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Toutes les limites trigonométriques de Terminale reposent sur un seul résultat fondamental : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x} = 1\). Une fois cette limite démontrée, les autres — \(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2}\), \(\displaystyle\frac{\tan x}{x}\) — s’en déduisent en quelques lignes. Tu trouveras ici la démonstration complète, les limites classiques, une méthode en 4 étapes et 5 exercices corrigés pas à pas.
I. Rappels sur les fonctions sin, cos et tan
Avant de parler de limites, rappelons les propriétés essentielles des fonctions trigonométriques dont tu auras besoin dans tout ce chapitre.
| Propriété | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) |
|---|---|---|---|
| Ensemble de définition | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R} \setminus \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\right\}\) |
| Période | \(2\pi\) | \(2\pi\) | \(\pi\) |
| Parité | Impaire | Paire | Impaire |
| Valeurs extrêmes | \(-1 \leq \sin x \leq 1\) | \(-1 \leq \cos x \leq 1\) | Pas de borne |
| Valeur en \(0\) | \(\sin 0 = 0\) | \(\cos 0 = 1\) | \(\tan 0 = 0\) |
Les deux valeurs en \(0\) sont capitales pour la suite : c’est parce que \(\sin 0 = 0\) et \(\cos 0 = 1\) que les calculs de limites en \(0\) prennent des formes si particulières. Par exemple, le quotient \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) est une forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\) quand \(x \to 0\).
Toutes les limites trigo sur une fiche recto-verso
Démonstrations, tableau récapitulatif et méthode en 4 étapes — format PDF imprimable pour tes révisions.
📄 Télécharger la fiche PDFUn mémo clair pour ne plus jamais confondre les limites en 0 et en +∞.
L’intuition clé à retenir : au voisinage de \(0\), la fonction sinus « se comporte comme la fonction identité » : \(\sin x \approx x\). Tout le chapitre découle de cette observation.
Sur le graphique ci-dessus, tu vois que les courbes de \(y = \sin x\) et \(y = x\) sont presque confondues au voisinage de \(0\). C’est la raison intuitive pour laquelle \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\). Formalisons maintenant ce résultat.
II. La limite fondamentale : sin(x)/x → 1 quand x → 0
Voici le résultat central de ce chapitre. Toutes les autres limites trigonométriques s’en déduisent.
Propriété fondamentale — Limite de sin(x)/x
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x} = 1\)
Autrement dit : quand \(x\) (en radians) tend vers \(0\), le quotient \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) tend vers \(1\).
A. Intuition graphique
La courbe de \(y = \displaystyle\frac{\sin x}{x}\) confirme visuellement ce résultat : elle oscille avec une amplitude décroissante et « converge » vers \(1\) quand \(x\) s’approche de \(0\).
Remarque que la fonction \(x \mapsto \displaystyle\frac{\sin x}{x}\) n’est pas définie en \(0\) (on aurait \(\displaystyle\frac{0}{0}\)), mais elle admet bien une limite égale à \(1\). La « valeur manquante » est comblée par la limite.
B. Démonstration par encadrement (théorème des gendarmes)
Cette démonstration est au programme de Terminale. Elle repose sur la comparaison de trois aires sur le cercle trigonométrique. Si tu ne connais pas encore le théorème des gendarmes, consulte la page dédiée.
Cadre : on se place pour \(x \in \left]0\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\) et on considère le cercle trigonométrique (cercle de centre \(O\), de rayon \(1\)) avec les points :
- \(A = (1,\, 0)\) sur l’axe des abscisses
- \(B = (\cos x,\, \sin x)\) sur le cercle, associé à l’angle \(x\)
- \(T = (1,\, \tan x)\) intersection de la droite \((OB)\) avec la verticale \(x = 1\)
Étape 1 — Calcul des trois aires.
- Aire du triangle \(OAB\) (en bleu) : \(\displaystyle\frac{1}{2} \times OA \times \sin x = \displaystyle\frac{\sin x}{2}\)
- Aire du secteur circulaire \(OAB\) (en or) : \(\displaystyle\frac{x}{2}\) (formule \(\displaystyle\frac{1}{2}r^2\theta\) avec \(r = 1\) et \(\theta = x\))
- Aire du triangle \(OAT\) (en vert) : \(\displaystyle\frac{1}{2} \times OA \times \tan x = \displaystyle\frac{\tan x}{2}\)
Étape 2 — Encadrement par inclusion des aires.
Le triangle \(OAB\) est inclus dans le secteur circulaire, qui est lui-même inclus dans le triangle \(OAT\). Donc :
\(\displaystyle\frac{\sin x}{2} \leq \displaystyle\frac{x}{2} \leq \displaystyle\frac{\tan x}{2}\)
Étape 3 — Division par \(\displaystyle\frac{\sin x}{2}\).
Pour \(x \in \left]0\,;\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\), on a \(\sin x\) > \(0\), donc \(\displaystyle\frac{\sin x}{2}\) > \(0\). On peut diviser l’encadrement par cette quantité :
\(\displaystyle 1 \leq \displaystyle\frac{x}{\sin x} \leq \displaystyle\frac{1}{\cos x}\)
Étape 4 — Passage à l’inverse.
Les trois membres sont strictement positifs. En passant à l’inverse, les inégalités sont renversées :
\(\displaystyle\cos x \leq \displaystyle\frac{\sin x}{x} \leq 1\)
Étape 5 — Application du théorème des gendarmes.
Or \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \cos x = 1\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0} 1 = 1\).
Par le théorème des gendarmes, on conclut :
\(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \displaystyle\frac{\sin x}{x} = 1\)
Étape 6 — Extension à la limite à gauche.
Pour \(x \in \left]-\displaystyle\frac{\pi}{2}\,;\, 0\right[\), on pose \(u = -x\) > \(0\). Comme \(\sin\) est impaire :
\(\displaystyle\frac{\sin x}{x} = \displaystyle\frac{\sin(-u)}{-u} = \displaystyle\frac{-\sin u}{-u} = \displaystyle\frac{\sin u}{u} \underset{u \to 0^+}{\longrightarrow} 1\)
La limite à gauche vaut aussi \(1\). Conclusion :
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x} = 1\) ∎
Pour retenir la démonstration : trois aires ➜ un encadrement ➜ on isole sin(x)/x ➜ gendarmes. C’est le schéma à reproduire au bac si la démonstration est demandée (ROC).
III. Trois limites classiques déduites de sin(x)/x
Le résultat \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\) est la pierre angulaire. Voyons comment en déduire les trois autres limites à connaître impérativement en Terminale.
A. Limite de (1 − cos x)/x quand x → 0
Propriété
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1 – \cos x}{x} = 0\)
Démonstration. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué \((1 + \cos x)\) :
\(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x} = \displaystyle\frac{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}{x(1 + \cos x)} = \displaystyle\frac{1 – \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} = \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)}\)
On réécrit :
\(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)} = \displaystyle\frac{\sin x}{x} \times \displaystyle\frac{\sin x}{1 + \cos x}\)
Quand \(x \to 0\) : \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\) et \(\displaystyle\frac{\sin x}{1 + \cos x} \to \displaystyle\frac{0}{2} = 0\).
Donc par produit de limites : \(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x} \to 1 \times 0 = 0\). ∎
B. Limite de (1 − cos x)/x² quand x → 0
Propriété
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2} = \displaystyle\frac{1}{2}\)
Démonstration. On reprend l’expression conjuguée obtenue précédemment :
\(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2} = \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \left(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\right)^2 \times \displaystyle\frac{1}{1 + \cos x}\)
Quand \(x \to 0\) : \(\left(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\right)^2 \to 1^2 = 1\) et \(\displaystyle\frac{1}{1 + \cos x} \to \displaystyle\frac{1}{1 + 1} = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Donc : \(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2} \to 1 \times \displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{1}{2}\). ∎
Piège classique : ne confonds pas \(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x} \to 0\) et \(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2} \to \displaystyle\frac{1}{2}\). La première a un \(x\) au dénominateur, la seconde un \(x^2\). Le résultat est complètement différent !
C. Limite de tan(x)/x quand x → 0
Propriété
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\tan x}{x} = 1\)
Démonstration. On écrit \(\tan x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\), d’où :
\(\displaystyle\frac{\tan x}{x} = \displaystyle\frac{\sin x}{x \cos x} = \displaystyle\frac{\sin x}{x} \times \displaystyle\frac{1}{\cos x}\)
Quand \(x \to 0\) : \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\) et \(\displaystyle\frac{1}{\cos x} \to \displaystyle\frac{1}{1} = 1\).
Donc : \(\displaystyle\frac{\tan x}{x} \to 1 \times 1 = 1\). ∎
Fil conducteur : toutes ces démonstrations suivent le même schéma — on réécrit le quotient pour faire apparaître \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\), dont on connaît la limite. C’est la technique à maîtriser.
IV. Comportement en l’infini et tableau récapitulatif
Les limites précédentes concernent toutes le voisinage de \(0\). Qu’en est-il quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) ?
A. sin et cos n’ont pas de limite en l’infini
Propriété
Les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) n’ont pas de limite quand \(x \to +\infty\) (ni quand \(x \to -\infty\)).
Justification. Raisonnons par l’absurde pour \(\sin\). Si \(\sin x\) admettait une limite \(L\) quand \(x \to +\infty\), alors toute suite \((\sin(x_n))\) avec \(x_n \to +\infty\) convergerait vers \(L\). Or :
- Pour \(x_n = 2n\pi\) : \(\sin(x_n) = 0 \to 0\), donc \(L = 0\).
- Pour \(x_n = \displaystyle\frac{\pi}{2} + 2n\pi\) : \(\sin(x_n) = 1 \to 1\), donc \(L = 1\).
Contradiction : \(L\) ne peut pas valoir \(0\) et \(1\) à la fois. Donc \(\sin\) n’a pas de limite en \(+\infty\). Le raisonnement est identique pour \(\cos\).
B. Tangente : asymptotes verticales
La fonction \(\tan\) n’est pas définie en \(\displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)). Au voisinage de ces points, elle tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) :
\(\displaystyle\lim_{x \to \displaystyle\frac{\pi}{2}^-} \tan x = +\infty \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to \displaystyle\frac{\pi}{2}^+} \tan x = -\infty\)
Chaque droite d’équation \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\) est une asymptote verticale de la courbe de \(\tan\).
C. Tableau récapitulatif des limites trigonométriques
Voici les limites à connaître par cœur en Terminale. Tu les retrouveras dans le tableau des limites usuelles.
| Limite | Résultat | Remarque |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x}\) | \(1\) | Limite fondamentale (\(x\) en radians) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1 – \cos x}{x}\) | \(0\) | Se déduit de la précédente (conjugué) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\) | Attention au \(x^2\) au dénominateur |
| \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\tan x}{x}\) | \(1\) | \(\tan x = \sin x / \cos x\) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \sin x\) | N’existe pas | \(\sin\) oscille entre \(-1\) et \(1\) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cos x\) | N’existe pas | \(\cos\) oscille entre \(-1\) et \(1\) |
| \(\displaystyle\lim_{x \to \displaystyle\frac{\pi}{2}^-} \tan x\) | \(+\infty\) | Asymptote verticale |
V. Méthode : calculer une limite trigonométrique en 4 étapes
Tu connais maintenant toutes les limites de référence. Voici une méthode systématique pour les utiliser dans n’importe quel calcul.
Méthode en 4 étapes
- Identifier la forme : substituer la valeur limite dans l’expression. Obtiens-tu une forme indéterminée \(\displaystyle\frac{0}{0}\) ?
- Se ramener à \(\displaystyle\frac{\sin u}{u}\) avec \(u \to 0\) : factoriser, utiliser le conjugué ou poser \(u = ax\), \(u = x – a\), etc.
- Appliquer les limites de référence du tableau (section IV).
- Conclure par produit, quotient ou composition de limites.
Exemple guidé : Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin(5x)}{3x}\).
Étape 1. Quand \(x \to 0\), on obtient \(\displaystyle\frac{0}{0}\) : forme indéterminée.
Étape 2. On fait apparaître \(\displaystyle\frac{\sin(5x)}{5x}\) en multipliant et divisant :
\(\displaystyle\frac{\sin(5x)}{3x} = \displaystyle\frac{\sin(5x)}{5x} \times \displaystyle\frac{5x}{3x} = \displaystyle\frac{\sin(5x)}{5x} \times \displaystyle\frac{5}{3}\)
Étape 3. Quand \(x \to 0\), on a \(5x \to 0\), donc \(\displaystyle\frac{\sin(5x)}{5x} \to 1\).
Étape 4. Conclusion : \(\displaystyle\frac{\sin(5x)}{3x} \to 1 \times \displaystyle\frac{5}{3} = \displaystyle\frac{5}{3}\).
Retiens ce réflexe : dès que tu vois \(\sin(ax)\) au numérateur, fais apparaître \(ax\) au dénominateur (et réciproquement). C’est le geste technique qui débloque la plupart des calculs.
VI. Exercices corrigés (★ à ★★★)
Entraîne-toi maintenant sur ces 5 exercices classés par difficulté croissante. Chaque correction détaille les 4 étapes de la méthode. Essaie de résoudre chaque exercice avant de regarder la correction.
Exercice 1 ★ — Application directe
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin(3x)}{2x}\).
Voir la correction
Étape 1. Quand \(x \to 0\) : \(\sin(3x) \to 0\) et \(2x \to 0\). C’est une FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Étape 2. On fait apparaître \(\displaystyle\frac{\sin(3x)}{3x}\) :
\(\displaystyle\frac{\sin(3x)}{2x} = \displaystyle\frac{\sin(3x)}{3x} \times \displaystyle\frac{3x}{2x} = \displaystyle\frac{\sin(3x)}{3x} \times \displaystyle\frac{3}{2}\)
Étape 3. Quand \(x \to 0\), \(3x \to 0\) donc \(\displaystyle\frac{\sin(3x)}{3x} \to 1\).
Étape 4. Par produit : \(\displaystyle\frac{\sin(3x)}{2x} \to 1 \times \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}\).
Exercice 2 ★ — Utiliser (1 − cos x)/x²
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1 – \cos(2x)}{x^2}\).
Voir la correction
Étape 1. Quand \(x \to 0\) : \(1 – \cos(2x) \to 0\) et \(x^2 \to 0\). FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Étape 2. On fait apparaître \((2x)^2\) au dénominateur :
\(\displaystyle\frac{1 – \cos(2x)}{x^2} = \displaystyle\frac{1 – \cos(2x)}{(2x)^2} \times \displaystyle\frac{(2x)^2}{x^2} = \displaystyle\frac{1 – \cos(2x)}{(2x)^2} \times 4\)
Étape 3. Quand \(x \to 0\), on a \(2x \to 0\) donc \(\displaystyle\frac{1 – \cos(2x)}{(2x)^2} \to \displaystyle\frac{1}{2}\).
Étape 4. Conclusion : \(\displaystyle\frac{1 – \cos(2x)}{x^2} \to \displaystyle\frac{1}{2} \times 4 = 2\).
Exercice 3 ★★ — Quotient de fonctions trigonométriques
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\tan(2x)}{\sin(5x)}\).
Voir la correction
Étape 1. Quand \(x \to 0\) : \(\tan(2x) \to 0\) et \(\sin(5x) \to 0\). FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Étape 2. L’astuce est de multiplier et diviser par \(x\) pour faire apparaître les limites de référence :
\(\displaystyle\frac{\tan(2x)}{\sin(5x)} = \displaystyle\frac{\tan(2x)}{2x} \times \displaystyle\frac{2x}{5x} \times \displaystyle\frac{5x}{\sin(5x)}\)
On réarrange : \(\displaystyle= \displaystyle\frac{\tan(2x)}{2x} \times \displaystyle\frac{5x}{\sin(5x)} \times \displaystyle\frac{2}{5}\)
Étape 3. Quand \(x \to 0\) : \(\displaystyle\frac{\tan(2x)}{2x} \to 1\) (car \(2x \to 0\)) et \(\displaystyle\frac{5x}{\sin(5x)} \to 1\) (car \(5x \to 0\)).
Étape 4. Conclusion : \(\displaystyle\frac{\tan(2x)}{\sin(5x)} \to 1 \times 1 \times \displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{2}{5}\).
Exercice 4 ★★ — Changement de variable
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to \pi} \displaystyle\frac{\sin x}{x – \pi}\).
Voir la correction
Étape 1. Quand \(x \to \pi\) : \(\sin(\pi) = 0\) et \(\pi – \pi = 0\). FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Étape 2. Ici, la limite est en \(\pi\), pas en \(0\). On ne peut pas appliquer directement \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\). Il faut se ramener à \(0\) par un changement de variable : on pose \(u = x – \pi\), soit \(x = u + \pi\). Quand \(x \to \pi\), on a \(u \to 0\).
Alors :
\(\displaystyle\frac{\sin x}{x – \pi} = \displaystyle\frac{\sin(u + \pi)}{u}\)
Or \(\sin(u + \pi) = -\sin(u)\) (formule d’addition ou propriété du cercle trigonométrique). Donc :
\(\displaystyle\frac{\sin(u + \pi)}{u} = \displaystyle\frac{-\sin u}{u} = -\displaystyle\frac{\sin u}{u}\)
Étape 3. Quand \(u \to 0\) : \(\displaystyle\frac{\sin u}{u} \to 1\).
Étape 4. Conclusion : \(\displaystyle\frac{\sin x}{x – \pi} \to -1\).
Exercice 5 ★★★ — Synthèse (type bac)
Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{1 – \cos x}{x\,\sin x}\).
Voir la correction
Étape 1. Quand \(x \to 0\) : \(1 – \cos 0 = 0\) et \(0 \times \sin 0 = 0\). FI \(\displaystyle\frac{0}{0}\).
Étape 2. L’idée est de « séparer » le dénominateur \(x\,\sin x\) pour faire apparaître des quotients connus. On réécrit :
\(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x\,\sin x} = \displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2} \times \displaystyle\frac{x}{\sin x}\)
(On a multiplié et divisé par \(x\).)
Étape 3. Quand \(x \to 0\) :
- \(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2} \to \displaystyle\frac{1}{2}\) (propriété connue)
- \(\displaystyle\frac{x}{\sin x} = \displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{\sin x}{x}} \to \displaystyle\frac{1}{1} = 1\)
Étape 4. Conclusion : \(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x\,\sin x} \to \displaystyle\frac{1}{2} \times 1 = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Tu veux plus d’entraînement ? Retrouve la banque complète d’exercices sur les limites dans la page exercices corrigés sur les limites de fonctions.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Avant de passer à ton prochain DS, vérifie que tu ne tombes pas dans ces pièges que je vois chaque semaine en cours.
Piège n°1 — Appliquer sin(x)/x → 1 quand x → +∞
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\sin x}{x} = 1\) car on sait que sin(x)/x tend vers 1. »
Diagnostic : la limite \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\) est valable uniquement quand \(x \to 0\).
✅ Correction : quand \(x \to +\infty\), on a \(-1 \leq \sin x \leq 1\), donc \(\displaystyle\frac{-1}{x} \leq \displaystyle\frac{\sin x}{x} \leq \displaystyle\frac{1}{x}\). Par le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 0\).
Piège n°2 — Utiliser la limite en un point différent de 0
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\lim_{x \to \pi} \displaystyle\frac{\sin x}{x} = 1\). »
Diagnostic : ici \(x \to \pi\), pas \(x \to 0\) ! La limite \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\) ne s’applique pas. Il faut substituer directement.
✅ Correction : \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to \displaystyle\frac{\sin \pi}{\pi} = \displaystyle\frac{0}{\pi} = 0\). Pas de forme indéterminée : la substitution directe suffit.
Piège n°3 — Oublier de se ramener à sin(u)/u avec u → 0
❌ Copie fautive : « \(\displaystyle\frac{\sin(3x)}{x} \to 1\) car sin/x tend vers 1. »
Diagnostic : le « \(3\) » à l’intérieur du sinus change tout ! La limite \(\displaystyle\frac{\sin u}{u} \to 1\) exige que le dénominateur soit le même argument que celui du sinus.
✅ Correction : \(\displaystyle\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \times \displaystyle\frac{\sin(3x)}{3x} \to 3 \times 1 = 3\).
Piège n°4 — Calculer en degrés
La limite \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} = 1\) n’est valable que si \(x\) est en radians. Si ta calculatrice est en mode degrés, la courbe de \(\displaystyle\frac{\sin x}{x}\) ne tend pas vers \(1\) mais vers \(\displaystyle\frac{\pi}{180} \approx 0{,}0175\). Vérifie toujours le mode de ta calculatrice.
VIII. Pour aller plus loin — Équivalents trigonométriques 🔴 Prépa
Si tu vises une prépa scientifique (MPSI, PCSI), cette section te donne un aperçu d’un outil puissant : les équivalents. Ce formalisme est hors programme de Terminale, mais il éclaire et simplifie considérablement les calculs de limites.
Équivalents trigonométriques usuels en 0 (CPGE)
Quand \(x \to 0\) :
- \(\sin x \sim x\)
- \(\tan x \sim x\)
- \(1 – \cos x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\)
La notation « \(f(x) \sim g(x)\) quand \(x \to 0\) » signifie que \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} \to 1\).
En prépa, tu pourras écrire directement :
\(\displaystyle\frac{\tan(2x)}{\sin(5x)} \sim \displaystyle\frac{2x}{5x} = \displaystyle\frac{2}{5} \quad (x \to 0)\)
C’est immédiat ! Les équivalents permettent de « remplacer » chaque fonction par son approximation linéaire au voisinage de \(0\), ce qui supprime toutes les formes indéterminées d’un seul coup.
Ces équivalents se retrouvent dans les développements limités (DL), un chapitre central de la première année de prépa. Les limites de Terminale que tu maîtrises maintenant sont la base sur laquelle tout ce formalisme est construit.
Lien avec ce que tu sais déjà : l’équivalent \(\sin x \sim x\) dit exactement la même chose que \(\displaystyle\frac{\sin x}{x} \to 1\). L’équivalent \(1 – \cos x \sim \displaystyle\frac{x^2}{2}\) dit la même chose que \(\displaystyle\frac{1 – \cos x}{x^2} \to \displaystyle\frac{1}{2}\). Le passage aux équivalents est juste un changement de notation, pas un changement de fond.
Cette vision unificatrice rejoint les limites de la fonction exponentielle (\(e^x – 1 \sim x\)) et les limites de la fonction ln (\(\ln(1+x) \sim x\)).
IX. Questions fréquentes
Comment calculer la limite d'une fonction trigonométrique ?
Suis les 4 étapes : (1) vérifie s’il y a une forme indéterminée 0/0, (2) réécris le quotient pour faire apparaître sin(u)/u avec u → 0 (factorisation, changement de variable, conjugué), (3) applique les limites de référence (sin x/x → 1, (1−cos x)/x² → 1/2, tan x/x → 1), (4) conclus par produit de limites.
Les fonctions trigonométriques ont-elles une limite en l'infini ?
Non. Les fonctions sin et cos oscillent indéfiniment entre −1 et 1 quand x → +∞ : elles n’admettent pas de limite. La fonction tan, quant à elle, n’est même pas définie en π/2 + kπ : elle tend vers +∞ ou −∞ au voisinage de ces points (asymptotes verticales).
Quelle est la différence entre lim sin(x)/x quand x → 0 et quand x → +∞ ?
Ce sont deux résultats très différents ! Quand x → 0, sin(x)/x → 1 (c’est la limite fondamentale du chapitre). Quand x → +∞, sin(x)/x → 0 car sin(x) est borné entre −1 et 1 tandis que x tend vers l’infini. Ne confonds jamais ces deux situations.
La limite sin(x)/x = 1 est-elle valable en degrés ?
Non, uniquement en radians. Si x est mesuré en degrés, alors sin(x)/x tend vers π/180 ≈ 0,0175 quand x → 0. C’est pour cela qu’en mathématiques, on travaille systématiquement en radians. Vérifie toujours le mode de ta calculatrice.
Quelles sont les limites trigonométriques à connaître en Terminale ?
Il y en a quatre à connaître par cœur : lim sin(x)/x = 1 (quand x → 0), lim (1−cos x)/x = 0, lim (1−cos x)/x² = 1/2, et lim tan(x)/x = 1. Les trois dernières se déduisent de la première. Il faut aussi savoir que sin et cos n’ont pas de limite en l’infini.
Quelle est la différence entre limite d'une fonction trigonométrique et limite d'une suite trigonométrique ?
Le principe est le même : on étudie le comportement quand la variable tend vers une certaine valeur. Pour une fonction, x est un réel continu (x → 0, x → +∞). Pour une suite comme sin(n)/n, n est un entier qui tend vers +∞. Les résultats peuvent être différents : sin(x)/x → 1 quand x → 0 (fonction), mais sin(n)/n → 0 quand n → +∞ (suite). Consulte le cours sur les limites de fonctions pour la théorie complète.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les limites trigonométriques. Pour approfondir le chapitre et t’entraîner davantage :
- Limites de fonctions : le cours complet de Terminale — la vue d’ensemble du chapitre
- Formes indéterminées : comment les lever — la méthode générale pour toutes les FI, pas seulement trigonométriques
- Théorème des gendarmes : énoncé, méthode et exercices — l’outil utilisé dans la démonstration de sin(x)/x
- Limites de la fonction exponentielle — les croissances comparées avec exp
- Limites de la fonction logarithme ln — les croissances comparées avec ln
- Limites des fonctions composées — pour les limites de sin(f(x)) ou cos(g(x))
- Tableau des limites des fonctions usuelles — toutes les limites de référence en un mémo imprimable
- 25+ exercices corrigés sur les limites — la banque complète pour s’entraîner
