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Tu connais la suite de Fibonacci : chaque terme est la somme des deux précédents. Mais sais-tu qu’on peut en donner une formule close, exacte, faisant intervenir le nombre d’or ? C’est exactement le pouvoir des suites récurrentes linéaires d’ordre 2 : transformer une relation « pas à pas » en une expression explicite de \(u_n\) en fonction de \(n\). La clé tient en une équation du second degré — l’équation caractéristique — et en trois cas selon son discriminant. Cet article te donne la méthode complète, les démonstrations attendues en prépa, les exemples résolus et les réflexes de rédaction pour les concours.
I. Le théorème fondamental et l’équation caractéristique
Avant de résoudre, il faut savoir précisément de quel objet on parle et pourquoi la méthode fonctionne. Toute la technique repose sur un résultat de structure : l’ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2.
A. Définition
Définition — Suite récurrente linéaire d’ordre 2 (à coefficients constants)
Soit \((a,b,c) \in \mathbb{R}^3\) avec \(a \neq 0\) et \(c \neq 0\). On dit qu’une suite réelle \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est récurrente linéaire d’ordre 2 homogène lorsqu’elle vérifie :
\(\forall n \in \mathbb{N}, \quad a\,u_{n+2} + b\,u_{n+1} + c\,u_n = 0. \qquad (E)\)
La relation est linéaire (chaque terme apparaît au degré 1), d’ordre 2 (elle relie trois termes consécutifs) et homogène (le second membre est nul).
La condition \(c \neq 0\) garantit que la relation est authentiquement d’ordre 2 : si \(c = 0\), on retomberait sur une récurrence d’ordre 1 sur \((u_{n+1})\). La condition \(a \neq 0\) permet de diviser par \(a\) et d’écrire \(u_{n+2}\) en fonction des termes précédents.
B. Structure de l’espace des solutions
Théorème — Structure
L’ensemble \(\mathcal{S}\) des suites réelles vérifiant \((E)\) est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\).
Démonstration ⋆. On montre que l’application « conditions initiales » est un isomorphisme.
D’abord, \(\mathcal{S}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) : la suite nulle est solution, et si \(u,v \in \mathcal{S}\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), alors \(u + \lambda v\) vérifie encore \((E)\) par linéarité. Considérons alors :
\(\varphi : \mathcal{S} \longrightarrow \mathbb{R}^2, \quad u \longmapsto (u_0, u_1).\)C’est une application linéaire. Montrons qu’elle est bijective.
- Injectivité. Soit \(u \in \ker \varphi\), c’est-à-dire \(u_0 = u_1 = 0\). Une récurrence immédiate (double) donne \(u_n = 0\) pour tout \(n\) : en effet \(u_{n+2} = -\displaystyle\frac{b}{a}u_{n+1} - \displaystyle\frac{c}{a}u_n\), donc si \(u_n = u_{n+1} = 0\) alors \(u_{n+2} = 0\). Ainsi \(\ker \varphi = \{0\}\).
- Surjectivité. Soit \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2\). La suite définie par \(u_0 = \alpha\), \(u_1 = \beta\) et \(u_{n+2} = -\displaystyle\frac{b}{a}u_{n+1} - \displaystyle\frac{c}{a}u_n\) appartient à \(\mathcal{S}\) et vérifie \(\varphi(u) = (\alpha,\beta)\).
Donc \(\varphi\) est un isomorphisme et \(\dim \mathcal{S} = \dim \mathbb{R}^2 = 2\). ∎
Ce théorème est capital : il nous suffit de trouver deux solutions linéairement indépendantes pour connaître toutes les solutions. Toute solution s’écrira alors comme combinaison linéaire de ces deux-là. Reste à en fabriquer.
C. L’équation caractéristique
L’idée naturelle est de chercher des solutions géométriques de la forme \(u_n = r^n\) avec \(r \neq 0\). En injectant dans \((E)\) :
\(a\,r^{n+2} + b\,r^{n+1} + c\,r^n = 0 \iff r^n\big(a r^2 + b r + c\big) = 0.\)Comme \(r \neq 0\), on a \(r^n \neq 0\), d’où la condition.
Définition — Équation caractéristique
L’équation caractéristique associée à \((E)\) est l’équation du second degré :
\(a r^2 + b r + c = 0. \qquad (C)\)
La suite géométrique \((r^n)\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(r\) est racine de \((C)\).
Tout se joue alors sur le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) : selon son signe, l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes, une racine double, ou deux racines complexes conjuguées. Chacun de ces cas donne une forme différente de la solution générale.
II. La méthode de résolution en 4 étapes
Avant de dérouler la méthode, il faut savoir quand elle s’applique — et quand elle ne s’applique pas. Le tableau suivant la positionne face aux autres techniques de manipulation de suites récurrentes rencontrées en prépa.
A. Quand utiliser cette méthode ?
| Forme de la relation | Technique adaptée | Résultat |
|---|---|---|
| \(u_{n+1} = q\,u_n\) | Suite géométrique | \(u_n = u_0\,q^n\) |
| \(u_{n+1} = u_n + r\) | Suite arithmétique | \(u_n = u_0 + nr\) |
| \(a\,u_{n+2} + b\,u_{n+1} + c\,u_n = 0\) | Équation caractéristique (cette page) | Forme close selon \(\Delta\) |
| \(a\,u_{n+2}+b\,u_{n+1}+c\,u_n = f(n)\) | Caractéristique + solution particulière | Solution générale = homogène + particulière |
| \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(f\) non affine | Étude de point fixe, monotonie | Convergence, pas de forme close en général |
Attention au périmètre : la méthode de l’équation caractéristique ne fonctionne que pour les récurrences linéaires à coefficients constants. Une relation comme \(u_{n+2} = u_{n+1}\,u_n\) (non linéaire) ou \(u_{n+2} = n\,u_{n+1} + u_n\) (coefficients non constants) n’entre pas dans ce cadre. Pour une suite du type \(u_{n+1} = f(u_n)\), on renvoie à l’étude des suites définies par récurrence.
B. Les 4 étapes
Une fois le cadre reconnu, la résolution est algorithmique.
Méthode — Résoudre \(a\,u_{n+2} + b\,u_{n+1} + c\,u_n = 0\)
- Écrire l’équation caractéristique \(a r^2 + b r + c = 0\) et calculer \(\Delta = b^2 - 4ac\).
- Déterminer les racines et identifier le cas (\(\Delta \gt 0\), \(\Delta = 0\) ou \(\Delta \lt 0\)).
- Écrire la forme générale \(u_n\) avec deux constantes \(\lambda, \mu\), selon le cas.
- Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) en résolvant le système donné par les conditions initiales \(u_0\) et \(u_1\).
Le tableau ci-dessous synthétise l’étape 3, qui est le cœur de la méthode.
| Cas | Racines de \((C)\) | Forme générale de \(u_n\) |
|---|---|---|
| \(\Delta\) > \(0\) | \(r_1 \neq r_2\) réelles | \(u_n = \lambda\, r_1^{\,n} + \mu\, r_2^{\,n}\) |
| \(\Delta = 0\) | \(r_0\) double | \(u_n = (\lambda + \mu n)\, r_0^{\,n}\) |
| \(\Delta\) < \(0\) | \(\rho e^{\pm i\theta}\) complexes | \(u_n = \rho^n\big(\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta)\big)\) |
Justifions maintenant chacune de ces trois lignes, puis appliquons la méthode.
La méthode complète des suites récurrentes d’ordre 2 en recto-verso
Les 4 étapes, les 3 cas selon Δ, les formes de solutions particulières et les pièges de rédaction — synthétisés sur une fiche imprimable.
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III. Les trois cas et leurs exemples résolus
A. Deux racines réelles distinctes (Δ > 0)
Si \(\Delta\) > \(0\), l’équation caractéristique a deux racines réelles \(r_1 \neq r_2\). Les suites \((r_1^{\,n})\) et \((r_2^{\,n})\) sont solutions de \((E)\). Elles sont linéairement indépendantes (car \(r_1 \neq r_2\) : leur rapport \((r_1/r_2)^n\) n’est pas constant). Comme \(\dim \mathcal{S} = 2\), elles forment une base de \(\mathcal{S}\), d’où :
\(\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n = \lambda\, r_1^{\,n} + \mu\, r_2^{\,n}, \quad (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2.\)Exemple 🟠 — Résoudre \(u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n\) avec \(u_0 = 1\), \(u_1 = 0\).
Étape 1. On écrit \((E) : u_{n+2} - 5u_{n+1} + 6u_n = 0\). Équation caractéristique : \(r^2 - 5r + 6 = 0\), donc \(\Delta = 25 - 24 = 1\) > \(0\).
Étape 2. Racines : \(r_1 = 2\) et \(r_2 = 3\).
Étape 3. \(u_n = \lambda\, 2^n + \mu\, 3^n\).
Étape 4. Conditions initiales :
\(\begin{cases} \lambda + \mu = 1 \\ 2\lambda + 3\mu = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \lambda = 3 \\ \mu = -2 \end{cases}\)
Conclusion : \(u_n = 3 \cdot 2^n - 2 \cdot 3^n\). Vérification : \(u_0 = 3 - 2 = 1\) ✓, \(u_1 = 6 - 6 = 0\) ✓.
Le système de l’étape 4 est toujours de Cramer (déterminant non nul) : c’est une conséquence directe de l’isomorphisme \(\varphi\). On trouve donc toujours un unique couple \((\lambda,\mu)\).
B. Une racine double (Δ = 0)
Si \(\Delta = 0\), il y a une seule racine \(r_0 = -\displaystyle\frac{b}{2a}\), non nulle (car \(c \neq 0\)). La suite \((r_0^{\,n})\) est solution, mais une seule solution ne suffit pas pour engendrer un espace de dimension 2. On vérifie qu’une seconde solution est \((n\,r_0^{\,n})\).
Vérification. Posons \(v_n = n\, r_0^{\,n}\). Comme \(\Delta = 0\), on a \(b = -2ar_0\) et \(c = ar_0^2\). Alors :
\(a v_{n+2} + b v_{n+1} + c v_n = a r_0^n\big[(n+2)r_0^2 - 2r_0(n+1)r_0 + r_0^2 n\big]\) \(= a r_0^{n+2}\big[(n+2) - 2(n+1) + n\big] = a r_0^{n+2} \cdot 0 = 0.\)Donc \((n r_0^n) \in \mathcal{S}\). Comme \((r_0^n)\) et \((n r_0^n)\) sont indépendantes, elles forment une base :
\(\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n = (\lambda + \mu n)\, r_0^{\,n}.\)Exemple 🟠 — Résoudre \(u_{n+2} = 4u_{n+1} - 4u_n\) avec \(u_0 = 2\), \(u_1 = 5\).
Étape 1. \(r^2 - 4r + 4 = 0\), soit \((r-2)^2 = 0\), donc \(\Delta = 0\).
Étape 2. Racine double \(r_0 = 2\).
Étape 3. \(u_n = (\lambda + \mu n)\, 2^n\).
Étape 4. \(u_0 = \lambda = 2\) et \(u_1 = (\lambda + \mu)\cdot 2 = 5\), donc \(\lambda + \mu = \displaystyle\frac{5}{2}\), d’où \(\mu = \displaystyle\frac{1}{2}\).
Conclusion : \(u_n = \left(2 + \displaystyle\frac{n}{2}\right) 2^n = (4 + n)\, 2^{n-1}\).
C. Deux racines complexes conjuguées (Δ < 0)
Si \(\Delta\) < \(0\), les racines sont complexes conjuguées, que l’on écrit sous forme exponentielle \(r = \rho e^{i\theta}\) et \(\bar r = \rho e^{-i\theta}\) avec \(\rho\) > \(0\) et \(\theta \in \,]0,\pi[\). Les solutions complexes sont combinaisons de \((r^n)\) et \((\bar r^n)\) ; en repassant aux solutions réelles, on obtient :
\(\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_n = \rho^n\big(\lambda \cos(n\theta) + \mu \sin(n\theta)\big), \quad (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2.\)Comment retrouver \(\rho\) et \(\theta\) : avec les racines \(r = x + iy\), on a \(\rho = |r| = \sqrt{x^2 + y^2}\) et \(\theta = \arg(r)\), caractérisé par \(\cos\theta = \displaystyle\frac{x}{\rho}\) et \(\sin\theta = \displaystyle\frac{y}{\rho}\). Astuce : le module vérifie toujours \(\rho = \sqrt{c/a}\) (produit des racines).
Exemple 🔴 (type concours) — Résoudre \(u_{n+2} = u_{n+1} - u_n\) avec \(u_0 = 2\), \(u_1 = 1\).
Étape 1. \(r^2 - r + 1 = 0\), \(\Delta = 1 - 4 = -3\) < \(0\).
Étape 2. Racines \(r = \displaystyle\frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = e^{\pm i\pi/3}\). Donc \(\rho = 1\) et \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{3}\).
Étape 3. \(u_n = \lambda \cos\!\left(\displaystyle\frac{n\pi}{3}\right) + \mu \sin\!\left(\displaystyle\frac{n\pi}{3}\right)\).
Étape 4. \(u_0 = \lambda = 2\). Puis \(u_1 = \lambda \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) + \mu \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{\lambda}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt 3}{2}\mu = 1\). Avec \(\lambda = 2\) : \(1 + \displaystyle\frac{\sqrt 3}{2}\mu = 1\), donc \(\mu = 0\).
Conclusion : \(u_n = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{n\pi}{3}\right)\). La suite est périodique de période 6 — cohérent avec \(\rho = 1\) (module unité).
D. L’exemple canonique : la suite de Fibonacci
Aucun cours sur ce thème n’est complet sans Fibonacci, qui donne la fameuse formule de Binet.
Exemple 🟠 — La suite de Fibonacci est définie par \(F_0 = 0\), \(F_1 = 1\) et \(F_{n+2} = F_{n+1} + F_n\).
Étape 1. \(r^2 - r - 1 = 0\), \(\Delta = 5\) > \(0\).
Étape 2. Racines : \(\varphi = \displaystyle\frac{1+\sqrt 5}{2}\) (nombre d’or) et \(\psi = \displaystyle\frac{1-\sqrt 5}{2}\).
Étape 3. \(F_n = \lambda\, \varphi^n + \mu\, \psi^n\).
Étape 4. \(F_0 = \lambda + \mu = 0\) et \(F_1 = \lambda\varphi + \mu\psi = 1\). On tire \(\mu = -\lambda\) puis \(\lambda(\varphi - \psi) = 1\). Or \(\varphi - \psi = \sqrt 5\), donc \(\lambda = \displaystyle\frac{1}{\sqrt 5}\).
Conclusion (formule de Binet) : \(F_n = \displaystyle\frac{1}{\sqrt 5}\left(\varphi^n - \psi^n\right)\). Fait remarquable : cette expression pleine de \(\sqrt 5\) donne toujours un entier !
La suite de Fibonacci sert aussi d’exemple type pour la récurrence double, où l’on démontre des propriétés en supposant l’hérédité sur deux rangs consécutifs.
IV. Le cas avec second membre
En prépa, on rencontre souvent des relations non homogènes, du type \(a u_{n+2} + b u_{n+1} + c u_n = f(n)\). La stratégie est identique à celle des équations différentielles linéaires.
Principe de superposition : la solution générale de \(a u_{n+2} + b u_{n+1} + c u_n = f(n)\) est
\(u_n = u_n^{(h)} + u_n^{(p)}\)
où \(u_n^{(h)}\) est la solution générale de l’équation homogène (méthode ci-dessus, avec \(\lambda,\mu\)) et \(u_n^{(p)}\) une solution particulière que l’on cherche « de la même forme » que \(f(n)\).
Pour la solution particulière, on cherche un candidat du même type que \(f(n)\) :
| Second membre \(f(n)\) | Candidat \(u_n^{(p)}\) |
|---|---|
| Constante \(k\) | Constante \(A\) (ou \(An\) si \(1\) est racine) |
| Polynôme de degré \(d\) | Polynôme de degré \(d\) (à ajuster si \(1\) racine) |
| \(k\,\beta^n\), \(\beta\) non racine | \(A\,\beta^n\) |
| \(k\,\beta^n\), \(\beta\) racine simple | \(A\,n\,\beta^n\) |
Exemple 🟠 — Résoudre \(u_{n+2} - 5u_{n+1} + 6u_n = 2\) avec \(u_0 = 0\), \(u_1 = 0\).
Homogène : racines \(2\) et \(3\) (déjà vu), donc \(u_n^{(h)} = \lambda 2^n + \mu 3^n\).
Particulière : \(f(n) = 2\) constant, et \(1\) n’est pas racine (car \(1 - 5 + 6 = 2 \neq 0\)). On cherche \(u_n^{(p)} = A\) constante : \(A - 5A + 6A = 2A = 2\), donc \(A = 1\).
Générale : \(u_n = \lambda 2^n + \mu 3^n + 1\).
Conditions initiales : \(\lambda + \mu + 1 = 0\) et \(2\lambda + 3\mu + 1 = 0\). On résout : \(\lambda = -2\), \(\mu = 1\).
Conclusion : \(u_n = -2 \cdot 2^n + 3^n + 1\).
Ces techniques prolongent naturellement l’étude générale des suites définies par récurrence et préparent l’approche des séries entières génératrices, où l’on retrouve ces relations sous forme de fractions rationnelles.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les fautes qui coûtent le plus de points en colle et en concours.
Erreur 1 — Oublier le facteur \(n\) dans le cas de la racine double.
❌ Copie fautive : « \(\Delta = 0\), racine \(r_0\), donc \(u_n = \lambda r_0^n\). »
Diagnostic : avec une seule constante \(\lambda\), on ne peut pas ajuster deux conditions initiales indépendantes — l’espace des solutions est de dimension 2, pas 1.
✅ Correction : \(u_n = (\lambda + \mu n) r_0^n\).
Erreur 2 — Garder des exponentielles complexes dans une solution réelle.
❌ Copie fautive : « racines \(e^{\pm i\theta}\), donc \(u_n = \lambda e^{in\theta} + \mu e^{-in\theta}\). »
Diagnostic : cette forme est correcte sur \(\mathbb{C}\) mais on cherche une suite réelle. Il faut repasser en \(\cos\) / \(\sin\).
✅ Correction : \(u_n = \rho^n(\lambda \cos n\theta + \mu \sin n\theta)\) avec \(\lambda,\mu \in \mathbb{R}\).
Erreur 3 — Confondre la relation et l’équation caractéristique.
Pour \(u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n\), on écrit d’abord \(u_{n+2} - 5u_{n+1} + 6u_n = 0\) AVANT de poser \(r^2 - 5r + 6 = 0\). Beaucoup d’élèves gardent les signes de la forme \(u_{n+2} = \dots\) et se trompent de signe sur \(b\) et \(c\).
Erreur 4 — Ne pas justifier la forme de la solution.
Poser directement \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\) sans invoquer le théorème de structure (\(\dim \mathcal{S} = 2\) + famille libre) fait perdre les points de rigueur. Le correcteur attend la justification, pas seulement le résultat.
VI. Exercices d’application corrigés
Entraîne-toi sur ces exercices couvrant les trois cas et le second membre. Cherche d’abord seul, puis compare.
Exercice 1 🟠 (★★). Résoudre \(u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n\) avec \(u_0 = 1\), \(u_1 = 4\).
Correction. \(r^2 - 3r + 2 = 0\), \(\Delta = 1\), racines \(1\) et \(2\). Donc \(u_n = \lambda + \mu 2^n\). Conditions : \(\lambda + \mu = 1\) et \(\lambda + 2\mu = 4\), d’où \(\mu = 3\), \(\lambda = -2\). Conclusion : \(u_n = -2 + 3\cdot 2^n\).
Exercice 2 🟠 (★★). Résoudre \(u_{n+2} + 6u_{n+1} + 9u_n = 0\) avec \(u_0 = 1\), \(u_1 = 0\).
Correction. \(r^2 + 6r + 9 = (r+3)^2 = 0\), racine double \(r_0 = -3\). Donc \(u_n = (\lambda + \mu n)(-3)^n\). \(u_0 = \lambda = 1\) ; \(u_1 = (\lambda + \mu)(-3) = 0\) donne \(\lambda + \mu = 0\), soit \(\mu = -1\). Conclusion : \(u_n = (1 - n)(-3)^n\).
Exercice 3 🔴 (★★★). Soit \(u_{n+2} = -u_n\) avec \(u_0 = 1\), \(u_1 = 0\). Déterminer \(u_n\) et montrer que \((u_n)\) est périodique.
Correction. \(r^2 + 1 = 0\), \(\Delta = -4\), racines \(\pm i = e^{\pm i\pi/2}\), donc \(\rho = 1\), \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{2}\). Alors \(u_n = \lambda \cos\!\left(\displaystyle\frac{n\pi}{2}\right) + \mu \sin\!\left(\displaystyle\frac{n\pi}{2}\right)\). Conditions : \(u_0 = \lambda = 1\) ; \(u_1 = \mu = 0\). Donc \(u_n = \cos\!\left(\displaystyle\frac{n\pi}{2}\right)\). Comme \(\rho = 1\) et \(\theta = \displaystyle\frac{\pi}{2}\), la suite est \(4\)-périodique : \(1, 0, -1, 0, 1, \dots\)
Exercice 4 🔴 (★★★, raisonnement). Soit \((u_n)\) vérifiant \(u_{n+2} = 4u_{n+1} - 3u_n\). Sans résoudre complètement, montrer que si \(u_0\) et \(u_1\) sont tels que \(u_1 = u_0\), alors \((u_n)\) est constante.
Correction. Équation caractéristique \(r^2 - 4r + 3 = 0\), racines \(1\) et \(3\). Donc \(u_n = \lambda + \mu 3^n\). Les conditions \(u_0 = u_1\) donnent \(\lambda + \mu = \lambda + 3\mu\), soit \(2\mu = 0\), donc \(\mu = 0\). Ainsi \(u_n = \lambda\) constante. On pouvait aussi le voir directement : si tous les termes sont égaux à \(\ell\), la relation donne \(\ell = 4\ell - 3\ell = \ell\), cohérent, et l’unicité (isomorphisme \(\varphi\)) conclut. ∎
Exercice 5 🔴 (★★★★, second membre). Résoudre \(u_{n+2} - 4u_{n+1} + 4u_n = 3 \cdot 2^n\) avec \(u_0 = 0\), \(u_1 = 0\).
Correction. Homogène : racine double \(2\), donc \(u_n^{(h)} = (\lambda + \mu n) 2^n\). Le second membre \(3\cdot 2^n\) fait intervenir \(\beta = 2\), qui est racine double : on cherche donc \(u_n^{(p)} = A n^2 2^n\). En injectant et en factorisant \(2^n\) :
\(A 2^n\big[4(n+2)^2 - 8(n+1)^2 + 4n^2\big] = A 2^n \cdot 8 = 3 \cdot 2^n\). Le crochet vaut \(4[(n+2)^2 - 2(n+1)^2 + n^2] = 4 \cdot 2 = 8\). Donc \(8A = 3\), soit \(A = \displaystyle\frac{3}{8}\). Générale : \(u_n = \left(\lambda + \mu n + \displaystyle\frac{3}{8}n^2\right)2^n\). Conditions : \(u_0 = \lambda = 0\) ; \(u_1 = \left(\mu + \displaystyle\frac{3}{8}\right)2 = 0\) donne \(\mu = -\displaystyle\frac{3}{8}\). Conclusion : \(u_n = \displaystyle\frac{3}{8}(n^2 - n)\,2^n = \displaystyle\frac{3}{8}n(n-1)2^n\).
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend
Sur une copie de concours, la réponse « \(u_n = 3\cdot 2^n - 2\cdot 3^n\) » sans justification vaut peu de points. Voici ce qui distingue une rédaction propre.
Le squelette de rédaction attendu :
- Poser l’équation caractéristique explicitement et calculer \(\Delta\) (une ligne, mais elle structure tout).
- Justifier la forme générale. Une phrase suffit : « D’après le cours, l’ensemble des solutions est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension 2 ; comme \(\Delta\) > \(0\) avec deux racines distinctes \(r_1, r_2\), la famille \(\big((r_1^n),(r_2^n)\big)\) en est une base. »
- Résoudre le système de Cramer proprement, en écrivant les deux équations issues de \(u_0\) et \(u_1\).
- Vérifier \(u_0\) et \(u_1\) sur la formule finale : c’est gratuit et rassure le correcteur.
Le réflexe qui rapporte : quand le second membre contient un terme géométrique \(\beta^n\), TOUJOURS vérifier si \(\beta\) est racine de l’équation caractéristique avant de choisir la forme de \(u_n^{(p)}\). Un oubli conduit à un système sans solution — signe qu’il faut multiplier par \(n\) (ou \(n^2\) si racine double).
Pour la mise en forme précise des étapes (initialisation, hérédité, conclusion) quand on démontre une propriété par récurrence sur ces suites, consulte la fiche dédiée à la rédaction d’une récurrence en 3 étapes.
VIII. Questions fréquentes
Pourquoi ajoute-t-on un facteur n quand la racine est double ?
Parce que l’espace des solutions est toujours de dimension 2, mais qu’une racine double ne fournit qu’une seule suite géométrique \((r_0^n)\). Il faut une seconde solution indépendante : on vérifie que \((n\,r_0^n)\) convient aussi. La forme \((\lambda + \mu n)r_0^n\) permet alors d’ajuster les deux conditions initiales \(u_0\) et \(u_1\).
Comment traiter le cas où le discriminant est négatif ?
Les racines sont complexes conjuguées, que l’on écrit sous forme exponentielle \(\rho e^{\pm i\theta}\). La solution réelle s’écrit alors \(u_n = \rho^n(\lambda \cos n\theta + \mu \sin n\theta)\). Le module \(\rho = \sqrt{c/a}\) contrôle la croissance et \(\theta\) la fréquence d’oscillation.
Quelle est la différence entre l'équation caractéristique et la relation de récurrence ?
La relation de récurrence \(a u_{n+2}+b u_{n+1}+c u_n = 0\) est une contrainte sur la suite. L’équation caractéristique \(ar^2 + br + c = 0\) est une équation du second degré dont les racines fournissent les briques géométriques \(r^n\) servant à construire toutes les solutions. La première est l’énoncé, la seconde est l’outil de résolution.
Cette méthode marche-t-elle pour une suite du type u_{n+1} = f(u_n) ?
Non. L’équation caractéristique ne s’applique qu’aux récurrences linéaires à coefficients constants. Pour \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f\) non affine, il n’existe généralement pas de forme close : on étudie plutôt le point fixe, la monotonie et la convergence, comme expliqué dans le cours sur les suites définies par récurrence.
Peut-on toujours déterminer les constantes λ et μ ?
Oui, et de façon unique. Le système donné par \(u_0\) et \(u_1\) est toujours de Cramer : c’est une conséquence directe du théorème de structure (l’application \(u \mapsto (u_0,u_1)\) est un isomorphisme). Deux conditions initiales déterminent donc toujours une unique suite solution.
Que se passe-t-il si les coefficients ne sont pas constants ?
La méthode ne s’applique plus directement. Pour \(u_{n+2} = a_n u_{n+1} + b_n u_n\) avec des coefficients dépendant de \(n\), on utilise d’autres techniques (changement d’inconnue, produit matriciel, ou parfois une récurrence explicite). Ces suites sortent du cadre linéaire à coefficients constants.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais la résolution des suites récurrentes linéaires d’ordre 2. Pour consolider et élargir :
- Le raisonnement par récurrence : principe et méthode — le socle théorique.
- Récurrence forte et double — indispensable pour démontrer des propriétés sur ces suites (Fibonacci, etc.).
- Suites définies par récurrence — le cas général \(u_{n+1}=f(u_n)\).
- Exercices corrigés de récurrence — pour t’entraîner davantage.
Dernière mise à jour : 07/07/2026. Contenu conforme au programme officiel de CPGE scientifique 2026-2027.
