Analyse et Correction du Sujet Maths e3a-Polytech PSI 2026

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Le sujet de Mathématiques e3a-Polytech PSI 2026 se compose de quatre exercices indépendants, à traiter en 4 heures sans calculatrice. Le spectre thématique est large : optimisation multivariable avec étude de la matrice hessienne, suites récurrentes et séries de fonctions, endomorphisme sur un espace de polynômes (saveur Legendre), et enfin un exercice de probabilités mêlant fonctions génératrices et racines de l’unité. Le niveau d’ensemble est conforme aux standards e3a-Polytech, avec des questions d’amorce accessibles et des fins d’exercices plus sélectives, en particulier dans les exercices 3 et 4.

Structure et thèmes du sujet

Exercice 1 — Optimisation multivariable (Q1–8)

L’exercice s’ouvre sur deux questions préliminaires indépendantes : rappeler la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 en dimension \(n\), puis étudier la matrice \(J \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients valent 1 — rang, spectre, et caractère défini positif de \(I_n + J\). On étudie ensuite la fonction \(f(m) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k^2 + \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k\right)^{\!2} – \displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k\) : dérivées partielles, gradient, unique point critique, matrice hessienne, spectre et nature de l’extremum. L’exercice est très guidé et relie habilement les préliminaires à l’étude de \(f\).

Exercice 2 — Suite récurrente et série de fonctions (Q1.1–2)

On définit \(v_{n+1} = \ln\!\left(1 – \displaystyle\frac{1}{2}\,v_n\right)\) avec \(v_0 \in [-1,1]\). La partie 1 fait dresser le tableau de variations de la fonction associée \(f : x \mapsto \ln\!\left(1 – \displaystyle\frac{x}{2}\right)\), identifier l’image \(f([-1,1]) = [a,b]\), puis montrer que la suite est bien définie, contractante et convergente vers 0 (point fixe de \(f\)). La partie 2 demande de prouver la convergence uniforme de la série \(\displaystyle\sum_{n \geq 1} u_n\) sur \([-1,1]\), où \(u_0(x)=x\) et \(u_{n+1}(x) = \ln\!\left(1 – \displaystyle\frac{1}{2}\,u_n(x)\right)\).

Exercice 3 — Endomorphisme Φ et polynômes orthogonaux (Q1–14)

On travaille sur \(E_n = \mathbb{R}_n[X]\) avec l’endomorphisme \(\Phi(P) = ((X^2-1)P)^{\prime\prime} = (X^2-1)P^{\prime\prime} + 4XP^\prime + 2P\). L’exercice demande de calculer \(\Phi(P_k)\) pour \(P_k = X^k\), écrire la matrice de \(\Phi\) dans la base canonique (triangulaire inférieure), déterminer les valeurs propres \(\lambda_k = (k+1)(k+2)\), vérifier la diagonalisabilité, puis construire l’unique base de polynômes propres unitaires \((Q_0,\ldots,Q_n)\) vérifiant \(Q_k(-X) = (-1)^k Q_k(X)\). On introduit enfin le produit scalaire \((P \mid Q) = \displaystyle\int_{-1}^{1}(1-t^2)\,P(t)\,Q(t)\,\mathrm{d}t\) et on montre que \(\Phi\) est symétrique et que la base \((Q_k)\) est orthogonale — un résultat analogue aux polynômes de Gegenbauer.

Exercice 4 — Dés truqués et loi uniforme (Q1–11)

Les préliminaires rappellent qu’un polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle, puis déterminent les racines complexes de \(X^{11}-1\) et de \(1 + X + \cdots + X^{10}\). On passe ensuite à deux dés à 6 faces (pas forcément équilibrés), de somme \(S = U + V\). En supposant \(S\) de loi uniforme sur \(\{2,\ldots,12\}\), on explicite la fonction génératrice \(G_S\), on la factorise via \(G_S(t) = G_U(t)\,G_V(t)\), et on aboutit à une contradiction élégante : le polynôme \(1 + t + \cdots + t^{10}\) n’a pas de racine réelle, mais les facteurs \(Q\) et \(R\) (de degré 5, impair) en possèdent nécessairement.

Notions et chapitres testés

• Calcul différentiel en dimension \(n\) : dérivées partielles, gradient, matrice hessienne, formule de Taylor-Young à l’ordre 2, extremum local (exercice 1).
• Algèbre linéaire — réduction : rang d’une matrice, valeurs propres, sous-espaces propres, diagonalisation, matrice symétrique réelle définie positive (exercices 1 et 3).
• Suites numériques : suites récurrentes \(u_{n+1} = f(u_n)\), théorème du point fixe, contraction stricte (exercice 2, partie 1).
• Séries de fonctions : convergence normale et uniforme, norme infinie (exercice 2, partie 2).
• Espaces de polynômes : endomorphisme, matrice dans une base, polynômes unitaires, produit scalaire sur un espace de fonctions, orthogonalité, intégration par parties (exercice 3).
• Probabilités — variables aléatoires discrètes : fonction génératrice, loi uniforme, indépendance, racines de l’unité (exercice 4).
• Polynômes : racines complexes, factorisation, théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux polynômes réels de degré impair (exercice 4).

Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes

Ce sujet 2026 s’inscrit dans la lignée des épreuves e3a-Polytech PSI récentes : un format à quatre exercices indépendants, couvrant un large pan du programme, avec un niveau progressif au sein de chaque exercice. Par rapport aux sessions 2022-2025, on note :

• Exercice 1 : très classique et proche des sujets 2023–2024 qui proposaient déjà des études d’extrema en dimension \(n\). Le guidage pas à pas le rend abordable pour tout candidat sérieux.
• Exercice 2 : la partie sur les suites récurrentes est standard ; la question sur la convergence uniforme de la série est un cran au-dessus, mais reste dans l’esprit des sujets e3a qui aiment conclure par une question de synthèse.
• Exercice 3 : c’est le plus long et le plus exigeant. Les polynômes orthogonaux apparaissent régulièrement dans les concours (Mines-Ponts 2023, Centrale 2024), mais ici le traitement complet (endomorphisme, diagonalisation, produit scalaire, symétrie) est plus ambitieux que l’habitude pour e3a.
• Exercice 4 : le raisonnement par l’absurde combinant fonctions génératrices et racines de l’unité est élégant et original. Sa difficulté se situe dans la compréhension globale de la démarche plus que dans la technicité.

Globalement, le sujet est de difficulté moyenne à élevée pour e3a-Polytech, avec un exercice 3 nettement sélectif. Un candidat bien préparé devait viser la totalité des exercices 1 et 2, les 10 premières questions de l’exercice 3 et les questions 1 à 9 de l’exercice 4.

Pièges et points techniques délicats

Méthodes attendues et stratégies de résolution

Exercice 1

• Q1 : Écrire la formule de Taylor-Young à l’ordre 2 faisant intervenir le gradient et la hessienne : \(f(a+h) = f(a) + \nabla f(a) \cdot h + \displaystyle\frac{1}{2}\,{}^t\!h\,H_f(a)\,h + o(\|h\|^2)\).
• Q2 : Remarquer que \(J = \mathbf{1}\,{}^t\!\mathbf{1}\) (produit colonne × ligne), d’où \(\mathrm{rg}(J) = 1\). Spectre de \(J\) : \(n\) (vecteur propre \(\mathbf{1}\)) et \(0\) (multiplicité \(n-1\)).
• Q3–6 : Calcul direct des dérivées partielles. Le gradient s’annule quand toutes les composantes sont égales ; on trouve \(a_i = \displaystyle\frac{1}{2(n+1)}\).
• Q7 : La hessienne vaut \(H_f = 2(I_n + J)\), de spectre \(\{2,\, 2(n+1)\}\). Toutes les valeurs propres étant strictement positives, c’est un minimum local (et global).
• Q8 : Calculer \(f(a) = -\displaystyle\frac{n}{4(n+1)}\).

Exercice 2

• Q1.1 : Étudier \(f^\prime(x) = -\displaystyle\frac{1}{2-x}\), strictement négatif sur \([-1,1]\), puis calculer \(f(-1) = \ln\!\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)\) et \(f(1) = -\ln 2\).
• Q1.3–1.5 : Raisonnement par récurrence pour \(v_n \in [a,b]\), puis théorème des accroissements finis pour obtenir la contraction \(|v_n| \leq k\,|v_{n-1}|\) en utilisant \(f(0) = 0\).
• Q2 : Montrer la convergence normale : \(\|u_n\|_\infty \leq k^{n-1}\|u_1\|_\infty\) pour \(n \geq 2\), avec \(k \in\, ]0,1[\). La série géométrique conclut.

Exercice 3

• Q2 : Calculer \(\Phi(X^k) = (k+1)(k+2)X^k – k(k-1)X^{k-2}\) par dérivation directe.
• Q4 : Les valeurs propres sont les coefficients diagonaux \(\lambda_k = (k+1)(k+2)\), qui sont deux à deux distincts.
• Q7–8 : Utiliser la substitution \(X \to -X\) pour montrer que \(T(-X)\) est aussi vecteur propre si \(T\) l’est, puis construire \(Q_k\) unitaire de parité \((-1)^k\).
• Q13 : L’intégration par parties avec le facteur \((1-t^2)\) qui s’annule en \(\pm 1\) élimine les termes de bord. La symétrie de \(\Phi\) entraîne l’orthogonalité des vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes.

Exercice 4

• Q2–3 : Les racines de \(X^{11}-1\) sont \(e^{2ik\pi/11}\) pour \(k \in \{0,\ldots,10\}\). Le polynôme \(1 + X + \cdots + X^{10} = \displaystyle\frac{X^{11}-1}{X-1}\) a pour racines les \(e^{2ik\pi/11}\) avec \(k \in \{1,\ldots,10\}\), toutes non réelles.
• Q5–6 : Si \(S\) suit la loi uniforme sur \(\{2,\ldots,12\}\), alors \(G_S(t) = \displaystyle\frac{t^2}{11}(1+t+\cdots+t^{10})\). Ses racines sont \(0\) (double) et les racines 11-ièmes de l’unité (sauf 1).
• Q7–10 : On écrit \(G_U(t) = t\,Q(t)\) et \(G_V(t) = t\,R(t)\) avec \(Q,R\) de degré 5. Par indépendance, \(Q(t)\,R(t) = \displaystyle\frac{1}{11}(1+t+\cdots+t^{10})\). Or \(Q\) et \(R\), de degré impair, ont chacun au moins une racine réelle (Q1), tandis que le membre de droite n’en a aucune (Q3) : contradiction.

Conseils pour les futurs candidats

• Suites récurrentes et points fixes : revois systématiquement le schéma « stabilité → contraction → convergence ». Le logarithme népérien apparaît souvent dans les itérations de ce type ; sois à l’aise avec ses propriétés sur des intervalles restreints.
• Séries de fonctions : la convergence normale via domination par une série géométrique est la méthode à connaître. Elle revient presque chaque année.
• Algèbre sur les espaces de polynômes : les exercices de type « endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\) » sont fréquents aux concours e3a et Mines-Ponts. Travaille la rédaction du calcul de \(\Phi(X^k)\), l’extraction de la matrice, et les liens entre valeurs propres et coefficients diagonaux d’une matrice triangulaire.
• Fonctions génératrices : ce thème est transversal (probabilités + polynômes). Entraîne-toi à factoriser \(G_S = G_U \cdot G_V\) et à exploiter la multiplicité des racines. La question « peut-on truquer des dés ? » est un grand classique de la théorie des probabilités ; la connaître en amont constitue un avantage décisif.
• Gestion du temps : commence par l’exercice 1 (rapide et rentable), puis l’exercice 2, avant d’attaquer les exercices 3 et 4 dans l’ordre de ta préférence. Ne reste pas bloqué sur les fins d’exercice : les questions 13–14 de l’exercice 3 sont plus difficiles et moins rentables que les débuts de l’exercice 4.

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