Quand le diamètre d’une pizza double, son aire est multipliée par quatre. Ce cours explique comment calculer l’aire d’un disque à partir du rayon ou du diamètre, avec un découpage pour comprendre la formule et cinq exercices corrigés.
I. Cercle ou disque : la différence à connaître
Avant de calculer une aire, il faut savoir de quoi on parle. En maths, le mot « cercle » et le mot « disque » ne désignent pas la même chose, même si dans la vie de tous les jours on les confond.
Le cercle est une ligne : c’est le trait rond, le contour. Le disque est une surface : c’est tout l’intérieur, la partie coloriée. Quand on parle d’aire, on parle donc en réalité de l’aire du disque, même si beaucoup de gens tapent « aire du cercle » sur Internet.
A. Rayon et diamètre : ne pas les mélanger
Pour calculer l’aire d’un disque, tu as besoin d’une seule mesure : le rayon. Retiens bien ces deux mots :
- Le rayon \(r\) va du centre jusqu’au bord.
- Le diamètre \(d\) traverse tout le disque en passant par le centre.
Le diamètre est donc deux fois plus grand que le rayon : \(d = 2 \times r\), et à l’inverse \(r = \displaystyle\frac{d}{2}\). Beaucoup d’erreurs viennent de là : si on te donne le diamètre, pense à le diviser par 2 avant de calculer l’aire.
II. La formule de l’aire d’un disque
Voici la formule qui répond à la question « comment calculer l’aire d’un cercle ? ». C’est la formule la plus importante de ce cours : apprends-la par cœur.
Définition — Aire d’un disque
L’aire d’un disque de rayon \(r\) est égale à π multiplié par le rayon au carré :
\(\text{Aire} = \pi \times r^2 = \pi \times r \times r\)
Le résultat s’exprime toujours en unité d’aire : cm², m², km²…
A. C’est quoi « π × r² » ?
Décortiquons cette écriture morceau par morceau :
- \(\pi\) (pi) est un nombre spécial qui vaut environ \(3{,}14\). Il apparaît dès qu’un cercle est concerné.
- \(r^2\) veut dire « \(r\) au carré », c’est-à-dire \(r \times r\) (le rayon multiplié par lui-même).
« π × r² » se lit « pi fois le rayon fois le rayon ». Pour un rayon de 3 cm, l’aire exacte est \(9\pi\) cm². Avec la touche π de la calculatrice, on obtient environ 28,27 cm² ; en remplaçant π par 3,14, on obtient 28,26 cm².
Astuce pour ne pas te tromper : calcule d’abord \(r \times r\), et multiplie seulement à la fin par π. C’est plus simple à la calculatrice, et tu évites l’erreur de faire \((\pi \times r)^2\).
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III. D’où vient la formule ? La démonstration par découpage
Le découpage suivant aide à comprendre la formule. Avec un nombre fini de secteurs, la figure obtenue n’est pas exactement un rectangle : on approche de cette forme à mesure que les secteurs deviennent plus fins.
Imagine que tu découpes le disque en un très grand nombre de parts fines, comme des parts de pizza. Ces parts s’appellent des secteurs. Ensuite, tu les ranges les unes contre les autres, une pointe en haut, une pointe en bas, une en haut, une en bas…
Plus tu fais de parts fines, plus la figure obtenue ressemble à un rectangle ! Et un rectangle, tu sais déjà en calculer l’aire (longueur × largeur). Regardons ses dimensions :
- La hauteur du rectangle, c’est le rayon \(r\).
- La longueur, c’est la moitié du tour du cercle. Or le tour (le périmètre) vaut \(2 \times \pi \times r\), donc sa moitié vaut \(\pi \times r\).
On multiplie longueur × hauteur :
\(\text{Aire} = (\pi \times r) \times r = \pi \times r^2\)Et voilà : on retrouve exactement la formule ! Cette démonstration relie l’aire du disque à celle du rectangle, et le périmètre d’un cercle au passage.
IV. Comment calculer l’aire d’un disque : la méthode en 3 étapes
Que tu connaisses le rayon ou le diamètre, la méthode est toujours la même. Suis ces trois étapes dans l’ordre.
- Trouve le rayon. Si l’énoncé donne le diamètre, divise-le par 2.
- Calcule \(r \times r\) (le rayon au carré).
- Multiplie par π et écris l’unité en cm² (ou m²…).
A. Exemple avec le rayon
Exemple : quelle est l’aire d’un disque de rayon 4 cm ?
Le rayon est donné : \(r = 4\) cm.
\(\text{Aire} = \pi \times 4 \times 4 = \pi \times 16 \approx 50{,}27\) cm².
L’aire est donc d’environ 50,27 cm².
B. Exemple avec le diamètre
C’est ici que se trouve le piège le plus fréquent, et c’est aussi une question que beaucoup d’élèves posent : « quelle est l’aire d’un disque de diamètre 10 cm ? »
Exemple : quelle est l’aire d’un disque de diamètre 10 cm ?
On commence par le rayon : \(r = \displaystyle\frac{10}{2} = 5\) cm.
\(\text{Aire} = \pi \times 5 \times 5 = \pi \times 25 \approx 78{,}5\) cm².
L’aire vaut environ 78,5 cm². Si on avait oublié de diviser par 2, on aurait trouvé un résultat quatre fois trop grand !
Attention aussi à l’unité de ton résultat : pour convertir des cm² en m² par exemple, un tableau spécifique est nécessaire. Nous l’expliquons dans le cours sur la conversion d’unités de mesure.
V. Aire du disque ou périmètre du cercle : ne pas confondre
C’est LA confusion classique en géométrie. Les deux formules se ressemblent, mais elles ne mesurent pas la même chose et n’ont pas la même unité.
| On cherche… | Formule | Unité |
|---|---|---|
| L’aire (la surface intérieure) | \(\pi \times r^2\) | cm², m² |
| Le périmètre (le tour) | \(2 \times \pi \times r\) | cm, m |
Erreur classique : écrire \(\text{Aire} = 2 \times \pi \times r\). Non ! Ça, c’est le périmètre. Pour l’aire, il y a un carré : \(\pi \times r^2\). Un moyen mnémotechnique : l’aire va avec le carré (r²).
Pour tout savoir sur le tour du cercle, consulte le cours dédié au périmètre d’un cercle. Et pour la moitié d’un disque, va voir la méthode sur l’aire d’un demi-cercle.
VI. Exercices corrigés
Essaie chaque exercice avant d’ouvrir sa correction. Utilise la touche π de la calculatrice, conserve les valeurs exactes pendant le calcul et arrondis seulement le résultat final au centième, sauf indication contraire.
Exercice 1 — Aire avec le rayon ★
Calcule l’aire d’un disque de rayon 6 cm. Arrondis au centième.
Voir la correction de l’exercice 1
Le rayon est donné : \(r = 6\) cm.
\(\text{Aire} = \pi \times 6 \times 6 = \pi \times 36 \approx 113{,}10\) cm².
L’aire est d’environ 113,10 cm².
Exercice 2 — Aire avec le diamètre ★
Une roue a un diamètre de 14 cm. Calcule l’aire du disque qu’elle forme.
Voir la correction de l’exercice 2
On calcule d’abord le rayon : \(r = \displaystyle\frac{14}{2} = 7\) cm.
\(\text{Aire} = \pi \times 7 \times 7 = \pi \times 49 \approx 153{,}94\) cm².
L’aire vaut environ 153,94 cm². On n’oublie surtout pas de diviser le diamètre par 2 !
Exercice 3 — La meilleure pizza (raisonnement) ★★
Une pizza de 30 cm de diamètre coûte 12 €, une pizza de 40 cm de diamètre coûte 18 €. Laquelle est la plus avantageuse (le meilleur prix par cm²) ?
Voir la correction de l’exercice 3
Pizza de 30 cm : rayon \(r = 15\) cm, aire \(= \pi \times 15 \times 15 \approx 706{,}86\) cm².
Prix au cm² : \(12 \div 706{,}86 \approx 0{,}017\) € par cm².
Pizza de 40 cm : rayon \(r = 20\) cm, aire \(= \pi \times 20 \times 20 \approx 1256{,}64\) cm².
Prix au cm² : \(18 \div 1256{,}64 \approx 0{,}014\) € par cm².
La pizza de 40 cm offre le meilleur prix par cm². Son aire est environ 1,78 fois celle de la pizza de 30 cm, tandis que son prix est multiplié par 1,5.
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Exercice 4 — Aire d’un demi-disque ★★
Calcule l’aire d’un demi-disque de rayon 6 cm.
Voir la correction de l’exercice 4
On calcule d’abord l’aire du disque entier :
\(\pi \times 6 \times 6 = \pi \times 36 \approx 113{,}10\) cm².
Un demi-disque a pour aire \(\displaystyle\frac{36\pi}{2}=18\pi\approx56{,}55\) cm².
L’aire du demi-disque est d’environ 56,55 cm².
Exercice 5 — Une figure composée ★★★
Un vitrail est formé d’un carré de 10 m de côté, surmonté d’un demi-disque dont le diamètre est le côté supérieur du carré (10 m). Calcule l’aire totale du vitrail.
Voir la correction de l’exercice 5
Aire du carré : \(10 \times 10 = 100\) m².
Aire du demi-disque : le diamètre vaut 10 m, donc le rayon vaut \(r = 5\) m.
Disque entier : \(25\pi\) m². Demi-disque : \(\displaystyle\frac{25\pi}{2}=12{,}5\pi\approx39{,}27\) m².
Aire totale : \(100 + 12{,}5\pi \approx 139{,}27\) m².
Le vitrail a une aire d’environ 139,27 m². Cette méthode « je découpe et j’additionne » est détaillée dans le cours sur l’aire d’une figure composée.
VII. Les erreurs les plus fréquentes
Ces trois pièges reviennent tout le temps dans les copies. Les connaître, c’est déjà éviter de les faire.
- Oublier de diviser le diamètre par 2. Si l’énoncé donne le diamètre, le rayon en est la moitié.
- Confondre aire et périmètre. L’aire, c’est \(\pi \times r^2\) (en cm²) ; le périmètre, c’est \(2 \times \pi \times r\) (en cm).
- Se tromper d’unité. Une aire s’exprime toujours avec un « carré » : cm², m². Si tu écris juste « cm », c’est faux.
Tu retrouveras ces pièges, et cinq autres, dans notre cours sur les erreurs classiques de géométrie au collège.
VIII. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un cercle ?
On calcule en réalité l’aire du disque. Trouve le rayon \(r\) (si on te donne le diamètre, divise-le par 2), calcule \(r \times r\), puis multiplie par π. La formule est \(\text{Aire} = \pi \times r^2\), et le résultat s’exprime en cm² ou m².
C’est quoi pi r 2 ?
« π × r² » est la formule de l’aire d’un disque. \(\pi\) est un nombre valant environ 3,14, et \(r^2\) signifie « le rayon multiplié par lui-même ». On lit donc : « pi fois le rayon fois le rayon ».
Quelle est l’aire d’un disque de diamètre 10 cm ?
Le rayon vaut la moitié du diamètre, soit \(r = 5\) cm. On calcule alors \(\pi \times 5 \times 5 = \pi \times 25 \approx 78{,}5\) cm². L’aire est donc d’environ 78,5 cm².
Quelle est la différence entre l’aire et le périmètre d’un cercle ?
L’aire mesure la surface à l’intérieur du disque, avec \(\pi \times r^2\) (en cm²). Le périmètre mesure le tour du cercle, avec \(2 \times \pi \times r\) (en cm). Astuce : l’aire va avec le carré du rayon.
Pourquoi utilise-t-on 3,14 pour π ?
π possède une infinité de décimales et n’est pas égal à 3,14. Si l’énoncé impose 3,14, utilise cette approximation ; sinon, la touche π permet de conserver davantage de précision. Arrondis le résultat à la fin.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’aire du disque. Pour continuer ta progression en géométrie :
