Le triangle est la figure reine de la géométrie : dès qu’une forme devient compliquée, on la découpe en triangles pour en calculer l’aire. Savoir calculer l’aire d’un triangle est donc une compétence que tu réutiliseras toute ta scolarité. Bonne nouvelle : une seule formule suffit, et tu vas comprendre exactement d’où elle vient.
Qu’est-ce que l’aire d’un triangle ?
L’aire d’un triangle, c’est la mesure de la surface qu’il occupe, c’est-à-dire la place qu’il prend à l’intérieur de ses trois côtés. On la mesure en unités carrées : cm², m², km²… Elle se calcule en multipliant une base par la hauteur qui lui correspond, puis en divisant par 2.
Attention à ne pas confondre l’aire et le périmètre : le périmètre, c’est le tour du triangle (la somme des trois côtés, en cm), alors que l’aire, c’est l’intérieur (en cm²). Ce sont deux grandeurs différentes qu’on mesure avec des unités différentes.
Définition — Aire d’un triangle
L’aire d’un triangle est la mesure de sa surface intérieure. Elle s’exprime en unités d’aire (cm², m²…) et se calcule à partir d’une base et de la hauteur associée à cette base.
Pour bien comprendre la formule, il faut d’abord savoir ce qu’est une base et une hauteur : c’est justement le sujet de la section suivante.
La formule de l’aire d’un triangle
Il n’existe qu’une seule formule à retenir, valable pour tous les triangles, quelle que soit leur forme.
Formule — Aire d’un triangle
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\)
Autrement dit : on multiplie une base par sa hauteur, et on divise le résultat par 2.
Dans un triangle, tu peux choisir n’importe quel côté comme base. La hauteur correspondante relie le sommet opposé à la droite portant cette base, perpendiculairement à cette droite. Son pied peut être sur le côté ou sur son prolongement.
Comment retenir : l’aire d’un triangle, c’est la moitié de celle d’un rectangle qui aurait la même base et la même hauteur. C’est pour ça qu’on divise par 2 ! Tu verras cette idée en image plus bas.
Le résultat s’exprime toujours dans l’unité d’aire correspondante. Si la base et la hauteur sont en centimètres, l’aire est en cm². Si elles ne sont pas dans la même unité, il faut d’abord convertir les longueurs avant de calculer.
Maintenant que tu connais la formule, voyons comment l’appliquer proprement sur un exemple.
Comment calculer l’aire d’un triangle, étape par étape
Pour calculer l’aire d’un triangle, tu suis toujours les mêmes étapes : repérer une base et sa hauteur, vérifier que les longueurs sont dans la même unité, appliquer la formule, puis écrire le résultat en unité carrée.
- Choisis une base : un côté dont tu connais la longueur.
- Repère la hauteur associée : celle qui tombe à angle droit sur cette base.
- Vérifie les unités : la base et la hauteur doivent être dans la même unité.
- Applique la formule : base × hauteur, puis ÷ 2.
- Écris l’unité d’aire (cm², m²…).
Exemple : Calcule l’aire d’un triangle de base 6 cm et de hauteur 4 cm.
On applique directement la formule :
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{6 \times 4}{2} = \displaystyle\frac{24}{2} = 12\)
L’aire de ce triangle est de 12 cm².
C’est tout ! La difficulté n’est jamais dans le calcul, mais dans le fait de bien repérer la bonne hauteur qui correspond à la base choisie. Tu comprendras encore mieux la formule en voyant pourquoi elle fonctionne.
Le formulaire d’aires, périmètres et volumes
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Pourquoi ça marche ? La démonstration par découpage
Pour comprendre le facteur « divisé par 2 », on peut assembler deux copies du même triangle.
Prends un triangle et une copie obtenue par un demi-tour autour du milieu d’un de ses côtés. En les assemblant le long de ce côté, tu obtiens un parallélogramme. Dans le cas particulier d’un triangle rectangle, l’assemblage le long de l’hypoténuse donne un rectangle, comme sur la figure ci-dessous.
L’aire du rectangle vaut base × hauteur. Comme le triangle en occupe exactement la moitié, son aire vaut :
\(\text{Aire du triangle} = \displaystyle\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\)Voilà pourquoi on divise par 2. La même idée fonctionne avec l’aire du rectangle et se généralise : un triangle est aussi la moitié d’un parallélogramme de même base et même hauteur.
Le petit truc en plus : cette démonstration marche même quand la hauteur « sort » du triangle. En le doublant, on obtient toujours un parallélogramme de même base et même hauteur — la formule reste vraie.
Maintenant que tu sais d’où vient la formule, regardons les cas particuliers que tu rencontreras le plus souvent en contrôle.
Les cas particuliers de triangles
La formule base × hauteur ÷ 2 marche toujours. Mais selon le type de triangle, il existe des raccourcis bien pratiques.
Le cas du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit sont perpendiculaires : l’un peut servir de base, l’autre de hauteur ! Pas besoin de tracer quoi que ce soit. L’aire se calcule directement :
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{\text{côté} \times \text{autre côté de l'angle droit}}{2}\)Exemple : un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm a pour aire \(\displaystyle\frac{3 \times 4}{2} = 6\) cm².
Pour aller plus loin sur ce cas, consulte la page dédiée à l’aire d’un triangle rectangle et au périmètre d’un triangle rectangle.
Triangle isocèle et équilatéral
Quand la hauteur n’est pas donnée, comme dans un triangle isocèle ou équilatéral, il faut d’abord la calculer avec le théorème de Pythagore, puis appliquer la formule. La méthode complète est détaillée dans le cours sur l’aire d’un triangle isocèle et équilatéral.
Triangle quelconque : connaître les trois côtés
Et si tu ne connais que les longueurs des trois côtés, sans aucune hauteur ? Il existe une formule spéciale (la formule de Héron) qui permet de calculer l’aire directement : elle est expliquée dans le cours sur l’aire d’un triangle sans la hauteur.
Passons à la pratique : voici plusieurs exercices corrigés pour t’entraîner.
Exercices corrigés
Essaie chaque exercice seul avant de dérouler la correction. Ils sont classés du plus simple au plus complet.
Exercice 1 — Calcul direct ★
Calcule l’aire d’un triangle de base 10 cm et de hauteur 7 cm.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule directement :
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{10 \times 7}{2} = \displaystyle\frac{70}{2} = 35\)L’aire du triangle est de 35 cm².
Exercice 2 — Triangle rectangle ★
Un triangle rectangle a ses deux côtés de l’angle droit qui mesurent 8 cm et 5 cm. Quelle est son aire ?
Voir la correction de l’exercice 2
Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit servent de base et de hauteur.
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{8 \times 5}{2} = \displaystyle\frac{40}{2} = 20\)L’aire du triangle est de 20 cm².
Exercice 3 — Retrouver la hauteur ★★
Un triangle a une aire de 24 cm² et une base de 6 cm. Quelle est la hauteur associée à cette base ?
Voir la correction de l’exercice 3
On part de la formule et on cherche la hauteur. Comme \(\text{Aire} = \displaystyle\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\), on a base × hauteur = 2 × aire, soit :
\(6 \times \text{hauteur} = 2 \times 24 = 48\)Donc \(\text{hauteur} = \displaystyle\frac{48}{6} = 8\).
La hauteur est de 8 cm.
Exercice 4 — Convertir avant de calculer ★★
Calcule l’aire d’un triangle de base 1,2 m et de hauteur 80 cm. Donne le résultat en m².
Voir la correction de l’exercice 4
Les deux longueurs ne sont pas dans la même unité. On convertit d’abord : 80 cm = 0,80 m.
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{1{,}2 \times 0{,}8}{2} = \displaystyle\frac{0{,}96}{2} = 0{,}48\)L’aire du triangle est de 0,48 m². (Si tu avais oublié de convertir, ton résultat aurait été faux !)
Exercice 5 — Un peu de raisonnement ★★★
Deux triangles ont la même base (5 cm) et la même hauteur (4 cm), mais ils n’ont pas du tout la même forme : leurs sommets opposés sont placés en des points différents d’une même droite parallèle à la base. Ont-ils la même aire ?
Voir la correction de l’exercice 5
Oui, ils ont exactement la même aire ! La formule ne dépend que de la base et de la hauteur, pas de la forme du triangle.
\(\text{Aire} = \displaystyle\frac{5 \times 4}{2} = 10\)Les deux triangles ont donc une aire de 10 cm², même s’ils ne se ressemblent pas. C’est une propriété importante : à base et hauteur égales, l’aire est toujours la même.
Les erreurs à éviter
Voici les trois pièges qui coûtent le plus de points dans les copies.
Erreur n°1 — Oublier de diviser par 2. On calcule base × hauteur et on s’arrête là. ❌ On obtient l’aire d’un rectangle, pas d’un triangle. ✅ N’oublie jamais le ÷ 2 : le triangle est la moitié du rectangle.
Erreur n°2 — Prendre un côté au lieu de la hauteur. La hauteur n’est pas forcément un côté du triangle ! C’est le segment perpendiculaire à la base. Sauf dans le triangle rectangle, où un côté de l’angle droit joue ce rôle.
Erreur n°3 — Mélanger les unités. Si la base est en mètres et la hauteur en centimètres, convertis avant de calculer. Et écris toujours le résultat en unité carrée (cm², m²), jamais en cm ou m.
Tu retrouveras ces pièges, et cinq autres, dans notre page sur les erreurs classiques de géométrie.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’aire d’un triangle ?
La formule est : aire = (base × hauteur) ÷ 2. On multiplie un côté (la base) par la hauteur qui lui correspond, puis on divise par 2. Cette formule est valable pour tous les triangles, quelle que soit leur forme.
Comment calculer l’aire d’un triangle avec 3 côtés seulement ?
Quand tu ne connais que les longueurs des trois côtés, sans aucune hauteur, on utilise la formule de Héron. La méthode complète est expliquée dans le cours sur l’aire d’un triangle sans la hauteur.
Comment calculer la surface d’un triangle ?
La surface est la région occupée par le triangle ; son aire en est la mesure. Dans le langage courant, « calculer la surface » signifie calculer l’aire, avec base × hauteur ÷ 2. Le résultat s’exprime en cm², m², etc.
Quelle est la différence entre l’aire et le périmètre d’un triangle ?
L’aire mesure la surface intérieure du triangle (en cm²), avec la formule base × hauteur ÷ 2. Le périmètre mesure le tour du triangle (en cm), c’est simplement la somme des trois côtés. Ce sont deux grandeurs différentes : voir le périmètre d’un triangle.
Où se trouve la hauteur d’un triangle ?
La hauteur part d’un sommet et rejoint perpendiculairement la droite portant le côté opposé. Son pied peut être à l’extérieur du triangle. Chaque côté peut servir de base ; dans un triangle rectangle, les deux côtés de l’angle droit donnent deux hauteurs.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer l’aire de n’importe quel triangle. Pour continuer et consolider tes bases en géométrie :
