oui, c’est une équivalence. Les classes sont l’ensemble des pairs et l’ensemble des impairs : \(E/\!\sim\) a deux éléments. C’est exactement la congruence modulo \(2\).
Application 2 (★★). Sur \(E = \mathbb{R}^2\), on pose \((x,y) \mathcal{R} (x’,y’) \iff x – x’ = y – y’\). Montrer que c’est une équivalence et décrire géométriquement les classes.
Correction : Les trois propriétés se vérifient via l’égalité (comme pour tout « noyau »). La condition équivaut à \(x – y = x’ – y’\) : deux points sont équivalents ssi ils ont la même différence \(x-y\). Les classes sont donc les droites d’équation \(x – y = c\) (droites de pente \(1\)). Le quotient s’identifie à \(\mathbb{R}\) via \(\mathrm{cl}(x,y) \mapsto x-y\).
Application 3 (★★★, raisonnement). Soit \(\mathcal{R}\) une relation symétrique et transitive sur \(E\) telle que tout élément soit en relation avec au moins un élément. Montrer que \(\mathcal{R}\) est alors réflexive.
Correction : Soit \(x \in E\). Par hypothèse, il existe \(y\) tel que \(x \mathcal{R} y\). Par symétrie, \(y \mathcal{R} x\). Par transitivité appliquée à \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}x\), on obtient \(x \mathcal{R} x\). Donc \(\mathcal{R}\) est réflexive. C’est précisément l’hypothèse « pas d’élément isolé » qui manquait dans le piège n°1 !
Pour t’entraîner sur davantage de relations (congruences, quotients, relations d’ordre), consulte les exercices corrigés du cocon ensembles et applications.
IX. Questions fréquentes
Comment montrer qu'une relation est une relation d'équivalence ?
On vérifie successivement les trois propriétés : réflexivité (pour tout \(x\), \(x\mathcal{R}x\)), symétrie (si \(x\mathcal{R}y\) alors \(y\mathcal{R}x\)) et transitivité (si \(x\mathcal{R}y\) et \(y\mathcal{R}z\) alors \(x\mathcal{R}z\)). Si les trois sont vraies, c’est une relation d’équivalence. On peut ensuite décrire ses classes.
Qu'est-ce qu'une classe d'équivalence ?
La classe d’équivalence d’un élément \(x\) est l’ensemble de tous les éléments qui lui sont équivalents : \(\mathrm{cl}(x) = \{y \in E \mid y \sim x\}\). C’est un sous-ensemble de \(E\) (jamais un simple élément), toujours non vide car \(x\) y appartient. Les classes partitionnent \(E\).
Quelle est la différence entre relation d'équivalence et relation d'ordre ?
Les deux sont réflexives et transitives. L’équivalence est en plus symétrique (elle regroupe des éléments « du même type »), tandis que l’ordre est antisymétrique (il hiérarchise). Une équivalence produit une partition ; un ordre produit une structure de comparaison (majorants, bornes). La seule relation à la fois d’équivalence et d’ordre est l’égalité.
Qu'est-ce qu'une relation d'équivalence dans la vie réelle ?
Tout critère de classement « être du même type » en est une : avoir la même nationalité, la même taille de vêtement, la même couleur. Chaque catégorie forme une classe, et l’ensemble des catégories forme une partition. C’est exactement le mécanisme mathématique : regrouper sans hiérarchiser.
C'est quoi l'ensemble quotient E/∼ ?
C’est l’ensemble dont les éléments sont les classes d’équivalence : \(E/\!\sim\ = \{\mathrm{cl}(x) \mid x \in E\}\). On « écrase » les éléments équivalents en un seul objet. C’est la construction à la base de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), des espaces vectoriels quotients et des groupes quotients.
Une relation d'équivalence peut-elle avoir une seule classe ?
Oui. Si tous les éléments sont équivalents entre eux (la relation totale \(x\mathcal{R}y\) pour tout couple), il n’y a qu’une seule classe : \(E\) lui-même. À l’opposé, l’égalité donne autant de classes que d’éléments (chaque classe est un singleton).
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les relations binaires, l’équivalence et l’ordre. Pour consolider et étendre :
- Cours complet : théorie des ensembles — le pilier qui replace ces notions dans leur cadre.
- Produit cartésien de deux ensembles — car une relation binaire est une partie de \(E \times E\).
- Sous-ensembles, inclusion et ensemble des parties P(E) — l’ordre \(\subset\) comme exemple d’ordre partiel.
- Injection, surjection et bijection — la relation « même image » et le quotient d’une application.
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, ℚ, ℝ — où la congruence modulo \(n\) prend tout son sens.
- Le raisonnement par récurrence — un autre outil de démonstration incontournable.
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