Combien font \(2^{10}\) ? Et \(2^{20}\) ? Les puissances de 2 reviennent partout : en maths, bien sûr, mais aussi dans les ordinateurs, qui « pensent » entièrement en puissances de 2. Voici le tableau complet de \(2^{0}\) à \(2^{20}\), la méthode pour les calculer et les pièges à éviter.
Tableau des puissances de 2 (de 2⁰ à 2²⁰)
Une puissance de 2 s’obtient en multipliant 2 par lui-même plusieurs fois. L’exposant t’indique combien de fois tu multiplies.
Définition — Puissance de 2
Pour un nombre entier \(n\) plus grand que 0, la puissance \(2^{n}\) est le résultat de la multiplication de 2 par lui-même \(n\) fois :
\(2^{n} = \underbrace{2 \times 2 \times \cdots \times 2}_{n \text{ fois}}\)
Le nombre 2 est la base, et \(n\) est l’exposant. Par convention, \(2^{0} = 1\).
Voici la table complète, à garder sous les yeux quand tu calcules :
| Exposant \(n\) | Puissance \(2^{n}\) | Valeur | Remarque |
|---|---|---|---|
| 0 | \(2^{0}\) | 1 | Toute puissance d’exposant 0 vaut 1 |
| 1 | \(2^{1}\) | 2 | La base elle-même |
| 2 | \(2^{2}\) | 4 | « 2 au carré » |
| 3 | \(2^{3}\) | 8 | « 2 au cube » |
| 4 | \(2^{4}\) | 16 | |
| 5 | \(2^{5}\) | 32 | |
| 6 | \(2^{6}\) | 64 | |
| 7 | \(2^{7}\) | 128 | |
| 8 | \(2^{8}\) | 256 | Nombre de valeurs d’un octet |
| 9 | \(2^{9}\) | 512 | |
| 10 | \(2^{10}\) | 1 024 | Environ 1 000 (kilo en informatique) |
| 11 | \(2^{11}\) | 2 048 | |
| 12 | \(2^{12}\) | 4 096 | |
| 13 | \(2^{13}\) | 8 192 | |
| 14 | \(2^{14}\) | 16 384 | |
| 15 | \(2^{15}\) | 32 768 | |
| 16 | \(2^{16}\) | 65 536 | |
| 17 | \(2^{17}\) | 131 072 | |
| 18 | \(2^{18}\) | 262 144 | |
| 19 | \(2^{19}\) | 524 288 | |
| 20 | \(2^{20}\) | 1 048 576 | Environ 1 million (méga en informatique) |
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Tu remarques quelque chose ? À chaque ligne, la valeur double. C’est la clé pour tout retenir sans apprendre par cœur.
Pourquoi les puissances de 2 sont partout en informatique
Les ordinateurs ne connaissent que deux états : le courant passe (1) ou ne passe pas (0). C’est le système binaire. Comme il n’y a que 2 choix par « case », le nombre de possibilités se compte toujours en puissances de 2.
Quelques repères que tu croises tous les jours :
- Avec 8 cases (un octet), on peut coder \(2^{8} = 256\) valeurs différentes.
- 1 kilo-octet ne fait pas exactement 1 000 octets mais \(2^{10} = 1024\) octets.
- 1 méga-octet correspond à \(2^{20} = 1\,048\,576\) octets, soit environ 1 million.
C’est pour ça que les tailles de mémoire (2 Go, 4 Go, 8 Go, 16 Go…) sont toujours des puissances de 2 : ce n’est pas un hasard commercial, c’est mathématique.
Comment calculer une puissance de 2
Tu n’as pas besoin de tout multiplier à chaque fois. Deux méthodes suffisent.
Méthode du doublement (la plus rapide) : pars de 1, puis double à chaque étape. Chaque doublement fait monter l’exposant de 1.
\(1 \to 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 32 \to 64 \to 128 \dots\)
Exemple : Calculer \(2^{6}\) à partir de zéro.
Je double 6 fois en partant de 1 :
\(1 \to 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 32 \to 64\)
Donc \(2^{6} = 64\). ✔
La deuxième méthode consiste à repartir d’une valeur que tu connais. Par exemple, si tu sais que \(2^{10} = 1024\), alors \(2^{11} = 1024 \times 2 = 2048\). Ces raccourcis reposent sur les règles de calcul des puissances, que tu retrouves en détail sur la page dédiée.
Exemples de calcul et écriture sous forme de puissance
Voici les questions qui reviennent le plus souvent.
Exemple 1 — Combien vaut \(2^{7}\) ?
Dans le tableau : \(2^{7} = 128\).
Exemple 2 — Écrire 64 sous forme de puissance de 2.
Je cherche l’exposant qui donne 64 : \(2^{6} = 64\). Donc \(64 = 2^{6}\).
Exemple 3 — Écrire 2048 sous forme de puissance de 2.
Dans le tableau, 2048 est sur la ligne 11 : \(2048 = 2^{11}\).
Et les puissances négatives de 2 ?
Quand l’exposant est négatif, on prend l’inverse. Par exemple :
\(2^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5\) et \(2^{-2} = \displaystyle\frac{1}{4} = 0{,}25\).
Les valeurs deviennent alors de plus en plus petites (mais jamais négatives !). Pour comprendre à fond les exposants négatifs, va voir la section dédiée dans les règles des puissances.
Astuce : reconnaître une puissance de 2
Voici deux propriétés que peu de sites montrent — et qui font toujours leur petit effet.
Le chiffre des unités tourne en boucle. Regarde le dernier chiffre des puissances de 2 :
\(2, \; 4, \; 8, \; 16, \; 32, \; 64, \; 128, \; 256 \dots\)
Les unités donnent : 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6… Le motif se répète toutes les 4 puissances. Donc une puissance de 2 (à partir de \(2^{1}\)) ne finit jamais par 0, 1, 3, 5, 7 ou 9.
Comment savoir si un nombre est une puissance de 2 ? Divise-le par 2 autant de fois que possible. Si tu tombes pile sur 1, c’est une puissance de 2. Sinon, ce n’en est pas une.
Exemple : Est-ce que 96 est une puissance de 2 ?
\(96 \to 48 \to 24 \to 12 \to 6 \to 3\)
On tombe sur 3, pas sur 1 : donc 96 n’est pas une puissance de 2. En revanche, \(128 \to 64 \to 32 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1\) : 128 en est bien une (c’est \(2^{7}\)).
Les pièges à éviter
Piège 1 — Confondre \(2^{n}\) et \(2 \times n\).
❌ Copie fautive : « \(2^{5} = 2 \times 5 = 10\) »
Diagnostic : l’exposant ne veut pas dire « multiplier par ». Il indique le nombre de fois qu’on multiplie 2 par lui-même.
✅ Correction : \(2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\).
Piège 2 — Croire que \(2^{0} = 0\).
Beaucoup pensent que « 2 puissance 0 » donne 0. Faux : \(2^{0} = 1\). C’est une règle valable pour toutes les bases.
Piège 3 — Confondre \(2^{n}\) et \(n^{2}\).
\(2^{3} = 8\) (la base est 2) alors que \(3^{2} = 9\) (la base est 3). L’ordre de la base et de l’exposant change tout le résultat.
Questions fréquentes
Quelles sont les puissances de 2 ?
Ce sont les nombres obtenus en multipliant 2 par lui-même : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, et ainsi de suite. Chaque terme est le double du précédent. Le tableau ci-dessus les donne de \(2^{0}\) à \(2^{20}\).
Comment calculer une puissance de 2 ?
Le plus simple est de partir de 1 et de doubler autant de fois que l’exposant l’indique. Par exemple pour \(2^{5}\) : \(1 \to 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 32\), soit 32. Tu peux aussi repartir d’une valeur connue en la multipliant par 2.
Quelle est la puissance négative de 2 ?
Une puissance négative de 2 est l’inverse de la puissance positive correspondante. Par exemple \(2^{-1} = \displaystyle\frac{1}{2} = 0{,}5\) et \(2^{-2} = \displaystyle\frac{1}{4} = 0{,}25\). Les valeurs deviennent de plus en plus petites, mais restent positives.
Comment savoir si un nombre est une puissance de 2 ?
Divise le nombre par 2 le plus longtemps possible. Si tu arrives exactement à 1, c’est une puissance de 2. Sinon, ce n’en est pas une. Exemple : 128 se divise jusqu’à 1, c’est \(2^{7}\) ; 96 s’arrête à 3, ce n’en est pas une.
Quelle est la différence entre 2ⁿ et n² ?
Dans \(2^{n}\), la base est 2 et on la multiplie \(n\) fois : \(2^{4} = 16\). Dans \(n^{2}\), on élève le nombre \(n\) au carré : \(4^{2} = 16\) aussi… ici, mais c’est un cas particulier. En général les résultats diffèrent : \(2^{5} = 32\) alors que \(5^{2} = 25\). Il faut bien repérer qui est la base et qui est l’exposant.
Pourquoi 2 puissance 10 = 1024 ?
Parce que doubler dix fois de suite à partir de 1 donne 1024 : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. C’est ce nombre-là, et non 1000, qui sert d’unité en informatique : 1 kilo-octet vaut \(2^{10} = 1024\) octets. L’écart avec 1000 n’est que de 2,4 %, ce qui explique qu’on ait gardé le préfixe « kilo » par commodité.
Combien fait 2 puissance 64 ?
\(2^{64} = 18\,446\,744\,073\,709\,551\,616\), soit un peu plus de 18 milliards de milliards. Ce nombre revient souvent parce qu’il compte les valeurs qu’une machine « 64 bits » peut distinguer. On l’obtient en doublant 64 fois, ou plus vite en remarquant que \(2^{64} = (2^{32})^2\).
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Pour aller plus loin
Maintenant que tu connais les puissances de 2, tu peux explorer les autres pages du cours :
- Les puissances de 10 — le même principe, mais avec la base 10.
- L’écriture scientifique — pour écrire les très grands et très petits nombres.
- La décomposition en facteurs premiers — utile pour repérer les puissances cachées.
- Des exercices corrigés sur les puissances (4e) pour t’entraîner.
- La fonction exponentielle — quand les exposants deviennent des nombres à virgule (au lycée).
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