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Tu tombes sur une fraction comme \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) ou \(\displaystyle\frac{3}{2+\sqrt{5}}\) et tu ne sais pas quoi en faire ? Une racine carrée « coincée » au dénominateur, c’est gênant : difficile à comparer, difficile à calculer à la main. L’expression conjuguée est l’astuce qui fait disparaître cette racine du dénominateur en une manipulation. Elle repose sur une identité remarquable que tu connais déjà. Dans cette fiche, tu vas apprendre à la reconnaître, à l’appliquer en 3 étapes, et à éviter les erreurs classiques. Tout part de la racine carrée.
I. L’expression conjuguée, c’est quoi ?
L’expression conjuguée d’une somme du type \(a + \sqrt{b}\) est la même expression avec le signe du milieu changé : \(a- \sqrt{b}\). On change juste le « plus » en « moins » (ou l’inverse). C’est tout. Toute la puissance de l’astuce vient de ce qui se passe quand on multiplie ces deux expressions entre elles.
Définition — Expression conjuguée
L’expression conjuguée de \(a + \sqrt{b}\) est \(a- \sqrt{b}\).
Et réciproquement, la conjuguée de \(a- \sqrt{b}\) est \(a + \sqrt{b}\). On dit aussi quantité conjuguée : c’est le même objet.
Pourquoi ça marche ? Parce qu’en multipliant une expression par sa conjuguée, on retombe sur l’identité remarquable \((x+y)(x-y) = x^2- y^2\). Le carré fait disparaître la racine :
\((a + \sqrt{b})(a- \sqrt{b}) = a^2- (\sqrt{b})^2 = a^2- b\)Le résultat \(a^2- b\) ne contient plus aucune racine. Voilà l’idée centrale de toute la méthode.
À retenir : multiplier par la conjuguée, c’est utiliser \((x+y)(x-y) = x^2- y^2\) pour transformer une racine en un nombre « propre ». Tu peux réviser cette identité dans la fiche sur la factorisation d’une expression.
Petit exemple immédiat pour te mettre en confiance : la conjuguée de \(3 + \sqrt{5}\) est \(3- \sqrt{5}\), et leur produit vaut \(3^2- 5 = 9- 5 = 4\). Un nombre entier, sans racine. Magique, non ?
II. Quand utiliser l’expression conjuguée ?
L’expression conjuguée n’est pas la seule technique pour manipuler les racines carrées. Avant de te lancer, apprends à reconnaître LA situation où elle est vraiment utile : quand tu as une somme ou une différence avec une racine, en particulier au dénominateur d’une fraction. Le tableau ci-dessous te dit quoi faire selon les cas.
| Ce que tu vois | La bonne technique | Exemple |
|---|---|---|
| Le radicande contient un carré parfait en facteur | Simplifier la racine | \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) |
| Un seul radical au dénominateur | Multiplier par ce radical | \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| Une somme ou différence \(a \pm \sqrt{b}\) au dénominateur | Multiplier par la conjuguée | \(\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt{3}} = 2-\sqrt{3}\) |
| Une limite avec \(\sqrt{\ }- \sqrt{\ }\) (lycée) | Quantité conjuguée | \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) |
Retiens la distinction clé : simplifier une racine, c’est écrire \(\sqrt{50}\) sous la forme \(5\sqrt{2}\) (voir la méthode pour simplifier une racine carrée). Utiliser la conjuguée, c’est faire disparaître une racine du dénominateur d’une fraction. Deux gestes différents, deux objectifs différents. Souvent, on simplifie d’abord, puis on rationalise.
La méthode de l’expression conjuguée en fiche recto-verso
Les 3 étapes, les exemples clés et les erreurs à éviter, tout tient sur une page à imprimer.
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III. La méthode en 3 étapes
Le but est presque toujours le même : rendre rationnel le dénominateur, c’est-à-dire écrire la fraction sans racine en bas. Voici la marche à suivre, valable pour toute fraction du type \(\displaystyle\frac{k}{a \pm \sqrt{b}}\).
- Étape 1 — Repérer la conjuguée du dénominateur. Tu recopies le dénominateur en changeant le signe du milieu. Si le bas est \(a + \sqrt{b}\), sa conjuguée est \(a- \sqrt{b}\).
- Étape 2 — Multiplier en haut ET en bas par cette conjuguée. C’est crucial : on multiplie le numérateur et le dénominateur par la même quantité, sinon on change la valeur de la fraction.
- Étape 3 — Développer le dénominateur avec l’identité \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\). La racine disparaît, il ne reste qu’un nombre. On simplifie et c’est fini.
Le réflexe : multiplier une fraction par \(\displaystyle\frac{\text{conjuguée}}{\text{conjuguée}}\), c’est multiplier par 1. On ne change donc PAS la valeur de la fraction, seulement son écriture. C’est la même idée que pour simplifier une fraction.
IV. Exemples résolus, du plus simple au plus corsé
On applique la méthode sur quatre cas de difficulté croissante. Les deux premiers sont accessibles dès la 3ème 🔵, les deux derniers relèvent de la Seconde 🟠.
Exemple 1 🔵 — Un seul radical. Rendre rationnel \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Ici, pas de somme : on multiplie simplement en haut et en bas par \(\sqrt{3}\).
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Le dénominateur \(\sqrt{3}\times\sqrt{3} = 3\) n’a plus de racine. Résultat : \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Exemple 2 🔵 — La conjuguée simple. Rendre rationnel \(\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt{3}}\).
Conjuguée du dénominateur : \(2- \sqrt{3}\). On multiplie en haut et en bas :
\(\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \displaystyle\frac{2-\sqrt{3}}{2^2- 3}\)
Comme \(2^2- 3 = 4- 3 = 1\), on obtient \(2- \sqrt{3}\). Le dénominateur a disparu !
Exemple 3 🟠 — Deux racines. Rendre rationnel \(\displaystyle\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\).
Conjuguée : \(\sqrt{5}+\sqrt{2}\). On multiplie :
\(\displaystyle\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \displaystyle\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5- 2}\)
Le dénominateur vaut \(5-2 = 3\). On simplifie \(\displaystyle\frac{6}{3} = 2\) :
Résultat : \(2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\).
Exemple 4 🟠 — Racine au numérateur ET au dénominateur. Écrire \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\) sans racine au dénominateur.
Conjuguée du bas : \(\sqrt{3}+1\). On multiplie haut et bas :
\(\displaystyle\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \displaystyle\frac{(\sqrt{3}+1)^2}{3- 1}\)
Au numérateur, \((\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\). Au dénominateur, \(3-1 = 2\) :
\(\displaystyle\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}\). Résultat : \(2 + \sqrt{3}\).
🔴 Extension lycée : la quantité conjuguée pour les limites
En Terminale, la même astuce sert à « lever une indétermination » quand on calcule la limite d’une différence de deux racines. Par exemple, pour \(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\) quand \(x\) devient très grand, on tombe sur une forme du type \(\infty- \infty\). On multiplie alors par la quantité conjuguée \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\) :
\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \displaystyle\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\)Cette fois, le dénominateur devient très grand, donc la fraction tend vers 0. C’est exactement le geste que tu découvriras dans le cours sur les formes indéterminées de limites.
V. Erreurs fréquentes et pièges à éviter
Trois erreurs reviennent tout le temps dans les copies. Repère-les maintenant, tu ne les feras plus.
Erreur n°1 — Multiplier seulement le dénominateur.
❌ Copie fautive : \(\displaystyle\frac{1}{2+\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{1}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \displaystyle\frac{1}{1} = 1\).
Diagnostic : on a multiplié le bas par la conjuguée, mais pas le haut. Du coup, on a changé la valeur de la fraction.
✅ Correction : on multiplie en haut ET en bas par la conjuguée. Le vrai résultat est \(2-\sqrt{3}\).
Erreur n°2 — Se tromper de signe dans la conjuguée.
❌ Copie fautive : la conjuguée de \(2+\sqrt{3}\) serait \(-2-\sqrt{3}\).
Diagnostic : on change UN seul signe, celui du milieu, pas les deux.
✅ Correction : la conjuguée de \(2+\sqrt{3}\) est \(2-\sqrt{3}\) (le \(2\) garde son signe).
Erreur n°3 — Croire que \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}\).
❌ Copie fautive : \(\sqrt{9+16} = \sqrt{9}+\sqrt{16} = 3+4 = 7\).
Diagnostic : c’est faux ! \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), pas 7. La racine d’une somme n’est jamais la somme des racines.
✅ Correction : on n’a le droit de « découper » une racine que sur un produit ou un quotient, jamais sur une somme.
VI. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice sur ton brouillon avant de dérouler la correction. La compétence de base à maîtriser, c’est d’abord de savoir écrire la conjuguée sans se tromper.
Exercice 1 — Écrire la conjuguée ★
Donne l’expression conjuguée de chacune de ces expressions : \(4+\sqrt{7}\), \(\sqrt{5}-3\) et \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\).
Voir la correction de l’exercice 1
On change uniquement le signe du milieu :
- Conjuguée de \(4+\sqrt{7}\) : \(4-\sqrt{7}\)
- Conjuguée de \(\sqrt{5}-3\) : \(\sqrt{5}+3\)
- Conjuguée de \(\sqrt{2}+\sqrt{6}\) : \(\sqrt{2}-\sqrt{6}\)
Un seul signe change à chaque fois.
Exercice 2 — Rationaliser un dénominateur simple ★
Écris \(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2}}\) et \(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}\) sans racine au dénominateur.
Voir la correction de l’exercice 2
Un seul radical : on multiplie en haut et en bas par ce radical.
\(\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}\) \(\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}} = \displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{5}\)Plus aucune racine au dénominateur.
Exercice 3 — Utiliser la conjuguée ★★
Rends rationnel le dénominateur de \(\displaystyle\frac{4}{3-\sqrt{2}}\).
Voir la correction de l’exercice 3
Conjuguée du dénominateur : \(3+\sqrt{2}\). On multiplie en haut et en bas :
\(\displaystyle\frac{4}{3-\sqrt{2}} = \displaystyle\frac{4(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} = \displaystyle\frac{4(3+\sqrt{2})}{9- 2}\)Le dénominateur vaut \(9-2 = 7\). On développe le numérateur :
\(\displaystyle\frac{12 + 4\sqrt{2}}{7}\)Résultat : \(\displaystyle\frac{12 + 4\sqrt{2}}{7}\).
Exercice 4 — Un raisonnement à mener ★★
Sans calculatrice, montre que \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}+2}\) est égal à \(\sqrt{5}-2\). Que remarques-tu ?
Voir la correction de l’exercice 4
On multiplie par la conjuguée \(\sqrt{5}-2\) :
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}+2} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}-2}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}-2}{5- 4}\)Comme \(5-4 = 1\), on obtient bien \(\sqrt{5}-2\).
La remarque intéressante : l’inverse de \(\sqrt{5}+2\) est exactement sa conjuguée \(\sqrt{5}-2\). Cela arrive à chaque fois que le produit avec la conjuguée vaut 1. Un joli résultat qu’on retrouve aussi avec la racine carrée de 2.
VII. Questions fréquentes
Quelle est l’expression conjuguée des racines carrées ?
Pour une expression du type \(a + \sqrt{b}\), la conjuguée est \(a- \sqrt{b}\) : on change uniquement le signe entre les deux termes. Pour une différence de deux racines \(\sqrt{a}- \sqrt{b}\), la conjuguée est \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). En les multipliant, la racine disparaît grâce à l’identité \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\).
Qu’est-ce que la quantité conjuguée ?
« Quantité conjuguée » et « expression conjuguée » désignent exactement la même chose. Le mot « quantité conjuguée » est surtout employé au lycée, notamment pour calculer des limites où l’on rencontre une différence de racines. Le principe reste identique : on multiplie par la conjuguée pour faire disparaître les racines.
Qu’est-ce qu’un conjugué en maths ?
Attention, il existe deux « conjugués » différents. Le conjugué dont on parle ici concerne les racines carrées : la conjuguée de \(a+\sqrt{b}\) est \(a-\sqrt{b}\). À ne pas confondre avec le conjugué d’un nombre complexe, qui change le signe de la partie imaginaire. Même mot, contextes différents.
Comment rationaliser un dénominateur avec une racine ?
En trois étapes : repérer la conjuguée du dénominateur, multiplier le haut et le bas de la fraction par cette conjuguée, puis développer avec l’identité \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\). La racine du dénominateur disparaît et il ne reste qu’un nombre sans racine.
Quelle différence entre simplifier une racine et utiliser la conjuguée ?
Simplifier une racine, c’est réécrire \(\sqrt{50}\) sous la forme \(5\sqrt{2}\) en sortant un carré parfait. Utiliser la conjuguée, c’est faire disparaître une racine du dénominateur d’une fraction. Ce sont deux gestes distincts : on simplifie souvent d’abord, puis on rationalise si besoin.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant faire disparaître une racine du dénominateur. Pour continuer à progresser :
- Équations et Inéquations : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés — la suite logique, où la conjuguée sert à résoudre certaines équations.
- 15 exercices corrigés sur les racines carrées (4ème et 3ème) — pour t’entraîner sur tout le chapitre.
- Simplifier une fraction : la méthode expliquée pas à pas — le même réflexe de manipulation de fractions, sans racine.
- Au lycée, la quantité conjuguée devient un outil essentiel pour lever les indéterminations : découvre le Tableau des Limites de Fonctions Usuelles : Formules Complètes et Exemples.
