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Tu cherches une formule close pour la somme des carrés, des cubes ou de n’importe quelle puissance des premiers entiers ? Derrière ces calculs se cache une seule famille de polynômes : les polynômes de Bernoulli. Ils relient les sommes finies (formule de Faulhaber), l’analyse (formule d’Euler-Maclaurin) et la fonction zêta de Riemann, et c’est un classique des concours (Centrale, Mines, X). Dans ce cours, tu vas apprendre à les définir proprement, démontrer leurs propriétés et t’en servir efficacement.
I. Définition et contexte
Il existe plusieurs manières d’introduire les polynômes de Bernoulli. La plus utilisée en classe préparatoire — et celle que les correcteurs attendent — est la définition par récurrence, à la fois rigoureuse et constructive. C’est elle qui rend toutes les démonstrations suivantes naturelles.
A. Définition par récurrence
Définition — Polynômes de Bernoulli
On appelle suite des polynômes de Bernoulli l’unique suite \((B_n)_{n \in \mathbb{N}}\) de polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) vérifiant les trois conditions :
\(B_0 = 1, \qquad B_n^\prime = n\, B_{n-1} \ \ (n \geq 1), \qquad \int_0^1 B_n(t)\,dt = 0 \ \ (n \geq 1).\)
Avant d’utiliser cette définition, il faut justifier qu’une telle suite existe et est unique. C’est la première démonstration à savoir reproduire.
Théorème — Existence et unicité. La suite \((B_n)\) définie ci-dessus existe et est unique.
Démonstration (par récurrence forte). Le terme \(B_0 = 1\) est imposé. Supposons \(B_{n-1}\) construit de façon unique. La condition \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) impose que \(B_n\) soit une primitive de \(n B_{n-1}\) : les solutions forment une famille \(P_0 + c\) avec \(c \in \mathbb{R}\) et \(P_0\) une primitive fixée. La condition \(\int_0^1 B_n = 0\) s’écrit \(\int_0^1 P_0(t)\,dt + c = 0\), ce qui détermine \(c\) de manière unique. D’où existence et unicité de \(B_n\). ∎
Cette définition « par primitivation + normalisation » est le moteur de tout le cours : chaque fois qu’on veut prouver une identité \(P_n = B_n\), il suffit de vérifier que \((P_n)\) satisfait les trois conditions caractéristiques.
B. Les premiers polynômes de Bernoulli
Appliquons la méthode pas à pas pour les premiers indices. On part de \(B_0 = 1\), puis on primitive et on normalise.
Calcul de \(B_1\) et \(B_2\).
Comme \(B_1^\prime = 1 \cdot B_0 = 1\), on a \(B_1(x) = x + c\). La condition \(\int_0^1 (t+c)\,dt = \displaystyle\frac{1}{2} + c = 0\) donne \(c = -\displaystyle\frac{1}{2}\), donc :
\(B_1(x) = x – \displaystyle\frac{1}{2}.\)
Ensuite \(B_2^\prime = 2 B_1 = 2x – 1\), donc \(B_2(x) = x^2 – x + c\). La condition \(\int_0^1 (t^2 – t + c)\,dt = \displaystyle\frac{1}{3} – \displaystyle\frac{1}{2} + c = 0\) donne \(c = \displaystyle\frac{1}{6}\), donc :
\(B_2(x) = x^2 – x + \displaystyle\frac{1}{6}.\)
En poursuivant, on obtient les premiers polynômes de Bernoulli :
| \(n\) | \(B_n(x)\) | \(B_n(0)\) (nombre de Bernoulli) |
|---|---|---|
| 0 | \(1\) | \(1\) |
| 1 | \(x – \displaystyle\frac{1}{2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) |
| 2 | \(x^2 – x + \displaystyle\frac{1}{6}\) | \(\displaystyle\frac{1}{6}\) |
| 3 | \(x^3 – \displaystyle\frac{3}{2}x^2 + \displaystyle\frac{1}{2}x\) | \(0\) |
| 4 | \(x^4 – 2x^3 + x^2 – \displaystyle\frac{1}{30}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{30}\) |
| 5 | \(x^5 – \displaystyle\frac{5}{2}x^4 + \displaystyle\frac{5}{3}x^3 – \displaystyle\frac{1}{6}x\) | \(0\) |
C. La fonction génératrice (extension)
Une seconde définition, équivalente, passe par une série génératrice exponentielle. Elle est précieuse pour démontrer rapidement certaines identités et apparaît régulièrement dans les problèmes de concours.
Propriété — Fonction génératrice. Pour tout réel \(x\) et tout \(t\) assez proche de \(0\) (avec \(t \neq 0\)) :
\(\displaystyle\frac{t\, e^{xt}}{e^t – 1} = \sum_{n=0}^{+\infty} B_n(x)\,\displaystyle\frac{t^n}{n!}.\)
On démontre l’équivalence avec la définition par récurrence dans l’exercice ★★★ plus bas. Cette forme rend transparente l’origine des nombres de Bernoulli : en posant \(x = 0\), on obtient le développement de \(\displaystyle\frac{t}{e^t – 1}\).
II. Propriétés fondamentales
Toutes les propriétés ci-dessous se démontrent avec la même stratégie : on construit une suite candidate, on vérifie qu’elle satisfait les trois conditions définissantes, et on conclut par unicité. C’est l’élégance de cette définition.
A. Degré, coefficient dominant et dérivée
Propriété. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(B_n\) est un polynôme unitaire de degré \(n\), et \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) pour \(n \geq 1\).
Preuve du degré. Récurrence : \(\deg B_0 = 0\) et \(B_0\) unitaire. Si \(B_{n-1}\) est unitaire de degré \(n-1\), alors \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) a pour degré \(n-1\) et pour coefficient dominant \(n\) ; en primitivant, \(B_n\) a degré \(n\) et coefficient dominant \(\displaystyle\frac{n}{n} = 1\). ∎
La relation \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) est la propriété la plus utilisée en pratique : elle permet de remonter ou descendre dans la suite sans recalculer chaque polynôme. C’est aussi pour cette raison que la famille \((B_0, B_1, \dots, B_n)\) forme une base de \(\mathbb{R}_n[X]\) (échelonnée en degré).
B. La relation de différence (la propriété clé)
Voici le résultat central, celui qui débouche sur les sommes de puissances.
Théorème — Relation de différence. Pour tout \(n \geq 1\) et tout réel \(x\) :
\(B_n(x+1) – B_n(x) = n\, x^{n-1}.\)
Démonstration. Posons \(Q_n(x) = B_n(x+1) – B_n(x) – n x^{n-1}\). On veut \(Q_n = 0\).
En dérivant et en utilisant \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) :
\(Q_n^\prime(x) = n\big[B_{n-1}(x+1) – B_{n-1}(x) – (n-1)x^{n-2}\big] = n\, Q_{n-1}(x).\)
Or \(Q_0 = 0\) (avec la convention \(n x^{n-1} = 0\) pour \(n=0\)), donc par récurrence \(Q_n^\prime = n Q_{n-1} = 0\) : chaque \(Q_n\) est constant.
Il reste à montrer que la constante est nulle. Pour \(n \geq 2\) :
\(B_n(1) – B_n(0) = \int_0^1 B_n^\prime(t)\,dt = n \int_0^1 B_{n-1}(t)\,dt = 0,\)
car \(n-1 \geq 1\). En évaluant \(Q_n\) en \(0\), on obtient \(Q_n(0) = B_n(1) – B_n(0) = 0\). Le cas \(n=1\) se vérifie directement : \(B_1(x+1) – B_1(x) = (x+\displaystyle\frac12) – (x-\displaystyle\frac12) = 1 = 1 \cdot x^0\). Donc \(Q_n \equiv 0\). ∎
Au passage, on vient d’établir une propriété qui resservira : \(B_n(0) = B_n(1)\) pour tout \(n \geq 2\). Ce sont les fameux nombres de Bernoulli.
C. Symétrie \(B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x)\)
Théorème — Relation de symétrie. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout réel \(x\) :
\(B_n(1 – x) = (-1)^n\, B_n(x).\)
Démonstration (par unicité). Posons \(R_n(x) = (-1)^n B_n(1-x)\). Montrons que \((R_n)\) vérifie les trois conditions caractéristiques.
• \(R_0(x) = B_0(1-x) = 1\).
• \(R_n^\prime(x) = (-1)^n \cdot (-1) B_n^\prime(1-x) = (-1)^{n-1} n B_{n-1}(1-x) = n R_{n-1}(x)\).
• \(\int_0^1 R_n(x)\,dx = (-1)^n \int_0^1 B_n(1-x)\,dx = (-1)^n \int_0^1 B_n(u)\,du = 0\) pour \(n \geq 1\) (changement de variable \(u = 1-x\)).
Par unicité de la suite de Bernoulli, \(R_n = B_n\). ∎
Cette symétrie a une conséquence spectaculaire sur les nombres de Bernoulli : tous les nombres de Bernoulli d’indice impair \(\geq 3\) sont nuls (tu le démontreras en exercice). Graphiquement, elle se traduit par une symétrie des courbes par rapport à la droite \(x = \displaystyle\frac12\) (axe pour \(n\) pair, centre pour \(n\) impair).
D. Les nombres de Bernoulli
Définition — Nombres de Bernoulli. On pose \(b_n = B_n(0)\). Ces rationnels sont les nombres de Bernoulli.
À partir de la formule explicite \(B_n(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} b_k\, x^{\,n-k}\) et de l’égalité \(B_n(1) = B_n(0)\) (pour \(n \geq 2\)), on obtient une relation de récurrence qui calcule les \(b_n\) de proche en proche :
Récurrence des nombres de Bernoulli. Pour tout \(n \geq 2\) :
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k}\, b_k = 0, \qquad b_0 = 1.\)
Par exemple, pour \(n=2\) : \(b_0 + 2 b_1 = 0\) donne \(b_1 = -\displaystyle\frac12\) ; pour \(n=3\) : \(b_0 + 3 b_1 + 3 b_2 = 0\) donne \(b_2 = \displaystyle\frac16\).
Ces nombres ne sont pas de simples curiosités : ils apparaissent dans le développement de \(\tan\) et \(\coth\), dans les valeurs de la fonction zêta aux entiers pairs (\(\zeta(2k)\)), et dans le terme correctif de la formule d’Euler-Maclaurin.
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III. Méthode pas à pas pour calculer un polynôme de Bernoulli
Avant d’attaquer les applications, fixons une méthode fiable que tu peux dérouler en DS sans hésitation.
Méthode — Obtenir \(B_n(x)\) à partir de \(B_{n-1}(x)\).
- Primitiver. Calculer une primitive de \(n B_{n-1}(x)\) (c’est-à-dire intégrer terme à terme), notée \(P(x)\), sans constante.
- Écrire \(B_n(x) = P(x) + c\) avec \(c\) inconnue.
- Normaliser. Imposer \(\int_0^1 \big(P(t) + c\big)\,dt = 0\), ce qui donne \(c = -\int_0^1 P(t)\,dt\).
- Vérifier (facultatif mais conseillé). Contrôler \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) et, pour \(n \geq 2\), que \(B_n(0) = B_n(1)\).
Exemple — Calcul de \(B_3\). On part de \(B_2(x) = x^2 – x + \displaystyle\frac16\).
Étape 1. \(3 B_2(x) = 3x^2 – 3x + \displaystyle\frac12\), dont une primitive est \(P(x) = x^3 – \displaystyle\frac32 x^2 + \displaystyle\frac12 x\).
Étape 2-3. \(\int_0^1 P(t)\,dt = \displaystyle\frac14 – \displaystyle\frac12 + \displaystyle\frac14 = 0\), donc \(c = 0\).
Conclusion. \(B_3(x) = x^3 – \displaystyle\frac{3}{2}x^2 + \displaystyle\frac{1}{2}x\). Vérification : \(B_3(0) = 0 = B_3(1)\) ✓.
IV. Application phare : sommes de puissances et Euler-Maclaurin
C’est ici que les polynômes de Bernoulli révèlent toute leur puissance. La relation de différence transforme une somme en un simple télescopage.
A. La formule de Faulhaber
Théorème — Sommes de puissances (Faulhaber). Pour tout entier \(p \geq 1\) et tout entier \(n \geq 1\) :
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^{\,p} = \displaystyle\frac{B_{p+1}(n) – B_{p+1}(0)}{p+1}.\)
Démonstration. La relation de différence appliquée au rang \(p+1\) donne \(B_{p+1}(x+1) – B_{p+1}(x) = (p+1)\,x^{\,p}\), soit
\(x^{\,p} = \displaystyle\frac{B_{p+1}(x+1) – B_{p+1}(x)}{p+1}.\)
On somme pour \(x = k\), \(k\) de \(0\) à \(n-1\). La somme de droite est télescopique :
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^{\,p} = \displaystyle\frac{1}{p+1}\big(B_{p+1}(n) – B_{p+1}(0)\big). ∎\)
Exemple — Somme des carrés. Avec \(p = 2\), on utilise \(B_3(x) = x^3 – \displaystyle\frac32 x^2 + \displaystyle\frac12 x\) et \(B_3(0) = 0\) :
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \displaystyle\frac{B_3(n)}{3} = \displaystyle\frac{n^3 – \displaystyle\frac32 n^2 + \displaystyle\frac12 n}{3} = \displaystyle\frac{2n^3 – 3n^2 + n}{6} = \displaystyle\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}.\)
On retrouve bien la formule classique \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k^2 = \displaystyle\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}\) (en posant \(m = n-1\)).
Le lien est désormais clair avec ce que tu connais déjà du calcul de sommes par récurrence : les polynômes de Bernoulli fournissent la formule close sans avoir à la deviner.
B. Vers la formule d’Euler-Maclaurin (ouverture)
En itérant des intégrations par parties faisant intervenir les polynômes de Bernoulli, on obtient la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin, qui relie une somme \(\sum f(k)\) à une intégrale \(\int f\) avec des termes correctifs portant les nombres de Bernoulli. Schématiquement :
\(\displaystyle\sum_{k=a}^{b} f(k) = \int_a^b f(t)\,dt + \displaystyle\frac{f(a)+f(b)}{2} + \sum_{j\geq 1} \displaystyle\frac{b_{2j}}{(2j)!}\Big(f^{(2j-1)}(b) – f^{(2j-1)}(a)\Big) + \text{reste}.\)C’est l’outil derrière la formule de Stirling et l’estimation fine de \(\sum 1/k\). Ce développement repose entièrement sur la relation \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) et l’intégration par parties répétée.
V. Exercices corrigés
Mets en pratique. Cherche sérieusement chaque exercice avant d’ouvrir la correction — c’est là que se construit la maîtrise attendue en concours.
Exercice 1 (★) — Calcul direct. Calculer \(B_4(x)\) à partir de \(B_3(x) = x^3 – \displaystyle\frac32 x^2 + \displaystyle\frac12 x\) par la méthode primitivation-normalisation.
Voir la correction
On a \(4 B_3(x) = 4x^3 – 6x^2 + 2x\), dont une primitive sans constante est \(P(x) = x^4 – 2x^3 + x^2\).
On calcule \(\int_0^1 P(t)\,dt = \displaystyle\frac15 – \displaystyle\frac12 + \displaystyle\frac13 = \displaystyle\frac{6 – 15 + 10}{30} = \displaystyle\frac{1}{30}\), donc \(c = -\displaystyle\frac{1}{30}\).
Conclusion : \(B_4(x) = x^4 – 2x^3 + x^2 – \displaystyle\frac{1}{30}\). Vérification : \(B_4(0) = -\displaystyle\frac{1}{30}\) et \(B_4(1) = 1 – 2 + 1 – \displaystyle\frac{1}{30} = -\displaystyle\frac{1}{30}\) ✓.
Exercice 2 (★★) — Somme des cubes. En utilisant \(B_4\), retrouver la formule \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\displaystyle\frac{m(m+1)}{2}\right)^2\).
Voir la correction
Faulhaber avec \(p = 3\) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^3 = \displaystyle\frac{B_4(n) – B_4(0)}{4} = \displaystyle\frac{n^4 – 2n^3 + n^2}{4}\) (les termes \(-\displaystyle\frac{1}{30}\) se simplifient).
Donc \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} k^3 = \displaystyle\frac{n^2(n-1)^2}{4} = \left(\displaystyle\frac{n(n-1)}{2}\right)^2\). En posant \(m = n-1\), on obtient \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k^3 = \left(\displaystyle\frac{m(m+1)}{2}\right)^2\). ∎
Remarque : on retrouve l’identité célèbre \(\sum k^3 = \left(\sum k\right)^2\).
Exercice 3 (★★) — Nombres de Bernoulli impairs. Démontrer que pour tout entier \(k \geq 1\), \(B_{2k+1}(0) = 0\).
Voir la correction
Notons \(n = 2k+1 \geq 3\), donc \(n\) impair et \(n \geq 2\). La relation de symétrie \(B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x)\) évaluée en \(x = 0\) donne :
\(B_n(1) = (-1)^n B_n(0) = -B_n(0)\) (car \(n\) impair).
Or, pour \(n \geq 2\), on a \(B_n(1) = B_n(0)\). En combinant : \(B_n(0) = -B_n(0)\), d’où \(2 B_n(0) = 0\) et \(B_n(0) = 0\). ∎
Exercice 4 (★★★) — Fonction génératrice. On pose \(F(x,t) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} B_n(x)\,\displaystyle\frac{t^n}{n!}\) (série supposée convergente pour \(|t|\) petit). Montrer que \(F(x,t) = \displaystyle\frac{t\,e^{xt}}{e^t – 1}\).
Voir la correction
Dérivation en \(x\). En dérivant terme à terme et en utilisant \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) :
\(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} n B_{n-1}(x)\displaystyle\frac{t^n}{n!} = t\sum_{n=1}^{+\infty} B_{n-1}(x)\displaystyle\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} = t\, F(x,t).\)À \(t\) fixé, \(x \mapsto F(x,t)\) vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 1 : \(F(x,t) = C(t)\, e^{xt}\).
Détermination de \(C(t)\) par la relation de différence. On a \(B_n(x+1) – B_n(x) = n x^{n-1}\), donc
\(F(x+1,t) – F(x,t) = \sum_{n\geq 1} n x^{n-1}\displaystyle\frac{t^n}{n!} = t\sum_{n\geq 1}\displaystyle\frac{(xt)^{n-1}}{(n-1)!} = t\, e^{xt}.\)En remplaçant \(F(x,t) = C(t)e^{xt}\) : \(C(t)e^{(x+1)t} – C(t)e^{xt} = t e^{xt}\), soit \(C(t)\,e^{xt}(e^t – 1) = t\,e^{xt}\). D’où \(C(t) = \displaystyle\frac{t}{e^t-1}\) et
\(F(x,t) = \displaystyle\frac{t\, e^{xt}}{e^t – 1}. ∎\)Exercice 5 (★★★★) — Valeur en \(\displaystyle\frac12\) (type concours). Montrer que pour tout \(n \geq 0\) : \(B_n\!\left(\displaystyle\frac12\right) = (2^{1-n} – 1)\, b_n\), où \(b_n = B_n(0)\).
Voir la correction
On utilise la formule de duplication \(B_n\!\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right) + B_n\!\left(\displaystyle\frac{x+1}{2}\right) = 2^{1-n} B_n(x)\), que l’on établit par unicité : on pose \(S_n(x) = 2^{n-1}\left[B_n\!\left(\displaystyle\frac{x}{2}\right) + B_n\!\left(\displaystyle\frac{x+1}{2}\right)\right]\) et l’on vérifie \(S_0 = 1\), \(S_n^\prime = n S_{n-1}\) et \(\int_0^1 S_n = 0\) pour \(n\geq 1\) (changement de variable). Par unicité \(S_n = B_n\), d’où la formule de duplication.
En évaluant en \(x = 0\) : \(B_n(0) + B_n\!\left(\displaystyle\frac12\right) = 2^{1-n} B_n(0)\), soit
\(B_n\!\left(\displaystyle\frac12\right) = (2^{1-n} – 1)\, b_n. ∎\)Conséquence : pour \(n\) impair \(\geq 3\), \(b_n = 0\) donc \(B_n(\displaystyle\frac12) = 0\) ; pour \(n\) pair, cela relie \(B_n(\displaystyle\frac12)\) au nombre de Bernoulli \(b_n\).
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les fautes que les correcteurs sanctionnent le plus souvent sur ce thème.
Piège 1 — Confondre \(B_n(0)\) et \(B_n(1)\) au rang 1.
❌ Copie fautive : « comme \(B_n(0) = B_n(1)\), on a \(b_1 = B_1(1) = \displaystyle\frac12\) ».
Diagnostic : l’égalité \(B_n(0) = B_n(1)\) n’est valable que pour \(n \geq 2\). Au rang 1, \(B_1(0) = -\displaystyle\frac12\) mais \(B_1(1) = +\displaystyle\frac12\).
✅ Correction : le nombre de Bernoulli est \(b_1 = B_1(0) = -\displaystyle\frac12\). Le rang 1 est le seul cas exceptionnel.
Piège 2 — Oublier la condition de normalisation.
❌ Copie fautive : « \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) donc \(B_n\) est entièrement déterminé ».
Diagnostic : une primitive est définie à une constante près. Sans la condition \(\int_0^1 B_n = 0\), la suite n’est pas unique.
✅ Correction : toujours fixer la constante avec \(\int_0^1 B_n(t)\,dt = 0\). C’est cette troisième condition qui rend la définition rigoureuse.
Piège 3 — Erreur de bornes dans Faulhaber.
Diagnostic : la formule \(\sum_{k=0}^{n-1} k^p = \displaystyle\frac{B_{p+1}(n)-B_{p+1}(0)}{p+1}\) somme de \(0\) à \(n-1\), pas de \(1\) à \(n\). Mélanger les bornes décale le résultat.
✅ Correction : repère soigneusement la borne supérieure \(n-1\). Si tu veux \(\sum_{k=1}^{m}\), remplace \(n\) par \(m+1\) (le terme \(k=0\) est nul pour \(p\geq 1\)).
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Les polynômes de Bernoulli sont un sujet « à preuves » : les points se gagnent sur la rigueur de l’argumentation, pas sur le résultat final connu d’avance.
Les réflexes de rédaction qui rapportent.
- Invoquer explicitement l’unicité. Pour prouver une identité \(P_n = B_n\), écris clairement : « je vérifie les trois conditions caractéristiques, donc par unicité \(P_n = B_n\) ». C’est la rédaction propre attendue, plus solide qu’un calcul brut.
- Traiter le rang d’initialisation à part. Beaucoup de propriétés (\(B_n(0)=B_n(1)\), formule de différence) ont un comportement particulier en \(n=0\) ou \(n=1\). Précise toujours le domaine de validité.
- Justifier le télescopage. Dans Faulhaber, ne te contente pas d’« on télescope » : écris la somme \(\sum (B_{p+1}(k+1) – B_{p+1}(k))\) et explicite l’annulation des termes intermédiaires.
- Convergence des séries. Si tu manipules la fonction génératrice, mentionne le rayon de convergence ou justifie la dérivation terme à terme (les correcteurs y sont attentifs).
VIII. Tableau récapitulatif des propriétés
| Propriété | Énoncé | Validité |
|---|---|---|
| Dérivée | \(B_n^\prime = n\, B_{n-1}\) | \(n \geq 1\) |
| Normalisation | \(\int_0^1 B_n(t)\,dt = 0\) | \(n \geq 1\) |
| Degré | \(B_n\) unitaire, \(\deg B_n = n\) | \(n \geq 0\) |
| Différence | \(B_n(x+1) – B_n(x) = n x^{n-1}\) | \(n \geq 1\) |
| Symétrie | \(B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x)\) | \(n \geq 0\) |
| Valeurs extrêmes | \(B_n(0) = B_n(1)\) | \(n \geq 2\) |
| Nombres impairs | \(B_{2k+1}(0) = 0\) | \(k \geq 1\) |
| Sommes de puissances | \(\sum_{k=0}^{n-1} k^p = \displaystyle\frac{B_{p+1}(n)-B_{p+1}(0)}{p+1}\) | \(p \geq 1\) |
IX. Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'un polynôme de Bernoulli ?
C’est l’unique suite de polynômes \((B_n)\) définie par \(B_0 = 1\), la relation de dérivation \(B_n^\prime = n B_{n-1}\) et la normalisation \(\int_0^1 B_n = 0\). Chaque \(B_n\) est unitaire de degré \(n\). Ces polynômes servent surtout à calculer les sommes de puissances d’entiers et apparaissent dans la formule d’Euler-Maclaurin.
Quelle est la différence entre un polynôme de Bernoulli et un nombre de Bernoulli ?
Un polynôme de Bernoulli \(B_n(x)\) est une fonction polynomiale de la variable \(x\). Un nombre de Bernoulli \(b_n\) est sa valeur en \(0\) : \(b_n = B_n(0)\). Autrement dit, les nombres sont des cas particuliers (les « valeurs aux bords ») des polynômes. Par exemple \(B_2(x) = x^2 – x + \displaystyle\frac16\) et \(b_2 = B_2(0) = \displaystyle\frac16\).
À quoi servent les polynômes de Bernoulli ?
Leur application principale est la formule de Faulhaber, qui donne une expression close de \(\sum_{k} k^p\). Ils interviennent aussi dans la formule sommatoire d’Euler-Maclaurin (estimation de sommes par des intégrales), dans la formule de Stirling, dans les valeurs de la fonction zêta \(\zeta(2k)\) et dans le développement de fonctions comme \(\coth\) et \(\tan\).
Pourquoi les nombres de Bernoulli impairs sont-ils nuls ?
Cela découle de la symétrie \(B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x)\). Évaluée en \(0\) avec \(n\) impair \(\geq 3\), elle donne \(B_n(1) = -B_n(0)\) ; or \(B_n(1) = B_n(0)\) pour \(n \geq 2\). Ces deux égalités imposent \(B_n(0) = 0\).
Le « polynôme de Bernoulli » a-t-il un rapport avec la loi de Bernoulli en probabilités ?
Non, ce sont des objets distincts qui partagent seulement le nom de la famille Bernoulli. La loi de Bernoulli (probabilités) modélise une expérience à deux issues. Les polynômes de Bernoulli sont des objets d’algèbre et d’analyse liés aux sommes de puissances. Aucune relation directe entre les deux.
Comment retrouver rapidement les premiers polynômes de Bernoulli ?
Pars de \(B_0 = 1\) et applique la méthode primitiver puis normaliser : \(B_n\) est la primitive de \(n B_{n-1}\) dont l’intégrale sur \([0;1]\) est nulle. En trois lignes tu obtiens \(B_1, B_2, B_3\). C’est plus sûr que d’apprendre la liste par cœur.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la construction, les propriétés et l’application phare des polynômes de Bernoulli. Pour consolider et élargir :
- Le cours complet sur les polynômes — pour replacer K[X] et la base canonique dans l’ensemble du chapitre.
- Racines d’un polynôme et multiplicité — utile pour étudier les zéros des \(B_n\).
- Polynômes orthogonaux — une autre famille classique de polynômes définis par récurrence.
- Polynôme de Lagrange — comme Bernstein, lié à l’approximation polynomiale.
- L’intégration par parties — le mécanisme au cœur de la formule d’Euler-Maclaurin.
- Les exercices corrigés de polynômes (prépa) — pour t’entraîner davantage.
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