Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur
Tu sais résoudre une équation \(f(x, y) = 0\) quand tu peux isoler \(y\). Mais que fais-tu face à \(x^4 + y^4 = xy + 1\), où l’isolement est impossible ? Le théorème des fonctions implicites garantit que, localement, une telle équation définit malgré tout \(y\) comme une fonction de \(x\), dérivable. Et derrière cette magie se cache un outil central du calcul différentiel : le difféomorphisme, une bijection lisse dont la réciproque est elle aussi lisse. Ce cours te donne les définitions rigoureuses, le théorème d’inversion locale, ses démonstrations et les méthodes de rédaction attendues au concours.
I. Qu’est-ce qu’un difféomorphisme ?
Un difféomorphisme est une bijection régulière dans les deux sens entre deux ouverts. C’est la notion d’isomorphisme adaptée au calcul différentiel : elle permet de transporter un problème d’un ouvert vers un autre, notamment lors d’un changement de variables, sans rien perdre de la structure différentiable.
A. Définition formelle
Définition — Difféomorphisme
Soient \(U\) et \(V\) deux ouverts d’espaces vectoriels normés de dimension finie (typiquement des ouverts de \(\mathbb{R}^n\)) et \(k \in \mathbb{N}^* \cup \{+\infty\}\). Une application \(f : U \to V\) est un \(\mathcal{C}^k\)-difféomorphisme lorsque :
- \(f\) est bijective de \(U\) sur \(V\) ;
- \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^k\) sur \(U\) ;
- sa réciproque \(f^{-1} : V \to U\) est de classe \(\mathcal{C}^k\) sur \(V\).
Lorsque \(k = 1\), on parle simplement de difféomorphisme (sous-entendu \(\mathcal{C}^1\)).
Le point délicat est la troisième condition. Il ne suffit pas que \(f\) soit bijective et lisse : il faut que sa réciproque le soit aussi. On verra que cette exigence supplémentaire est exactement ce qui distingue un difféomorphisme d’un simple homéomorphisme, et qu’elle est intimement liée à l’inversibilité de la matrice jacobienne.
Une fois cette structure établie, la règle de dérivation d’une réciproque s’écrit de manière très propre. En dérivant l’identité \(f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_U\) au point \(a\) via la différentielle d’une composée, on obtient :
B. Difféomorphisme ou homéomorphisme ?
Un homéomorphisme est une bijection continue dont la réciproque est continue. C’est une notion topologique : elle ne parle que de continuité. Le difféomorphisme est strictement plus fort : il exige la régularité \(\mathcal{C}^1\) dans les deux sens.
Tout difféomorphisme est donc un homéomorphisme, mais la réciproque est fausse. L’exemple canonique tient en une fonction d’une seule variable.
Exemple — un homéomorphisme qui n’est pas un difféomorphisme
L’application \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(x \mapsto x^3\), est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) et bijective. Sa réciproque est \(f^{-1}(y) = y^{1/3}\).
C’est bien un homéomorphisme : \(f\) et \(f^{-1}\) sont continues. Mais \(f^{-1}\) n’est pas dérivable en \(0\) (tangente verticale). Donc \(f\) n’est pas un difféomorphisme.
La cause profonde : \(f^\prime(0) = 0\). La dérivée s’annule, la « dérivée inverse » explose.
C. Difféomorphisme global et difféomorphisme local
Beaucoup d’applications ne sont pas globalement bijectives, mais le deviennent si on se restreint à un petit voisinage. D’où la notion locale.
Définition — Difféomorphisme local
Soit \(f : U \to \mathbb{R}^n\) et \(a \in U\). On dit que \(f\) est un \(\mathcal{C}^k\)-difféomorphisme local en \(a\) s’il existe un voisinage ouvert \(W\) de \(a\) tel que \(f(W)\) soit ouvert et que la restriction \(f_{|W} : W \to f(W)\) soit un \(\mathcal{C}^k\)-difféomorphisme.
Local n’implique pas global. Une application peut être un difféomorphisme local en tout point sans être injective sur tout son domaine. L’exemple type : \(f(x, y) = (e^x \cos y, e^x \sin y)\) sur \(\mathbb{R}^2\) (exponentielle complexe). Sa jacobienne est inversible partout, mais \(f\) est \(2\pi\)-périodique en \(y\) : elle n’est pas injective. C’est un difféomorphisme local partout, jamais global.
II. Interprétation géométrique
Géométriquement, un difféomorphisme est une déformation régulière et réversible de l’espace : il tord, étire, courbe, mais ne déchire jamais, ne recolle jamais, et ne crée aucun pli. Un quadrillage transporté par un difféomorphisme reste un maillage de courbes lisses qui ne se croisent pas.
Cette image explique pourquoi la condition sur la réciproque est cruciale. Si en un point la déformation « écrase » une direction (dérivée nulle dans cette direction), l’inverse devrait « étirer à l’infini » pour revenir en arrière : la réciproque cesse d’être différentiable. C’est exactement ce qui arrivait avec \(x \mapsto x^3\) en \(0\). La condition de non-annulation du jacobien traduit géométriquement l’absence d’écrasement.
La bonne intuition. Un difféomorphisme conserve la notion de voisinage lisse : il envoie une courbe \(\mathcal{C}^1\) sur une courbe \(\mathcal{C}^1\), un vecteur tangent sur un vecteur tangent (via \(\mathrm{d}f_a\)), et une base locale sur une base locale. C’est le bon cadre pour un changement de variables comme le passage aux coordonnées polaires dans une intégrale.
Toute la méthode du théorème des fonctions implicites en 1 page
Définitions clés, TIL, TFI, formule de la dérivée implicite et la checklist de rédaction que le correcteur attend — condensés pour tes révisions de concours.
📄 Télécharger la fiche PDFGratuit — l’essentiel à avoir sous les yeux avant l’oral.
III. Le théorème d’inversion locale
Comment reconnaître un difféomorphisme sans calculer explicitement la réciproque (souvent impossible) ? La réponse est le théorème d’inversion locale : il suffit de vérifier une condition ponctuelle sur la différentielle.
A. Énoncé
Théorème d’inversion locale (TIL)
Soit \(f : U \to \mathbb{R}^n\) une application de classe \(\mathcal{C}^k\) (\(k \geq 1\)) sur un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^n\), et \(a \in U\). Si la différentielle \(\mathrm{d}f_a\) est inversible (c’est-à-dire si la matrice jacobienne \(J_f(a) \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), ou encore \(\det J_f(a) \neq 0\)), alors \(f\) est un \(\mathcal{C}^k\)-difféomorphisme local en \(a\).
Autrement dit, il existe un voisinage ouvert \(W\) de \(a\) tel que \(f(W)\) soit ouvert et \(f_{|W} : W \to f(W)\) soit un \(\mathcal{C}^k\)-difféomorphisme.
Le mot clé est local : le théorème ne dit rien sur l’injectivité globale de \(f\). Il transforme une information ponctuelle (le jacobien en \(a\)) en une information sur un voisinage.
B. Idée de la démonstration ⋆
La preuve complète repose sur le théorème du point fixe de Banach ; en prépa elle est le plus souvent admise, mais tu dois en connaître le mécanisme, car il éclaire pourquoi la condition \(\det J_f(a) \neq 0\) est la bonne.
Étape 1 — Réduction. Quitte à composer par des translations et par l’application linéaire \((\mathrm{d}f_a)^{-1}\) (qui est elle-même un difféomorphisme), on se ramène au cas où \(a = 0\), \(f(0) = 0\) et \(\mathrm{d}f_0 = \mathrm{id}\).
Étape 2 — Reformulation en point fixe. On écrit \(f = \mathrm{id} + g\) avec \(g = f- \mathrm{id}\), donc \(\mathrm{d}g_0 = 0\). Résoudre \(f(x) = y\) revient à trouver un point fixe de \(\varphi_y : x \mapsto y- g(x)\).
Étape 3 — Contraction. Comme \(\mathrm{d}g_0 = 0\) et \(g\) est \(\mathcal{C}^1\), la différentielle \(\mathrm{d}g_x\) est de norme \(\leq \displaystyle\frac{1}{2}\) sur une boule assez petite. L’inégalité des accroissements finis rend \(\varphi_y\) contractante : le théorème du point fixe fournit une unique solution \(x\) pour chaque \(y\) proche de \(0\). On construit ainsi la réciproque locale.
Étape 4 — Régularité de la réciproque. On montre que la réciproque est continue, puis différentiable, et que sa différentielle vaut \(\big(\mathrm{d}f_{f^{-1}(y)}\big)^{-1}\). La formule \(M \mapsto M^{-1}\) étant \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\), une récurrence donne le caractère \(\mathcal{C}^k\). ∎
Où intervient exactement l’hypothèse ? C’est l’inversibilité de \(\mathrm{d}f_a\) qui permet la réduction de l’étape 1. Sans elle, la direction où \(\mathrm{d}f_a\) s’annule est « écrasée » et la réciproque ne peut pas être différentiable — exactement le phénomène observé avec \(x \mapsto x^3\).
C. Du local au global
Le TIL est local. Pour obtenir un difféomorphisme global, il faut y ajouter une hypothèse d’injectivité globale.
Théorème d’inversion globale
Soit \(f : U \to \mathbb{R}^n\) de classe \(\mathcal{C}^k\) (\(k \geq 1\)) sur un ouvert \(U\). On suppose :
- \(f\) est injective sur \(U\) ;
- pour tout \(x \in U\), \(\mathrm{d}f_x\) est inversible.
Alors \(f(U)\) est un ouvert et \(f : U \to f(U)\) est un \(\mathcal{C}^k\)-difféomorphisme (global).
Démonstration. Pour tout \(x\), le TIL fournit un voisinage sur lequel \(f\) est un difféomorphisme local ; en particulier \(f\) est une application ouverte, donc \(f(U)\) est ouvert. Comme \(f\) est de plus injective, elle réalise une bijection de \(U\) sur \(f(U)\). Enfin la réciproque, qui coïncide localement avec chaque réciproque locale du TIL, est \(\mathcal{C}^k\). ∎
Ne jamais oublier l’injectivité. « Jacobien inversible partout » ne suffit pas pour du global (rappel : l’exponentielle complexe). C’est une erreur classique en copie : le candidat croit conclure au difféomorphisme global à partir du seul jacobien. Le correcteur cherche explicitement l’étape « \(f\) est injective ».
IV. Le théorème des fonctions implicites
Le théorème des fonctions implicites est un cousin direct du TIL : il répond à la question « quand une équation \(f(x, y) = 0\) définit-elle \(y\) comme fonction de \(x\) ? ». Sa force est de conclure sans jamais résoudre explicitement.
A. Énoncé
Théorème des fonctions implicites (TFI)
Soit \(f : U \to \mathbb{R}^p\) de classe \(\mathcal{C}^k\) (\(k \geq 1\)) sur un ouvert \(U\) de \(\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^p\). Soit \((a, b) \in U\) tel que \(f(a, b) = 0\). On note \(\partial_y f(a,b)\) la différentielle partielle par rapport à la seconde variable (une matrice \(p \times p\)).
Si \(\partial_y f(a, b)\) est inversible, alors il existe un voisinage ouvert \(V\) de \(a\) dans \(\mathbb{R}^n\), un voisinage de \(b\) et une unique application \(\varphi : V \to \mathbb{R}^p\) de classe \(\mathcal{C}^k\) tels que, au voisinage de \((a,b)\) :
\(f(x, y) = 0 \iff y = \varphi(x)\)
De plus \(\varphi(a) = b\) et :
\(\varphi^\prime(a) = -\big(\partial_y f(a, b)\big)^{-1} \circ \partial_x f(a, b)\)
Dans le cas le plus courant en prépa (\(n = p = 1\), une courbe du plan), l’énoncé devient très parlant : si \(\partial_y f(a,b) \neq 0\), la courbe \(f(x, y) = 0\) est localement le graphe d’une fonction \(y = \varphi(x)\), et :
B. Démonstration à partir du TIL ⋆
C’est une démonstration exigible et très fréquente en oral : le TFI se déduit du TIL par une astuce de « complétion ».
Construction. On introduit l’application auxiliaire
\(F : U \to \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^p, \qquad F(x, y) = \big(x, \; f(x, y)\big).\)\(F\) est de classe \(\mathcal{C}^k\). Sa matrice jacobienne en \((a, b)\) s’écrit par blocs :
\(J_F(a, b) = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ \partial_x f(a,b) & \partial_y f(a,b) \end{pmatrix}\)Cette matrice est triangulaire par blocs, donc \(\det J_F(a,b) = \det I_n \times \det \partial_y f(a,b) = \det \partial_y f(a,b) \neq 0\) par hypothèse. Ainsi \(\mathrm{d}F_{(a,b)}\) est inversible.
Application du TIL. \(F\) est un \(\mathcal{C}^k\)-difféomorphisme local en \((a, b)\). Comme \(F\) laisse la première coordonnée inchangée, sa réciproque locale a nécessairement la forme :
\(F^{-1}(x, z) = \big(x, \; \psi(x, z)\big)\)avec \(\psi\) de classe \(\mathcal{C}^k\). On pose alors \(\varphi(x) = \psi(x, 0)\), de classe \(\mathcal{C}^k\). Pour \((x, y)\) proche de \((a, b)\) :
\(f(x, y) = 0 \iff F(x, y) = (x, 0) \iff (x, y) = F^{-1}(x, 0) = (x, \varphi(x)) \iff y = \varphi(x).\)Ce qui établit l’équivalence annoncée et l’existence-unicité de \(\varphi\).
Calcul de la dérivée. On dérive l’identité \(f(x, \varphi(x)) = 0\) par la règle de la chaîne :
\(\partial_x f(x, \varphi(x)) + \partial_y f(x, \varphi(x)) \circ \varphi^\prime(x) = 0\)et comme \(\partial_y f\) est inversible au voisinage, on isole \(\varphi^\prime(x) = -\big(\partial_y f\big)^{-1} \circ \partial_x f\). ∎
C. Lecture géométrique
Le TFI dit qu’une courbe (ou une surface) définie implicitement est localement un graphe, sauf là où la « bonne » dérivée partielle s’annule — c’est-à-dire là où la tangente devient verticale.
Sur le cercle \(x^2 + y^2 = 1\) avec \(f(x,y) = x^2 + y^2- 1\), on a \(\partial_y f = 2y\). Le TFI s’applique partout sauf en \((1, 0)\) et \((-1, 0)\), les deux points de tangente verticale où \(2y = 0\). En ces points, on ne peut pas exprimer \(y\) en fonction de \(x\)… mais on peut exprimer \(x\) en fonction de \(y\), car \(\partial_x f = 2x \neq 0\) y est valide. Le rôle des deux variables est symétrique : il suffit qu’une des deux dérivées partielles ne s’annule pas.
V. Méthode pas à pas
Deux questions reviennent sans cesse. Montrer qu’une application est un difféomorphisme ; et appliquer le TFI. Voici les deux procédures.
A. Montrer que f est un difféomorphisme
- Domaine et régularité. Identifier l’ouvert de départ \(U\), vérifier que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^k\) (souvent \(\mathcal{C}^\infty\) par composition de fonctions usuelles).
- Injectivité. Montrer que \(f\) est injective sur \(U\) (résolution de \(f(x) = f(x')\), ou monotonie, ou explicitation partielle).
- Image. Déterminer \(V = f(U)\) (surjectivité sur \(V\)).
- Jacobien. Vérifier que \(\det J_f(x) \neq 0\) pour tout \(x \in U\).
- Conclusion. Par le théorème d’inversion globale, \(f : U \to V\) est un \(\mathcal{C}^k\)-difféomorphisme.
Le raccourci le plus payant. Si \(f\) est injective et de classe \(\mathcal{C}^1\) avec jacobien inversible partout, tu n’as pas besoin de calculer \(f^{-1}\) pour conclure au difféomorphisme, ni pour affirmer qu’elle est \(\mathcal{C}^1\). C’est tout l’intérêt du théorème d’inversion globale.
B. Appliquer le théorème des fonctions implicites
- Poser l’équation sous forme \(f = 0\) et vérifier que \(f\) est \(\mathcal{C}^1\).
- Vérifier le point de base : le point \((a, b)\) annule bien \(f\).
- Calculer \(\partial_y f(a, b)\) et vérifier son inversibilité (en dimension 1 : \(\partial_y f(a, b) \neq 0\)).
- Conclure : il existe une unique \(\varphi\) de classe \(\mathcal{C}^1\) avec \(y = \varphi(x)\) localement.
- Calculer \(\varphi^\prime(a)\) par la formule (ou en dérivant \(f(x, \varphi(x)) = 0\)).
VI. Exemples résolus
Ces exemples sont classés par difficulté croissante. Cache la correction et cherche d’abord seul : c’est là que la méthode s’ancre.
Exercice 1 — Coordonnées polaires comme difféomorphisme ★
Soit \(\Phi : ]0, +\infty[ \times ]-\pi, \pi[ \to \mathbb{R}^2\) définie par \(\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\). Montrer que \(\Phi\) est un \(\mathcal{C}^\infty\)-difféomorphisme sur son image \(\mathbb{R}^2 \setminus (\mathbb{R}_- \times \{0\})\).
Voir la correction de l’exercice 1
Régularité. \(\Phi\) est \(\mathcal{C}^\infty\) car ses composantes sont des produits de fonctions usuelles.
Jacobien. On calcule la matrice jacobienne :
\(J_\Phi(r, \theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi(r, \theta) = r(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = r.\)Comme \(r \gt 0\), on a \(\det J_\Phi \neq 0\) partout.
Injectivité. Si \(\Phi(r, \theta) = \Phi(r', \theta')\), alors \(r = \sqrt{x^2 + y^2} = r'\) (le module), et \(\theta\) est déterminé de façon unique dans \(]-\pi, \pi[\) par \((\cos\theta, \sin\theta)\). Donc \(\theta = \theta'\). \(\Phi\) est injective.
Conclusion. Par le théorème d’inversion globale, \(\Phi\) est un \(\mathcal{C}^\infty\)-difféomorphisme de \(]0, +\infty[ \times ]-\pi, \pi[\) sur \(\mathbb{R}^2\) privé de la demi-droite \(\mathbb{R}_- \times \{0\}\). C’est exactement ce qui légitime le changement de variables polaires dans une intégrale double.
Exercice 2 — Fonction implicite d’une courbe ★★
Soit \(f(x, y) = x^3 + y^3- 3xy\) (folium de Descartes). Montrer qu’au voisinage du point \((a, b)\) avec \(a = \displaystyle\frac{3}{2}, b = \displaystyle\frac{3}{2}\) la courbe \(f = 0\) est le graphe d’une fonction \(y = \varphi(x)\), et calculer \(\varphi^\prime(a)\).
Voir la correction de l’exercice 2
Point de base. \(f\left(\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{3}{2}\right) = \displaystyle\frac{27}{8} + \displaystyle\frac{27}{8}- 3 \cdot \displaystyle\frac{9}{4} = \displaystyle\frac{27}{4}- \displaystyle\frac{27}{4} = 0\). Le point est bien sur la courbe.
Régularité. \(f\) est polynomiale, donc \(\mathcal{C}^\infty\).
Dérivées partielles. \(\partial_x f = 3x^2- 3y\) et \(\partial_y f = 3y^2- 3x\). En \((a, b)\) :
\(\partial_y f\left(\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{3}{2}\right) = 3 \cdot \displaystyle\frac{9}{4}- 3 \cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{27}{4}- \displaystyle\frac{18}{4} = \displaystyle\frac{9}{4} \neq 0.\)Application du TFI. Puisque \(\partial_y f(a,b) \neq 0\), il existe une unique \(\varphi\) de classe \(\mathcal{C}^1\) (en fait \(\mathcal{C}^\infty\)) avec \(y = \varphi(x)\) localement.
Dérivée. On a aussi \(\partial_x f\left(\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{3}{2}\right) = \displaystyle\frac{27}{4}- \displaystyle\frac{18}{4} = \displaystyle\frac{9}{4}\), d’où :
\(\varphi^\prime\!\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right) = -\,\displaystyle\frac{\partial_x f}{\partial_y f} = -\,\displaystyle\frac{9/4}{9/4} = -1.\)La tangente à la courbe au point \(\left(\displaystyle\frac{3}{2}, \displaystyle\frac{3}{2}\right)\) a donc pour pente \(-1\).
Exercice 3 — Un difféomorphisme local non global ★★
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x, y) = (e^x \cos y, e^x \sin y)\). Montrer que \(f\) est un difféomorphisme local en tout point mais n’est pas injective. Sur quel ouvert peut-on en faire un difféomorphisme global ?
Voir la correction de l’exercice 3
Jacobien. \(J_f(x, y) = \begin{pmatrix} e^x \cos y & -e^x \sin y \\ e^x \sin y & e^x \cos y \end{pmatrix}\), d’où \(\det J_f = e^{2x}(\cos^2 y + \sin^2 y) = e^{2x} \gt 0\).
Le jacobien ne s’annule jamais : par le TIL, \(f\) est un \(\mathcal{C}^\infty\)-difféomorphisme local en tout point.
Non-injectivité. Pour tout \((x, y)\), \(f(x, y + 2\pi) = f(x, y)\) : \(f\) est \(2\pi\)-périodique en \(y\), donc pas injective sur \(\mathbb{R}^2\). Elle n’est donc pas un difféomorphisme global.
Restriction. Sur la bande \(U = \mathbb{R} \times ]-\pi, \pi[\), \(f\) devient injective (l’argument \(y\) est déterminé de façon unique). C’est alors un difféomorphisme de \(U\) sur \(\mathbb{R}^2 \setminus (\mathbb{R}_- \times \{0\})\). On retrouve d’ailleurs la structure de l’exponentielle complexe \(z \mapsto e^z\).
Morale. Jacobien inversible partout \(\not\Longrightarrow\) difféomorphisme global. L’injectivité est une hypothèse indépendante.
La fiche méthode difféomorphisme & TFI à imprimer
Les deux procédures pas à pas, la formule de la dérivée implicite et les pièges de rédaction du concours, sur une seule page prête à réviser.
📄 Récupérer ma fiche PDFGratuit — idéal juste avant une colle ou un oral.
Exercice 4 — Existence d’une solution locale ★★★
Montrer qu’il existe \(\varepsilon \gt 0\) et une unique application \(\varphi : ]-\varepsilon, \varepsilon[ \to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) telle que \(\varphi(0) = 0\) et \(\; y e^y + x = 0\) au voisinage de \((0,0)\). Donner le développement limité de \(\varphi\) à l’ordre \(1\) en \(0\).
Voir la correction de l’exercice 4
Mise en place. Posons \(f(x, y) = y e^y + x\). C’est une fonction \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}^2\). On a \(f(0, 0) = 0\).
Dérivée partielle en y. \(\partial_y f(x, y) = e^y + y e^y = (1 + y) e^y\), donc \(\partial_y f(0, 0) = 1 \neq 0\).
TFI. Le théorème des fonctions implicites s’applique : il existe \(\varepsilon \gt 0\) et une unique \(\varphi\) de classe \(\mathcal{C}^1\) (et même \(\mathcal{C}^\infty\)) sur \(]-\varepsilon, \varepsilon[\) telle que \(\varphi(0) = 0\) et \(f(x, \varphi(x)) = 0\).
Dérivée en 0. Comme \(\partial_x f = 1\) :
\(\varphi^\prime(0) = -\,\displaystyle\frac{\partial_x f(0,0)}{\partial_y f(0,0)} = -\,\displaystyle\frac{1}{1} = -1.\)Développement limité. \(\varphi(x) = \varphi(0) + \varphi^\prime(0)\, x + o(x) = -x + o(x)\). La courbe implicite est tangente en \(0\) à la droite \(y = -x\).
Exercice 5 — Difféomorphisme et matrice inversible ★★★
Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\), \(f(x, y) = (x + y,\; x + y^3)\). Déterminer les points où \(f\) est un difféomorphisme local, puis discuter le caractère global.
Voir la correction de l’exercice 5
Jacobien. \(J_f(x, y) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3y^2 \end{pmatrix}\), donc \(\det J_f = 3y^2- 1\).
Le jacobien s’annule pour \(y = \pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\). Par le TIL, \(f\) est un difféomorphisme local en tout point tel que \(y \neq \pm \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Injectivité globale. Supposons \(f(x, y) = f(x', y')\). Alors \(x + y = x' + y'\) et \(x + y^3 = x' + y'^3\). En soustrayant : \(y- y' = -(x- x')\) et \(y^3- y'^3 = -(x- x')\), d’où \(y^3- y'^3 = y- y'\). Si \(y \neq y'\), on simplifie : \(y^2 + yy' + y'^2 = 1\). Cette équation a des solutions (l’ellipse associée), donc \(f\) n’est pas injective sur \(\mathbb{R}^2\).
Conclusion. \(f\) n’est pas un difféomorphisme global. Elle l’est localement sur chacun des deux demi-plans \(y \gt \displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\) et \(y \lt -\displaystyle\frac{1}{\sqrt 3}\) (là où \(y \mapsto y^3\) est strictement monotone et le jacobien non nul). On rejoint le lien entre difféomorphisme local et inversibilité de la jacobienne.
Pour aller plus loin sur le calcul matriciel qui sous-tend ces jacobiens, entraîne-toi avec les exercices d’analyse vectorielle et les exercices de calcul matriciel.
VII. Pièges classiques
Ces erreurs coûtent des points chaque année. Les repérer à l’avance, c’est les éviter.
Piège n°1 — Confondre difféomorphisme local et global.
❌ Copie fautive : « \(\det J_f \neq 0\) partout, donc \(f\) est un difféomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\). »
🔍 Diagnostic : le TIL ne donne que du local. Le passage au global exige une preuve séparée de l’injectivité.
✅ Correction : « Le jacobien étant non nul, \(f\) est un difféomorphisme local partout. Montrons de plus qu’elle est injective : […]. Par le théorème d’inversion globale, \(f\) est un difféomorphisme sur son image. »
Piège n°2 — Se tromper de dérivée partielle dans le TFI.
❌ Copie fautive : pour exprimer \(y = \varphi(x)\), vérifier \(\partial_x f(a,b) \neq 0\).
🔍 Diagnostic : c’est la dérivée par rapport à la variable qu’on veut rendre fonction (ici \(y\)) qui doit être inversible, pas celle de la variable libre.
✅ Correction : pour \(y = \varphi(x)\), vérifier \(\partial_y f(a, b) \neq 0\). Pour \(x = \psi(y)\), vérifier \(\partial_x f(a, b) \neq 0\).
Piège n°3 — Oublier de vérifier le point de base. On applique parfois le TFI en \((a, b)\) sans avoir vérifié que \(f(a, b) = 0\). Le théorème ne dit rien ailleurs que sur l’ensemble \(\{f = 0\}\). Toujours commencer par \(f(a,b) = 0\).
VIII. Rédaction au concours
A. Ce que le correcteur attend
Sur un exercice de difféomorphisme ou de fonction implicite, la note se joue sur la vérification explicite des hypothèses. Le correcteur suit une checklist :
- la classe \(\mathcal{C}^k\) est annoncée et justifiée (au moins « composée de fonctions usuelles ») avant toute application du TIL ou du TFI ;
- le jacobien (ou la différentielle partielle) est calculé et son inversibilité est affirmée au bon point ;
- pour un résultat global, l’injectivité fait l’objet d’une preuve séparée ;
- pour le TFI, \(f(a,b) = 0\) est vérifié en premier ;
- la conclusion nomme le théorème invoqué (« par le théorème d’inversion globale… »).
Plan de rédaction type (difféomorphisme global) : classe \(\mathcal{C}^k\) → injectivité → image → jacobien inversible partout → invocation du théorème d’inversion globale → (si demandé) formule de la différentielle réciproque via \(\mathrm{d}(f^{-1})_{f(a)} = (\mathrm{d}f_a)^{-1}\).
Formulations qui coûtent des points : « \(f\) est clairement bijective » sans preuve, « le jacobien est non nul » sans le calculer, ou conclure au difféomorphisme sans jamais citer de théorème.
B. Au programme de quelle filière ?
Le difféomorphisme, le théorème d’inversion locale et le théorème des fonctions implicites relèvent du calcul différentiel avancé. Leur présence varie fortement selon la filière et le contexte (maths pures ou problème appliqué).
| Notion | MP / MPI | PC / PSI | Licence L2/L3 |
|---|---|---|---|
| Difféomorphisme (définition, \(\mathcal{C}^1\)) | Culture / problèmes | Culture | Cœur du cours |
| Théorème d’inversion locale | Souvent admis, utilisé en problème | Rare | Cœur du cours, démontré |
| Théorème des fonctions implicites | Problèmes de concours | Rare | Cœur du cours, démontré |
En pratique, ces théorèmes apparaissent surtout dans les problèmes de concours (X, Mines-Ponts, Centrale) et sont incontournables pour préparer une poursuite en L2/L3. La démonstration du TFI à partir du TIL est un grand classique d’oral.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un homéomorphisme et un difféomorphisme ?
Un homéomorphisme est une bijection continue de réciproque continue : c’est une notion purement topologique. Un difféomorphisme exige en plus que l’application et sa réciproque soient de classe \(\mathcal{C}^1\). Tout difféomorphisme est un homéomorphisme, mais pas l’inverse : \(x \mapsto x^3\) est un homéomorphisme de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) qui n’est pas un difféomorphisme, car sa réciproque \(y \mapsto y^{1/3}\) n’est pas dérivable en \(0\).
Le théorème d’inversion locale donne-t-il un difféomorphisme global ?
Non. Le TIL est strictement local : il garantit un difféomorphisme sur un voisinage du point considéré, à partir de la seule inversibilité de la différentielle en ce point. Pour obtenir un difféomorphisme global, il faut ajouter une hypothèse d’injectivité sur tout le domaine (théorème d’inversion globale). L’exponentielle complexe a un jacobien inversible partout mais n’est pas injective : elle n’est qu’un difféomorphisme local.
Quand le théorème des fonctions implicites s’applique-t-il ?
Pour une équation \(f(x, y) = 0\) avec \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\), au voisinage d’un point \((a, b)\) tel que \(f(a, b) = 0\), le TFI s’applique dès que la dérivée partielle par rapport à la variable qu’on veut expliciter est inversible (non nulle en dimension 1). Il fournit alors une unique fonction \(\mathcal{C}^1\) exprimant cette variable en fonction de l’autre, sans qu’on ait à résoudre l’équation.
Comment calculer la dérivée d’une fonction implicite sans l’expliciter ?
On dérive l’identité \(f(x, \varphi(x)) = 0\) par la règle de la chaîne, ce qui donne \(\partial_x f + \partial_y f \cdot \varphi^\prime(x) = 0\), puis \(\varphi^\prime(x) = -\,\partial_x f / \partial_y f\). Cette méthode fonctionne même quand \(\varphi\) n’a aucune expression explicite, ce qui est le cas le plus fréquent.
Pourquoi la condition sur le jacobien est-elle si importante ?
Le jacobien mesure comment l’application déforme les volumes localement. S’il s’annule, une direction est « écrasée » : l’application n’est plus localement bijective, ou sa réciproque cesse d’être différentiable. La condition \(\det J_f(a) \neq 0\) est précisément ce qui garantit que la différentielle est inversible, donc que la réciproque locale hérite de la régularité \(\mathcal{C}^k\).
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le difféomorphisme, le théorème d’inversion locale et le théorème des fonctions implicites. Pour consolider les prérequis et prolonger vers les applications :
- Tableau de variation d’une fonction
- Calcul de Dérivées (1ère) : Méthode et Exemples
- Changement de Variable dans une Intégrale : Méthode, Exemples Résolus et Exercices
- Continuité d’une Fonction (Tle) : Cours et Méthodes
Le difféomorphisme est aussi l’outil qui justifie le changement de variables dans les intégrales multiples : c’est là qu’il devient vraiment puissant. Pour t’entraîner spécifiquement, dirige-toi vers les exercices sur les fonctions de plusieurs variables.
