Vecteurs, distance, milieu, alignement, quadrilatères : la géométrie repérée est l’un des chapitres les plus rentables de Seconde, parce qu’il repose sur cinq formules seulement. Le vrai enjeu n’est pas de les connaître, mais de savoir laquelle utiliser et comment rédiger la conclusion attendue par le correcteur. Voici 18 exercices classés par difficulté croissante : 7 d’application directe (★), 7 d’approfondissement (★★) et 4 problèmes type contrôle avec figure (★★★). Chaque exercice est corrigé pas à pas, avec la formule mobilisée et la phrase de conclusion rédigée. Tout est en accès libre, sans compte, et un PDF téléchargeable regroupe des exercices bonus pour t’entraîner avant l’évaluation.
I. Les 5 formules à connaître avant de commencer
Toutes ces formules ne sont valables que dans un repère orthonormé. On considère deux points \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\).
| Objet | Formule | Quand l’utiliser |
|---|---|---|
| Coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) | \((x_B- x_A\,;\,y_B- y_A)\) | Passer de deux points à un vecteur |
| Distance \(AB\) | \(\sqrt{(x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2}\) | Longueur d’un segment, nature d’un triangle |
| Milieu \(I\) de \([AB]\) | \(\left(\displaystyle\frac{x_A + x_B}{2}\,;\,\displaystyle\frac{y_A + y_B}{2}\right)\) | Centre d’un segment, diagonales d’un quadrilatère |
| Colinéarité de \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x^\prime\,;\,y^\prime)\) | \(x y^\prime- x^\prime y = 0\) | Alignement, parallélisme |
| Égalité de vecteurs | \(\vec{AB} = \vec{DC}\) | Parallélogramme, 4ᵉ sommet |
Le bon réflexe : avant de calculer, demande-toi ce qu’on te demande de prouver. « Isocèle » ou « rectangle » → distances. « Aligné » ou « parallèle » → colinéarité. « Parallélogramme » → égalité de vecteurs ou milieu commun des diagonales.
II. Exercices d’application directe ★
Ces 7 premiers exercices font travailler chaque formule isolément. Objectif : la vitesse et l’absence d’erreur de signe.
Exercice 1 — Coordonnées d’un vecteur ★
On donne \(A(2\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,7)\). Calcule les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\).
Voir la correction de l’exercice 1
On soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité :
\(\vec{AB}\,(5- 2\,;\,7- 3)\)\(\vec{AB}\,(3\,;\,4)\). Pour aller plus loin, voir le cours sur les coordonnées d’un vecteur.
Exercice 2 — Milieu d’un segment ★
Calcule les coordonnées du milieu \(I\) du segment \([AB]\) avec \(A(-1\,;\,4)\) et \(B(3\,;\,-2)\).
Voir la correction de l’exercice 2
On fait la moyenne des abscisses, puis celle des ordonnées :
\(x_I = \displaystyle\frac{-1 + 3}{2} = 1 \qquad y_I = \displaystyle\frac{4 + (-2)}{2} = 1\)\(I(1\,;\,1)\).
Exercice 3 — Distance entre deux points ★
Calcule la distance \(AB\) avec \(A(1\,;\,2)\) et \(B(4\,;\,6)\).
Voir la correction de l’exercice 3
On applique la formule de la distance entre deux points :
\(AB = \sqrt{(4- 1)^2 + (6- 2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25}\)\(AB = 5\).
+12 exercices de géométrie repérée corrigés en PDF
Douze exercices bonus, différents de ceux de cette page, du calcul direct au problème de synthèse — pour t’entraîner avant le contrôle.
📄 Télécharger les 12 exos bonusCorrections détaillées incluses, sans inscription.
Exercice 4 — Somme et multiple de vecteurs ★
On donne \(\vec{u}\,(2\,;\,-3)\) et \(\vec{v}\,(-1\,;\,5)\). Calcule les coordonnées de \(\vec{u} + \vec{v}\) puis de \(2\vec{u}\).
Voir la correction de l’exercice 4
On additionne coordonnée par coordonnée :
\(\vec{u} + \vec{v}\,(2 + (-1)\,;\,-3 + 5) = (1\,;\,2)\)On multiplie chaque coordonnée par 2 :
\(2\vec{u}\,(2 \times 2\,;\,2 \times (-3)) = (4\,;\,-6)\)\(\vec{u} + \vec{v}\,(1\,;\,2)\) et \(2\vec{u}\,(4\,;\,-6)\).
Exercice 5 — Tester la colinéarité ★
Les vecteurs \(\vec{u}\,(3\,;\,6)\) et \(\vec{v}\,(1\,;\,2)\) sont-ils colinéaires ?
Voir la correction de l’exercice 5
On calcule le déterminant \(x y^\prime- x^\prime y\) :
\(3 \times 2- 1 \times 6 = 6- 6 = 0\)Le déterminant est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires. Voir le cours sur les vecteurs colinéaires.
Exercice 6 — Retrouver un point par égalité de vecteurs ★
On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,3)\) et \(C(6\,;\,1)\). Détermine les coordonnées du point \(D\) tel que \(\vec{AB} = \vec{CD}\).
Voir la correction de l’exercice 6
D’abord \(\vec{AB}\,(4- 1\,;\,3- 2) = (3\,;\,1)\). Ensuite \(\vec{CD}\,(x_D- 6\,;\,y_D- 1)\).
L’égalité \(\vec{AB} = \vec{CD}\) donne deux équations :
\(x_D- 6 = 3 \quad \text{et} \quad y_D- 1 = 1\)Donc \(x_D = 9\) et \(y_D = 2\). \(D(9\,;\,2)\).
Exercice 7 — Longueur d’un vecteur ★
Calcule la norme du vecteur \(\vec{w}\,(-6\,;\,8)\).
Voir la correction de l’exercice 7
La norme d’un vecteur se calcule comme une distance :
\(\Vert\vec{w}\Vert = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}\)\(\Vert\vec{w}\Vert = 10\). Attention : \((-6)^2 = 36\), jamais \(-36\).
III. Exercices d’approfondissement ★★
Ici, chaque exercice combine plusieurs formules et exige une conclusion rédigée. C’est exactement ce que teste un contrôle de Seconde.
Exercice 8 — Triangle isocèle ★★
On considère \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,3)\) et \(C(2\,;\,5)\). Démontre que le triangle \(ABC\) est isocèle.
Voir la correction de l’exercice 8
On calcule les trois longueurs :
\(AB = \sqrt{(4-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\) \(AC = \sqrt{(2-1)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\) \(BC = \sqrt{(2-4)^2 + (5-3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}\)Comme \(AB = AC = \sqrt{10}\), le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\).
Exercice 9 — Triangle rectangle ★★
On donne \(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,1)\) et \(C(-2\,;\,6)\). Montre que le triangle \(ABC\) est rectangle.
Voir la correction de l’exercice 9
On calcule les carrés des longueurs (on garde les carrés pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore) :
\(AB^2 = 3^2 + 1^2 = 10\) \(AC^2 = (-2)^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40\) \(BC^2 = (-2-3)^2 + (6-1)^2 = 25 + 25 = 50\)On compare : \(AB^2 + AC^2 = 10 + 40 = 50 = BC^2\).
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\) (l’angle droit est opposé au plus grand côté \(BC\)).
Exercice 10 — Alignement de trois points ★★
Les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\) et \(C(5\,;\,8)\) sont-ils alignés ?
Voir la correction de l’exercice 10
Trois points sont alignés si les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
\(\vec{AB}\,(3-1\,;\,5-2) = (2\,;\,3) \qquad \vec{AC}\,(5-1\,;\,8-2) = (4\,;\,6)\)Déterminant : \(2 \times 6- 4 \times 3 = 12- 12 = 0\).
Le déterminant est nul, donc les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Exercice 11 — Reconnaître un parallélogramme ★★
On donne \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,2)\), \(C(5\,;\,5)\) et \(D(2\,;\,4)\). Démontre que \(ABCD\) est un parallélogramme.
Voir la correction de l’exercice 11
\(ABCD\) est un parallélogramme si \(\vec{AB} = \vec{DC}\) (attention à l’ordre des sommets).
\(\vec{AB}\,(4-1\,;\,2-1) = (3\,;\,1)\) \(\vec{DC}\,(5-2\,;\,5-4) = (3\,;\,1)\)Comme \(\vec{AB} = \vec{DC}\), le quadrilatère \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exercice 12 — Appartenance à une droite ★★
Une droite \(d\) a pour équation \(y = 2x- 1\). Les points \(A(3\,;\,5)\) et \(B(1\,;\,2)\) appartiennent-ils à \(d\) ?
Voir la correction de l’exercice 12
Un point appartient à la droite si ses coordonnées vérifient l’équation. On remplace \(x\) et on compare au \(y\) du point.
Pour \(A(3\,;\,5)\) : \(2 \times 3- 1 = 5\), qui est bien l’ordonnée de \(A\). Donc \(A \in d\).
Pour \(B(1\,;\,2)\) : \(2 \times 1- 1 = 1 \neq 2\). Donc \(B \notin d\). Voir le cours sur l’équation de droite.
Exercice 13 — Triangle rectangle isocèle ★★
On donne \(A(2\,;\,1)\), \(B(5\,;\,2)\) et \(C(4\,;\,5)\). Détermine la nature précise du triangle \(ABC\).
Voir la correction de l’exercice 13
On calcule les carrés des longueurs :
\(AB^2 = 3^2 + 1^2 = 10\) \(BC^2 = (4-5)^2 + (5-2)^2 = 1 + 9 = 10\) \(AC^2 = (4-2)^2 + (5-1)^2 = 4 + 16 = 20\)D’une part \(AB^2 = BC^2 = 10\) donc \(AB = BC\) : le triangle est isocèle en \(B\). D’autre part \(AB^2 + BC^2 = 10 + 10 = 20 = AC^2\) : par la réciproque de Pythagore, il est rectangle en \(B\).
Le triangle \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(B\).
Exercice 14 — Quatrième sommet d’un parallélogramme ★★
On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(4\,;\,3)\) et \(C(6\,;\,7)\). Détermine le point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Voir la correction de l’exercice 14
\(ABCD\) est un parallélogramme lorsque \(\vec{AB} = \vec{DC}\), soit \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Utilisons la seconde relation.
\(\vec{BC}\,(6-4\,;\,7-3) = (2\,;\,4)\)\(\vec{AD}\,(x_D- 1\,;\,y_D- 2)\), d’où \(x_D- 1 = 2\) et \(y_D- 2 = 4\).
Donc \(x_D = 3\) et \(y_D = 6\). \(D(3\,;\,6)\).
IV. Problèmes type contrôle ★★★
Ces 4 problèmes complets enchaînent plusieurs questions avec figure, comme le jour de l’évaluation. Fais une figure au brouillon avant de te lancer.
Exercice 15 — Nature d’un triangle et médiane ★★★
On considère \(A(-2\,;\,1)\), \(B(2\,;\,3)\) et \(C(0\,;\,-1)\).
1. Démontre que le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\).
2. Détermine les coordonnées du milieu \(J\) de \([AC]\).
3. Que représente la droite \((BJ)\) pour le triangle ?
Voir la correction de l’exercice 15
1. On calcule les longueurs :
\(BA^2 = (-2-2)^2 + (1-3)^2 = 16 + 4 = 20\) \(BC^2 = (0-2)^2 + (-1-3)^2 = 4 + 16 = 20\)Donc \(BA = BC = \sqrt{20}\) : le triangle est isocèle en \(B\).
2. \(J\left(\displaystyle\frac{-2 + 0}{2}\,;\,\displaystyle\frac{1 + (-1)}{2}\right) = J(-1\,;\,0)\).
3. \(J\) est le milieu de la base \([AC]\) et \(B\) est le sommet principal. La droite \((BJ)\) est donc la médiane issue de \(B\) ; dans un triangle isocèle, c’est aussi la médiatrice de \([AC]\) et la hauteur issue de \(B\).
Exercice 16 — Du parallélogramme au losange ★★★
On donne \(A(-1\,;\,0)\), \(B(2\,;\,1)\), \(C(3\,;\,4)\) et \(D(0\,;\,3)\).
1. Montre que \(ABCD\) est un parallélogramme.
2. Calcule \(AB\) et \(BC\). Que peux-tu en déduire ?
Voir la correction de l’exercice 16
1. \(\vec{AB}\,(2-(-1)\,;\,1-0) = (3\,;\,1)\) et \(\vec{DC}\,(3-0\,;\,4-3) = (3\,;\,1)\).
Comme \(\vec{AB} = \vec{DC}\), \(ABCD\) est un parallélogramme.
2. \(AB = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\) et \(BC = \sqrt{(3-2)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\).
Deux côtés consécutifs sont égaux : \(AB = BC\). Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
\(ABCD\) est un losange.
Exercice 17 — Intersection de deux droites ★★★
Dans un repère, on trace les droites \(d_1 : y = 2x + 1\) et \(d_2 : y = -x + 4\).
1. Ces droites sont-elles sécantes ? Justifie.
2. Détermine par le calcul les coordonnées de leur point d’intersection \(K\).
Voir la correction de l’exercice 17
1. Les coefficients directeurs valent \(2\) et \(-1\). Ils sont différents, donc les droites ne sont pas parallèles : elles sont sécantes.
2. Au point d’intersection, les deux ordonnées sont égales :
\(2x + 1 = -x + 4\) \(3x = 3 \quad \Longrightarrow \quad x = 1\)On remplace dans \(d_1\) : \(y = 2 \times 1 + 1 = 3\).
\(K(1\,;\,3)\). On peut vérifier avec \(d_2\) : \(-1 + 4 = 3\) ✓.
Exercice 18 — Problème de synthèse ★★★
On donne \(A(-3\,;\,1)\), \(B(1\,;\,-1)\) et \(C(3\,;\,3)\).
1. Calcule les longueurs \(AB\), \(BC\) et \(AC\).
2. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?
3. Détermine les coordonnées du point \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme, puis le centre \(\Omega\) de ce parallélogramme.
Voir la correction de l’exercice 18
1. \(AB^2 = (1-(-3))^2 + (-1-1)^2 = 16 + 4 = 20\), donc \(AB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
\(BC^2 = (3-1)^2 + (3-(-1))^2 = 4 + 16 = 20\), donc \(BC = 2\sqrt{5}\).
\(AC^2 = (3-(-3))^2 + (3-1)^2 = 36 + 4 = 40\), donc \(AC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).
2. \(AB^2 + BC^2 = 20 + 20 = 40 = AC^2\). Par la réciproque de Pythagore, le triangle est rectangle en \(B\). Comme \(AB = BC\), il est même rectangle isocèle en \(B\).
3. On cherche \(D\) tel que \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Or \(\vec{BC}\,(2\,;\,4)\), donc \(x_D = -3 + 2 = -1\) et \(y_D = 1 + 4 = 5\) : \(D(-1\,;\,5)\).
Le centre \(\Omega\) est le milieu commun des diagonales, par exemple de \([AC]\) :
\(\Omega\left(\displaystyle\frac{-3 + 3}{2}\,;\,\displaystyle\frac{1 + 3}{2}\right) = \Omega(0\,;\,2)\).
\(D(-1\,;\,5)\) et \(\Omega(0\,;\,2)\).
V. Ce que le correcteur attend sur la copie
En géométrie repérée, la note ne se joue pas sur le calcul mais sur la rédaction de la justification. Un résultat juste sans phrase de conclusion perd des points ; une phrase claire en gagne. Voici les réflexes qui font la différence.
Les 4 réflexes de rédaction :
- Énonce la propriété avant de calculer : « Le triangle est isocèle en \(A\) si \(AB = AC\) ».
- Pour un triangle rectangle, garde les carrés des longueurs et cite explicitement « la réciproque du théorème de Pythagore ».
- Pour un alignement ou un parallélisme, écris le déterminant et conclus « le déterminant est nul, donc les vecteurs sont colinéaires ».
- Termine toujours par une phrase en français qui répond à la question posée, pas par un nombre isolé.
Petite subtilité de vocabulaire : « démontrer » exige la formule et le calcul complet, tandis que « conjecturer » (souvent à partir d’une figure) n’est qu’une hypothèse à confirmer ensuite par le calcul. Ne confonds jamais les deux.
VI. Les erreurs fréquentes à éviter
Trois erreurs reviennent dans presque toutes les copies. Les repérer maintenant t’évite de les commettre en contrôle.
Erreur n°1 — Inverser le sens de la soustraction.
❌ Copie fautive : pour \(\vec{AB}\) avec \(A(2\,;\,3)\) et \(B(5\,;\,7)\), l’élève écrit \((2-5\,;\,3-7) = (-3\,;\,-4)\).
Diagnostic : c’est le vecteur \(\vec{BA}\), l’opposé. On soustrait toujours l’origine à l’extrémité.
✅ Correction : \(\vec{AB}\,(5-2\,;\,7-3) = (3\,;\,4)\).
Erreur n°2 — Oublier le carré ou mal gérer les signes.
❌ Copie fautive : \(AB = \sqrt{(4-1) + (6-2)} = \sqrt{7}\).
Diagnostic : les écarts doivent être élevés au carré avant d’être additionnés. Et \((-3)^2 = 9\), jamais \(-9\).
✅ Correction : \(AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\).
Erreur n°3 — Écrire un parallélogramme dans le mauvais ordre.
❌ Copie fautive : pour prouver que \(ABCD\) est un parallélogramme, l’élève teste \(\vec{AB} = \vec{CD}\).
Diagnostic : dans \(ABCD\), les côtés parallèles sont \([AB]\) et \([DC]\). La bonne égalité est \(\vec{AB} = \vec{DC}\), pas \(\vec{CD}\) (qui donnerait un « parallélogramme croisé »).
VII. 🟡 Et en Première ?
La géométrie repérée de Seconde n’est qu’une base : en Première spécialité, les mêmes points et vecteurs se traitent avec des outils plus puissants. Voici le fil de niveau pour anticiper.
| Niveau | Ce que tu manipules |
|---|---|
| Collège (6ème-5ème) | Lire et placer un point, coordonnées dans le plan |
| Seconde | Vecteurs, distance, milieu, colinéarité (cette page) |
| Première | Produit scalaire, équation cartésienne de droite et de cercle |
| Terminale / Prépa | Géométrie dans l’espace, base orthonormée d’un espace euclidien |
En Première, tu découvriras le produit scalaire, qui permet de calculer des angles et de tester une orthogonalité sans figure, ainsi que l’équation d’un cercle et le vecteur directeur d’une droite. Toutes ces notions reposent directement sur les coordonnées que tu viens de travailler.
VIII. Questions fréquentes
Quels sont les différents types de repères en mathématiques ?
On distingue trois grands types : le repère quelconque (axes non perpendiculaires), le repère orthogonal (axes perpendiculaires mais unités différentes) et le repère orthonormé (axes perpendiculaires et même unité sur chaque axe). La formule de la distance n’est valable que dans un repère orthonormé ; celle du milieu, elle, vaut dans n’importe quel repère.
Quelle est la différence entre la distance AB et la norme du vecteur AB ?
Aucune sur le plan numérique : la distance \(AB\) est égale à la norme du vecteur \(\vec{AB}\), et les deux se calculent avec la même formule \(\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\). La différence est conceptuelle : la distance mesure une longueur géométrique, la norme mesure la « taille » d’un vecteur. Voir le cours sur la norme d’un vecteur.
Comment savoir si trois points sont alignés ?
On calcule les coordonnées des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\), puis leur déterminant \(x y^\prime- x^\prime y\). Si ce déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires et les trois points sont alignés. Sinon, ils forment un triangle.
Comment prouver qu’un triangle est rectangle dans un repère ?
On calcule les carrés des trois longueurs. Si la somme des carrés des deux plus petits côtés est égale au carré du plus grand, la réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle est rectangle. L’angle droit se trouve au sommet opposé au plus grand côté.
Comment réussir la géométrie repérée en Seconde ?
Trois habitudes : mémoriser les cinq formules et savoir laquelle correspond à quelle question, faire systématiquement une figure au brouillon pour vérifier la cohérence des résultats, et rédiger chaque conclusion en une phrase française. Les exercices ★ de cette page servent à automatiser les formules, les ★★★ à s’entraîner aux problèmes de contrôle.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les 18 exercices de géométrie repérée. Pour continuer :
- Coordonnées d’un Vecteur : Cours Complet, Formules et Exercices Corrigés — le cours détaillé derrière toutes les formules utilisées ici.
- Vecteurs Coplanaires : Définition, Méthodes et Exercices Corrigés — la suite du chapitre, quand les vecteurs passent dans l’espace en Terminale.
- Au niveau supérieur, les coordonnées se généralisent bien au-delà du plan : découvre les Opérateurs différentiels en coordonnées cylindriques et sphériques, l’aboutissement de cette logique de repérage en prépa.
- Équation du Second Degré (1ère) : Cours et Méthodes — un autre chapitre clé pour préparer la Première.
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour préparer la Première en toute confiance.
