Un cornet de glace, un chapeau de fête, un tas de sable : tous ont la forme d’un cône. En géométrie, calculer le volume d’un cône, c’est mesurer la place qu’il occupe dans l’espace. La formule tient en une ligne : \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\), où \(r\) est le rayon du disque de base et \(h\) la hauteur. Au programme de 4ème, ce calcul réunit l’aire du disque, la multiplication par la hauteur, et un facteur \(\displaystyle\frac{1}{3}\) qui surprend souvent. Tu vas voir qu’il n’y a rien de compliqué, à condition de connaître deux ou trois pièges.
I. La formule du volume d’un cône
Le volume d’un cône de révolution est égal au tiers de l’aire de sa base (un disque) multipliée par sa hauteur. Autrement dit, on calcule l’aire du disque, on la multiplie par la hauteur, puis on divise le tout par 3. C’est la formule à connaître par cœur en 4ème.
Formule — Volume d’un cône
Pour un cône de rayon de base \(r\) et de hauteur \(h\) :
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\)
où \(\pi \times r^2\) est l’aire du disque de base, et \(h\) la hauteur (la distance entre le sommet et le centre de la base).
A. Ce que chaque lettre désigne
Trois grandeurs suffisent pour appliquer la formule :
- \(r\) : le rayon du disque de base (la moitié du diamètre) ;
- \(h\) : la hauteur du cône, mesurée droit, du sommet jusqu’au centre du disque ;
- \(\pi\) : le nombre pi, environ \(3{,}14\).
La hauteur h est la distance perpendiculaire du sommet au plan de base. Sur un cône de révolution, elle suit l’axe du cône. La génératrice g relie le sommet au bord du disque : elle est inclinée et ne remplace pas h dans la formule, même si l’on tourne le dessin.
B. Rayon ou diamètre : le piège à connaître
C’est l’erreur numéro un sur les cônes. Dans la formule, on utilise le rayon, jamais le diamètre. Si l’énoncé te donne le diamètre, tu dois le diviser par 2 avant de calculer.
Erreur classique : mettre le diamètre à la place du rayon. Si le diamètre est de 6 cm, alors le rayon vaut \(r = 6 \div 2 = 3\) cm. Utiliser 6 au lieu de 3 multiplie le résultat par 4, car le rayon est au carré !
II. Pourquoi ce facteur un tiers ?
Beaucoup d’élèves acceptent le \(\displaystyle\frac{1}{3}\) sans comprendre d’où il vient. Voici l’idée simple : un cône et un cylindre qui ont le même disque de base et la même hauteur ne contiennent pas la même quantité. Il faut exactement trois cônes pour remplir le cylindre.
Tu peux le vérifier avec du sable ou de l’eau : remplis un cône, verse-le dans le cylindre de même base et même hauteur, recommence. Au bout de trois cônes pleins, le cylindre est plein. Le cône vaut donc le tiers du cylindre.
Comment le retenir : le volume du cylindre est \(\pi \times r^2 \times h\). Le cône, c’est le même solide « pointu » : on garde exactement le tiers, d’où le \(\displaystyle\frac{1}{3}\).
Le volume d’une pyramide suit la même formule \(V = Bh/3\). Elle s’applique aux pyramides et aux cônes ; la seule présence d’une pointe ne suffit pas pour l’utiliser sur un autre solide.
L’essentiel du volume du cône en 1 page
La formule, la méthode en 4 étapes et les pièges à éviter, tout sur une fiche claire à imprimer.
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III. La méthode pas à pas
Pour ne jamais te tromper, calcule le volume d’un cône en 4 étapes, toujours dans le même ordre.
- Repère le rayon. Si l’énoncé donne le diamètre, divise-le par 2.
- Calcule l’aire du disque de base : \(\pi \times r^2\).
- Multiplie par la hauteur, puis divise par 3 : \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times (\pi \times r^2) \times h\).
- Vérifie l’unité : un volume s’exprime en cm³, en m³, etc. (l’unité de longueur au cube).
Exemple : Un cône a un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ?
Aire de la base : \(\pi \times 3^2 = 9\pi\) cm².
Volume : \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times 9\pi \times 10 = 30\pi \approx 94{,}2\) cm³.
Le cône contient environ 94,2 cm³.
IV. Calculer le volume d’un cône en litres
Un cône sert souvent à mesurer une contenance : combien de glace dans un cornet, combien de liquide dans un entonnoir. Il faut alors convertir les cm³ en litres. La règle est courte : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.
Le pont à connaître : pour passer des cm³ aux litres, on divise par 1 000. Un cône de 94,2 cm³ contient donc \(94{,}2 \div 1000 \approx 0{,}094\) L, soit un peu moins d’un dixième de litre.
Pour t’entraîner sur toutes les conversions de volumes, tu peux consulter la méthode complète pour calculer un volume en litres et en m³.
V. L’aire d’un cône : base, latérale et totale
Le volume mesure ce qu’il y a à l’intérieur ; l’aire mesure la surface extérieure. Ce sont deux calculs différents, à ne pas confondre. Pour un cône, on distingue trois aires.
| Aire | Formule | À quoi ça correspond |
|---|---|---|
| Aire de la base | \(\pi \times r^2\) | le disque du dessous |
| Aire latérale | \(\pi \times r \times g\) | la surface enroulée (sans la base) |
| Aire totale | \(\pi \times r^2 + \pi \times r \times g\) | base + surface latérale |
La lettre \(g\) désigne la génératrice : le côté incliné du cône. On la trouve avec le théorème de Pythagore, car le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle : \(g^2 = r^2 + h^2\).
VI. Retrouver la hauteur ou le rayon
Parfois, on connaît le volume et on cherche une dimension manquante. C’est un exercice type du collège, et personne ne l’explique clairement. La méthode : on repart de la formule et on « remonte » les opérations.
Exemple : Un cône a un volume de \(100\pi\) cm³ et un rayon de 5 cm. Quelle est sa hauteur ?
On sait que \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\), donc \(h = \displaystyle\frac{3 \times V}{\pi \times r^2}\).
\(h = \displaystyle\frac{3 \times 100\pi}{\pi \times 25} = \displaystyle\frac{300\pi}{25\pi} = 12\) cm.
La hauteur du cône est de 12 cm.
VII. Le tronc de cône (pour aller plus loin)
Un tronc de cône, c’est un cône dont on a coupé la pointe : pense à un seau, un pot de fleurs ou un abat-jour. Il possède alors deux disques : un grand rayon \(R\) en bas et un petit rayon \(r\) en haut. Ce solide n’est pas exigible en 4ème, mais sa formule est utile et rarement expliquée.
Formule — Volume d’un tronc de cône
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times \pi \times h \times (R^2 + R \times r + r^2)\)
où \(h\) est la hauteur du tronc, \(R\) le grand rayon et \(r\) le petit rayon.
Astuce de vérification : si le petit rayon \(r\) devient nul, la pointe est complète et on retrouve la formule du cône entier. Cette formule est donc une « grande sœur » de celle du cône.
VIII. Le patron du cône
Pour construire un cône en papier, on déplie sa surface : on obtient un disque (la base) et un secteur de disque (la partie enroulée). Fabriquer le patron aide à comprendre pourquoi la génératrice \(g\) et le rayon \(r\) jouent un rôle dans l’aire. Retrouve la méthode et les modèles à imprimer sur la page dédiée aux patrons du cylindre, du cône et de la pyramide.
IX. Trois exemples résolus pas à pas
Voici trois situations classiques, de la plus simple à la plus complète. Essaie d’abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Calcul direct ★
Un cône a un rayon de 4 cm et une hauteur de 9 cm. Calcule son volume (valeur exacte, puis valeur arrondie au cm³).
Voir la correction de l’exercice 1
Aire de la base : \(\pi \times 4^2 = 16\pi\) cm².
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times 16\pi \times 9 = \displaystyle\frac{144\pi}{3} = 48\pi\) cm³.
Valeur approchée : \(48\pi \approx 150{,}8\) cm³.
Le volume vaut \(48\pi\) cm³, soit environ 151 cm³.
Exercice 2 — Le piège du diamètre ★★
Un entonnoir a la forme d’un cône. Son diamètre mesure 12 cm et sa hauteur 15 cm. Quel est son volume, arrondi au cm³ ? (Prends \(\pi \approx 3{,}14\).)
Voir la correction de l’exercice 2
Le diamètre vaut 12 cm, donc le rayon vaut \(r = 12 \div 2 = 6\) cm. C’est l’étape à ne pas oublier.
Aire de la base : \(3{,}14 \times 6^2 = 3{,}14 \times 36 = 113{,}04\) cm².
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times 113{,}04 \times 15 = \displaystyle\frac{1695{,}6}{3} = 565{,}2\) cm³.
L’entonnoir contient environ 565 cm³, soit un peu plus d’un demi-litre.
Exercice 3 — Trouver la hauteur avec Pythagore ★★★
Un cône a un rayon de 6 cm et une génératrice (côté incliné) de 10 cm. Calcule d’abord sa hauteur, puis son volume exact.
Voir la correction de l’exercice 3
Le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle. D’après le théorème de Pythagore : \(g^2 = r^2 + h^2\), donc \(h^2 = g^2- r^2\).
\(h^2 = 10^2- 6^2 = 100- 36 = 64\), donc \(h = 8\) cm.
Aire de la base : \(\pi \times 6^2 = 36\pi\) cm².
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times 36\pi \times 8 = 96\pi\) cm³.
La hauteur est de 8 cm et le volume vaut \(96\pi \approx 301{,}6\) cm³.
Tu veux davantage de problèmes classés par difficulté ? Retrouve tous les exercices de volumes de 4ème corrigés.
X. Les erreurs les plus fréquentes
Trois pièges reviennent tout le temps dans les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur 1 — Oublier le tiers. Beaucoup calculent \(\pi \times r^2 \times h\) et s’arrêtent là : c’est le volume du cylindre, pas du cône. Il faut toujours diviser par 3.
Erreur 2 — Confondre rayon et diamètre. Comme le rayon est au carré, se tromper multiplie le résultat par 4.
Erreur 3 — Prendre la génératrice pour la hauteur. La hauteur est perpendiculaire au plan de base. Pour un cône de révolution, la hauteur, un rayon et une génératrice forment un triangle rectangle : Pythagore permet de retrouver la mesure manquante.
D’autres pièges du même type sont expliqués dans notre récapitulatif des erreurs de géométrie au collège.
XI. 🔵 Pour aller plus loin : le cône par le calcul (lycée)
D’où vient réellement le \(\displaystyle\frac{1}{3}\) ? Au collège, on le vérifie avec du sable. Au lycée et en prépa, on le démontre avec le calcul intégral.
On mesure x sur l’axe à partir du sommet, de 0 à h. Par proportionnalité, la section située à la distance x du sommet est un disque de rayon \(rx/h\), donc d’aire \(\pi r^2x^2/h^2\). Ainsi \(V=\displaystyle\int_0^h\pi\displaystyle\frac{r^2x^2}{h^2}\,dx=\displaystyle\frac{\pi r^2}{h^2}\times\displaystyle\frac{h^3}{3}=\displaystyle\frac{\pi r^2h}{3}\).
À retenir : le \(\displaystyle\frac{1}{3}\) du cône n’est pas un nombre magique. Il vient directement de la primitive de \(x^2\). On retrouve ce résultat en étudiant le calcul de volumes par intégration.
XII. Questions fréquentes
Comment calculer le volume d’un cône avec pi égal à 3,14 ?
On remplace \(\pi\) par \(3{,}14\) dans la formule. Par exemple, pour un rayon de 5 cm et une hauteur de 6 cm : \(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 5^2 \times 6 = \displaystyle\frac{1}{3} \times 3{,}14 \times 25 \times 6 = 157\) cm³. On obtient alors une valeur approchée, pas la valeur exacte.
Quelle est la différence entre le volume d’un cône et celui d’un cylindre ?
Pour un même disque de base et une même hauteur, le volume du cône vaut exactement le tiers de celui du cylindre. Le cylindre a des parois droites (\(V = \pi \times r^2 \times h\)), le cône se termine en pointe, ce qui explique le facteur \(\displaystyle\frac{1}{3}\).
Le cône et la pyramide ont-ils la même formule de volume ?
Oui : cônes et pyramides de même aire de base B et de même hauteur h ont le volume \(Bh/3\). La base est un disque pour le cône de révolution, un polygone pour une pyramide. Ce résultat vient de la variation des sections parallèles à la base, pas de la seule présence d’un sommet.
Comment retrouver la hauteur d’un cône quand on connaît son volume ?
On repart de la formule et on isole \(h\) : \(h = \displaystyle\frac{3 \times V}{\pi \times r^2}\). Il suffit de connaître le volume et le rayon. Ce type de calcul « à l’envers » est très fréquent au brevet.
En quelle classe apprend-on le volume du cône ?
La formule du volume du cône (et de la pyramide) est au programme de 4ème. En 3ème, on la réutilise dans des problèmes plus complexes, notamment avec les sections de solides et les agrandissements.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer le volume d’un cône, gérer le piège du rayon et retrouver une dimension manquante. Pour continuer :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- Les Échelles en Maths : Comprendre et Calculer (5ème)
- 10 exercices corrigés sur le théorème de Pythagore (3ème et brevet)
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