Exercices sur les nombres entiers (Corrigés & PDF)

On lit le nombre par classes : \(4\) millions, \(075\) mille, \(302\).

• Dizaines de milliers : dans \(075\), la dizaine de milliers est \(7\).
• Centaines : dans \(302\), le chiffre des centaines est \(3\).
• La valeur du \(7\) est \(70\,000\).

\(6\,300\,000 + 80\,000 + 500 + 2 = 6\,380\,502\).

Douze millions quarante mille neuf.

Attention : quarante mille correspond à \(40\,000\), donc on garde bien la classe des milliers : \(040\).

“Sept cent cinq mille” = \(705\,000\), puis “trois” = \(3\).

Donc : \(705\,003\).

\(90\,507 = 90\,000 + 500 + 7\).

On peut aussi écrire : \(90\,507 = 9\times 10^4 + 5\times 10^2 + 7\).

On écrit par classes : millions | milliers | unités.

\(3\) millions → \(3\) | \(008\) | \(009\).

Donc : \(3\,008\,009\).

• \(8\) centaines de milliers = \(800\,000\)
• \(12\) dizaines de milliers = \(120\,000\)
• \(5\) millions = \(5\,000\,000\)

On compare chiffre par chiffre en partant de la gauche. Les trois premiers chiffres sont identiques : \(403\).

On compare ensuite \(050\) et \(500\) : \(50\) est plus petit que \(500\).

Donc \(403\,050\) est plus petit que \(403\,500\).

\(10\,000\,000\) a plus de chiffres : il est donc plus grand que \(9\,999\,999\).

Comparer d’abord le nombre de chiffres :

• \(702\) a \(3\) chiffres, c’est le plus petit.
• Les autres ont \(4\) chiffres. On compare : \(7\,002\), \(7\,020\), \(7\,200\).

Ordre croissant : \(702;\;7\,002;\;7\,020;\;7\,200\).

• À la dizaine près : entre \(8\,760\) et \(8\,770\).
• À la centaine près : entre \(8\,700\) et \(8\,800\).
• Au millier près : entre \(8\,000\) et \(9\,000\).

\(120\,005\) est entre \(120\,000\) et \(121\,000\).

On teste des multiples de \(3\) proches de \(5\,000\) :

\(5\,001\) est divisible par \(3\) car \(5+0+0+1=6\), et \(6\) est multiple de \(3\).

Donc un exemple est \(n=5\,001\) (il y en a d’autres).

Chaque graduation vaut \(50\). À la \(7\)^e graduation : \(7\times 50=350\).

On cherche \(k\) tel que \(k\times 50=650\), donc \(k=\frac{650}{50}=13\).

\(650\) est à \(13\) graduations de \(0\).

Entre \(1\,200\) et \(1\,300\), l’écart est \(100\). La graduation au milieu vaut \(1\,250\).

Le pas est \(250\). À la \(10\)^e graduation : \(10\times 250=2\,500\).

\(5\) graduations à droite : on ajoute \(5\times 200=1\,000\).

Donc \(B=3\,600+1\,000=4\,600\).

\(1\,254\,000\) est plus grand que \(1\,245\,000\), donc \(B\) est plus peuplée.

Différence : \(1\,254\,000-1\,245\,000=9\,000\), soit environ \(9\,000\) habitants à \(1\,000\) près.

On additionne : \(3\,450+2\,980=6\,430\) visiteurs.

On calcule : \(12\,000-3\,750+2\,400\).

\(12\,000-3\,750=8\,250\) puis \(8\,250+2\,400=10\,650\).

\(N_1 = 7\,000\,000 + 30\,000 + 5 = 7\,030\,005\).

Or \(N_2=7\,030\,050\). Les deux nombres ne sont pas égaux : il y a \(50\) dans \(N_2\) (dizaines), alors que \(N_1\) a seulement \(5\) unités.

\(3\,999\,999\) est entre \(3\,999\,000\) et \(4\,000\,000\).

\(-3\) est plus grand que \(-7\) : sur la droite des nombres, \(-3\) est “moins loin” de \(0\) vers la gauche.

Ordre croissant : \(-10;\;-2;\;0;\;3;\;5\).

\(-12+7=-5\).

Soustraire un négatif revient à ajouter son opposé :

\(-4-(-9)=-4+9=5\).

\(18-25=-7\).

\(-6+(-13)=-(6+13)=-19\).

Produit de deux nombres négatifs : résultat positif.

\((-3)\times (-8)=24\).

Produit d’un négatif et d’un positif : résultat négatif.

\((-7)\times 5=-35\).

• Par \(2\) : non (le chiffre des unités \(5\) est impair).
• Par \(5\) : oui (se termine par \(5\)).
• Par \(3\) : somme des chiffres \(4+8+7+3+5=27\), donc oui (car \(27\) est multiple de \(3\)).
• Par \(9\) : oui (car \(27\) est multiple de \(9\)).

Exemple : \(18\) (se termine par \(8\) et \(1+8=9\), divisible par \(9\)).

Il y en a beaucoup d’autres.

Un nombre est divisible par \(4\) si ses deux derniers chiffres forment un multiple de \(4\).

• \(36\) est multiple de \(4\) → \(1\,236\) oui.
• \(48\) est multiple de \(4\) → \(1\,248\) oui.
• \(50\) n’est pas multiple de \(4\) → \(1\,250\) non.

On cherche \(q\) et \(r\) tels que \(457=12q+r\) avec \(0\) ≤ \(r\) < \(12\).

\(12\times 38=456\), il reste \(1\).

Donc \(q=38\) et \(r=1\).

On utilise la somme des chiffres : \(1+0+0+0+5=6\).

Le reste de la division par \(9\) est le même que celui de \(6\), donc le reste est \(6\).

Deux entiers consécutifs \(n\) et \(n+1\) : l’un des deux est forcément pair.

Donc leur produit \(n(n+1)\) est divisible par \(2\).

Pour aller plus loin : entiers consécutifs.

\(10n+5=5(2n+1)\).

C’est donc un multiple de \(5\).

On calcule la division euclidienne de \(127\) par \(9\) :

\(9\times 14=126\), donc il reste \(1\).

• Quotient \(14\), reste \(1\).
• Pour obtenir un reste nul, il faut ajouter \(8\) Jetons (car \(127+8=135\) et \(135\) est divisible par \(9\)).
• Il suffit de retirer \(1\) Jeton (car \(127-1=126\) divisible par \(9\)).

La condition \(|x-3|\) < \(5\) signifie que la distance entre \(x\) et \(3\) est strictement inférieure à \(5\).

Donc \(x\) est strictement entre \(3-5=-2\) et \(3+5=8\), soit :

\(-2\) < \(x\) < \(8\).

Les solutions entières sont : \(-1,0,1,2,3,4,5,6,7\).

• Si \(n\) a reste \(0\) : exemple \(n=4\), alors \(n^2=16\) a reste \(0\).
• Reste \(1\) : exemple \(n=5\), alors \(n^2=25\) a reste \(1\).
• Reste \(2\) : exemple \(n=6\), alors \(n^2=36\) a reste \(0\).
• Reste \(3\) : exemple \(n=7\), alors \(n^2=49\) a reste \(1\).

Donc \(n^2\) ne peut avoir que les restes \(0\) ou \(1\) modulo \(4\). Un carré parfait ne peut donc jamais laisser le reste \(2\) ou \(3\) dans une division par \(4\).

On veut \(7n+3\) divisible par \(5\). On raisonne sur les restes modulo \(5\) :

\(7\) laisse le même reste que \(2\) modulo \(5\), donc on cherche :

\(2n+3\) divisible par \(5\), c’est-à-dire \(2n+3\) a reste \(0\) modulo \(5\).

On peut écrire : \(2n\) a le même reste que \(-3\), donc le même reste que \(2\) modulo \(5\).

Donc \(2n\) a reste \(2\), ce qui est le cas quand \(n\) a reste \(1\) modulo \(5\).

Conclusion : \(n=5k+1\) pour un entier \(k\).