Une boule de pétanque, une balle de tennis, une bille de verre… Comment savoir combien de matière tient à l’intérieur ? C’est exactement ce que mesure le volume d’une boule. En 3ème, tu apprends une seule formule pour le calculer, mais une petite difficulté peut te faire perdre des points sans que tu t’en rendes compte. On voit tout, pas à pas, avec des exemples concrets et un piège à connaître par cœur.
Définition — Volume d’une boule
Le volume d’une boule de rayon \(R\) est le nombre qui mesure l’espace occupé à l’intérieur de sa surface. Il se calcule avec la formule :
\(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times R^3\)
Ici \(R\) est le rayon de la boule et \(\pi \approx 3{,}14\).
I. Sphère ou boule : la différence à connaître
Avant de calculer quoi que ce soit, il faut lever une confusion très fréquente. En français courant on dit « une sphère » et « une boule » comme si c’était la même chose. En mathématiques, ce sont deux objets différents, et cette distinction est souvent posée en question de cours au brevet.
La sphère est seulement la surface, l’enveloppe extérieure, comme la peau d’un ballon. On calcule son aire. La boule, c’est tout ce qui est à l’intérieur, la surface et le contenu, comme le ballon rempli. On calcule son volume.
Pour ne plus te tromper : la sphère est la surface formée des points à la distance R du centre ; la boule comprend cette surface et tout l’intérieur. Une sphère mathématique n’a pas d’épaisseur : elle ne désigne pas une coque matérielle. On calcule l’aire d’une sphère et le volume d’une boule.
Ces deux objets font partie de la grande famille des solides. Si tu veux revoir comment les reconnaître et les nommer, jette un œil au cours sur les solides.
II. La formule du volume d’une boule
La formule à connaître est courte, mais chaque lettre a un rôle précis. On la décortique pour que tu ne l’oublies plus.
A. La formule et ce que chaque lettre désigne
Formule à retenir
\(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times R^3\)
\(V\) est le volume, \(R\) est le rayon de la boule (la distance du centre jusqu’au bord), et \(R^3\) signifie « \(R\) au cube », c’est-à-dire \(R \times R \times R\).
Dans \(R^3 = R\times R\times R\), il y a trois facteurs R. Ne confonds pas avec R², qui intervient dans une aire. Le résultat d’un volume s’exprime en cm³, dm³ ou m³.
La fiche mémo « Volume d’une sphère » à imprimer
La formule, le piège du diamètre et la méthode en 4 étapes, résumés sur une seule page.
📄 Télécharger la fiche méthodeIdéale pour réviser juste avant un contrôle ou le brevet.
B. Rayon ou diamètre : le piège à connaître
Voici l’erreur qui coûte le plus de points sur ce chapitre. Un énoncé te donne souvent le diamètre (la largeur totale de la boule), pas le rayon. Or la formule utilise le rayon.
Erreur classique : utiliser le diamètre à la place du rayon dans la formule. Le rayon vaut la moitié du diamètre : \(R = \displaystyle\frac{D}{2}\). Si une balle a un diamètre de 6 cm, son rayon est de 3 cm, et c’est 3 qu’on met dans la formule, jamais 6.
Réflexe à prendre : dès qu’un énoncé parle de diamètre, tu écris d’abord la conversion en rayon, avant même de sortir la formule.
III. Calculer le volume d’une boule pas à pas
Pour ne rien oublier, applique toujours la même méthode en 4 étapes. Elle te fait aussi gagner tous les points de rédaction au brevet.
- Repérer le rayon. Si l’énoncé donne le diamètre, divise-le par 2.
- Écrire la formule avec les valeurs : \(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times R^3\).
- Calculer \(R^3\) puis effectuer la multiplication.
- Écrire le résultat avec son unité (cm³, m³…) et une phrase de conclusion.
Exemple : Calcule le volume d’une boule de rayon \(R = 5\) cm (valeur arrondie au cm³).
On applique la formule :
\(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times 5^3\)
On calcule d’abord \(5^3 = 125\), donc :
\(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times 125 \approx 523{,}6\)
Le volume de la boule est d’environ 524 cm³.
Une fois le volume obtenu en cm³, tu voudras parfois l’exprimer en litres (par exemple pour un ballon d’eau). Pour cela, direction la fiche sur convertir un volume en litres.
IV. L’aire d’une sphère
Puisque la sphère est la surface qui entoure la boule, on peut aussi calculer son aire. Elle a sa propre formule, à ne pas confondre avec celle du volume.
Aire d’une sphère
\(A = 4 \times \pi \times R^2\)
L’aire utilise \(R^2\) (le carré) car une surface se mesure en deux dimensions, alors que le volume utilise \(R^3\) (le cube) car il se mesure en trois dimensions.
C’est un moyen simple de ne plus confondre les deux formules : l’aire, c’est du carré ; le volume, c’est du cube. L’aire s’exprime en cm² (ou m²), le volume en cm³ (ou m³).
V. Retrouver le rayon à partir du volume
Au brevet, on te donne parfois le volume et on te demande le rayon : c’est le problème « à l’envers ». La méthode consiste à remonter la formule étape par étape.
Exemple : Une boule a un volume de 36\(\pi\) cm³. Quel est son rayon ?
On part de l’égalité :
\(\displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times R^3 = 36\pi\)
On divise les deux côtés par \(\pi\), puis on isole \(R^3\) :
\(R^3 = 36 \times \displaystyle\frac{3}{4} = 27\)
On cherche le nombre dont le cube vaut 27 : c’est 3, car \(3 \times 3 \times 3 = 27\).
Le rayon de la boule est de 3 cm.
VI. Le volume d’une demi-boule
On rencontre souvent des demi-boules dans la vie courante : un dôme, un bol, une boule de glace posée sur un cornet. Le calcul est immédiat une fois qu’on connaît le volume de la boule entière.
Volume d’une demi-boule : on calcule le volume de la boule complète, puis on divise par 2.
\(V_{\text{demi}} = \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times R^3 = \displaystyle\frac{2}{3} \times \pi \times R^3\)
Par exemple, une demi-boule de rayon 3 cm a un volume de \(\displaystyle\frac{2}{3} \times \pi \times 27 \approx 56{,}5\) cm³.
VII. 🔵 Pour aller plus loin : la sphère et le cylindre
Voici un résultat magnifique, découvert par le mathématicien grec Archimède il y a plus de 2 000 ans, et qui explique d’où vient ce mystérieux \(\displaystyle\frac{4}{3}\).
Prends une boule de rayon \(R\) et le plus petit cylindre qui peut la contenir (même rayon \(R\), hauteur \(2R\)). Archimède a démontré que la boule occupe exactement les deux tiers du cylindre. Il était si fier de ce résultat qu’il l’avait fait graver sur sa tombe.
Vérification : le volume du cylindre circonscrit est \(V_{\text{cyl}} = \pi \times R^2 \times 2R = 2\pi R^3\). Les deux tiers valent \(\displaystyle\frac{2}{3} \times 2\pi R^3 = \displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3\). On retrouve bien la formule de la boule.
Dans un prolongement au lycée puis dans le supérieur, le calcul intégral permet de retrouver la formule en additionnant les volumes de fines tranches. Pour un cylindre de rayon R et de hauteur 2R, un cône de mêmes rayon et hauteur et une boule de rayon R, les volumes sont dans le rapport 3 : 1 : 2.
VIII. Exercices corrigés
À toi de jouer. Cherche chaque exercice au brouillon avant d’ouvrir la correction. Pour t’entraîner davantage, tu trouveras une série complète sur la page des exercices de volumes en 3ème.
Exercice 1 — Volume d’une bille ★
Une bille en verre a un rayon de 1 cm. Calcule son volume, arrondi au dixième de cm³.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique directement la formule avec \(R = 1\) :
\(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times 1^3 = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \approx 4{,}2\)Le volume de la bille est d’environ 4,2 cm³.
Exercice 2 — Le piège du diamètre ★★
Un ballon de handball a un diamètre de 18 cm. Calcule son volume, arrondi au cm³.
Voir la correction de l’exercice 2
L’énoncé donne le diamètre : on commence par trouver le rayon.
\(R = \displaystyle\frac{18}{2} = 9\) cm
On calcule ensuite le volume avec \(R = 9\) :
\(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times 9^3 = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times 729 \approx 3054\)Le volume du ballon est d’environ 3 054 cm³. (Si tu avais utilisé 18 au lieu de 9, tu aurais trouvé 8 fois trop !)
Exercice 3 — Une boule de glace ★★
Une boule de pâte à modeler a un rayon de 2 cm. On la remodèle sans perte de matière ni compression. Quel volume de pâte possède-t-on, arrondi au dixième de cm³ ?
Voir la correction de l’exercice 3
Le changement de forme conserve ici le volume de pâte, conformément à l’hypothèse de l’énoncé. On calcule donc le volume de la boule initiale.
\(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times 2^3 = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times 8 \approx 33{,}5\)On possède environ 33,5 cm³ de pâte à modeler.
Exercice 4 — Retrouver le rayon ★★★
Une boule a un volume d’environ 904,8 cm³. Sachant que \(904{,}8 \approx \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times 216\), détermine son rayon.
Voir la correction de l’exercice 4
L’énoncé nous montre que \(R^3 = 216\). On cherche donc le nombre dont le cube vaut 216.
On teste : \(6 \times 6 \times 6 = 216\).
Le rayon de la boule est de 6 cm.
IX. Ta fiche méthode à imprimer
Pour garder la formule, le piège du diamètre et la méthode sous les yeux avant un contrôle, télécharge la fiche récapitulative, à imprimer et à glisser dans ton classeur.
📄 L’essentiel du cours en 1 page
X. Les erreurs les plus fréquentes
Ces trois erreurs reviennent à chaque contrôle. Les repérer, c’est déjà les éviter.
1. Confondre rayon et diamètre. C’est l’erreur numéro un. Dès que tu lis « diamètre », divise par 2 avant de calculer.
2. Écrire \(R^2\) au lieu de \(R^3\). Pour un volume, le rayon est toujours au cube.
3. Se tromper d’unité. Un volume s’exprime en cm³ ou m³, jamais en cm² (qui est une aire).
Ces pièges font partie des grands classiques de la géométrie au collège : tu peux revoir la liste complète dans notre article sur les erreurs de géométrie au collège.
XI. Questions fréquentes
Pourquoi le volume d’une boule utilise-t-il la fraction quatre tiers ?
Ce facteur vient d’un résultat démontré par Archimède : une boule occupe exactement les deux tiers du plus petit cylindre qui la contient. Comme ce cylindre a pour volume \(2\pi R^3\), la boule vaut \(\displaystyle\frac{2}{3} \times 2\pi R^3 = \displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3\). Le \(\displaystyle\frac{4}{3}\) n’est donc pas arbitraire, il découle de la géométrie.
Quelle est la différence entre une sphère et une boule ?
La sphère est seulement la surface, l’enveloppe extérieure (on calcule son aire). La boule est le solide plein, la surface et tout son intérieur (on calcule son volume). Les deux ont le même rayon \(R\) : l’aire de la sphère vaut \(4\pi R^2\) et le volume de la boule \(\displaystyle\frac{4}{3}\pi R^3\).
Comment calculer le volume d’une boule à partir du diamètre ?
La formule utilise le rayon, pas le diamètre. Il faut donc d’abord diviser le diamètre par 2 pour obtenir le rayon : \(R = \displaystyle\frac{D}{2}\). Ensuite, on applique \(V = \displaystyle\frac{4}{3} \times \pi \times R^3\). Par exemple, un diamètre de 10 cm donne un rayon de 5 cm.
Quelle est la formule de l’aire d’une sphère ?
L’aire d’une sphère de rayon \(R\) est \(A = 4 \times \pi \times R^2\). Attention à ne pas la confondre avec le volume : l’aire utilise \(R^2\) et s’exprime en cm², le volume utilise \(R^3\) et s’exprime en cm³.
Comment calculer le volume d’une demi-boule ?
On calcule le volume de la boule entière, puis on divise par 2. Cela donne la formule \(V = \displaystyle\frac{2}{3} \times \pi \times R^3\). C’est le calcul utile pour un dôme, un bol ou une boule de glace posée sur un cornet.
XII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer le volume et l’aire d’une sphère et d’une boule. Pour continuer ta progression sur les solides :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- Agrandissement et Réduction en 3ème : Cours et Méthode
- L’aire d’un triangle rectangle : méthode, calcul et exemples
Tu veux progresser plus vite en maths et gagner des points au brevet ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
