20 Exercices Corrigés sur les Ensembles de Nombres (Seconde)

a) \(-5 \notin \mathbb{N}\) : \(\mathbb{N}\) ne contient pas les nombres négatifs.

b) \(-5 \in \mathbb{Z}\) : c’est un entier relatif.

c) \(\displaystyle\frac{7}{2} = 3{,}5 \in \mathbb{D}\) : son écriture décimale s’arrête, c’est bien un décimal.

d) \(\displaystyle\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\) : c’est un quotient de deux entiers.

e) \(\sqrt{2} \in \mathbb{R}\) : tout nombre placé sur la droite graduée est réel.

a) Faux : c’est l’inverse, \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\). Par exemple \(-2 \in \mathbb{Z}\) mais \(-2 \notin \mathbb{N}\).

b) Vrai : tout décimal est un quotient (par exemple \(2{,}5 = \displaystyle\frac{25}{10}\)).

c) Faux : \(\displaystyle\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\) mais \(\displaystyle\frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}\).

d) Vrai : tout entier naturel est un réel.

a) \(12 \in \mathbb{N}\).

b) \(-4 \in \mathbb{Z}\) (négatif, donc pas dans \(\mathbb{N}\)).

c) \(0{,}75 \in \mathbb{D}\) (écriture décimale finie, pas entier).

d) \(\displaystyle\frac{2}{7} \in \mathbb{Q}\) : sa division ne tombe jamais juste, donc pas décimal.

e) \(\pi \in \mathbb{R}\) : il est irrationnel, donc pas dans \(\mathbb{Q}\).

\(\displaystyle\frac{3}{4} = 0{,}75\) : décimal. ✓

\(\displaystyle\frac{5}{6} = 0{,}8333\ldots\) : non décimal (rationnel seulement).

\(\displaystyle\frac{9}{25} = 0{,}36\) : décimal. ✓

\(\displaystyle\frac{7}{8} = 0{,}875\) : décimal. ✓

\(\displaystyle\frac{4}{3} = 1{,}333\ldots\) : non décimal.

Astuce : une fraction irréductible est décimale seulement si son dénominateur ne contient que des facteurs \(2\) et \(5\).

a) \([2\,;\,5]\) signifie \(2 \leq x \leq 5\). Comme \(2 \leq 3 \leq 5\), on a \(3 \in [2\,;\,5]\). ✓

b) \(]3\,;\,+\infty[\) signifie \(x\) > \(3\). Or \(3\) n’est pas strictement plus grand que \(3\), donc \(3 \notin\ ]3\,;\,+\infty[\).

c) \(]-1\,;\,3]\) signifie \(-1\) < \(x \leq 3\). Le crochet fermé à droite inclut \(3\), donc \(3 \in\ ]-1\,;\,3]\). ✓

a) \(0{,}6 = \displaystyle\frac{6}{10} = \displaystyle\frac{3}{5}\).

b) \(1{,}25 = \displaystyle\frac{125}{100} = \displaystyle\frac{5}{4}\).

c) \(0{,}04 = \displaystyle\frac{4}{100} = \displaystyle\frac{1}{25}\).

Cela confirme que tout décimal est un rationnel.

\(-3\) est un entier relatif. Grâce à la chaîne \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\), dès qu’un nombre est dans \(\mathbb{Z}\), il est aussi dans tous les ensembles suivants.

Donc \(-3 \in \mathbb{Z}\), \(-3 \in \mathbb{D}\), \(-3 \in \mathbb{Q}\) et \(-3 \in \mathbb{R}\).

En revanche \(-3 \notin \mathbb{N}\).

1) Réponse (c) : \(\displaystyle\frac{10}{5} = 2 \in \mathbb{N}\), donc il est aussi dans \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\). Le piège est de croire qu’une fraction est forcément « seulement » rationnelle.

2) Réponse (b) : \(\sqrt{9} = 3 \in \mathbb{N}\). Attention, une racine carrée n’est pas toujours irrationnelle !

Pour \(A\) : on simplifie \(\displaystyle\frac{15}{6} = \displaystyle\frac{5}{2} = 2{,}5\). L’écriture décimale s’arrête, donc \(A \in \mathbb{D}\).

Pour \(B\) : \(\displaystyle\frac{5}{3} = 1{,}6666\ldots\) La division ne tombe jamais juste. On peut le voir avec le critère du dénominateur : \(3\) n’est ni \(2\) ni \(5\). Donc \(B \notin \mathbb{D}\), mais \(B \in \mathbb{Q}\).

On met au même dénominateur : \(x = \displaystyle\frac{5}{20} + \displaystyle\frac{4}{20} = \displaystyle\frac{9}{20}\).

Le dénominateur \(20 = 4 \times 5\) ne contient que des \(2\) et des \(5\), donc \(x\) est décimal : \(x = 0{,}45\).

Comme ce n’est pas un entier, le plus petit ensemble est \(\mathbb{D}\).

L’inégalité \(-2 \leq x\) < \(4\) correspond à l’intervalle \([-2\,;\,4[\).

Le crochet fermé à gauche inclut \(-2\) : donc \(-2 \in [-2\,;\,4[\).

Le crochet ouvert à droite exclut \(4\) : donc \(4 \notin [-2\,;\,4[\).

Intersection (\(\cap\)) = les réels qui sont dans les deux intervalles. On garde la partie commune : \(I \cap J = [2\,;\,3]\).

Réunion (\(\cup\)) = les réels qui sont dans au moins un des deux. Comme les intervalles se chevauchent, on obtient un seul intervalle : \(I \cup J = [-1\,;\,5]\).

\(\sqrt{16} = 4\) : rationnel (même entier).

\(\sqrt{5} \approx 2{,}236\ldots\) : \(5\) n’est pas un carré parfait, donc irrationnel.

\(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) : rationnel (et même décimal).

\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) : comme \(\sqrt{2}\) est irrationnel, \(\sqrt{50}\) l’est aussi.

a) Faux. Contre-exemple : \(\displaystyle\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}\) mais \(\displaystyle\frac{1}{3} \notin \mathbb{D}\).

b) Vrai. En ajoutant deux entiers relatifs on obtient toujours un entier relatif (par exemple \(-3 + 7 = 4\)).

c) Faux. \(\pi = 3{,}14159\ldots\) a une virgule mais n’est pas décimal : son écriture ne s’arrête jamais et n’est pas périodique.

Entiers : \(2^2 = 4\) et \(3^2 = 9\). Comme \(4\) < \(7\) < \(9\), on a \(2\) < \(\sqrt{7}\) < \(3\).

Décimaux : \(2{,}6^2 = 6{,}76\) et \(2{,}7^2 = 7{,}29\). Comme \(6{,}76\) < \(7\) < \(7{,}29\), on obtient \(2{,}6\) < \(\sqrt{7}\) < \(2{,}7\).

a) Périmètre du carré : \(4 \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\) cm. Comme \(\sqrt{2}\) est irrationnel, \(4\sqrt{2}\) l’est aussi : ce périmètre appartient à \(\mathbb{R}\) mais pas à \(\mathbb{Q}\).

b) Périmètre du rectangle : \(2 \times \left(3 + \displaystyle\frac{1}{2}\right) = 2 \times \displaystyle\frac{7}{2} = 7\) cm. C’est un entier naturel : il appartient à \(\mathbb{N}\).

Leçon : multiplier par un entier ne « rend » pas un irrationnel rationnel.

Oui, c’est un rationnel. Notons \(x = 0{,}3333\ldots\)

Alors \(10x = 3{,}3333\ldots\)

On soustrait : \(10x – x = 3{,}3333\ldots – 0{,}3333\ldots = 3\), donc \(9x = 3\).

Ainsi \(x = \displaystyle\frac{3}{9} = \displaystyle\frac{1}{3}\). C’est bien un rationnel (mais pas un décimal).

Remarque la « marche d’escalier » : une fois qu’un nombre entre dans un ensemble, il appartient à tous ceux situés à sa droite.

a) L’intrus est \(\sqrt{3}\) : \(3\) n’est pas un carré parfait, donc \(\sqrt{3}\) est irrationnel. Les trois autres sont rationnels.

b) L’intrus est \(\pi\) : c’est le nombre irrationnel le plus célèbre. Attention à \(\sqrt{4} = 2\), qui est bien rationnel (piège classique).

a) En élevant au carré : \(2 = \displaystyle\frac{a^2}{b^2}\), donc \(a^2 = 2b^2\). Cela montre que \(a^2\) est pair (multiple de \(2\)).

b) Si \(a^2\) est pair, alors \(a\) est pair (le carré d’un impair est impair). On peut donc écrire \(a = 2k\).

c) On remplace : \(a^2 = (2k)^2 = 4k^2\). L’égalité devient \(4k^2 = 2b^2\), soit \(b^2 = 2k^2\). Donc \(b^2\) est pair, et \(b\) aussi.

Contradiction : \(a\) et \(b\) sont tous les deux pairs, donc la fraction \(\displaystyle\frac{a}{b}\) pouvait encore être simplifiée par \(2\). Or on l’avait supposée irréductible ! L’hypothèse de départ est donc fausse : \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel. ∎

Cette méthode s’appelle le raisonnement par l’absurde : un outil puissant que tu réutiliseras souvent.