La masse volumique est un classique du brevet : elle permet de construire des problèmes qui associent calculs et volumes. En 3ème, tu dois savoir calculer une masse volumique \(\rho\), en déduire une masse ou un volume, convertir des \(\text{g/cm}^3\) en \(\text{kg/m}^3\), et surtout combiner la masse volumique avec le volume d’un solide (boule, cylindre, cône). Voici 16 exercices classés du plus simple au type brevet, tous corrigés pas à pas avec le calcul écrit sur les unités, un sujet d’évaluation noté, et deux exercices d’ouverture vers la Seconde.
Rappel — La formule de la masse volumique
La masse volumique d’un matériau se calcule en divisant sa masse par son volume :
\(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\)
On en déduit les deux autres formes : \(m = \rho \times V\) et \(V = \displaystyle\frac{m}{\rho}\).
Unités usuelles : \(\text{g/cm}^3\) ou \(\text{kg/m}^3\), avec \(1\text{ g/cm}^3 = 1\,000\text{ kg/m}^3\). Pour tout revoir, va sur le cours masse volumique.
📘 Au programme de 3ème. La masse volumique est une grandeur composée (une masse divisée par un volume). Au brevet, elle se combine souvent au calcul du volume d’un solide (sphère, cylindre, cône, pyramide) et aux conversions d’unités. Les exercices repérés 🔵 ouvrent vers la Seconde.
Échauffement : calculs directs et conversions ★
On commence par les gestes de base : appliquer la formule et convertir les unités. Si ces quatre exercices te posent problème, reprends d’abord les exercices de masse volumique en 4ème avant de continuer.
Exercice 1 — Calculer une masse volumique ★
Un morceau d’aluminium a une masse de 54 g et un volume de 20 cm³. Calcule sa masse volumique.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule avec les unités :
\(\rho = \displaystyle\frac{m}{V} = \displaystyle\frac{54\text{ g}}{20\text{ cm}^3} = 2{,}7\text{ g/cm}^3\)La masse volumique de l’aluminium est 2,7 g/cm³. L’unité g/cm³ vient naturellement du calcul : des grammes divisés par des cm³.
Exercice 2 — Convertir g/cm³ en kg/m³ ★
La masse volumique de l’acier vaut 7,8 g/cm³. Exprime-la en kg/m³.
Voir la correction de l’exercice 2
On part de l’égalité clé, à démontrer une fois par le calcul sur les unités :
\(1\text{ g/cm}^3 = \displaystyle\frac{0{,}001\text{ kg}}{0{,}000001\text{ m}^3} = 1\,000\text{ kg/m}^3\)Donc \(7{,}8\text{ g/cm}^3 = 7{,}8 \times 1\,000 = 7\,800\text{ kg/m}^3\).
L’acier a une masse volumique de 7 800 kg/m³.
Exercice 3 — Calculer une masse ★
Un bloc de béton a un volume de 0,5 m³. La masse volumique du béton vaut 2 300 kg/m³. Quelle est la masse du bloc ?
Voir la correction de l’exercice 3
On cherche une masse, on utilise \(m = \rho \times V\) :
\(m = 2\,300\text{ kg/m}^3 \times 0{,}5\text{ m}^3 = 1\,150\text{ kg}\)Le bloc pèse 1 150 kg. Les m³ se simplifient : il reste des kg, c’est bien une masse.
Exercice 4 — Calculer un volume ★
Une bille d’or a une masse de 38,6 g. La masse volumique de l’or vaut 19,3 g/cm³. Quel est son volume ?
Voir la correction de l’exercice 4
On cherche un volume, on utilise \(V = \displaystyle\frac{m}{\rho}\) :
\(V = \displaystyle\frac{38{,}6\text{ g}}{19{,}3\text{ g/cm}^3} = 2\text{ cm}^3\)La bille occupe 2 cm³. Les grammes se simplifient, il reste des cm³.
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Douze nouveaux problèmes avec leurs corrections détaillées : calculs, solides, conversions et préparation au brevet.
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Masse d’un solide : combiner volume et masse volumique ★★
C’est le cœur du brevet en 3ème. Tu dois d’abord calculer le volume d’un solide avec sa formule géométrique, puis en déduire la masse avec \(m = \rho \times V\). Garde sous les yeux les formules des volumes d’un cylindre et d’une boule.
Exercice 5 — La masse d’une barre cylindrique ★★
Une barre de fer a la forme d’un cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 10 cm. La masse volumique du fer vaut 7,8 g/cm³. Calcule sa masse (arrondis au gramme).
Voir la correction de l’exercice 5
Étape 1 — le volume du cylindre :
\(V=\pi r^2h=\pi\times2^2\times10\).
\(V=40\pi\text{ cm}^3\approx125{,}7\text{ cm}^3\)Étape 2 — la masse :
\(m = \rho \times V = 7{,}8 \times 40\pi = 312\pi \approx 980\text{ g}\)La barre pèse environ 980 g, soit presque 1 kg.
Exercice 6 — La masse d’une boule ★★
Une boule pleine en aluminium a un rayon de 3 cm. Masse volumique de l’aluminium : 2,7 g/cm³. Calcule sa masse (arrondis au gramme).
Voir la correction de l’exercice 6
Étape 1 — le volume de la boule :
\(V = \displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3 = \displaystyle\frac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi \approx 113{,}1\text{ cm}^3\)Étape 2 — la masse :
\(m = 2{,}7 \times 36\pi = 97{,}2\pi \approx 305\text{ g}\)La boule pèse environ 305 g.
Exercice 7 — La masse d’un cône ★★
Un cône en verre a un rayon de base de 3 cm et une hauteur de 8 cm. La masse volumique du verre vaut 2,5 g/cm³. Calcule sa masse (arrondis au gramme).
Voir la correction de l’exercice 7
Étape 1 — le volume du cône :
\(V = \displaystyle\frac{1}{3}\pi r^2 h = \displaystyle\frac{1}{3}\pi \times 3^2 \times 8 = 24\pi \approx 75{,}4\text{ cm}^3\)Étape 2 — la masse :
\(m = 2{,}5 \times 24\pi = 60\pi \approx 188\text{ g}\)Le cône pèse environ 188 g.
Exercice 8 — La masse d’une pyramide ★★
Une pyramide en pierre a une base carrée de 6 cm de côté et une hauteur de 10 cm. La masse volumique de la pierre vaut 2,6 g/cm³. Calcule sa masse.
Voir la correction de l’exercice 8
Étape 1 — l’aire de la base puis le volume :
Base carrée : \(6 \times 6 = 36\text{ cm}^2\).
\(V = \displaystyle\frac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120\text{ cm}^3\)Étape 2 — la masse :
\(m = 2{,}6 \times 120 = 312\text{ g}\)La pyramide pèse 312 g.
Exercice 9 — Identifier un métal ★★
Un objet métallique a une masse de 89 g et un volume de 10 cm³. À l’aide du tableau ci-dessous, identifie le métal.
| Métal | Masse volumique |
|---|---|
| Aluminium | 2,7 g/cm³ |
| Fer | 7,8 g/cm³ |
| Cuivre | 8,9 g/cm³ |
| Argent | 10,5 g/cm³ |
| Or | 19,3 g/cm³ |
Voir la correction de l’exercice 9
On calcule la masse volumique de l’objet :
\(\rho = \displaystyle\frac{89\text{ g}}{10\text{ cm}^3} = 8{,}9\text{ g/cm}^3\)On compare avec le tableau : 8,9 g/cm³ correspond au cuivre.
Problèmes type brevet ★★★
Ces problèmes mélangent plusieurs étapes : conversions, volumes, et raisonnement. C’est exactement le format que tu retrouveras à l’épreuve. Prends le temps de poser chaque calcul.
Exercice 10 — Le lingot d’or ★★★
Un lingot d’or a la forme d’un pavé droit de 10 cm de longueur, 5 cm de largeur et 2 cm de hauteur. La masse volumique de l’or vaut 19,3 g/cm³. Calcule la masse du lingot en kilogrammes.
Voir la correction de l’exercice 10
Étape 1 — le volume du pavé :
\(V = 10 \times 5 \times 2 = 100\text{ cm}^3\)Étape 2 — la masse :
\(m = 19{,}3 \times 100 = 1\,930\text{ g}\)Étape 3 — conversion : \(1\,930\text{ g} = 1{,}930\text{ kg}\).
Le lingot pèse 1,93 kg. Un petit lingot est très lourd : c’est parce que l’or est très dense.
Exercice 11 — La cuve de fioul ★★★
Une cuve contient 1 500 L de fioul. La masse volumique du fioul vaut 0,85 kg/L. Quelle est la masse du fioul contenu dans la cuve ?
Voir la correction de l’exercice 11
Ici l’unité est déjà cohérente (kg/L avec des L), pas besoin de convertir :
\(m = \rho \times V = 0{,}85\text{ kg/L} \times 1\,500\text{ L} = 1\,275\text{ kg}\)La cuve contient 1 275 kg de fioul. Comme \(0{,}85\) < \(1\), le fioul est plus léger que l’eau à volume égal.
Exercice 12 — Flotte ou coule ? ★★★
Un cube de bois a une arête de 10 cm et une masse de 650 g. Calcule sa masse volumique, puis explique s’il flotte ou coule dans l’eau (masse volumique de l’eau : 1 g/cm³).
Voir la correction de l’exercice 12
Étape 1 — le volume du cube :
\(V = 10^3 = 1\,000\text{ cm}^3\)Étape 2 — la masse volumique :
\(\rho = \displaystyle\frac{650}{1\,000} = 0{,}65\text{ g/cm}^3\)Étape 3 — conclusion : \(0{,}65\) < \(1\), donc le bois est moins dense que l’eau : le cube flotte. Un objet flotte quand sa masse volumique est inférieure à celle de l’eau.
Exercice 13 — La couronne du roi ★★★
On veut vérifier qu’une couronne pleine, sans cavité, est en or pur. On mesure sa masse : 193 g. Plongée dans l’eau, elle fait monter le niveau de 12 cm³. L’or pur a une masse volumique de 19,3 g/cm³. La couronne est-elle en or pur ?
Voir la correction de l’exercice 13
La montée du niveau d’eau donne le volume de la couronne : \(V = 12\text{ cm}^3\).
On calcule sa masse volumique :
\(\rho = \displaystyle\frac{193}{12} \approx 16{,}1\text{ g/cm}^3\)Comme \(16{,}1 \neq 19{,}3\), la couronne n’est pas en or pur : sa masse volumique mesurée est incompatible avec celle de l’or pur si elle est pleine et si la mesure est correcte. La mesure seule ne permet pas d’identifier la composition du matériau. C’est le principe qu’Archimède aurait utilisé pour démasquer un orfèvre !
Exercice 14 — Quel liquide dans le bidon ? ★★★
Un bidon vide pèse 250 g. Rempli de 2 L d’un liquide, l’ensemble pèse 2,05 kg. Calcule la masse volumique du liquide. Est-ce de l’eau ?
Voir la correction de l’exercice 14
Étape 1 — la masse du liquide seul :
\(2{,}05\text{ kg} = 2\,050\text{ g}\), donc \(m = 2\,050- 250 = 1\,800\text{ g}\).
Étape 2 — le volume en cm³ : \(2\text{ L} = 2\,000\text{ cm}^3\).
Étape 3 — la masse volumique :
\(\rho = \displaystyle\frac{1\,800}{2\,000} = 0{,}9\text{ g/cm}^3\)Ce n’est pas de l’eau (qui vaut 1 g/cm³) : avec 0,9 g/cm³, cette mesure ne suffit pas à identifier le liquide.
Évaluation type brevet (notée sur 10)
Mets-toi en conditions : chronomètre-toi (15 minutes), rédige proprement, et compare ensuite avec le corrigé et le barème.
Sujet — La poutre en acier
Une poutre en acier a la forme d’un pavé droit : longueur 2 m, section carrée de 5 cm × 5 cm. La masse volumique de l’acier vaut 7 850 kg/m³.
1. Calcule le volume de la poutre en m³. (4 points)
2. Calcule sa masse en kg. (4 points)
3. Exprime la masse volumique de l’acier en g/cm³. (2 points)
Voir la correction et le barème
Question 1 (4 pts). On convertit la section en mètres : \(5\text{ cm} = 0{,}05\text{ m}\).
\(V = 2 \times 0{,}05 \times 0{,}05 = 0{,}005\text{ m}^3\)2 pts pour la conversion, 2 pts pour le volume correct.
Question 2 (4 pts).
\(m = \rho \times V = 7\,850 \times 0{,}005 = 39{,}25\text{ kg}\)2 pts pour la formule, 2 pts pour le résultat avec l’unité.
Question 3 (2 pts).
\(7\,850\text{ kg/m}^3 = 7\,850 \div 1\,000 = 7{,}85\text{ g/cm}^3\)2 pts pour la conversion correcte.
Total : /10.
🔵 Vers la Seconde : masse volumique ou concentration en masse ?
En Seconde, tu croiseras une grandeur qui ressemble beaucoup à la masse volumique mais qui ne doit pas être confondue : la concentration en masse. La masse volumique \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\) décrit la masse totale par unité de volume d’un échantillon, corps pur ou mélange. La concentration en masse \(c_m = \displaystyle\frac{m_{\text{soluté}}}{V_{\text{solution}}}\) décrit un soluté dissous dans une solution. Ces deux exercices t’y préparent.
Exercice 15 — Reconnaître la bonne grandeur 🔵 ★★
Dans chaque cas, dis s’il s’agit d’une masse volumique ou d’une concentration en masse :
a. « 1 L d’huile a une masse de 900 g. »
b. « On a dissous 20 g de sel pour obtenir 0,5 L de solution. »
Voir la correction de l’exercice 15
a. On utilise la masse totale de l’huile et son volume : on parle de sa masse volumique. \(\rho = \displaystyle\frac{900}{1\,000} = 0{,}9\text{ g/cm}^3\).
b. Le sel est dissous dans l’eau : c’est une concentration en masse. \(c_m = \displaystyle\frac{20}{0{,}5} = 40\text{ g/L}\).
Exercice 16 — Calculer une concentration en masse 🔵 ★★
On dissout 15 g de sucre dans de l’eau pour obtenir 250 mL de sirop. Calcule la concentration en masse du sucre, en g/L.
Voir la correction de l’exercice 16
On convertit le volume : \(250\text{ mL} = 0{,}25\text{ L}\).
\(c_m = \displaystyle\frac{m_{\text{soluté}}}{V_{\text{solution}}} = \displaystyle\frac{15}{0{,}25} = 60\text{ g/L}\)La concentration en masse du sucre vaut 60 g/L. On divise bien par le volume de solution, pas par le volume d’eau seul.
Erreurs fréquentes à éviter
Voici les pièges qui coûtent le plus de points au brevet. Vérifie que tu ne tombes dans aucun d’eux.
Erreur 1 — Inverser la formule. On lit parfois \(\rho = \displaystyle\frac{V}{m}\) : c’est faux. La masse volumique est toujours une masse divisée par un volume : \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\).
Erreur 2 — Oublier de convertir. Pour calculer une masse, la masse volumique et le volume doivent utiliser les mêmes unités. Des g/cm³ vont avec des cm³, des kg/m³ avec des m³. Mélanger les deux fausse tout le résultat. Pense à la conversion d’unités.
Erreur 3 — Confondre 1 g/cm³ et 1 g/L. On voit traîner en ligne que \(1\text{ kg/L} = 1\text{ g/L}\) : c’est faux d’un facteur 1 000. La bonne égalité est \(1\text{ g/cm}^3 = 1\text{ kg/L} = 1\,000\text{ kg/m}^3\).
Erreur 4 — Confondre masse volumique et densité. La densité est un nombre sans unité (comparaison à l’eau), la masse volumique a toujours une unité (g/cm³ ou kg/m³). Ne colle jamais d’unité à une densité.
Questions fréquentes
Comment calculer la masse volumique en 3ème ?
On divise la masse par le volume : \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\). Par exemple, un objet de 54 g et 20 cm³ a une masse volumique de \(54 \div 20 = 2{,}7\text{ g/cm}^3\). Pense à écrire les unités : des grammes divisés par des cm³ donnent des g/cm³.
Quelles sont les 3 formules de la masse volumique ?
À partir de \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\), on obtient : \(m = \rho \times V\) pour une masse, et \(V = \displaystyle\frac{m}{\rho}\) pour un volume. Ce sont les trois formes de la même relation : tu choisis celle qui correspond à la grandeur recherchée.
Quelle est la différence entre masse volumique et densité ?
La masse volumique \(\rho\) a une unité (g/cm³ ou kg/m³). La densité, elle, est un nombre sans unité : c’est le rapport entre la masse volumique du corps et celle de l’eau. Pour l’or, \(\rho = 19{,}3\text{ g/cm}^3\) et la densité vaut 19,3 (sans unité).
Comment savoir si un objet flotte ou coule ?
On compare sa masse volumique à celle de l’eau (1 g/cm³). Si la masse volumique de l’objet est inférieure à 1 g/cm³, il flotte ; si elle est supérieure, il coule. Un cube de bois à 0,65 g/cm³ flotte, un bloc de fer à 7,8 g/cm³ coule.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises la masse volumique en 3ème ? Continue ton entraînement avec ces ressources :
- La proportionnalité : tout comprendre du CM1 à la 3ème
- 12 Exercices de Proportionnalité en 4ème Corrigés (PDF)
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- Fonctions en 3ème en mathématiques : cours, méthodes et exemples
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