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Tu dois calculer la limite de \(\displaystyle\frac{\cos x}{x}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ? Impossible de simplifier : le cosinus oscille indéfiniment. C’est exactement pour ce type de situation que le théorème des gendarmes existe. En encadrant ta fonction entre deux bornes qui convergent vers la même limite, tu conclus directement. Voici l’énoncé précis du théorème (fonctions et suites), sa démonstration, la méthode en 4 étapes, les pièges à éviter et 5 exercices corrigés — tout ce qu’il te faut pour maîtriser ce chapitre incontournable de limites de fonctions en Terminale.

📚 Tout le cours « Limites de fonctions »

I. Énoncé du théorème des gendarmes

Le théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d’encadrement ou théorème du sandwich) est l’outil principal pour déterminer la limite d’une fonction qu’on ne peut pas calculer directement — typiquement quand elle oscille. L’idée est simple : si tu coinces ta fonction entre deux bornes qui convergent vers le même réel \(L\), alors la fonction n’a pas d’autre choix que de converger, elle aussi, vers \(L\).

A. Le théorème pour les fonctions

Théorème des gendarmes (fonctions)

Soient \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions et \(L\) un réel.

Limite en \(+\infty\) : s’il existe un réel \(a\) tel que, pour tout \(x \geq a\) :

\(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\)

et si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = L\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} h(x) = L\), alors :

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = L\)

Le théorème reste valable quand \(x \to -\infty\) ou quand \(x \to a\) (avec \(a \in \mathbb{R}\)).

Autrement dit : la fonction \(f\) est prise en sandwich entre \(g\) (le « gendarme du bas ») et \(h\) (le « gendarme du haut »). Si les deux gendarmes se dirigent au même endroit, le prisonnier \(f\) les suit obligatoirement.

B. Interprétation graphique

Graphiquement, le théorème des gendarmes est très intuitif. Regarde ce graphique : la courbe verte de \(f\) oscille, mais elle reste coincée dans le « couloir » formé par les courbes bleue et dorée. Comme ce couloir se resserre de plus en plus autour de la droite \(y = L\), la courbe de \(f\) est forcée de converger vers \(L\).

L’image essentielle à retenir : deux murs qui se rapprochent → la bille coincée entre eux finit au même point.

C. Le théorème pour les suites

Le théorème des gendarmes existe aussi pour les suites numériques. L’énoncé est analogue — on remplace « pour tout \(x\) assez grand » par « à partir d’un certain rang ».

Théorème des gendarmes (suites)

Soient \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites et \(L\) un réel.

Si, à partir d’un certain rang \(N\) :

\(u_n \leq v_n \leq w_n\)

et si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = L\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} w_n = L\), alors :

\(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = L\)

D. Cas particulier : encadrement et limite nulle

En pratique, un cas revient très souvent : montrer qu’une fonction tend vers \(0\). Dans ce cas, il existe un raccourci très utile.

Raccourci — Limite nulle par valeur absolue

Si, au voisinage considéré :

\(|f(x)| \leq h(x)\)   et   \(\displaystyle\lim h(x) = 0\)

alors \(\displaystyle\lim f(x) = 0\).

Justification : l’inégalité \(|f(x)| \leq h(x)\) se réécrit \(-h(x) \leq f(x) \leq h(x)\), et les deux bornes tendent vers \(0\).

Ce cas particulier est le plus fréquent au bac : tu encadres par une valeur absolue, tu montres que la borne tend vers \(0\), et c’est terminé.

E. Théorème de comparaison : ne pas confondre

Le théorème de comparaison est un résultat voisin mais distinct. Il ne donne pas une limite finie — il transmet une limite infinie.

Théorème de comparaison

Si, pour tout \(x\) assez grand, \(f(x) \leq g(x)\), et si \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\), alors :

\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\)

Idem avec \(-\infty\) : si \(g(x) \leq f(x)\) et \(\lim f(x) = -\infty\), alors \(\lim g(x) = -\infty\).

Ne confonds pas les deux théorèmes !

  • Gendarmes : deux bornes + même limite finie \(L\) → conclusion : la fonction tend vers \(L\).
  • Comparaison : une seule borne + limite infinie → conclusion : la fonction tend aussi vers l’infini.

Le théorème de comparaison ne nécessite qu’une seule inégalité, pas un encadrement complet.

II. Démonstration du théorème des gendarmes

En Terminale, ce théorème est admis au programme. L’objectif ici est de te donner une justification intuitive qui t’aide à comprendre pourquoi le résultat est vrai. La démonstration formelle, réservée à la prépa, est présentée dans la section CPGE plus bas.

A. Justification intuitive

Reprenons le cas d’une limite en \(+\infty\). On a \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) et les deux bornes convergent vers \(L\).

Fixe mentalement un seuil de précision (disons, un écart de \(0{,}01\) autour de \(L\)). Puisque \(g(x) \to L\), à partir d’un certain rang, \(g(x)\) est « très proche » de \(L\) — en tout cas au-dessus de \(L – 0{,}01\). De même, \(h(x)\) finit par rester en dessous de \(L + 0{,}01\).

Résultat : pour \(x\) assez grand, on a simultanément :

\(L – 0{,}01\) < \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) < \(L + 0{,}01\)

Donc \(f(x)\) est à une distance inférieure à \(0{,}01\) de \(L\). Et cela fonctionne quel que soit le seuil de précision choisi : \(0{,}001\), \(0{,}0001\), etc. C’est exactement ce que signifie « \(f(x)\) tend vers \(L\) ».

Retiens l’image : les deux gendarmes resserrent l’étau autour de \(L\). Le prisonnier \(f\), coincé entre eux, ne peut que converger vers \(L\) aussi.

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Énoncé, méthode en 4 étapes, cas particulier limite nulle, rédaction type bac — tout sur 1 page recto-verso.

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III. Méthode pas à pas : appliquer le théorème des gendarmes

A. Les 4 étapes clés

Pour appliquer correctement le théorème des gendarmes, suis ces 4 étapes dans cet ordre :

  1. Repérer l’oscillation. Identifie dans l’expression la partie qui « empêche » de calculer la limite directement. C’est en général \(\cos(\ldots)\), \(\sin(\ldots)\) ou \((-1)^n\) — une fonction bornée qui oscille.

  2. Encadrer la partie bornée. Utilise les encadrements classiques :

    • \(-1 \leq \sin(\ldots) \leq 1\)
    • \(-1 \leq \cos(\ldots) \leq 1\)
    • \(-1 \leq (-1)^n \leq 1\)
    • \(0 \leq |\ldots| \leq \ldots\) (encadrement par valeur absolue)

  3. Transformer l’encadrement. Multiplie ou divise par le reste de l’expression pour encadrer la fonction complète. Attention au signe : si tu divises par une quantité négative, les inégalités s’inversent.

  4. Calculer les limites des bornes et conclure. Si les deux bornes convergent vers le même réel \(L\), écris : « D’après le théorème des gendarmes, \(\lim f(x) = L\) ».

Rédaction type au bac : « Pour tout \(x \geq 1\), on a \(-1 \leq \cos x \leq 1\), donc \(\displaystyle\frac{-1}{x} \leq \displaystyle\frac{\cos x}{x} \leq \displaystyle\frac{1}{x}\). Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{-1}{x} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x} = 0\). D’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\cos x}{x} = 0\). »

B. Quand utiliser le théorème des gendarmes ?

Le théorème des gendarmes n’est pas le seul outil pour calculer une limite. Voici un tableau comparatif pour choisir le bon outil selon la situation :

Quel outil pour quelle situation ?
Situation Outil adapté Indice pour le reconnaître
L’expression oscille (sin, cos, \((-1)^n\)) Théorème des gendarmes Présence d’une fonction bornée multipliée par un terme qui tend vers 0
Forme indéterminée (\(+\infty – \infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\), etc.) Techniques de levée de formes indéterminées Les règles sur les limites donnent une expression indéfinie
Quotient de type \(\displaystyle\frac{e^x}{x^n}\) ou \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\) Croissances comparées Confrontation exp / puissance / ln
Tu veux montrer que \(\lim f(x) = +\infty\) Théorème de comparaison Une seule minoration par une fonction qui tend vers \(+\infty\)
Limite d’une expression algébrique sans oscillation Opérations sur les limites Pas de fonction bornée non convergente, pas de FI

Règle d’or : pense « gendarmes » dès que tu vois un \(\sin\), un \(\cos\) ou un \((-1)^n\) multiplié par quelque chose qui tend vers \(0\).

IV. Exemples résolus

A. Exemple 1 (★) — Limite d’un quotient oscillant

Énoncé : Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\cos x}{x}\).

Solution :

Étape 1 — Repérer l’oscillation : \(\cos x\) oscille entre \(-1\) et \(1\).

Étape 2 — Encadrer : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(-1 \leq \cos x \leq 1\).

Étape 3 — Transformer : pour tout \(x\) > \(0\), on divise par \(x\) > \(0\) (les inégalités sont conservées) :

\(\displaystyle\frac{-1}{x} \leq \displaystyle\frac{\cos x}{x} \leq \displaystyle\frac{1}{x}\)

Étape 4 — Conclure : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{-1}{x} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x} = 0\).

D’après le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\cos x}{x} = 0\). ∎

B. Exemple 2 (★★) — Expression plus complexe

Énoncé : Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x + \sin x}{2x – 1}\).

Solution :

La partie oscillante est \(\sin x\). On a, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :

\(-1 \leq \sin x \leq 1\)

En ajoutant \(x\) aux trois membres : \(x – 1 \leq x + \sin x \leq x + 1\).

Pour \(x\) > \(\displaystyle\frac{1}{2}\), on a \(2x – 1\) > \(0\), donc on peut diviser en conservant le sens :

\(\displaystyle\frac{x – 1}{2x – 1} \leq \displaystyle\frac{x + \sin x}{2x – 1} \leq \displaystyle\frac{x + 1}{2x – 1}\)

Calculons les limites des bornes :

  • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x – 1}{2x – 1} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1 – \displaystyle\frac{1}{x}}{2 – \displaystyle\frac{1}{x}} = \displaystyle\frac{1}{2}\)
  • \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x + 1}{2x – 1} = \displaystyle\frac{1}{2}\) (même calcul)

D’après le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x + \sin x}{2x – 1} = \displaystyle\frac{1}{2}\). ∎

C. Exemple 3 (★★★) — Limite en un point

Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^*\) par \(f(x) = x^2 \sin\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\). Montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0\).

Solution :

Ici, la partie oscillante est \(\sin\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\) : quand \(x \to 0\), l’argument \(\displaystyle\frac{1}{x}\) tend vers l’infini et le sinus oscille de plus en plus vite entre \(-1\) et \(1\).

Utilisons le raccourci de la valeur absolue. Pour tout \(x \neq 0\) :

\(\left|f(x)\right| = x^2 \left|\sin\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\right| \leq x^2 \times 1 = x^2\)

Or \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0\).

D’après le théorème des gendarmes (cas particulier « limite nulle ») : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0\). ∎

Remarque : cette fonction est un exemple classique de fonction qui oscille de plus en plus vite au voisinage de \(0\) mais dont l’amplitude diminue assez vite pour « écraser » les oscillations.

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V. Pièges classiques et erreurs fréquentes

Le théorème des gendarmes est simple à énoncer, mais les erreurs sont fréquentes dans les copies. Voici les 4 pièges les plus courants — avec, à chaque fois, un extrait de copie fautive commenté.

Piège 1 — Bornes qui ne tendent pas vers la même limite

❌ Copie fautive : « On a \(-1 \leq \sin x \leq 1\). Or \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \displaystyle\frac{-1}{x} = -\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \displaystyle\frac{1}{x} = +\infty\). D’après le théorème des gendarmes, on ne peut pas conclure. »

Diagnostic : la conclusion « on ne peut pas conclure » est juste, mais le raisonnement est mal présenté. Le théorème ne s’applique tout simplement pas ici, car les deux bornes ne convergent pas vers le même réel. Ce n’est pas qu’il « ne permet pas de conclure » — ses hypothèses ne sont pas vérifiées.

✅ Bonne rédaction : « Les bornes \(\displaystyle\frac{-1}{x}\) et \(\displaystyle\frac{1}{x}\) ne tendent pas vers le même réel quand \(x \to 0^+\), donc le théorème des gendarmes ne s’applique pas. Il faut utiliser un autre outil pour calculer cette limite. »

Piège 2 — Inversion du sens des inégalités

❌ Copie fautive : « Pour tout \(x\) < \(0\), \(-1 \leq \cos x \leq 1\), donc \(\displaystyle\frac{-1}{x} \leq \displaystyle\frac{\cos x}{x} \leq \displaystyle\frac{1}{x}\). »

Diagnostic : quand \(x\) < \(0\), diviser par \(x\) inverse les inégalités ! L’encadrement ci-dessus est faux.

✅ Correction : pour \(x\) < \(0\), \(\displaystyle\frac{1}{x} \leq \displaystyle\frac{\cos x}{x} \leq \displaystyle\frac{-1}{x}\). (On peut aussi travailler avec la valeur absolue pour éviter le piège : \(\left|\displaystyle\frac{\cos x}{x}\right| \leq \displaystyle\frac{1}{|x|}\).)

Piège 3 — Oublier de vérifier l’encadrement « au voisinage »

❌ Copie fautive : « Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(0 \leq f(x) \leq \displaystyle\frac{1}{x}\). D’après les gendarmes… »

Diagnostic : l’encadrement \(f(x) \leq \displaystyle\frac{1}{x}\) n’a de sens que pour \(x\) > \(0\). Écrire « pour tout \(x \in \mathbb{R}\) » est faux (la borne \(\displaystyle\frac{1}{x}\) n’existe pas en \(0\) et change de signe).

✅ Correction : toujours préciser le domaine de validité de l’encadrement : « pour tout \(x \geq 1\)… » ou « pour \(x\) assez grand… ».

Piège 4 — Confondre comparaison et gendarmes

❌ Copie fautive : « On a \(f(x) \leq g(x)\) et \(\displaystyle\lim g(x) = 0\). D’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim f(x) = 0\). »

Diagnostic : avec une seule inégalité \(f(x) \leq g(x)\) et \(\lim g(x) = 0\), on ne peut rien conclure sur \(\lim f(x)\). La fonction \(f\) pourrait tendre vers \(-\infty\) !

✅ Correction : il manque la borne inférieure. Il faut un encadrement complet : \(h(x) \leq f(x) \leq g(x)\) avec les deux bornes tendant vers le même réel. Si tu ne disposes que d’une inégalité, tu utilises le théorème de comparaison (limites infinies), pas les gendarmes.

VI. Exercices corrigés

Voici 5 exercices classés par difficulté croissante pour t’entraîner. Essaie de rédiger chaque exercice avant de consulter la correction. Retrouve aussi les 25+ exercices corrigés sur les limites pour un entraînement complet.

Exercice 1 (★)

Énoncé : Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\cos x}{x^2}\).

Voir la correction

Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a \(-1 \leq \cos x \leq 1\).

Pour tout \(x\) > \(0\), on divise par \(x^2\) > \(0\) :

\(\displaystyle\frac{-1}{x^2} \leq \displaystyle\frac{\cos x}{x^2} \leq \displaystyle\frac{1}{x^2}\)

Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{-1}{x^2} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{x^2} = 0\).

D’après le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{\cos x}{x^2} = 0\). ∎

Exercice 2 (★)

Énoncé : Déterminer \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\frac{\sin n}{n}\).

Voir la correction

Pour tout entier \(n \geq 1\), on a \(-1 \leq \sin n \leq 1\), donc :

\(\displaystyle\frac{-1}{n} \leq \displaystyle\frac{\sin n}{n} \leq \displaystyle\frac{1}{n}\)

Or \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\frac{-1}{n} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\frac{1}{n} = 0\).

D’après le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\frac{\sin n}{n} = 0\). ∎

Exercice 3 (★★)

Énoncé : Montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x \cos\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) = 0\).

Voir la correction

La difficulté : quand \(x \to 0\), l’argument \(\displaystyle\frac{1}{x}\) tend vers l’infini et \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\) oscille.

Utilisons le cas particulier « limite nulle par valeur absolue ». Pour tout \(x \neq 0\) :

\(\left|x \cos\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\right| = |x| \cdot \left|\cos\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)\right| \leq |x| \cdot 1 = |x|\)

Or \(\displaystyle\lim_{x \to 0} |x| = 0\).

D’après le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x \cos\!\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right) = 0\). ∎

Exercice 4 (★★)

Énoncé : Soit \(f\) une fonction définie sur \(]0, +\infty[\) telle que, pour tout \(x\) > \(0\) :

\(\displaystyle\frac{2x – 1}{x} \leq f(x) \leq \displaystyle\frac{2x + 1}{x}\)

Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\).

Voir la correction

Simplifions les bornes :

  • Borne inférieure : \(\displaystyle\frac{2x – 1}{x} = 2 – \displaystyle\frac{1}{x}\)
  • Borne supérieure : \(\displaystyle\frac{2x + 1}{x} = 2 + \displaystyle\frac{1}{x}\)

Donc, pour tout \(x\) > \(0\) :

\(2 – \displaystyle\frac{1}{x} \leq f(x) \leq 2 + \displaystyle\frac{1}{x}\)

Or \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2 – \displaystyle\frac{1}{x}\right) = 2\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(2 + \displaystyle\frac{1}{x}\right) = 2\).

D’après le théorème des gendarmes : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2\). ∎

Exercice 5 (★★★) — Type bac

Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier \(n \geq 1\) par :

\(u_n = \displaystyle\frac{n + (-1)^n}{n^2 + 1}\)

Montrer que la suite \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Voir la correction

Étape 1 — Encadrement de \((-1)^n\). Pour tout entier \(n\), on a \(-1 \leq (-1)^n \leq 1\).

Étape 2 — Encadrement du numérateur. En ajoutant \(n\) :

\(n – 1 \leq n + (-1)^n \leq n + 1\)

Étape 3 — Division par \(n^2 + 1\). Pour tout \(n \geq 1\), \(n^2 + 1\) > \(0\), donc on divise en conservant le sens :

\(\displaystyle\frac{n – 1}{n^2 + 1} \leq u_n \leq \displaystyle\frac{n + 1}{n^2 + 1}\)

Étape 4 — Limites des bornes.

  • \(\displaystyle\frac{n – 1}{n^2 + 1} = \displaystyle\frac{n\left(1 – \displaystyle\frac{1}{n}\right)}{n^2\left(1 + \displaystyle\frac{1}{n^2}\right)} = \displaystyle\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\frac{1 – \displaystyle\frac{1}{n}}{1 + \displaystyle\frac{1}{n^2}} \to 0\) quand \(n \to +\infty\).
  • De même : \(\displaystyle\frac{n + 1}{n^2 + 1} \to 0\).

Conclusion. D’après le théorème des gendarmes, \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).

La suite \((u_n)\) converge vers \(0\). ∎

VII. Pour aller plus loin — le théorème des gendarmes en prépa (CPGE)

🔴 Section prépa — Cette section s’adresse aux élèves de Terminale ambitieux et aux étudiants de classe préparatoire.

En CPGE, le théorème des gendarmes est démontré rigoureusement à l’aide de la définition formelle de la limite. Voici la preuve pour les suites — la version fonctions est analogue (en remplaçant le rang \(N\) par un voisinage).

Démonstration formelle (suites)

Hypothèses : \(u_n \leq v_n \leq w_n\) à partir d’un rang \(N_0\), et \(\displaystyle\lim u_n = \displaystyle\lim w_n = L\).

Preuve. Soit \(\varepsilon\) > \(0\).

  • Puisque \(u_n \to L\), il existe \(N_1 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq N_1\) : \(u_n\) > \(L – \varepsilon\).
  • Puisque \(w_n \to L\), il existe \(N_2 \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(n \geq N_2\) : \(w_n\) < \(L + \varepsilon\).

Posons \(N = \max(N_0, N_1, N_2)\). Pour tout \(n \geq N\) :

\(L – \varepsilon\) < \(u_n \leq v_n \leq w_n\) < \(L + \varepsilon\)

Donc \(|v_n – L|\) < \(\varepsilon\). Ceci étant vrai pour tout \(\varepsilon\) > \(0\), on a bien \(\displaystyle\lim v_n = L\). ∎

Notation \(o(1)\) : en prépa, on écrit parfois qu’une suite \((v_n)\) qui tend vers \(0\) est un \(o(1)\). Le théorème des gendarmes peut alors se reformuler : si \(|v_n – L| \leq w_n\) avec \(w_n = o(1)\), alors \(v_n \to L\).

Ouvertures. Le théorème des gendarmes est un cas particulier d’un principe plus général : la convergence dominée (programme de deuxième année). Il sert aussi de brique de base pour démontrer la convergence de nombreuses séries numériques et suites définies par récurrence en prépa.

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VIII. Questions fréquentes

C'est quoi le théorème des gendarmes en maths ?

Le théorème des gendarmes (ou théorème d’encadrement) est un résultat d’analyse qui permet de calculer la limite d’une fonction ou d’une suite qu’on ne peut pas déterminer directement. Si une fonction \(f\) est encadrée par deux fonctions \(g\) et \(h\) qui convergent toutes les deux vers un même réel \(L\), alors \(f\) converge aussi vers \(L\). Le nom vient de l’image de deux gendarmes escortant un prisonnier : si les gendarmes arrivent au même endroit, le prisonnier y arrive aussi.

Quand utiliser le théorème des gendarmes ?

Utilise le théorème des gendarmes quand l’expression contient une fonction bornée qui oscille — typiquement \(\sin(\ldots)\), \(\cos(\ldots)\) ou \((-1)^n\) — multipliée par un facteur qui tend vers \(0\). Dans ce cas, l’encadrement est immédiat grâce à \(-1 \leq \sin \leq 1\) ou \(-1 \leq \cos \leq 1\). Si l’expression ne contient pas d’oscillation, les opérations sur les limites ou les techniques de levée de formes indéterminées sont généralement plus adaptées.

Quelle est la différence entre le théorème des gendarmes et le théorème de comparaison ?

Le théorème des gendarmes nécessite un encadrement complet (borne inférieure ET supérieure) et conclut à une limite finie. Le théorème de comparaison ne nécessite qu’une seule inégalité et conclut à une limite infinie. Exemple : si \(f(x) \geq g(x)\) et \(\lim g(x) = +\infty\), alors \(\lim f(x) = +\infty\) (comparaison). Les deux théorèmes sont complémentaires mais s’appliquent dans des situations différentes.

Le théorème des gendarmes s'applique-t-il aux suites ?

Oui, le théorème des gendarmes s’applique aussi bien aux fonctions qu’aux suites. Pour les suites, on remplace « pour tout \(x\) assez grand » par « à partir d’un certain rang \(N\) ». L’énoncé est identique : si \(u_n \leq v_n \leq w_n\) et si \((u_n)\) et \((w_n)\) convergent vers le même réel \(L\), alors \((v_n)\) converge aussi vers \(L\).

Comment trouver un encadrement pour appliquer le théorème ?

La clé est de repérer la partie bornée de l’expression. Les encadrements les plus courants en Terminale sont : \(-1 \leq \sin(\ldots) \leq 1\), \(-1 \leq \cos(\ldots) \leq 1\), et \(0 \leq |\ldots|\). Ensuite, tu multiplies ou divises par le reste de l’expression en faisant attention au signe. Le cas le plus fréquent au bac est l’encadrement par la valeur absolue : si \(|f(x)| \leq h(x)\) et \(\lim h(x) = 0\), alors \(\lim f(x) = 0\).

Peut-on utiliser le théorème des gendarmes pour trouver la limite de sin(x)/x ?

La limite \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x} = 1\) se démontre effectivement à l’aide du théorème des gendarmes, en passant par un encadrement géométrique (comparaison d’aires de secteurs et de triangles). C’est une des applications les plus célèbres du théorème. Tu trouveras le détail de cette démonstration sur la page consacrée aux limites des fonctions trigonométriques.

IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant le théorème des gendarmes. Pour approfondir le chapitre des limites de fonctions, voici les ressources complémentaires :

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