Quand tu lis « 90 km/h » sur un panneau, « 2,50 € le kilo » sur une étiquette ou « 1 500 W » sur un four, tu utilises sans le savoir des grandeurs composées. Ce sont des grandeurs fabriquées à partir de deux autres, par une division ou une multiplication. En 4e et 3e, elles sont partout : au brevet, en physique, et dans la vie quotidienne. Dans cet article, tu vas comprendre d’où viennent leurs unités bizarres (km/h, €/kg, kWh), comment les calculer et surtout comment les convertir sans te tromper.
Au programme
Les grandeurs composées se construisent sur plusieurs années :
- 6e : le prix au kilo, présenté comme une première grandeur quotient.
- 4e : les grandeurs quotients (vitesse, débit, masse volumique).
- 3e : les grandeurs produits (comme le kWh) dans les problèmes du brevet.
I. Qu’est-ce qu’une grandeur composée ?
Une grandeur composée est une grandeur obtenue en combinant deux grandeurs simples par une multiplication ou une division. La vitesse (distance divisée par temps), le prix au kilo (prix divisé par masse) ou le kWh (puissance multipliée par durée) en sont des exemples. Son unité est elle aussi composée : km/h, €/kg, kWh.
Pour bien comprendre, il faut d’abord distinguer deux familles de grandeurs.
Définition — Grandeur simple et grandeur composée
Une grandeur simple se mesure avec une unité simple : le mètre pour une longueur, le kilogramme pour une masse, la seconde pour une durée, l’euro pour un prix.
Une grandeur composée se construit à partir de deux grandeurs simples :
- par une division → on parle de grandeur quotient (vitesse, débit, prix au kilo) ;
- par une multiplication → on parle de grandeur produit (énergie en kWh, aire).
Son unité est elle aussi composée : km/h, L/min, kWh.
Astuce de lecture : l’unité te dit tout. Quand tu vois une barre de fraction, comme dans « km/h » (kilomètres par heure) ou « €/kg » (euros par kilogramme), tu as affaire à une grandeur quotient. Les grandeurs composées sont très liées à la proportionnalité : si leur quotient reste constant, les deux grandeurs sont proportionnelles.
II. Les grandeurs quotients
Une grandeur quotient s’obtient en divisant une grandeur par une autre. Elle répond toujours à une question du type « combien par unité ? » : combien de kilomètres par heure, combien d’euros par kilo, combien de litres par minute. C’est la famille la plus courante au collège.
A. Le prix au kilo et le prix au litre
C’est la grandeur quotient que tu connais déjà, dès la 6e. Le prix au kilo, c’est le prix divisé par la masse. Il permet de comparer deux produits vendus par quantités différentes.
Exemple : un sachet de 1,5 kg de pommes coûte 3,60 €. Quel est son prix au kilo ?
\(\text{prix au kilo} = \displaystyle\frac{3{,}60\text{ €}}{1{,}5\text{ kg}} = 2{,}40\text{ €/kg}\)
Un kilo de ces pommes coûte donc 2,40 €.
Le prix au kilo est un coefficient de proportionnalité : le prix est proportionnel à la masse achetée, et le coefficient qui passe de la masse au prix, c’est justement ce prix au kilo.
B. La vitesse
La vitesse moyenne est la distance parcourue divisée par la durée du trajet. Si tu parcours 150 km en 2 heures, ta vitesse moyenne vaut 150 ÷ 2 = 75 km/h. Son unité (km/h, m/s) est une grandeur quotient typique.
La vitesse est la grandeur composée la plus importante du collège : elle a sa propre page détaillée. Pour la formule complète, les trois façons de l’utiliser et le piège de la moyenne, va voir le cours sur la vitesse moyenne.
C. Le débit
Le débit mesure la quantité de liquide qui s’écoule par unité de temps. On le calcule en divisant un volume par une durée.
Exemple : un robinet remplit un seau de 30 litres en 5 minutes.
\(\text{débit} = \displaystyle\frac{30\text{ L}}{5\text{ min}} = 6\text{ L/min}\)
Le débit du robinet est de 6 litres par minute. On l’exprime aussi en m³/h pour les grosses installations.
Toutes les grandeurs composées sur une seule fiche
Vitesse, débit, masse volumique, prix au kilo, kWh : les formules, les unités et la méthode de conversion réunies sur une fiche claire à imprimer.
📄 Télécharger la fiche gratuiteParfaite pour réviser le brevet et vérifier ses unités d’un coup d’œil.
D. La masse volumique
La masse volumique indique la masse contenue dans un volume donné de matière. On la calcule en divisant une masse par un volume, et elle s’exprime en g/cm³ ou en kg/m³. C’est elle qui explique pourquoi un morceau de fer coule alors qu’un morceau de bois flotte.
Là encore, c’est une grandeur quotient à part entière : la masse volumique a sa propre page, avec la formule, le tableau des valeurs usuelles et les conversions.
E. La densité de population
Moins connue, la densité de population est pourtant une grandeur quotient très utile en géographie. Elle divise un nombre d’habitants par une aire, et s’exprime en habitants par kilomètre carré (hab/km²).
Exemple : une ville de 48 000 habitants s’étend sur 12 km².
\(\text{densité} = \displaystyle\frac{48\,000\text{ hab}}{12\text{ km}^2} = 4\,000\text{ hab/km}^2\)
Il y a en moyenne 4 000 habitants par kilomètre carré.
Toutes ces grandeurs quotients fonctionnent sur le même principe. Mais il existe une seconde famille, qui s’obtient par une multiplication.
III. Une grandeur produit : le kWh
Une grandeur produit s’obtient en multipliant deux grandeurs. L’exemple vedette au collège est l’énergie électrique, mesurée en kilowattheures (kWh). Elle se calcule en multipliant une puissance (en kilowatts) par une durée (en heures) : énergie = puissance × durée.
Exemple : un radiateur consomme une puissance constante de 2 000 W pendant 3 heures.
On convertit d’abord la puissance : 2 000 W = 2 kW. Puis :
\(\text{énergie} = 2\text{ kW} \times 3\text{ h} = 6\text{ kWh}\)
Le radiateur a consommé 6 kWh. Avec un prix de 0,25 € par kWh, cela coûte 6 × 0,25 = 1,50 €.
Le mot « kilowattheure » contient déjà sa recette : kilowatt × heure. Attention à ne pas confondre le watt (une puissance, l’unité d’un appareil) et le wattheure (une énergie, ce qui apparaît sur ta facture). Comme 1 kWh vaut 3 600 000 joules, soit \(3{,}6 \times 10^{6}\) J, un petit détour par les puissances de 10 aide à écrire proprement ce grand nombre.
Sur une facture d’électricité, un abonnement fixe s’ajoute à la part proportionnelle à la consommation. Le prix total est alors une fonction affine, non proportionnelle : à consommation nulle, l’abonnement reste dû. Compare avec une situation de proportionnalité dans l’exercice 5. Le tarif de 0,25 €/kWh est une donnée fictive d’exercice.
IV. Convertir une grandeur composée : une unité à la fois
Pour convertir une grandeur composée, on transforme ses unités une à une, en gardant la trace de chaque facteur. C’est la clé pour ne plus jamais se tromper de facteur : on convertit d’abord le haut de la fraction, puis le bas.
Voici la méthode en 3 étapes, sur l’exemple de 72 km/h que l’on veut passer en m/s.
- Je convertis la grandeur du haut : 72 km = 72 000 m.
- Je convertis la grandeur du bas : 1 h = 3 600 s.
- Je recalcule le quotient avec les nouvelles unités.
Le secret : les unités suivent les nombres jusqu’au bout du calcul. Tu « multiplies par 1 » en remplaçant 1 km par 1 000 m et 1 h par 3 600 s, sans rien changer à la valeur réelle de la vitesse. Cette technique marche pour toutes les grandeurs composées. Pour l’appliquer pas à pas à la vitesse, va voir la page convertir des km/h en m/s ; et pour revoir les tableaux de base (longueurs, masses, capacités), appuie-toi sur la conversion d’unités.
Erreur classique : convertir g/cm³ en kg/m³ d’un seul coup. On lit parfois que 2,5 kg/m³ feraient 2 500 g/cm³. C’est faux : il faut convertir le haut (kg → g) ET le bas (m³ → cm³) séparément. Résultat correct : 2,5 kg/m³ = 0,0025 g/cm³. Une unité à la fois, toujours.
V. Vérifier un résultat avec les unités
Les unités sont ton meilleur détecteur d’erreur. Avant de valider un résultat, pose-toi une question : est-ce que mon unité finale est bien celle attendue ?
Si tu divises une distance (en km) par une durée (en h), tu dois obtenir des km/h : une vitesse. Si tu obtiens autre chose, c’est que tu as inversé la division. De la même façon, une masse en grammes divisée par un volume en cm³ donne des g/cm³ (une masse volumique), jamais des cm³/g.
Le réflexe à prendre : écris toujours les unités à côté des nombres pendant le calcul. Elles « se simplifient » comme des nombres. Par exemple, dans \(2\text{ kW} \times 3\text{ h}\), il reste bien des kW·h, c’est-à-dire des kWh. L’unité obtenue permet de repérer certaines erreurs, mais ne suffit pas à prouver la formule ni le résultat.
Récapitulons toutes ces grandeurs dans un seul tableau, pour les avoir sous les yeux.
| Grandeur | Calcul | Unités | Famille |
|---|---|---|---|
| Vitesse | distance ÷ temps | km/h, m/s | quotient |
| Débit | volume ÷ temps | L/min, m³/h | quotient |
| Prix au kilo | prix ÷ masse | €/kg | quotient |
| Masse volumique | masse ÷ volume | g/cm³, kg/m³ | quotient |
| Densité de population | habitants ÷ aire | hab/km² | quotient |
| Énergie | puissance × durée | kWh | produit |
VI. Exercices corrigés
À toi de jouer. Les exercices vont du simple calcul aux problèmes type brevet. Essaie chaque question avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Comparer deux prix au kilo ★
Un paquet A contient 500 g de café pour 4,50 €. Un paquet B contient 250 g du même café pour 2,00 €. Lequel est le moins cher au kilo ?
Voir la correction de l’exercice 1
On calcule le prix au kilo de chaque paquet (attention : 500 g = 0,5 kg et 250 g = 0,25 kg).
Paquet A : \(\displaystyle\frac{4{,}50\text{ €}}{0{,}5\text{ kg}} = 9\text{ €/kg}\)
Paquet B : \(\displaystyle\frac{2{,}00\text{ €}}{0{,}25\text{ kg}} = 8\text{ €/kg}\)
Le paquet B est le moins cher : 8 €/kg contre 9 €/kg.
Exercice 2 — Calculer un débit ★
Une baignoire de 180 litres se remplit en 15 minutes. Quel est le débit du robinet, en litres par minute ?
Voir la correction de l’exercice 2
Le débit est un volume divisé par une durée.
\(\text{débit} = \displaystyle\frac{180\text{ L}}{15\text{ min}} = 12\text{ L/min}\)Le robinet a un débit de 12 litres par minute.
Exercice 3 — Convertir une vitesse ★★
Un cycliste roule à 36 km/h. Convertis cette vitesse en mètres par seconde (m/s).
Voir la correction de l’exercice 3
On convertit une unité à la fois : le haut (km → m), puis le bas (h → s).
36 km = 36 000 m et 1 h = 3 600 s.
\(36\text{ km/h} = \displaystyle\frac{36\,000\text{ m}}{3\,600\text{ s}} = 10\text{ m/s}\)Le cycliste roule à 10 m/s.
Exercice 4 — Masse volumique et choix du matériau ★★
Un objet métallique a un volume de 50 cm³ et une masse de 445 g. Parmi le fer (7,8 g/cm³), l’aluminium (2,7 g/cm³) et le cuivre (8,9 g/cm³), à quel matériau correspond sa masse volumique ?
Voir la correction de l’exercice 4
On divise la masse par le volume.
\(\displaystyle\frac{445\text{ g}}{50\text{ cm}^3} = 8{,}9\text{ g/cm}^3\)La masse volumique obtenue vaut 8,9 g/cm³ : elle correspond au cuivre parmi les trois matériaux proposés. On ne choisit pas le fer au seul motif qu’il est plus proche que l’aluminium.
Exercice 5 — Facture d’électricité (type brevet) ★★★
Une facture d’électricité comporte un abonnement fixe de 12 € par mois, plus 0,25 € par kWh consommé. Au mois de janvier, une famille a consommé 480 kWh.
a. Calcule le montant de la consommation. b. Calcule le montant total de la facture. c. Le prix total est-il proportionnel à la consommation ?
Voir la correction de l’exercice 5
a. La consommation coûte le prix par kWh multiplié par le nombre de kWh :
\(480 \times 0{,}25 = 120\text{ €}\)b. On ajoute l’abonnement fixe :
\(12 + 120 = 132\text{ €}\)La facture totale s’élève à 132 €.
c. Non. À cause de l’abonnement fixe de 12 €, le prix total n’est pas proportionnel à la consommation : pour 0 kWh, on paierait déjà 12 €, alors qu’une grandeur proportionnelle vaudrait 0. Seule la partie « consommation » (0,25 €/kWh) est proportionnelle.
Exercice 6 — Chaîne de grandeurs (type brevet) ★★★
Un lingot d’or a la forme d’un pavé droit de 10 cm × 4 cm × 2 cm. La masse volumique de l’or vaut 19,3 g/cm³.
a. Calcule le volume du lingot. b. Calcule sa masse en grammes, puis en kilogrammes.
Voir la correction de l’exercice 6
a. Le volume d’un pavé droit est le produit de ses trois dimensions :
\(V = 10 \times 4 \times 2 = 80\text{ cm}^3\)b. La masse volumique relie masse et volume par masse = masse volumique × volume :
\(m = 19{,}3 \times 80 = 1\,544\text{ g}\)Soit \(1\,544\text{ g} = 1{,}544\text{ kg}\). Le lingot pèse environ 1,5 kg. Vérification par les unités : g/cm³ × cm³ donne bien des grammes ✓.
VII. Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une grandeur proportionnelle ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient. Par exemple, la distance et le temps sont proportionnels si la vitesse est constante. Une grandeur composée naît souvent d’une situation de proportionnalité : la vitesse, le prix au kilo ou la masse volumique sont justement les coefficients de ces situations.
Comment convertir des grandeurs composées ?
On convertit les unités une à la fois, en gardant la trace de chaque facteur. On transforme d’abord la grandeur du haut de la fraction, puis celle du bas, et on recalcule le quotient. Par exemple, pour passer de km/h en m/s : on change les km en m, puis les h en s, et on divise. Cette méthode évite les erreurs de facteur.
Quelle est la différence entre une grandeur simple et une grandeur composée ?
Une grandeur simple se mesure avec une seule unité de base : une longueur en mètres, une masse en kilogrammes, une durée en secondes. Une grandeur composée se construit à partir de deux grandeurs simples, par une multiplication ou une division. Son unité est elle aussi composée : km/h, €/kg, kWh. L’unité est le meilleur indice pour les reconnaître.
Comment reconnaître une grandeur quotient d’une grandeur produit ?
Regarde son unité. Si elle contient le mot « par » ou une barre de fraction (km/h, L/min, €/kg), c’est une grandeur quotient obtenue par une division. Si l’unité est un produit de deux unités, comme le kilowattheure (kilowatt multiplié par heure), c’est une grandeur produit. Au collège, les grandeurs quotients sont les plus fréquentes.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître, calculer et convertir les grandeurs composées. Pour continuer à t’entraîner et relier ce chapitre au reste du programme :
- La proportionnalité : tout comprendre du CM1 à la 3ème
- 12 Exercices de Proportionnalité en 4ème Corrigés (PDF)
- Exercices de proportionnalité corrigés : du CM1 à la 3ème
- Convertir un nombre décimal en fraction (et une fraction en décimal)
- Volume des solides : toutes les formules et comment les utiliser
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