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L’épreuve de Mathématiques 2 Mines-Ponts PSI 2026, proposée le 28 avril 2026, est un problème unique en 25 questions organisé en quatre parties liées par un fil conducteur original : déterminer la probabilité qu’un entier tiré uniformément dans \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\) soit sans facteur à la puissance \(k\). Le sujet mêle analyse (séries, séries de fonctions, équations différentielles), arithmétique (fonction de Möbius, nombres premiers) et probabilités discrètes. La difficulté est progressive mais l’ensemble constitue un sujet exigeant, avec des passages techniques délicats dans les parties 2 et 4.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Partie 1 (Q1–Q9) | Calcul de la somme \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^2 + x^2}\) | Accessible à Élevé | Séries trigonométriques, intégrales, équation différentielle d’ordre 2 |
| Partie 2 (Q10–Q14) | DSE de \(x \mapsto \displaystyle\frac{x}{e^x – 1}\) et nombres de Bernoulli | Élevé | Séries entières, fonction zêta de Riemann, restes intégraux |
| Partie 3 (Q15–Q19) | Probabilité d’être sans facteur à la puissance \(k\) | Accessible à Élevé | Formule d’inclusion-exclusion, indicatrices, fonction de Möbius |
| Partie 4 (Q20–Q25) | Calcul de \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\mu(d)}{d^k}\) et limite de \(q_n(k)\) | Élevé à Très élevé | Convergence dominée, produit de Dirichlet, inversion de Möbius |
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Structure et thèmes du sujet
Partie 1 — Calcul d’une somme de séries (Q1–Q9)
Cette partie est un grand classique de l’analyse : on part d’une somme géométrique complexe \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{e^{ik\theta}}{k}\) sous forme intégrale (Q1), on passe à la limite pour obtenir une série (Q2), puis on en extrait la partie imaginaire pour calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \displaystyle\frac{\sin(k\theta)}{k}\) (Q3). On construit ensuite la fonction \(S(t) = \displaystyle\sum \displaystyle\frac{\cos(nt)}{n^2}\) par intégration terme à terme (Q4–Q5). Les questions Q6 à Q9 utilisent une équation différentielle d’ordre 2 vérifiée par une fonction auxiliaire \(g_x\) pour aboutir à une identité reliant la somme \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^2 + x^2}\) à la fonction exponentielle.
Partie 2 — Développement en série entière et nombres de Bernoulli (Q10–Q14)
On étudie la fonction \(h(x) = \displaystyle\frac{x}{e^x – 1}\) prolongée par continuité en 0. La question Q10 demande un développement avec reste de \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + n^2}\) via la somme géométrique, puis Q11 exploite l’identité de la partie 1 pour écrire \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{x^2}{x^2 + n^2}\) comme série de puissances faisant intervenir les valeurs de \(\zeta\) aux entiers pairs. La question Q12 fournit le développement en série entière de \(h\) et introduit les nombres de Bernoulli \(b_k = h^{(k)}(0)\). Les questions Q13 et Q14 permettent de calculer \(b_0, b_1, b_2, b_4\) puis d’en déduire \(\zeta(2)\) et \(\zeta(4)\).
Partie 3 — Probabilités et inclusion-exclusion (Q15–Q19)
On passe au cœur probabiliste du problème. Après un lemme combinatoire sur le développement d’un produit (Q15), on établit des identités sur les fonctions indicatrices (Q16) pour démontrer la formule d’inclusion-exclusion (Q17). On définit alors \(q_n(k)\), la probabilité qu’un entier tiré dans \(\llbracket 1 ; n \rrbracket\) selon la loi uniforme soit sans facteur à la puissance \(k\), et on l’exprime via l’inclusion-exclusion (Q18) puis à l’aide de la fonction de Möbius (Q19).
Partie 4 — Convergence et formule limite (Q20–Q25)
La dernière partie montre la convergence de \((q_n(k))_{n \in \mathbb{N}^*}\) vers \(\displaystyle\frac{1}{\zeta(k)}\). On utilise le théorème de convergence dominée (Q20), des manipulations de séries doubles (Q21–Q22), l’identité fondamentale \(\displaystyle\sum_{d \mid m} \mu(d) = \mathbf{1}_{m=1}\) (Q23) et la relation d’inversion de Möbius pour conclure (Q24–Q25). Les valeurs de \(\zeta(2)\) et \(\zeta(4)\) calculées en partie 2 donnent les résultats numériques finaux.
Notions et chapitres testés
- Séries numériques et séries de fonctions : convergence absolue, convergence normale, théorème de sommation terme à terme, interversion somme-intégrale.
- Séries entières : rayon de convergence, développement en série entière, identification des coefficients.
- Séries trigonométriques : calcul de \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\sin(k\theta)}{k}\) et \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\cos(k\theta)}{k^2}\), liens avec les polynômes de Bernoulli.
- Équations différentielles linéaires d’ordre 2 : résolution de \(y^{\prime\prime} – x^2 y = f(t)\), méthode de la solution particulière polynomiale.
- Continuité et régularité : continuité d’une somme de série de fonctions, classe \(C^2\) par convergence normale des dérivées.
- Intégration : calcul d’intégrales paramétiques, changement de variable et primitive de fonctions trigonométriques.
- Arithmétique : nombres premiers, décomposition en facteurs premiers, fonction de Möbius, fonction partie entière.
- Probabilités discrètes : loi uniforme sur un ensemble fini, formule d’inclusion-exclusion, fonctions indicatrices d’événements.
- Convergence dominée : application à une suite de fonctions en escalier pour obtenir la limite d’une suite de probabilités.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet se distingue par son originalité thématique : le fil conducteur menant des séries trigonométriques à la théorie probabiliste des nombres (via la fonction de Möbius et la fonction zêta de Riemann) est peu courant au niveau PSI. Par rapport aux sujets Mines-Ponts Maths 2 PSI des années 2022 à 2025, qui portaient plus classiquement sur l’algèbre linéaire ou l’analyse fonctionnelle, ce sujet est d’un calibre supérieur à la moyenne.
La partie 1 reste abordable pour un candidat bien préparé en séries de fonctions. La partie 2 monte d’un cran avec les manipulations de restes et l’identification des coefficients de Bernoulli. La partie 3 est relativement standard (inclusion-exclusion), mais la partie 4 est clairement discriminante : les arguments de convergence dominée et de séries doubles demandent une vraie maturité mathématique.
En termes de barème probable, les questions Q1 à Q5, Q10, Q15 à Q17 sont celles où la grande majorité des candidats peuvent engranger des points. Les questions Q8–Q9, Q11–Q14 et Q20–Q25 séparent les bons candidats des très bons.
Pièges et points techniques délicats
Q1 — Passage de la somme à l’intégrale. Le piège est d’oublier de bien justifier la formule de la somme géométrique dans le cas complexe, ou de confondre l’indice de sommation avec la variable d’intégration. Vérifie que \(e^{i\theta} \neq 1\) est bien garanti par l’hypothèse \(\theta \notin 2\pi\mathbb{Z}\).
Q3 — Fonction \(u_\theta\) et passage à la limite. L’indication suggère d’utiliser \(u_\theta(t) = \mathrm{Arctan}\!\left(\displaystyle\frac{t\sin\theta}{1 – t\cos\theta}\right)\). Le piège est de ne pas vérifier que le dénominateur \(1 – t\cos\theta\) ne s’annule pas sur \([0;1]\) pour \(\theta \in {]0;\pi[}\). Pense aussi à bien prendre la partie imaginaire de la série de Q2 et non la partie réelle.
Q5 — Valeur de \(S(0)\). La formule \(S(\theta) = \displaystyle\frac{\theta^2}{4} – \displaystyle\frac{\pi\theta}{2} + S(0)\) nécessite de connaître \(S(0) = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) — qui n’est calculé explicitement qu’en partie 2 ! L’énoncé ne demande pas sa valeur ici, mais attention à ne pas poser \(S(0) = 0\) par erreur.
Q7 — Solution polynomiale particulière. Il faut chercher un polynôme de degré 2 en \(t\). L’erreur classique est d’oublier la constante \(S(0)\) dans le second membre, ou de se tromper dans l’identification des coefficients en substituant dans l’équation.
Q10 — Majoration du reste \(R_{N,n}(x)\). La somme \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \vert R_{N,n}(x)\vert\) doit être majorée par \(\zeta(2N+2)\vert x\vert^{2N+2}\). Le piège est de ne pas justifier proprement la convergence de cette série de restes, ou d’intervertir somme et limite sans argument valide.
Q13 — Relation entre les \(b_k\). L’indication utilise \(\displaystyle\frac{x}{e^x – 1} \times \displaystyle\frac{e^x – 1}{x} = 1\). Le piège est de mal gérer le produit de Cauchy des deux séries entières, surtout pour les premiers termes.
Q20 — Convergence dominée. La suite de fonctions \(f_n\) définies par morceaux doit être dominée par une fonction intégrable sur \([1;+\infty[\). Le piège classique est de proposer un dominant qui n’est pas sommable, ou d’oublier que \(\vert \mu(d)\vert \leq 1\).
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Partie 1
- Q1 : Écrire \(\displaystyle\frac{e^{ik\theta}}{k} = e^{i\theta}\displaystyle\int_0^1 (e^{i\theta}t)^{k-1}\,\mathrm{d}t\) puis sommer la série géométrique sous l’intégrale.
- Q2 : Convergence dominée ou convergence uniforme sur \([0;1]\) pour passer à la limite dans l’intégrale.
- Q3 : Extraire la partie imaginaire, utiliser la fonction \(u_\theta\) suggérée, vérifier que \(u_\theta^\prime(t) = \displaystyle\frac{\sin\theta}{1 – 2t\cos\theta + t^2}\), et calculer \(u_\theta(1) – u_\theta(0)\).
- Q4–Q5 : Convergence normale de \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\cos(nt)}{n^2}\) (majorée par \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{1}{n^2}\)). Pour Q5, intégrer la relation de Q3 entre 0 et \(\theta\).
- Q6–Q9 : Vérifier la régularité \(C^2\) de \(g_x\) par dérivation terme à terme (convergence normale des dérivées), résoudre l’EDO homogène \(y^{\prime\prime} – x^2 y = 0\) dont les solutions sont \(Ae^{xt} + Be^{-xt}\), trouver la solution particulière polynomiale, puis exploiter les conditions aux limites \(g_x^\prime(0)\) et \(g_x^\prime(\pi)\) pour identifier les constantes.
Partie 2
- Q10 : Utiliser la somme géométrique finie \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + n^2} = \displaystyle\frac{1}{n^2} \cdot \displaystyle\frac{1}{1 + (x/n)^2}\) et développer \(\displaystyle\frac{1}{1+u}\) à l’ordre \(N\) avec reste intégral.
- Q11 : Sommer sur \(n\) et utiliser le résultat de Q9 pour le membre de gauche.
- Q12 : Reporter dans l’identité de Q9 le développement de Q11, identifier les coefficients pour obtenir la série entière de \(h\) avec les nombres de Bernoulli.
- Q13 : Produit de Cauchy de \(h(x)\) et \(\displaystyle\frac{e^x – 1}{x} = \displaystyle\sum \displaystyle\frac{x^k}{(k+1)!}\), identification du coefficient de \(x^n\) à 0 pour \(n \geq 1\).
- Q14 : Résolution du système triangulaire issu de Q13 pour trouver \(b_2 = \displaystyle\frac{1}{6}\), \(b_4 = -\displaystyle\frac{1}{30}\), puis injection dans Q12 pour obtenir \(\zeta(2) = \displaystyle\frac{\pi^2}{6}\) et \(\zeta(4) = \displaystyle\frac{\pi^4}{90}\).
Partie 3
- Q15 : Récurrence sur \(r\) en développant le produit.
- Q16 : \(\mathbf{1}_{\bar{A}} = 1 – \mathbf{1}_A\) et \(\mathbf{1}_{A \cap B} = \mathbf{1}_A \cdot \mathbf{1}_B\) car les indicatrices sont à valeurs dans \(\{0;1\}\).
- Q17 : Développer \(\mathbf{1}_{A_1 \cup \cdots \cup A_r} = 1 – \displaystyle\prod (1 – \mathbf{1}_{A_i})\) en utilisant Q15, puis prendre l’espérance.
- Q18–Q19 : L’ensemble des entiers ayant un facteur \(p_i^k\) est \(A_n(p_i^k)\). L’inclusion-exclusion donne la formule, puis on reconnaît la fonction de Möbius dans les signes \((-1)^m\) et les produits de premiers distincts.
Partie 4
- Q20 : Introduire \(f_n(t) = \displaystyle\frac{1}{n}\mu(d)\lfloor \displaystyle\frac{n}{d^k}\rfloor\) sur \([d, d+1[\), dominer par \(\displaystyle\frac{1}{d^k}\) (sommable pour \(k \geq 2\)) et appliquer la convergence dominée.
- Q21–Q22 : Encadrer la différence entre le produit des sommes partielles et la somme partielle du produit de Dirichlet. Utiliser \(F_N \subset E_N \subset F_{N^2}\) pour conclure.
- Q23 : Si \(m = p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}\), les diviseurs sans facteur carré de \(m\) sont les produits de sous-ensembles de \(\{p_1,\ldots,p_r\}\) et la somme vaut \(\displaystyle\prod (1 – 1) = 0\) si \(r \geq 1\).
- Q24–Q25 : En combinant Q22 et Q23, on obtient \(\displaystyle\sum \displaystyle\frac{\mu(i)}{i^s} = \displaystyle\frac{1}{\zeta(s)}\), d’où \(\lim q_n(k) = \displaystyle\frac{1}{\zeta(k)}\).
Conseils pour les futurs candidats
Maîtrise les séries de fonctions. Ce sujet confirme que les séries trigonométriques et les séries entières sont un terrain de jeu favori des concepteurs Mines-Ponts. Entraîne-toi systématiquement à justifier les interversions somme-intégrale et les dérivations terme à terme. Révise les fonctions trigonométriques et leurs développements en série.
Travaille l’arithmétique de base. La fonction de Möbius et les propriétés multiplicatives ne sont pas au programme PSI au sens strict, mais elles sont introduites dans l’énoncé. Ce qui est testé, c’est ta capacité à manipuler des décompositions en facteurs premiers et des sommes sur les diviseurs. Assure-toi d’être à l’aise avec la fonction partie entière et les dénombrements associés.
Ne néglige pas les probabilités discrètes. La formule d’inclusion-exclusion apparaît régulièrement dans les concours. Apprends à la démontrer proprement via les indicatrices — c’est exactement ce que fait ce sujet. Travaille aussi les exercices de probabilités impliquant des arguments combinatoires.
Entraîne-toi à la convergence dominée dans des contextes variés. La partie 4 utilise ce théorème pour des fonctions en escalier et des séries. C’est un outil puissant mais qui demande de la rigueur dans la construction du dominant. Veille à toujours énoncer clairement les trois hypothèses (convergence simple, domination, intégrabilité du dominant).
Enfin, ce sujet montre qu’un problème de concours peut traverser plusieurs domaines des mathématiques — de l’analyse pure à la théorie des nombres en passant par les probabilités. La capacité à suivre un fil conducteur long et à réutiliser des résultats de parties précédentes est une compétence clé. Prends l’habitude, lors de tes révisions, de travailler des problèmes complets plutôt que des exercices isolés.
