Combien de mètres de grillage pour clôturer un jardin ? Combien de pots de peinture pour repeindre un mur ? La première question porte sur le périmètre, la seconde sur l’aire. Ces deux grandeurs sont au cœur de la géométrie du CM1 à la 3ème, et on les confond très souvent. Dans ce cours complet, tu trouveras les définitions, le tableau de toutes les formules, la méthode de calcul en 4 étapes, des exercices corrigés et une FAQ.
I. Aire et périmètre : deux grandeurs à ne jamais confondre
C’est l’erreur numéro un du collège : mélanger l’aire et le périmètre. Pourtant, ces deux mots répondent à deux questions très différentes. Le périmètre parle du tour d’une figure. L’aire parle de son intérieur. Retenir cette image évite déjà la moitié des fautes.
A. Le périmètre, une longueur (le tour)
Imagine que tu poses une ficelle tout autour d’une figure, puis que tu la déroules pour la mesurer avec ta règle : tu obtiens le périmètre.
Définition — Le périmètre
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour, c’est-à-dire la longueur totale de son tour. On le mesure en unités de longueur : centimètre (cm), mètre (m), kilomètre (km).
Pour un polygone (carré, triangle, rectangle…), on additionne simplement la longueur de tous les côtés. Par exemple, un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm a un périmètre de 3 + 4 + 5 = 12 cm.
B. L’aire, une surface (l’intérieur)
L’aire, elle, mesure la place à l’intérieur de la figure. C’est le nombre de petits carrés d’un quadrillage qu’il faut pour la recouvrir entièrement.
Définition — L’aire
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface intérieure. On la mesure en unités d’aire, c’est-à-dire des carrés : centimètre carré (cm²), mètre carré (m²), kilomètre carré (km²).
Le petit « carré » du cm² ou du m² est un indice précieux : dès que le résultat est une surface, l’unité porte un exposant 2. Une longueur ne prend jamais cet exposant.
C. Même périmètre, aires différentes : l’expérience de la ficelle
Voici une expérience qui montre que le périmètre ne détermine pas l’aire. Une ficelle de 12 cm permet de former un rectangle de 5 cm sur 1 cm, d’aire 5 cm², ou un carré de 3 cm de côté, d’aire 9 cm². Même périmètre, aires différentes.
C’est aussi ce qui distingue l’aire de la surface : « surface » désigne l’objet (le sol, le mur), et « aire » désigne sa mesure chiffrée. On dit « l’aire de cette surface est de 15 m² ».
II. Le tableau des formules d’aire et de périmètre
Voici les formules des principales figures. \(c\) désigne un côté, \(L\) et \(l\) les dimensions d’un rectangle, \(b\) une base, \(h\) la hauteur associée et \(r\) le rayon. Pour le losange, \(D\) et \(d\) sont les diagonales ; pour le trapèze, \(B\) et \(b\) sont les bases. Dans la dernière ligne, \(n\) est le nombre de côtés et \(a\) l’apothème : la distance du centre à un côté du polygone régulier.
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Carré | \(4 \times c\) | \(c \times c\) |
| Rectangle | \(2 \times (L + l)\) | \(L \times l\) |
| Triangle | somme des 3 côtés | \(\displaystyle\frac{b \times h}{2}\) |
| Parallélogramme | \(2 \times (c_1 + c_2)\) | \(b \times h\) |
| Losange | \(4 \times c\) | \(\displaystyle\frac{D \times d}{2}\) |
| Trapèze | somme des 4 côtés | \(\displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\) |
| Cercle et disque | \(2 \times \pi \times r\) | \(\pi \times r^2\) |
| Polygone régulier | \(n \times c\) | \(\displaystyle\frac{\text{périmètre} \times a}{2}\) |
Le formulaire d’aires, périmètres et volumes
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III. Comment calculer une aire ou un périmètre : la méthode en 4 étapes
Il n’existe pas une formule magique unique. Calculer une aire ou un périmètre, c’est d’abord reconnaître la figure, puis appliquer la bonne formule. Voici la méthode qui marche pour tous les cas.
- Identifie la figure et choisis la formule correspondante.
- Repère les longueurs utiles dans l’énoncé (côté, base, hauteur, rayon).
- Remplace les lettres par les nombres et calcule.
- Vérifie l’unité : une longueur pour un périmètre, une unité « carré » pour une aire.
A. Identifier la figure et la formule (l’arbre de décision)
La première question à se poser est toujours : « Quelle est cette figure ? » Un cercle ? On sort π. Un triangle ? On cherche la base et la hauteur. Une figure bizarre ? On la découpe en morceaux connus (voir la section V).
B. Repérer les longueurs utiles
Pour un triangle, utilise la hauteur associée à la base choisie : elle est perpendiculaire à la droite portant cette base. Elle peut coïncider avec un côté dans un triangle rectangle. Pour un disque, distingue rayon et diamètre, ce dernier valant deux fois le rayon.
C. Calculer et vérifier l’unité
Dernière étape, souvent oubliée : l’unité. Si le rectangle est en mètres, son aire est en mètres carrés. Et si les longueurs sont données dans des unités différentes (des cm et des m), il faut d’abord tout convertir. Pour cela, consulte la fiche convertir des unités d’aire : le passage du m² au cm² ne se fait pas comme celui du m au cm.
D. Un calculateur pour vérifier
Un calculateur d’aire et de périmètre te permet de contrôler tes résultats après avoir posé le calcul toi-même. L’important reste de comprendre la formule : la calculatrice ne remplace pas le raisonnement, elle le vérifie.
IV. Les figures une par une
Chaque figure a son cours dédié, avec la démonstration de sa formule et des exercices. Voici où aller selon la figure.
- Rectangle et carré : les premières figures, dès le CM1. Vois le cours sur l’aire du rectangle et du carré et sur le périmètre du rectangle et du carré.
- Triangle : la formule base × hauteur ÷ 2 se démontre en découpant un rectangle. Cours sur l’aire d’un triangle et le périmètre d’un triangle.
- Cercle et disque : ne confonds pas périmètre du cercle (2πr) et aire du disque (πr²).
- Parallélogramme, losange, trapèze : ces quadrilatères se ramènent tous au triangle ou au rectangle. Vois le parallélogramme, le losange et le trapèze.
- Polygones réguliers : hexagone, pentagone… se découpent en triangles. Cours sur l’aire des polygones réguliers.
V. Figures composées et cas particuliers
Au brevet comme en classe, on te donne rarement un carré tout simple. On te donne une figure « bizarre » : un rectangle surmonté d’un demi-cercle, une pièce en forme de L… La stratégie est toujours la même : découper la figure en morceaux connus, calculer l’aire de chacun, puis additionner (ou soustraire si l’on enlève un trou).
Le bon réflexe : face à une figure inhabituelle, demande-toi « puis-je la découper en rectangles, triangles et demi-cercles que je sais calculer ? ». La méthode complète est expliquée dans le cours sur l’aire d’une figure composée.
Deux cas particuliers reviennent souvent : l’aire et le périmètre d’un demi-cercle (attention, son périmètre n’est pas seulement la moitié du cercle : il faut ajouter le diamètre), et l’aire d’un triangle isocèle ou équilatéral, où il faut d’abord trouver la hauteur.
VI. Exercices corrigés
Trois exercices pour t’entraîner tout de suite, du plus simple au plus astucieux. Cache la correction, cherche d’abord, puis vérifie. Pour aller plus loin, retrouve les exercices classés par niveau, de la série CM2 aux exercices de 6ème.
Exercice 1 — Le terrain rectangulaire ★
Un terrain rectangulaire mesure 25 m de longueur et 12 m de largeur. Calcule son périmètre, puis son aire.
Voir la correction de l’exercice 1
Périmètre : on additionne les deux longueurs et les deux largeurs.
\(P = 2 \times (25 + 12) = 2 \times 37 = 74\) m.
Aire : longueur × largeur.
\(A = 25 \times 12 = 300\) m².
Le périmètre vaut 74 m et l’aire vaut 300 m². Remarque bien l’unité : m pour le tour, m² pour la surface.
Exercice 2 — Qui a le plus grand enclos ? ★★
Marie et Paul disposent chacun de 20 m de grillage. Marie fabrique un enclos carré. Paul fabrique un enclos rectangulaire de 8 m de longueur sur 2 m de largeur. Ont-ils le même périmètre ? Qui a la plus grande aire ?
Voir la correction de l’exercice 2
Les périmètres : chacun utilise 20 m de grillage, donc les deux enclos ont le même périmètre de 20 m. Vérifions Paul : \(2 \times (8 + 2) = 20\) m. Pour Marie, un carré de périmètre 20 m a un côté de \(20 \div 4 = 5\) m.
Les aires :
Marie (carré) : \(A = 5 \times 5 = 25\) m².
Paul (rectangle) : \(A = 8 \times 2 = 16\) m².
Marie a le plus grand enclos (25 m² contre 16 m²), alors que les deux ont utilisé la même longueur de grillage. C’est toute la leçon : à périmètre égal, l’aire peut changer.
Exercice 3 — La table ronde ★★★
Une table ronde a un rayon de 60 cm. On veut poser une bordure décorative tout autour, puis recouvrir le dessus d’une nappe. Calcule la longueur de bordure (le périmètre) et l’aire du dessus. On prendra \(\pi \approx 3{,}14\). Donne l’aire en m².
Voir la correction de l’exercice 3
Périmètre (la bordure) : on utilise \(2 \times \pi \times r\).
\(P = 2 \times 3{,}14 \times 60 = 376{,}8\) cm, soit environ 3,77 m de bordure.
Aire (la nappe) : on utilise \(\pi \times r^2\).
\(A = 3{,}14 \times 60 \times 60 = 11\,304\) cm².
Conversion en m² : attention, on ne divise pas par 100 mais par 10 000, car 1 m² = 10 000 cm².
\(A = 11\,304 \div 10\,000 = 1{,}1304 \approx 1{,}13\) m² environ.
Il faut environ 3,77 m de bordure et la nappe couvre 1,13 m². Le piège du 10 000 est classique : on le détaille dans la fiche de conversion.
VII. À quel niveau apprend-on quoi ? (du CE2 à la 3ème)
Les aires et périmètres s’apprennent progressivement, une figure après l’autre. Ce tableau te montre ce qui est attendu à chaque niveau, avec le lien vers les exercices correspondants.
| Niveau | Ce qu’on apprend | S’entraîner |
|---|---|---|
| CE2 | Comparer des longueurs, périmètre par report de la règle | Exercices CE2 |
| CM1 | Périmètre du carré et du rectangle, comparer des aires | Exercices CM1 |
| CM2 | Formule de l’aire du rectangle, aires par quadrillage | Exercices CM2 |
| 6ème | Aires du carré et du rectangle, conversions d’aires, longueur du cercle | Exercices 6ème |
| 5ème | Aires du triangle et du disque, décompositions de figures | Exercices 5ème |
VIII. 🟠 Pour aller plus loin (lycée)
Les aires ne s’arrêtent pas au collège. En lycée et au-delà, elles réapparaissent sous des formes plus riches.
- Le triangle sans sa hauteur : quand on ne connaît que les trois côtés, on utilise la formule de Héron ; avec un angle, la formule ½ ab sin C. Vois le cours sur l’aire d’un triangle sans la hauteur.
- Agrandir ou réduire une figure : si on multiplie toutes les longueurs par un nombre, l’aire, elle, est multipliée par ce nombre au carré. C’est le sujet des agrandissements et réductions.
- L’aire sous une courbe : en Terminale, calculer une aire délimitée par une courbe conduit aux intégrales.
- Et les volumes ? Passer de l’aire à la place occupée dans l’espace mène au volume des solides.
IX. Les erreurs les plus fréquentes
Erreur classique — confondre aire et périmètre. Devant un exercice, lis bien la question : cherche-t-on le tour (périmètre) ou la surface (aire) ? Un bon réflexe : regarde l’unité attendue. Une réponse en m² ne peut jamais être un périmètre.
Erreur classique — oublier de convertir. On ne peut pas additionner des cm et des m directement. Convertis toutes les longueurs dans la même unité avant de calculer.
Erreur classique — cercle : mélanger πr² et 2πr. \(2 \times \pi \times r\) est le périmètre (une longueur), \(\pi \times r^2\) est l’aire (une surface). Le petit exposant 2 signale toujours l’aire.
Ces pièges, et cinq autres, sont détaillés dans le récapitulatif des 8 erreurs classiques de géométrie au collège.
X. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire et le périmètre ?
Pour le périmètre, on additionne les longueurs de tous les côtés (ou on utilise 2πr pour un cercle). Pour l’aire, on identifie d’abord la figure, puis on applique sa formule : longueur × largeur pour un rectangle, base × hauteur ÷ 2 pour un triangle, πr² pour un disque. On termine toujours en vérifiant l’unité.
Quelle est la différence entre l’aire et le périmètre ?
Le périmètre mesure le contour d’une figure, c’est une longueur exprimée en cm ou en m. L’aire mesure la surface intérieure, c’est un nombre de carrés exprimé en cm² ou en m². Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes : le périmètre seul ne détermine donc pas l’aire.
Peut-on convertir un périmètre en aire ?
On ne convertit pas une longueur en aire comme on convertit des mètres en centimètres. Pour une figure quelconque, le périmètre ne suffit pas. En revanche, si l’on sait que la figure est un carré, on peut retrouver son côté en divisant son périmètre par 4, puis calculer son aire.
Quelle est la formule de l’aire ?
Il n’y a pas une seule formule : chaque figure a la sienne. Rectangle : longueur × largeur. Carré : côté × côté. Triangle : base × hauteur ÷ 2. Disque : \(\pi \times r^2\). Parallélogramme : base × hauteur. Le tableau des formules plus haut dans cette page les regroupe toutes.
Comment calculer l’aire d’une ellipse ?
L’aire d’une ellipse vaut \(\pi \times a \times b\), où \(a\) et \(b\) sont ses deux demi-axes. Le disque est un cas particulier d’ellipse dont les deux demi-axes sont égaux au rayon, ce qui redonne bien \(\pi \times r^2\). En revanche, le périmètre d’une ellipse n’a pas de formule exacte simple.
Un hectare a-t-il un périmètre ?
Non, pas de périmètre fixe. Un hectare est une aire : 10 000 m². Mais ces 10 000 m² peuvent être disposés en un carré de 100 m de côté (périmètre 400 m) ou en un rectangle très allongé (périmètre bien plus grand). Cela montre qu’une même aire peut correspondre à plusieurs périmètres.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les définitions, les formules et la méthode. Pour continuer :
- Conversion d’unités de mesure : méthode, tableaux et exercices
- Erreurs en géométrie au collège : les 8 pièges classiques
- Aires et périmètres en 6ème : 15 exercices corrigés pas à pas
- 12 exercices de fractions CM1 corrigés (avec PDF)
- Le polyèdre : définition, noms des solides et solides de Platon
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