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Imagine une file de dominos parfaitement alignée. Si tu fais tomber le premier, et si chaque domino qui tombe fait tomber le suivant, alors tu es certain qu’ils tomberont tous — même s’il y en a un million. Le raisonnement par récurrence repose exactement sur cette idée : c’est l’outil qui permet de démontrer qu’une propriété est vraie pour tous les entiers, sans avoir à les vérifier un par un. Au programme de spécialité mathématiques en Terminale, puis omniprésent en prépa, il est l’une des techniques de démonstration les plus élégantes et les plus utiles. Tu trouveras ici : le principe expliqué simplement, la méthode de rédaction en 3 étapes, des exemples entièrement rédigés, des exercices corrigés, les pièges à éviter et une FAQ.
I. Le principe du raisonnement par récurrence
Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu’une propriété, notée \(P(n)\), est vraie pour tout entier naturel \(n\) à partir d’un certain rang. Plutôt que de tester la propriété pour \(n = 0\), puis \(n = 1\), puis \(n = 2\)… (ce qui serait infini), on procède en deux temps.
A. L’idée intuitive : les dominos
Reprenons la file de dominos. Pour être sûr que tous tombent, il te suffit de garantir deux choses :
- Le premier domino tombe (le domino de rang \(0\), par exemple).
- Chaque domino qui tombe entraîne la chute du suivant : si le domino de rang \(n\) tombe, alors celui de rang \(n+1\) tombe aussi.
Ces deux garanties réunies suffisent : les dominos tombent tous, en cascade. Le raisonnement par récurrence est la traduction mathématique rigoureuse de cette cascade.
B. Le principe formel
Principe de récurrence
Soit \(P(n)\) une propriété qui dépend d’un entier naturel \(n\), et soit \(n_0\) un entier. Si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
1. Initialisation : \(P(n_0)\) est vraie ;
2. Hérédité : pour tout entier \(n \geq n_0\), si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie ;
alors \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geq n_0\).
Ces deux conditions correspondent aux deux garanties des dominos : l’initialisation fait tomber le premier, l’hérédité assure la propagation. Retiens bien que les deux sont indispensables : l’une sans l’autre ne prouve rien (on le verra dans les pièges).
Le bon réflexe : pense à la récurrence dès que tu vois « pour tout entier \(n\) », une formule avec \(n\) dans une somme, une puissance \(n\)-ième, ou une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\). Ce sont les signatures typiques d’une démonstration par récurrence.
Pour choisir une méthode adaptée à l’énoncé, compare la récurrence avec les autres types de raisonnement.
II. La méthode de rédaction en 3 étapes
Maintenant que le principe est clair, voyons comment rédiger proprement une démonstration. Une récurrence bien écrite suit toujours la même structure, en trois blocs distincts. Voici le squelette à mémoriser.
- Initialisation — On vérifie que la propriété est vraie au rang de départ \(n_0\) (souvent \(n_0 = 0\) ou \(n_0 = 1\)). C’est un simple calcul.
- Hérédité — On suppose que \(P(n)\) est vraie pour un entier \(n \geq n_0\) fixé (c’est l’hypothèse de récurrence), puis on démontre que \(P(n+1)\) est vraie.
- Conclusion — On invoque le principe de récurrence : la propriété étant initialisée et héréditaire, elle est vraie pour tout \(n \geq n_0\).
Erreur de vocabulaire fréquente : ne confonds pas « hypothèse de récurrence » et « ce qu’on veut démontrer ». Dans l’hérédité, on suppose \(P(n)\) (l’hypothèse) pour en déduire \(P(n+1)\) (l’objectif). Supposer \(P(n)\) n’est pas de la triche : c’est le domino de rang \(n\) que l’on imagine tombé pour montrer qu’il fait tomber le suivant.
La rédaction exacte — phrase d’initialisation, formulation de l’hypothèse, phrase d’hérédité, phrase de conclusion — mérite un traitement détaillé. Pour maîtriser chaque formulation type et éviter les maladresses de copie, consulte notre fiche dédiée : rédiger une démonstration par récurrence pas à pas.
La fiche de révision « Récurrence » prête à imprimer
Le principe, la méthode en 3 étapes, les formulations types et les pièges à éviter — tout tient sur une fiche synthétique.
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III. Un exemple entièrement rédigé
Rien ne vaut un exemple complet pour ancrer la méthode. Prenons la formule la plus classique du chapitre : la somme des \(n\) premiers entiers naturels non nuls.
Exemple modèle : Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\) :
\(1 + 2 + 3 + \cdots + n = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\)
On note \(P(n)\) la propriété : « \(1 + 2 + \cdots + n = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) ».
Initialisation. Pour \(n = 1\), le membre de gauche vaut \(1\). Le membre de droite vaut \(\displaystyle\frac{1 \times 2}{2} = 1\). Les deux membres sont égaux, donc \(P(1)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n \geq 1\) un entier fixé. Supposons que \(P(n)\) soit vraie, c’est-à-dire :
\(1 + 2 + \cdots + n = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \quad \text{(hypothèse de récurrence)}\)
Montrons alors que \(P(n+1)\) est vraie, soit \(1 + 2 + \cdots + (n+1) = \displaystyle\frac{(n+1)(n+2)}{2}\). On part du membre de gauche :
\(1 + 2 + \cdots + n + (n+1) = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)\)
en utilisant l’hypothèse de récurrence. On factorise par \((n+1)\) :
\(= (n+1)\left(\displaystyle\frac{n}{2} + 1\right) = (n+1) \times \displaystyle\frac{n+2}{2} = \displaystyle\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
C’est exactement \(P(n+1)\). La propriété est donc héréditaire.
Conclusion. \(P(1)\) est vraie et \(P\) est héréditaire. D’après le principe de récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geq 1\). ∎
Observe le moment clé de l’hérédité : on fait apparaître le membre de gauche du rang \(n\) pour pouvoir y injecter l’hypothèse de récurrence. C’est presque toujours le point de bascule d’une récurrence sur une somme.
Le geste gagnant : dans l’hérédité, isole toujours le « nouveau terme » (ici \((n+1)\)), puis remplace le reste par l’hypothèse de récurrence. Tu ramènes ainsi \(P(n+1)\) à un simple calcul algébrique.
IV. Les différents types de récurrence
La récurrence que tu viens de voir est dite simple : pour passer au rang \(n+1\), on utilise uniquement le rang \(n\). Mais il existe plusieurs variantes, utiles selon le problème. Voici les principales.
| Type | Ce qu’on suppose dans l’hérédité | Quand l’utiliser |
|---|---|---|
| Récurrence simple | \(P(n)\) | Cas standard : sommes, inégalités, divisibilité |
| Récurrence double | \(P(n)\) et \(P(n+1)\) | Suites définies par \(u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n\) (ex. Fibonacci) |
| Récurrence forte | \(P(n_0), P(n_0+1), \dots, P(n)\) | Quand \(P(n+1)\) dépend de plusieurs rangs antérieurs |
Les récurrences double et forte demandent deux initialisations (ou plus) et une hypothèse de récurrence élargie. Elles sont détaillées, avec l’exemple emblématique de la suite de Fibonacci, dans notre cours : récurrence forte et récurrence double.
🔴 Extension prépa — En classe préparatoire, tu rencontreras d’autres variantes : la récurrence descendante, la célèbre récurrence de Cauchy (utilisée pour démontrer l’inégalité arithmético-géométrique), ou encore la récurrence transfinie. Toutes reposent sur le même socle logique : une base et une propagation. La rédaction devient plus exigeante — le correcteur attend une formulation impeccable de l’hypothèse et de sa portée.
V. Histoire et origine du raisonnement par récurrence
Un excellent sujet de Grand Oral ! Si l’idée intuitive apparaît chez Euclide (vers 300 av. J.-C.) et chez le mathématicien arabe al-Karaji (vers l’an 1000), c’est le Français Blaise Pascal qui, en 1654, en donne la première formulation explicite dans son Traité du triangle arithmétique. Il y démontre des propriétés du triangle arithmétique (aujourd’hui appelé triangle de Pascal) en s’appuyant précisément sur les deux étapes d’initialisation et d’hérédité.
Le terme « récurrence » et sa formalisation moderne viennent plus tard : Henri Poincaré, à la fin du XIXe siècle, y voit un principe fondamental de la pensée mathématique, irréductible à la simple logique. Le principe est enfin intégré comme axiome dans la construction des entiers naturels par Giuseppe Peano (1889) : c’est le cinquième axiome de Peano, qui fonde la définition même de l’ensemble des entiers.
Pour ton Grand Oral : un angle percutant consiste à montrer que la récurrence n’est pas une astuce de calcul mais un fondement des mathématiques — sans elle, la notion même d’« ensemble infini des entiers » ne tiendrait pas. Poincaré la qualifiait de « raisonnement mathématique par excellence ».
VI. Exercices corrigés
Passons à la pratique avec trois exercices classiques, couvrant les trois grands types d’énoncés du chapitre : une inégalité, une divisibilité, et une propriété sur une suite. Essaie de les rédiger avant de regarder la correction.
Exercice 1 — Une inégalité (★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 4\), on a \(2^n \geq n^2\).
Voir la correction
On note \(P(n)\) : « \(2^n \geq n^2\) ».
Initialisation. Pour \(n = 4\) : \(2^4 = 16\) et \(4^2 = 16\), donc \(2^4 \geq 4^2\). \(P(4)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n \geq 4\) tel que \(2^n \geq n^2\). Alors :
\(2^{n+1} = 2 \times 2^n \geq 2n^2\)Il suffit de montrer que \(2n^2 \geq (n+1)^2\). Or \(2n^2 - (n+1)^2 = n^2 - 2n - 1\), et pour \(n \geq 4\) on a \(n^2 - 2n - 1 = n(n-2) - 1 \geq 4 \times 2 - 1 = 7\) > \(0\). Donc \(2n^2 \geq (n+1)^2\), d’où \(2^{n+1} \geq (n+1)^2\). \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, \(2^n \geq n^2\) pour tout entier \(n \geq 4\). ∎
Exercice 2 — Une divisibilité (★★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 0\), \(4^n - 1\) est divisible par \(3\).
Voir la correction
On note \(P(n)\) : « \(4^n - 1\) est divisible par \(3\) », c’est-à-dire il existe un entier \(k\) tel que \(4^n - 1 = 3k\).
Initialisation. Pour \(n = 0\) : \(4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0\), divisible par \(3\). \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n \geq 0\) tel que \(4^n - 1 = 3k\) avec \(k\) entier. Alors :
\(4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4(3k + 1) - 1 = 12k + 3 = 3(4k + 1)\)Comme \(4k+1\) est un entier, \(4^{n+1} - 1\) est divisible par \(3\). \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, \(4^n - 1\) est divisible par \(3\) pour tout entier \(n \geq 0\). ∎
Exercice 3 — Une propriété sur une suite (★★)
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 2\) et, pour tout entier \(n \geq 0\), \(u_{n+1} = 3u_n - 1\). Démontrer que pour tout entier \(n \geq 0\), \(u_n\) > \(0\).
Voir la correction
On note \(P(n)\) : « \(u_n\) > \(0\) ».
Initialisation. \(u_0 = 2\) > \(0\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n \geq 0\) tel que \(u_n\) > \(0\). On veut montrer \(u_{n+1}\) > \(0\). Comme \(u_n\) > \(0\), on a \(3u_n\) > \(0\). Plus précisément, \(u_n\) > \(0\) entraîne \(u_n \geq\) une valeur strictement positive ; ici il est plus sûr de raffiner l’hypothèse. Montrons en fait que \(u_n \geq 2\) : si \(u_n \geq 2\), alors \(u_{n+1} = 3u_n - 1 \geq 6 - 1 = 5 \geq 2\). Comme \(u_0 = 2\), la propriété renforcée « \(u_n \geq 2\) » est initialisée et héréditaire.
Conclusion. Par récurrence, \(u_n \geq 2\) > \(0\) pour tout \(n \geq 0\). ∎
Leçon à retenir : parfois une hypothèse trop faible (\(u_n\) > \(0\)) ne « passe » pas dans l’hérédité. Il faut alors renforcer la propriété (\(u_n \geq 2\)) pour que la récurrence fonctionne. C’est un réflexe précieux.
Ces trois exercices ne sont qu’un aperçu. Pour t’entraîner sur tous les types d’énoncés (sommes de carrés et de cubes, inégalité de Bernoulli, binôme de Newton, divisibilité…) avec un PDF téléchargeable, rends-toi sur notre page dédiée : exercices corrigés de récurrence en Terminale.
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
La récurrence est un raisonnement subtil : une faute de logique passe facilement inaperçue. Voici les trois pièges qui coûtent le plus de points aux élèves.
Piège n°1 — Oublier l’initialisation. Une propriété peut être héréditaire sans être vraie ! Exemple célèbre : « \(P(n)\) : \(3\) divise \(4^n + 1\) ». On peut vérifier qu’elle est héréditaire, mais elle est fausse pour tout \(n\) (car \(4^0 + 1 = 2\) n’est pas divisible par \(3\), et l’hérédité seule ne démarre jamais). Sans initialisation, aucun domino ne tombe.
❌ Copie fautive : « Supposons \(P(n)\) vraie pour tout \(n\). Alors… donc \(P(n+1)\) est vraie. CQFD. »
Diagnostic : supposer « pour tout \(n\) » revient à supposer ce que l’on veut démontrer — c’est un raisonnement circulaire. L’hypothèse porte sur un seul entier \(n\) fixé.
✅ Correction : « Soit \(n \geq n_0\) un entier fixé. Supposons \(P(n)\) vraie et montrons \(P(n+1)\). »
Piège n°2 — Ne pas utiliser l’hypothèse de récurrence. Si ta démonstration de l’hérédité n’invoque jamais \(P(n)\), c’est suspect : tu as probablement démontré \(P(n+1)\) directement (auquel cas la récurrence était inutile) ou tu as fait une erreur. L’hypothèse doit servir de tremplin.
Piège n°3 — Mauvais rang d’initialisation. Si la propriété n’est vraie qu’à partir de \(n_0 = 4\) (comme dans l’exercice 1), initialiser à \(n = 0\) donne une propriété fausse et fait échouer toute la démonstration. Vérifie toujours le premier rang où l’énoncé demande la propriété.
Suites et récurrence : 6 erreurs qui coûtent des points au bac
Les pièges de logique vus plus haut concernent toute récurrence. Mais quand la récurrence porte sur une suite — le cas le plus fréquent au bac — trois erreurs supplémentaires reviennent copie après copie. Voici les six fautes réelles, avec le geste correct à côté.
Confondre le rang fixé et la variable muette
Dans l’hérédité d’une suite, l’erreur classique est d’écrire « pour tout \(n\), \(u_n \geq 2\) donc \(u_{n+1} \geq 2\) ». Le « pour tout » suppose déjà le résultat. On fixe un entier \(n\) et on suppose seulement \(u_n \geq 2\) à ce rang précis.
Erreur n°4 — Utiliser la relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) au mauvais rang. Pour prouver une propriété au rang \(n+1\), on écrit \(u_{n+1}=f(u_n)\) et on encadre \(u_n\) avec l’hypothèse. Beaucoup d’élèves écrivent \(u_{n+2}=f(u_{n+1})\) par réflexe, ou oublient carrément d’utiliser la relation de récurrence de la suite. Sans elle, aucun lien entre les deux rangs.
Croire qu’une suite majorée est décroissante
Prouver par récurrence que \(u_n \leq 3\) ne dit rien sur le sens de variation. Ce sont deux questions distinctes : l’encadrement d’un côté, le signe de \(u_{n+1}-u_n\) de l’autre. Au bac, une question demande souvent les deux à la suite, et l’élève pressé fusionne les deux raisonnements en un seul, faux.
Erreur n°5 — Utiliser la fonction sans vérifier sa croissance. Pour une suite \(u_{n+1}=f(u_n)\), passer de \(u_n \leq 3\) à \(u_{n+1} \leq 3\) via \(f(u_n) \leq f(3)\) n’est licite que si \(f\) est croissante sur l’intervalle. Si \(f\) décroît, l’inégalité change de sens. On justifie toujours la monotonie de \(f\) avant de l’appliquer à l’encadrement.
Le bon enchaînement. Soit \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}\), suite de fonction \(f(x)=\sqrt{x+6}\), croissante. Supposons \(0 \leq u_n \leq 3\) à un rang \(n\) fixé. Par croissance de \(f\) :
\(f(0) \leq f(u_n) \leq f(3)\), soit \(\sqrt{6} \leq u_{n+1} \leq 3\).
Comme \(\sqrt{6} \geq 0\), on a bien \(0 \leq u_{n+1} \leq 3\). La croissance de \(f\) est le maillon qui rend le calcul valable.
Erreur n°6 — Conclure la limite par récurrence. La récurrence prouve un encadrement ou une monotonie pour tout \(n\), jamais directement une limite. La limite s’obtient ensuite par le théorème de convergence monotone, puis en résolvant \(\ell=f(\ell)\). Écrire « donc par récurrence \(u_n\) tend vers 3 » est un non-sens qui coûte cher.
Deux réflexes anti-erreur avant de rédiger une récurrence sur une suite :
- Repérer si \(f\) est croissante ou décroissante sur l’intervalle utile — c’est ce qui pilote le sens des inégalités.
- Séparer nettement les trois questions du bac : encadrement, monotonie, limite. Chacune a sa propre justification.
Pour la formulation exacte de chaque phrase, reporte-toi à la fiche rédiger une récurrence en 3 étapes.
VIII. Questions fréquentes
C'est quoi le raisonnement par récurrence en maths ?
C’est une méthode de démonstration qui permet de prouver qu’une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d’un certain rang. Elle repose sur deux étapes : l’initialisation (la propriété est vraie au premier rang) et l’hérédité (si elle est vraie à un rang, elle l’est au suivant). Ces deux conditions réunies garantissent que la propriété est vraie pour tous les entiers concernés, comme une chaîne de dominos qui tombent en cascade.
Quelle est la formule de récurrence ?
Il n’existe pas une « formule de récurrence » unique : la récurrence est un raisonnement, pas une formule. En revanche, une relation de récurrence désigne une égalité qui définit chaque terme d’une suite à partir du précédent, du type \(u_{n+1} = f(u_n)\). À ne pas confondre avec le principe de démonstration par récurrence.
Quelles sont les 3 étapes d'une démonstration par récurrence ?
1. Initialisation : vérifier que la propriété est vraie au rang de départ. 2. Hérédité : supposer la propriété vraie à un rang \(n\) fixé (hypothèse de récurrence) et démontrer qu’elle est alors vraie au rang \(n+1\). 3. Conclusion : invoquer le principe de récurrence pour affirmer qu’elle est vraie pour tout \(n\).
Pourquoi l'initialisation est-elle obligatoire ?
Parce que l’hérédité seule ne prouve rien. Une propriété peut être héréditaire tout en étant fausse : si aucun premier rang n’est vrai, la cascade ne démarre jamais. L’initialisation est le premier domino ; sans lui, la propagation reste théorique et aucun terme n’est réellement vérifié.
Quelle est la différence entre récurrence et raisonnement par l'absurde ?
Le raisonnement par récurrence prouve qu’une propriété est vraie pour tous les entiers, en s’appuyant sur la structure des entiers naturels. Le raisonnement par l’absurde prouve une affirmation en supposant sa négation et en aboutissant à une contradiction. Ce sont deux outils logiques complémentaires : la récurrence est spécifique aux propriétés indexées par un entier, l’absurde est universel.
Quand utiliser une récurrence forte plutôt qu'une récurrence simple ?
Utilise la récurrence forte quand la propriété au rang \(n+1\) dépend de plusieurs rangs antérieurs, pas seulement du rang \(n\). Typiquement pour les suites définies par une relation d’ordre 2 (deux termes précédents). La récurrence simple suffit dans la grande majorité des cas de Terminale. Notre cours récurrence forte et double détaille ces situations.
Le raisonnement par récurrence est-il au programme de Première ?
Non. Le raisonnement par récurrence est introduit en Terminale, dans la spécialité mathématiques, au sein du chapitre sur les suites. Il n’apparaît ni au collège, ni en Seconde, ni en Première. En prépa, il devient un outil quotidien.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises désormais le principe et la méthode du raisonnement par récurrence. Pour approfondir et t’entraîner, voici les prochaines étapes du cocon :
- Rédiger une récurrence en 3 étapes — pour peaufiner ta rédaction et gagner tous les points sur la copie.
- Exercices corrigés de récurrence (PDF) — pour t’entraîner sur tous les types d’énoncés.
- Suites définies par récurrence — pour comprendre les suites du type \(u_{n+1} = f(u_n)\) et leur représentation graphique.
- Récurrence forte et récurrence double — avec l’exemple de la suite de Fibonacci.
- Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 (prépa) — la méthode de l’équation caractéristique.
La récurrence est aussi l’outil qui permet de démontrer les formules des suites arithmétiques et géométriques, ou d’établir des résultats de divisibilité en arithmétique.
