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En 1796, Gauss démontre que l’on peut construire à la règle et au compas un polygone régulier à 17 côtés — un résultat resté hors de portée depuis l’Antiquité. La clé de cette prouesse tient dans un objet algébrique d’une élégance remarquable : le polynôme cyclotomique. Ces polynômes encodent la structure des racines de l’unité et possèdent une propriété fascinante : leurs coefficients sont entiers, et ils sont irréductibles sur les rationnels. Voyons pourquoi.
I. Définition : les racines primitives de l’unité
Le polynôme cyclotomique se construit à partir d’une famille très particulière de nombres complexes : les racines de l’unité qui « engendrent » toutes les autres. Avant de poser sa définition, il faut donc bien comprendre ce qu’est une racine primitive.
A. Racines de l’unité et ordre d’une racine
Fixons un entier \(n \geq 1\). L’ensemble des \(n\) racines \(n\)-ièmes de l’unité est
\(\displaystyle \mathbb{U}_n = \left\{ \zeta \in \mathbb{C} \mid \zeta^n = 1 \right\} = \left\{ e^{\displaystyle\frac{2i\pi k}{n}} \mid k \in \{0, 1, \dots, n-1\} \right\}.\)C’est un sous-groupe cyclique de \((\mathbb{C}^*, \times)\) d’ordre \(n\). À chaque racine \(\zeta \in \mathbb{U}_n\) on associe son ordre : le plus petit entier \(d \geq 1\) tel que \(\zeta^d = 1\). Cet ordre divise nécessairement \(n\) (théorème de Lagrange).
Définition — Racine primitive \(n\)-ième de l’unité
Une racine \(n\)-ième de l’unité \(\zeta\) est dite primitive lorsque son ordre est exactement \(n\). Autrement dit, \(\zeta\) engendre tout le groupe \(\mathbb{U}_n\). Les racines primitives sont précisément les \(e^{\displaystyle\frac{2i\pi k}{n}}\) pour lesquelles \(\mathrm{pgcd}(k, n) = 1\).
Le nombre de racines primitives \(n\)-ièmes est donc égal au nombre d’entiers \(k \in \{1, \dots, n\}\) premiers avec \(n\) : c’est, par définition, l’indicatrice d’Euler \(\varphi(n)\). Cette quantité va gouverner tout le chapitre.
B. Définition du polynôme cyclotomique
Définition — Polynôme cyclotomique \(\Phi_n\)
Pour \(n \geq 1\), le \(n\)-ième polynôme cyclotomique est le polynôme unitaire dont les racines sont exactement les racines primitives \(n\)-ièmes de l’unité, chacune comptée une fois :
\(\displaystyle \Phi_n(X) = \prod_{1 \leq k \leq n,\ \mathrm{pgcd}(k, n) = 1} \left( X – e^{\displaystyle\frac{2i\pi k}{n}} \right).\)
C’est un polynôme unitaire de degré \(\varphi(n)\).
Le mot « cyclotomique » vient du grec kuklos (cercle) et tomê (coupure) : ces polynômes correspondent au problème de la division du cercle en parts égales, c’est-à-dire à la construction des polygones réguliers.
C. Premiers exemples
Exemple — Les tout premiers cas.
- \(n = 1\) : la seule racine primitive est \(1\), donc \(\Phi_1(X) = X – 1\).
- \(n = 2\) : la seule racine primitive est \(-1\), donc \(\Phi_2(X) = X + 1\).
- \(n = 3\) : les racines primitives sont \(j = e^{\displaystyle\frac{2i\pi}{3}}\) et \(j^2\), donc \(\Phi_3(X) = (X-j)(X-j^2) = X^2 + X + 1\).
- \(n = 4\) : les racines primitives sont \(i\) et \(-i\), donc \(\Phi_4(X) = (X-i)(X+i) = X^2 + 1\).
On observe déjà un fait surprenant : alors que les racines sont des nombres complexes parfois compliqués, les coefficients de \(\Phi_n\) sont entiers. C’est l’une des propriétés que nous allons démontrer. Mais pour cela, il nous faut d’abord la relation fondamentale qui relie tous les \(\Phi_d\) entre eux.
II. La relation fondamentale et le calcul de Φn
Toute la théorie repose sur une identité de factorisation de \(X^n – 1\). Cette relation est à la fois l’outil de calcul et la porte d’entrée vers toutes les propriétés.
A. Énoncé et démonstration
Théorème — Factorisation de \(X^n – 1\)
Pour tout entier \(n \geq 1\), on a dans \(\mathbb{C}[X]\) :
\(\displaystyle X^n – 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(X),\)
où le produit porte sur tous les diviseurs positifs \(d\) de \(n\).
Démonstration. Le polynôme \(X^n – 1\) est scindé à racines simples dans \(\mathbb{C}\), et l’ensemble de ses racines est précisément \(\mathbb{U}_n\). Donc
\(\displaystyle X^n – 1 = \prod_{\zeta \in \mathbb{U}_n} (X – \zeta).\)Classons maintenant les racines selon leur ordre. Toute \(\zeta \in \mathbb{U}_n\) a un ordre \(d\) qui divise \(n\), et \(\zeta\) est alors une racine primitive \(d\)-ième. Réciproquement, toute racine primitive \(d\)-ième (avec \(d \mid n\)) vérifie \(\zeta^n = (\zeta^d)^{n/d} = 1\), donc appartient à \(\mathbb{U}_n\). On obtient ainsi une partition de \(\mathbb{U}_n\) selon l’ordre des éléments :
\(\displaystyle \mathbb{U}_n = \bigsqcup_{d \mid n} \{\zeta \mid \zeta \text{ est primitive } d\text{-ième}\}.\)En regroupant le produit selon cette partition, il vient
\(\displaystyle X^n – 1 = \prod_{d \mid n} \ \prod_{\zeta \text{ primitive } d\text{-ième}} (X – \zeta) = \prod_{d \mid n} \Phi_d(X). \quad ∎\)En passant aux degrés, cette identité redonne au passage la célèbre formule arithmétique \(\displaystyle n = \sum_{d \mid n} \varphi(d)\).
B. Le calcul récursif de Φn
La relation fondamentale fournit immédiatement une méthode de calcul par récurrence forte : en isolant le terme \(d = n\),
\(\displaystyle \Phi_n(X) = \displaystyle\frac{X^n – 1}{\displaystyle\prod_{d \mid n,\ d \lt n} \Phi_d(X)}.\)Méthode pas à pas — Calculer \(\Phi_n\).
- Lister tous les diviseurs stricts \(d\) de \(n\).
- Calculer (ou rappeler) les \(\Phi_d\) correspondants.
- Former leur produit \(Q(X)\).
- Effectuer la division euclidienne de \(X^n – 1\) par \(Q(X)\) : le reste est nul, le quotient est \(\Phi_n\).
Exemple — Calcul de \(\Phi_6\).
Les diviseurs de \(6\) sont \(1, 2, 3, 6\). On connaît \(\Phi_1 = X-1\), \(\Phi_2 = X+1\), \(\Phi_3 = X^2+X+1\). Donc
\(\displaystyle \Phi_6(X) = \displaystyle\frac{X^6 – 1}{\Phi_1 \, \Phi_2 \, \Phi_3} = \displaystyle\frac{X^6-1}{(X-1)(X+1)(X^2+X+1)}.\)
Or \((X-1)(X^2+X+1) = X^3 – 1\) et \((X^3-1)(X+1) = X^4 + X^3 – X – 1\). En posant la division, on trouve
\(\displaystyle \Phi_6(X) = X^2 – X + 1.\)
Vérification : les racines primitives 6-ièmes sont \(e^{\pm i\pi/3} = \displaystyle\frac{1}{2} \pm i\displaystyle\frac{\sqrt 3}{2}\), de somme \(1\) et de produit \(1\). On retrouve bien \(X^2 – X + 1\). ✓
Cette mécanique de division ne tombe jamais sur des coefficients fractionnaires : c’est précisément ce que garantit la propriété centrale de la section suivante.
La fiche cours « Polynômes cyclotomiques » en 1 page
Définition, relation fondamentale, table des Φn, formules de calcul et critère d’irréductibilité — tout l’essentiel synthétisé pour réviser avant une colle ou un concours.
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III. Propriétés et formules de calcul
Nous rassemblons ici les propriétés qui font la richesse de \(\Phi_n\), en commençant par celle qui a sans doute le plus surpris au premier exemple : ses coefficients sont entiers.
A. Φn est unitaire à coefficients entiers
Théorème — \(\Phi_n \in \mathbb{Z}[X]\)
Pour tout \(n \geq 1\), le polynôme \(\Phi_n\) est unitaire, de degré \(\varphi(n)\), et à coefficients entiers : \(\Phi_n \in \mathbb{Z}[X]\).
Démonstration (par récurrence forte sur \(n\)). Pour \(n = 1\), \(\Phi_1 = X – 1 \in \mathbb{Z}[X]\). Soit \(n \geq 2\) ; supposons \(\Phi_d \in \mathbb{Z}[X]\) unitaire pour tout \(d \lt n\). Posons
\(\displaystyle Q(X) = \prod_{d \mid n,\ d \lt n} \Phi_d(X).\)Par hypothèse de récurrence, \(Q\) est un produit de polynômes unitaires à coefficients entiers : c’est donc un polynôme unitaire à coefficients entiers. La relation fondamentale donne \(X^n – 1 = \Phi_n \cdot Q\) dans \(\mathbb{C}[X]\), donc \(Q\) divise \(X^n – 1\).
Or \(Q\) est unitaire : la division euclidienne de \(X^n – 1\) par \(Q\), effectuée dans \(\mathbb{Z}[X]\), est licite (l’algorithme ne fait apparaître que des soustractions de multiples de \(Q\), sans jamais diviser par le coefficient dominant puisqu’il vaut \(1\)). Le quotient obtenu est à coefficients entiers, et par unicité de la division dans \(\mathbb{C}[X]\) il coïncide avec \(\Phi_n\). Donc \(\Phi_n \in \mathbb{Z}[X]\). Son caractère unitaire et son degré \(\varphi(n)\) sont immédiats par définition. ∎
B. Formules de calcul utiles
Plusieurs formules permettent d’obtenir \(\Phi_n\) sans repasser systématiquement par la division.
Boîte à outils. Pour \(p\) premier, \(k \geq 1\) et \(n\) entier :
- Cas premier : \(\displaystyle \Phi_p(X) = \displaystyle\frac{X^p – 1}{X – 1} = 1 + X + X^2 + \dots + X^{p-1}.\)
- Puissance de premier : \(\Phi_{p^k}(X) = \Phi_p\!\left(X^{p^{k-1}}\right) = 1 + X^{p^{k-1}} + \dots + X^{(p-1)p^{k-1}}.\)
- Multiplication par un premier : si \(p \mid n\), alors \(\Phi_{np}(X) = \Phi_n(X^p)\) ; si \(p \not\mid n\), alors \(\displaystyle \Phi_{np}(X) = \displaystyle\frac{\Phi_n(X^p)}{\Phi_n(X)}.\)
- Cas \(2n\) impair : pour \(n \gt 1\) impair, \(\Phi_{2n}(X) = \Phi_n(-X)\).
Une formule plus générale et particulièrement élégante repose sur la fonction de Möbius \(\mu\), obtenue par inversion de Möbius de la relation fondamentale :
\(\displaystyle \Phi_n(X) = \prod_{d \mid n} \left( X^{d} – 1 \right)^{\mu(n/d)}.\)Exemple — \(\Phi_{12}\) par la formule de Möbius.
Les diviseurs de \(12\) sont \(1,2,3,4,6,12\). On calcule \(\mu(12/d)\) pour chaque \(d\) : seuls \(\mu(1)=1\), \(\mu(2)=-1\), \(\mu(3)=-1\), \(\mu(6)=1\) sont non nuls (car \(\mu(4)=\mu(12)=0\)). Cela correspond à \(d = 12, 6, 4, 2\). D’où
\(\displaystyle \Phi_{12}(X) = \displaystyle\frac{(X^{12}-1)(X^2-1)}{(X^6-1)(X^4-1)} = X^4 – X^2 + 1.\)
C. Valeurs particulières et symétrie
Deux valeurs reviennent constamment dans les exercices et les problèmes de concours.
Valeurs de référence. Pour \(n \geq 2\) :
- Terme constant : \(\Phi_n(0) = 1\) (et \(\Phi_1(0) = -1\)).
- Valeur en 1 : \(\Phi_n(1) = p\) si \(n = p^k\) est une puissance d’un nombre premier \(p\), et \(\Phi_n(1) = 1\) sinon.
- Symétrie (réciprocité) : pour \(n \geq 2\), \(\Phi_n\) est un polynôme réciproque : \(X^{\varphi(n)} \Phi_n(1/X) = \Phi_n(X)\). Ses coefficients se lisent donc symétriquement.
Toutes ces propriétés découlent de la définition par les racines. Mais le résultat le plus profond — celui qui justifie l’importance historique des \(\Phi_n\) — concerne leur irréductibilité.
IV. L’irréductibilité de Φn sur Q
C’est le théorème central du chapitre. Il affirme que \(\Phi_n\) ne se factorise pas davantage tant qu’on reste sur les rationnels : c’est un « atome » de \(\mathbb{Q}[X]\).
A. Énoncé du théorème
Théorème (Gauss) — Irréductibilité de \(\Phi_n\)
Pour tout \(n \geq 1\), le polynôme cyclotomique \(\Phi_n\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\) (et, de façon équivalente puisqu’il est unitaire à coefficients entiers, sur \(\mathbb{Z}\)).
La conséquence est majeure en théorie des corps : \(\Phi_n\) est le polynôme minimal sur \(\mathbb{Q}\) de toute racine primitive \(n\)-ième \(\zeta_n\). L’extension cyclotomique vérifie alors \([\mathbb{Q}(\zeta_n) : \mathbb{Q}] = \varphi(n)\).
B. Démonstration dans le cas premier (critère d’Eisenstein)
Le cas \(n = p\) premier est le plus accessible et constitue une application modèle du critère d’Eisenstein. On l’attend en colle et en oral.
Démonstration. On a \(\Phi_p(X) = 1 + X + \dots + X^{p-1} = \displaystyle\frac{X^p – 1}{X-1}\). L’irréductibilité de \(\Phi_p\) équivaut à celle de \(\Phi_p(X+1)\) (un changement de variable affine préserve l’irréductibilité). Or
\(\displaystyle \Phi_p(X+1) = \displaystyle\frac{(X+1)^p – 1}{(X+1) – 1} = \displaystyle\frac{1}{X}\sum_{k=1}^{p} C_{p}^{k} X^{k} = \sum_{k=1}^{p} C_{p}^{k} X^{k-1}.\)Ce polynôme a pour coefficient dominant \(C_{p}^{p} = 1\), pour terme constant \(C_{p}^{1} = p\), et ses coefficients intermédiaires sont les \(C_{p}^{k}\) pour \(1 \leq k \leq p-1\). On applique alors le critère d’Eisenstein avec le premier \(p\) :
- le coefficient dominant \(1\) n’est pas divisible par \(p\) ;
- tous les coefficients \(C_{p}^{k}\) pour \(1 \leq k \leq p-1\) sont divisibles par \(p\) (lemme classique : \(p \mid C_{p}^{k}\) pour \(0 \lt k \lt p\)) ;
- le terme constant \(p\) n’est pas divisible par \(p^2\).
Le critère s’applique : \(\Phi_p(X+1)\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\), donc \(\Phi_p\) aussi. ∎
C. Le cas général (esquisse)
Pour \(n\) quelconque, Eisenstein ne suffit plus. L’idée de la preuve générale (due à Gauss, puis simplifiée par Dedekind) est la suivante.
Plan de la démonstration générale.
- Écrire \(\Phi_n = f \cdot g\) avec \(f, g \in \mathbb{Z}[X]\) unitaires, \(f\) irréductible. Soit \(\zeta\) une racine de \(f\).
- Montrer que pour tout premier \(p \not\mid n\), \(\zeta^p\) est encore racine de \(f\). Le point technique passe par une réduction modulo \(p\) : dans \(\mathbb{F}_p[X]\), le Frobenius \(P(X) \mapsto P(X)^p \equiv P(X^p)\) force \(f\) et \(g\) à partager un facteur si \(\zeta^p\) était racine de \(g\) — ce qui contredit le fait que \(\Phi_n\) est à racines simples modulo \(p\) (puisque \(p \not\mid n\)).
- Comme toute racine primitive s’obtient à partir de \(\zeta\) par élévations successives à des puissances premières avec \(n\), toutes les racines primitives sont racines de \(f\). Donc \(f = \Phi_n\) et \(g = 1\).
Cette démonstration dépasse le strict programme mais figure régulièrement dans les sujets de concours (Centrale, Mines, X) sous forme de problème guidé. Elle illustre la puissance de la réduction modulo \(p\).
V. Table des premiers polynômes cyclotomiques
Voici une table de référence à connaître (au moins jusqu’à \(n = 6\)) et à savoir reconstruire. Remarque l’apparition du premier coefficient différent de \(\pm 1\) seulement à partir de \(n = 105 = 3 \times 5 \times 7\) — un fait classique qui piège beaucoup d’étudiants.
| \(n\) | \(\varphi(n)\) | \(\Phi_n(X)\) | Remarque |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | \(X – 1\) | seul cas avec \(\Phi_n(0)=-1\) |
| 2 | 1 | \(X + 1\) | \(p=2\) |
| 3 | 2 | \(X^2 + X + 1\) | \(p=3\) |
| 4 | 2 | \(X^2 + 1\) | \(2^2\) |
| 5 | 4 | \(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\) | \(p=5\) |
| 6 | 2 | \(X^2 – X + 1\) | \(=\Phi_3(-X)\) |
| 7 | 6 | \(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1\) | \(p=7\) |
| 8 | 4 | \(X^4 + 1\) | \(2^3\) |
| 9 | 6 | \(X^6 + X^3 + 1\) | \(=\Phi_3(X^3)\) |
| 10 | 4 | \(X^4 – X^3 + X^2 – X + 1\) | \(=\Phi_5(-X)\) |
| 11 | 10 | \(1 + X + \dots + X^{10}\) | \(p=11\) |
| 12 | 4 | \(X^4 – X^2 + 1\) | Möbius |
Cette table illustre concrètement toutes les formules de la section III. Passons maintenant à la pratique.
VI. Exercices corrigés
Cinq exercices de difficulté croissante, du calcul direct au problème de concours. Cherche chaque énoncé avant de dérouler la correction.
Exercice 1 — Calcul direct (★)
Calculer \(\Phi_8\) de deux façons : par la relation fondamentale, puis par la formule des puissances de premier.
Voir la correction de l'exercice 1
Méthode 1 (relation fondamentale). Les diviseurs de \(8\) sont \(1,2,4,8\), donc \(X^8 – 1 = \Phi_1 \Phi_2 \Phi_4 \Phi_8\). Or \(\Phi_1\Phi_2\Phi_4 = (X-1)(X+1)(X^2+1) = X^4 – 1\). Donc
\(\displaystyle \Phi_8(X) = \displaystyle\frac{X^8 – 1}{X^4 – 1} = X^4 + 1.\)
Méthode 2 (puissance de premier). Ici \(8 = 2^3\), donc \(\Phi_8(X) = \Phi_2\!\left(X^{2^2}\right) = X^4 + 1\). Les deux résultats coïncident. ✓
Exercice 2 — Une formule de symétrie (★★)
Soit \(n \gt 1\) un entier impair. Montrer que \(\Phi_{2n}(X) = \Phi_n(-X)\).
Voir la correction de l'exercice 2
Les racines primitives \(2n\)-ièmes sont les \(\zeta\) d’ordre exactement \(2n\). Comme \(n\) est impair, \(2\) et \(n\) sont premiers entre eux. Si \(\omega\) est une racine primitive \(n\)-ième, alors \(-\omega\) est d’ordre \(2n\) : en effet \((-\omega)^{2n} = \omega^{2n} = 1\), et son ordre \(d\) divise \(2n\) ; comme \((-\omega)^n = -\omega^n = -1 \neq 1\) (car \(n\) impair), \(d \not\mid n\), et l’on vérifie que \(d = 2n\). L’application \(\omega \mapsto -\omega\) est une bijection des racines primitives \(n\)-ièmes vers les racines primitives \(2n\)-ièmes. Donc
\(\displaystyle \Phi_{2n}(X) = \prod_{\omega} (X – (-\omega)) = \prod_{\omega} (X + \omega) = (-1)^{\varphi(n)} \prod_{\omega} (-X – \omega).\)
Comme \(\varphi(n)\) est pair pour \(n \gt 2\), on obtient \(\Phi_{2n}(X) = \prod_\omega(-X-\omega) = \Phi_n(-X)\). ∎
Exercice 3 — Irréductibilité de Φp (★★★)
Démontrer que pour \(p\) premier, \(\Phi_p\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\). Rédiger comme à l’oral.
Voir la correction de l'exercice 3
C’est la démonstration de la section IV.B, à reproduire proprement : on écrit \(\Phi_p(X) = \displaystyle\frac{X^p-1}{X-1}\), on calcule \(\Phi_p(X+1) = \sum_{k=1}^p C_{p}^{k} X^{k-1}\), on observe que le coefficient dominant vaut \(1\), que les coefficients \(C_{p}^{k}\) (\(1\leq k \leq p-1\)) sont divisibles par \(p\), et que le terme constant \(C_{p}^{1}=p\) n’est pas divisible par \(p^2\). Le critère d’Eisenstein donne l’irréductibilité de \(\Phi_p(X+1)\), donc de \(\Phi_p\). ∎
Point de rédaction : ne pas oublier de justifier que le changement \(X \mapsto X+1\) préserve l’irréductibilité (c’est un automorphisme de \(\mathbb{Q}[X]\)).
Exercice 4 — Valeur de Φn(1) (★★★)
Montrer que pour \(n \geq 2\), \(\Phi_n(1) = p\) si \(n = p^k\) (puissance de premier), et \(\Phi_n(1) = 1\) sinon.
Voir la correction de l'exercice 4
Partons de \(\displaystyle\frac{X^n – 1}{X – 1} = 1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{d \mid n,\ d \gt 1} \Phi_d(X)\) (on a isolé \(\Phi_1 = X-1\)). En faisant \(X \to 1\) dans le membre de gauche, on trouve \(n\). Donc
\(\displaystyle \prod_{d \mid n,\ d \gt 1} \Phi_d(1) = n.\)
Cette relation multiplicative, combinée à une récurrence forte, donne le résultat. Si \(n = p^k\), ses seuls diviseurs \(\gt 1\) sont \(p, p^2, \dots, p^k\) ; par récurrence \(\Phi_{p^j}(1) = p\) pour \(1 \leq j \leq k-1\), donc \(\Phi_{p^k}(1) = \displaystyle\frac{p^k}{p^{k-1}} = p\). Si \(n\) a au moins deux facteurs premiers distincts, on vérifie par récurrence que le produit force \(\Phi_n(1) = 1\). ∎
Exercice 5 — Infinité de premiers ≡ 1 [n] (★★★★★)
Soit \(n \geq 1\). À l’aide des polynômes cyclotomiques, montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers \(p\) tels que \(p \equiv 1 \pmod{n}\) (cas particulier du théorème de Dirichlet).
Voir la correction de l'exercice 5
Lemme clé. Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(p\) un premier divisant \(\Phi_n(a)\). Alors, ou bien \(p \mid n\), ou bien l’ordre de \(a\) dans \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*\) est exactement \(n\) — auquel cas \(n \mid (p-1)\), c’est-à-dire \(p \equiv 1 \pmod n\).
Esquisse du lemme. Si \(p \mid \Phi_n(a)\), comme \(\Phi_n \mid X^n – 1\), on a \(a^n \equiv 1 \pmod p\), donc l’ordre \(\omega\) de \(a\) divise \(n\). Si \(\omega \lt n\), alors \(a\) serait racine double de \(X^n – 1\) modulo \(p\) (racine de \(\Phi_\omega\) et de \(\Phi_n\)), ce qui n’est possible que si \(p \mid n\) (sinon \(X^n-1\) est à racines simples dans \(\mathbb{F}_p\)). D’où \(\omega = n\), et par Lagrange \(n \mid (p-1)\).
Conclusion (à la Euclide). Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de premiers \(\equiv 1 \pmod n\). Choisissons un entier \(N\) multiple de \(n\) et de tous ces premiers. Alors \(\Phi_n(N)\) est, pour \(N\) assez grand, un entier \(\gt 1\) : il admet un diviseur premier \(p\). Par construction \(p \not\mid n\) et \(p\) n’est aucun des premiers de la liste (car \(\Phi_n(N) \equiv \Phi_n(0) = 1 \pmod{p’}\) pour ces \(p’\)). Le lemme impose alors \(p \equiv 1 \pmod n\) : contradiction. Il y a donc une infinité de tels premiers. ∎
C’est l’une des plus belles applications élémentaires des \(\Phi_n\) — un excellent sujet d’oral.
VII. Erreurs fréquentes et rédaction concours
Les polynômes cyclotomiques génèrent quelques pièges récurrents en copie. Les voici, avec la correction attendue.
A. Pièges classiques
Erreur n°1 — Croire que les coefficients sont toujours dans \(\{-1, 0, 1\}\).
❌ « Comme tous les \(\Phi_n\) jusqu’à \(100\) ont des coefficients \(\pm 1\) ou \(0\), c’est toujours le cas. »
Diagnostic : généralisation hâtive à partir des petits cas. ✅ Le premier contre-exemple est \(\Phi_{105}\) (avec \(105 = 3 \times 5 \times 7\)), dont un coefficient vaut \(-2\). Les coefficients de \(\Phi_n\) peuvent en réalité devenir arbitrairement grands.
Erreur n°2 — Confondre \(\Phi_n\) et \(X^n – 1\).
❌ « \(\Phi_n\) a pour racines toutes les racines \(n\)-ièmes de l’unité. »
Diagnostic : \(X^n – 1\) a pour racines toutes les racines \(n\)-ièmes, tandis que \(\Phi_n\) n’a que les racines primitives. ✅ Bien retenir : \(\deg(X^n-1) = n\) mais \(\deg \Phi_n = \varphi(n)\).
Erreur n°3 — Oublier l’hypothèse \(p \not\mid n\) dans les arguments modulo \(p\).
❌ Appliquer « \(X^n – 1\) est à racines simples dans \(\mathbb{F}_p\) » sans condition.
Diagnostic : c’est faux si \(p \mid n\) (la dérivée \(nX^{n-1}\) s’annule modulo \(p\)). ✅ Toujours préciser \(p \not\mid n\) pour garantir la séparabilité.
B. Ce que le correcteur attend
Réflexes de rédaction au concours.
- Justifier la partition de \(\mathbb{U}_n\) par l’ordre avant d’écrire la relation fondamentale : c’est le cœur de l’argument, ne pas l’admettre sans un mot.
- Pour \(\Phi_n \in \mathbb{Z}[X]\) : insister sur le caractère unitaire du diviseur pour légitimer la division dans \(\mathbb{Z}[X]\). C’est exactement le point que le correcteur vérifie.
- Pour Eisenstein : énoncer précisément les trois conditions du critère et vérifier chacune. Mentionner le lemme \(p \mid C_{p}^{k}\).
- Pour les arguments mod \(p\) : citer le Frobenius \(P(X)^p \equiv P(X^p)\) dans \(\mathbb{F}_p[X]\) et la séparabilité de \(X^n – 1\) sous \(p \not\mid n\).
Avec ces réflexes, tu disposes de tous les outils. Reste à répondre aux questions que se posent le plus souvent les étudiants.
VIII. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un polynôme cyclotomique ?
Le \(n\)-ième polynôme cyclotomique \(\Phi_n\) est le polynôme unitaire dont les racines sont exactement les racines primitives \(n\)-ièmes de l’unité (les \(e^{2i\pi k/n}\) avec \(k\) premier avec \(n\)). Il est de degré \(\varphi(n)\), à coefficients entiers, et irréductible sur \(\mathbb{Q}\).
Un polynôme cyclotomique est-il toujours irréductible sur Q ?
Oui. C’est un théorème de Gauss : pour tout \(n \geq 1\), \(\Phi_n\) est irréductible sur \(\mathbb{Q}\). Il est donc le polynôme minimal de toute racine primitive \(n\)-ième de l’unité, ce qui donne \([\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = \varphi(n)\).
Quelle est la différence entre Φn et X^n − 1 ?
Le polynôme \(X^n – 1\) a pour racines toutes les racines \(n\)-ièmes de l’unité (degré \(n\)), alors que \(\Phi_n\) ne retient que les racines primitives (degré \(\varphi(n)\)). On a la factorisation \(X^n – 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d\) : \(\Phi_n\) est le « bloc » de \(X^n-1\) correspondant à l’ordre maximal.
Comment calculer un polynôme cyclotomique rapidement ?
Trois méthodes : (1) la division \(\Phi_n = (X^n-1)/\prod_{d\mid n, d\lt n}\Phi_d\) ; (2) les formules pour \(\Phi_p\) et \(\Phi_{p^k}\) quand \(n\) est une puissance de premier ; (3) la formule de Möbius \(\Phi_n(X) = \prod_{d\mid n}(X^d-1)^{\mu(n/d)}\).
Qu'est-ce qu'une équation cyclotomique ?
C’est l’équation \(\Phi_n(x) = 0\), dont les solutions sont les racines primitives \(n\)-ièmes de l’unité. Historiquement, résoudre cette équation revient à diviser le cercle en \(n\) arcs égaux — d’où le lien avec la construction des polygones réguliers.
Les coefficients de Φn sont-ils toujours égaux à 0, 1 ou −1 ?
Non, c’est une idée fausse répandue. C’est vrai pour tous les \(n \lt 105\), mais \(\Phi_{105}\) possède un coefficient égal à \(-2\). En toute généralité, les coefficients peuvent devenir arbitrairement grands.
IX. Pour aller plus loin
Les polynômes cyclotomiques sont à la croisée de l’algèbre, de l’arithmétique et de la géométrie. Pour approfondir :
- Les racines \(n\)-ièmes de l’unité — le socle complexe du chapitre.
- Polynôme scindé, irréductible et unitaire — pour situer l’irréductibilité de \(\Phi_n\) dans le cadre général.
- Racines d’un polynôme et multiplicité — relations coefficients-racines et séparabilité.
- La division euclidienne dans K[X] — l’outil de calcul de tous les \(\Phi_n\).
- Le cours complet sur les polynômes — la vue d’ensemble du chapitre.
- Les exercices corrigés sur les polynômes — pour t’entraîner davantage.
Le grand prolongement : le théorème de Gauss-Wantzel affirme qu’un polygone régulier à \(n\) côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si \(n\) est un produit d’une puissance de \(2\) et de nombres premiers de Fermat distincts. La démonstration repose entièrement sur le degré \(\varphi(n)\) de \(\Phi_n\) et sur la théorie de Galois des extensions cyclotomiques — c’est là que les \(\Phi_n\) révèlent toute leur portée.
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