Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur
Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) se calcule avec la formule \(AB = \sqrt{(x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2}\). Elle mesure la longueur du segment \([AB]\). Tu trouveras ici la méthode en 4 étapes, la démonstration par Pythagore, des exemples résolus et des exercices corrigés pas à pas.
I. La méthode en 4 étapes
Tu connais les coordonnées de deux points et tu veux mesurer la distance qui les sépare ? Voici la marche à suivre, valable à chaque fois. Prenons l’exemple des points \(A(1\,;2)\) et \(B(4\,;6)\) pour illustrer chaque étape.
- Vérifie que le repère est orthonormé. C’est la condition indispensable pour utiliser la formule. Sans cette précision, aucun calcul de distance direct n’est possible.
- Repère les coordonnées. Ici \(x_A = 1\), \(y_A = 2\), \(x_B = 4\), \(y_B = 6\).
- Calcule les différences puis leurs carrés. \((x_B- x_A)^2 = (4- 1)^2 = 9\) et \((y_B- y_A)^2 = (6- 2)^2 = 16\).
- Additionne, puis prends la racine carrée. \(AB = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
Le réflexe à garder : l’ordre des points n’a aucune importance. Comme on élève les différences au carré, \((x_B- x_A)^2\) et \((x_A- x_B)^2\) donnent le même résultat. Tu peux donc commencer par A ou par B, la distance sera identique.
II. La formule et ses conditions d’application
Maintenant que tu as la méthode en tête, voici la formule de référence et la seule condition à ne jamais oublier.
Formule — Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, la distance entre deux points \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) est :
\(AB = \sqrt{(x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2}\)
La condition repère orthonormé est essentielle : les deux axes doivent être perpendiculaires et gradués avec la même unité. Dans un repère quelconque, cette formule est fausse. Si tu as un doute, révise ce qu’est un repère orthonormé avant de te lancer.
A. Quand utiliser cette méthode (et quand ne pas l’utiliser)
Cette formule n’est pas la seule façon de mesurer une longueur. Le tableau ci-dessous t’aide à choisir le bon outil selon la situation.
| Situation | Technique | Où l’apprendre |
|---|---|---|
| Deux points de coordonnées connues, repère orthonormé | Formule de la distance | Cette page |
| Côté d’un triangle rectangle, sans repère | Pythagore direct | le théorème de Pythagore |
| Longueur d’un vecteur donné par ses coordonnées | Norme du vecteur | la norme d’un vecteur |
| Distance d’un point à une droite ou à un plan | Projeté orthogonal | distance d’un point à une droite |
| Repère non orthonormé | Aucune formule directe | Voir la condition ci-dessus |
Retiens surtout la première et la dernière ligne : la formule de distance et le calcul de la norme du vecteur AB donnent exactement le même nombre, car \(AB = \Vert \vec{AB} \Vert\). Ce sont deux façons d’écrire la même chose.
La méthode « distance entre deux points » en fiche recto-verso
La formule, les 4 étapes, la démonstration par Pythagore et les pièges à éviter, résumés sur une seule fiche imprimable.
📄 Télécharger la fiche méthodePrête à glisser dans ton classeur avant le prochain contrôle.
III. D’où vient la formule : la démonstration par Pythagore
Pourquoi cette racine carrée et ces carrés ? La formule ne tombe pas du ciel : elle découle directement du théorème que tu connais depuis le collège. Comprendre sa provenance t’aide à ne jamais l’oublier.
On place un troisième point \(C(x_B\,;y_A)\) : il a la même abscisse que B et la même ordonnée que A. Le triangle \(ACB\) est alors rectangle en C.
- Le côté horizontal \([AC]\) a pour longueur \(AC = |x_B- x_A|\).
- Le côté vertical \([CB]\) a pour longueur \(CB = |y_B- y_A|\).
D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle en C :
\(AB^2 = AC^2 + CB^2 = (x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2\)Les valeurs absolues disparaissent, car un nombre au carré est toujours positif. En prenant la racine carrée (une distance est positive), on obtient bien :
\(AB = \sqrt{(x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2}\)Ce que la démonstration t’apprend : la formule n’est valable qu’en repère orthonormé parce que Pythagore exige un angle droit en C. C’est l’orthogonalité des axes qui garantit cet angle droit. Dans un repère penché, le triangle ne serait plus rectangle.
IV. Exemples résolus
Voici quatre situations classiques, de la plus simple à la plus riche. Toutes se traitent avec la même formule.
Exemple 1 🔵 — Calcul direct. Soit \(A(2\,;1)\) et \(B(5\,;5)\).
\(AB = \sqrt{(5- 2)^2 + (5- 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
La distance vaut 5 unités.
Exemple 2 🔵 — Avec des coordonnées négatives. Soit \(A(-3\,;2)\) et \(B(1\,;-1)\).
\(AB = \sqrt{(1- (-3))^2 + (-1- 2)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\).
Attention aux signes : \(1- (-3) = 4\). La distance vaut 5 unités.
Exemple 3 🔵 — Résultat non entier. Soit \(A(1\,;1)\) et \(B(4\,;3)\).
\(AB = \sqrt{(4- 1)^2 + (3- 1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}\).
Comme 13 n’est pas un carré parfait, on garde la valeur exacte \(\sqrt{13}\) (soit environ 3,61). Ne remplace jamais la valeur exacte par l’arrondi sans le préciser.
Exemple 4 🔵 — Nature d’un triangle. Soit \(A(1\,;1)\), \(B(4\,;5)\) et \(C(8\,;2)\). Quelle est la nature du triangle ABC ?
\(AB^2 = (4-1)^2 + (5-1)^2 = 9 + 16 = 25\)
\(BC^2 = (8-4)^2 + (2-5)^2 = 16 + 9 = 25\)
\(AC^2 = (8-1)^2 + (2-1)^2 = 49 + 1 = 50\)
On observe \(AB^2 = BC^2\) : le triangle est isocèle en B. De plus \(AB^2 + BC^2 = 25 + 25 = 50 = AC^2\) : d’après la réciproque de Pythagore, il est aussi rectangle en B. C’est un triangle rectangle isocèle.
V. Erreurs fréquentes
Trois erreurs reviennent systématiquement dans les copies. Les voici commentées pour que tu ne tombes pas dedans.
Erreur n°1 — oublier la racine carrée.
❌ Copie fautive : \(AB = (x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2\)
Diagnostic : ce que tu calcules là, c’est \(AB^2\), pas \(AB\).
✅ Correction : n’oublie jamais la racine : \(AB = \sqrt{(x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2}\).
Erreur n°2 — se tromper de signe avec les négatifs.
❌ Copie fautive : pour \(A(-3\,;2)\) et \(B(1\,;-1)\), écrire \(x_B- x_A = 1- 3 = -2\).
Diagnostic : on a oublié que soustraire un nombre négatif revient à l’ajouter.
✅ Correction : \(x_B- x_A = 1- (-3) = 1 + 3 = 4\). Mets toujours les coordonnées négatives entre parenthèses.
Erreur n°3 — appliquer la formule dans un repère quelconque.
❌ Copie fautive : utiliser la formule sans vérifier que le repère est orthonormé.
Diagnostic : la démonstration repose sur Pythagore, donc sur un angle droit entre les axes. Sans repère orthonormé, le résultat n’a aucun sens.
✅ Correction : commence toujours par vérifier (ou rappeler) que le repère est orthonormé.
VI. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Cherche chaque exercice avant d’ouvrir la correction : c’est en essayant que tu progresses.
Exercice 1 — Distance directe ★
Dans un repère orthonormé, on donne \(A(2\,;3)\) et \(B(6\,;6)\). Calcule la distance AB.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule :
\(AB = \sqrt{(6- 2)^2 + (6- 3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25}\)Donc \(AB = 5\) unités.
Exercice 2 — Valeur exacte ★★
Soit \(A(-1\,;2)\) et \(B(3\,;-2)\) dans un repère orthonormé. Donne la valeur exacte de AB, puis une valeur approchée au dixième.
Voir la correction de l’exercice 2
On simplifie : \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\). La valeur exacte est \(AB = 4\sqrt{2}\), soit environ \(5{,}7\) au dixième.
Exercice 3 — Triangle isocèle ★★
On donne \(A(1\,;1)\), \(B(4\,;2)\) et \(C(2\,;4)\). Montre que le triangle ABC est isocèle.
Voir la correction de l’exercice 3
On calcule les carrés des trois côtés (plus simple, on évite les racines).
\(AB^2 = (4-1)^2 + (2-1)^2 = 9 + 1 = 10\) \(AC^2 = (2-1)^2 + (4-1)^2 = 1 + 9 = 10\) \(BC^2 = (2-4)^2 + (4-2)^2 = 4 + 4 = 8\)On a \(AB^2 = AC^2\), donc \(AB = AC = \sqrt{10}\). Le triangle est isocèle en A.
Exercice 4 — Point équidistant (raisonnement) ★★★
Soit \(A(1\,;3)\) et \(B(5\,;1)\). Détermine l’abscisse du point \(M\) situé sur l’axe des abscisses tel que \(MA = MB\).
Voir la correction de l’exercice 4
Le point M est sur l’axe des abscisses, donc son ordonnée est nulle : \(M(x\,;0)\). Rappel utile sur l’abscisse et l’ordonnée.
On traduit \(MA = MB\) par \(MA^2 = MB^2\) (deux distances positives sont égales si et seulement si leurs carrés le sont) :
\(MA^2 = (1- x)^2 + (3- 0)^2 = (1-x)^2 + 9\) \(MB^2 = (5- x)^2 + (1- 0)^2 = (5-x)^2 + 1\)On résout \((1-x)^2 + 9 = (5-x)^2 + 1\), soit \(x^2- 2x + 1 + 9 = x^2- 10x + 25 + 1\).
Après simplification : \(-2x + 10 = -10x + 26\), puis \(8x = 16\).
Donc \(x = 2\) : le point cherché est \(M(2\,;0)\).
VII. Ce que le correcteur attend sur la copie
Un bon résultat ne suffit pas toujours à décrocher tous les points. Voici ce qui fait la différence dans une copie de Seconde.
- Écrire la formule avant de remplacer. Poser \(AB = \sqrt{(x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2}\) montre que tu maîtrises la méthode, même si tu te trompes ensuite dans un calcul.
- Préciser « dans un repère orthonormé ». Cette mention rapporte souvent un point de justification, et son oubli coûte cher.
- Distinguer valeur exacte et valeur approchée. Écris \(AB = \sqrt{13}\) puis, si on le demande, \(AB \approx 3{,}6\) avec le symbole \(\approx\), jamais un signe égal.
- Conclure par une phrase. « La distance AB vaut 5 unités » vaut mieux qu’un résultat isolé entouré.
- Pour une nature de triangle, cite explicitement la propriété utilisée (égalité de deux côtés, ou réciproque de Pythagore).
VIII. Du repère du plan à la distance euclidienne
Cette formule de Seconde n’est qu’une première étape. Voici comment la notion de distance grandit avec toi.
| Collège | Lycée | Prépa |
|---|---|---|
| Le théorème de Pythagore (4ème), sans coordonnées | Distance dans un repère (2nde), puis distance d’un point à une droite ou à un plan (Terminale) | Distance euclidienne, norme et inégalité triangulaire dans un espace euclidien |
🟡 Dès la fin de Seconde, tu verras que la distance AB est aussi la norme du vecteur \(\vec{AB}\) : c’est le même calcul vu sous un autre angle. 🔴 En prépa, cette formule devient la définition générale d’une distance euclidienne valable en dimension quelconque. La progression dans l’espace passe par les vecteurs de l’espace.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la formule pour calculer la distance entre deux points ?
Dans un repère orthonormé, pour \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\), la distance est \(AB = \sqrt{(x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2}\). On calcule les différences des abscisses et des ordonnées, on les met au carré, on additionne, puis on prend la racine carrée.
Comment calculer une racine carrée non entière sans calculatrice ?
On ne cherche pas à obtenir un nombre décimal exact : on garde la valeur exacte sous la racine, par exemple \(\sqrt{13}\). C’est la forme attendue en Seconde. Si une valeur approchée est demandée, on utilise la calculatrice et on écrit \(\sqrt{13} \approx 3{,}6\) avec le symbole d’approximation.
Pourquoi la formule vient-elle du théorème de Pythagore ?
En plaçant un point C ayant l’abscisse de B et l’ordonnée de A, on forme un triangle rectangle en C. Les côtés de l’angle droit valent \(|x_B- x_A|\) et \(|y_B- y_A|\). Pythagore donne alors \(AB^2 = (x_B- x_A)^2 + (y_B- y_A)^2\), d’où la formule après passage à la racine.
La formule marche-t-elle dans un repère quelconque ?
Non. Elle n’est valable que dans un repère orthonormé : les axes doivent être perpendiculaires et gradués avec la même unité. C’est la condition qui garantit l’angle droit nécessaire à Pythagore. Dans un repère quelconque, il n’existe pas de formule aussi simple.
Distance entre deux points ou norme du vecteur, quelle différence ?
Aucune différence de résultat : \(AB = \Vert \vec{AB} \Vert\). La distance est un nombre positif qui mesure la longueur du segment, et la norme du vecteur \(\vec{AB}\) mesure exactement cette même longueur. Ce sont deux vocabulaires pour le même calcul.
Et pour une distance en kilomètres sur une carte ou Google Maps ?
C’est un autre problème. La formule de cette page mesure une distance dans un repère mathématique, en unités du repère. Une distance réelle en kilomètres entre deux villes fait intervenir la courbure de la Terre et se mesure avec un outil de cartographie comme Google Maps, pas avec cette formule.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer et démontrer une distance dans le plan. Pour consolider et élargir :
- Coordonnées d’un Vecteur : Cours Complet, Formules et Exercices Corrigés
- Vecteurs Coplanaires : Définition, Méthodes et Exercices Corrigés
- Une fois à l’aise avec les points du plan, tu manipuleras des ensembles de points en statistiques : Nuage de points et statistiques à deux variables : cours complet.
- Équation du Second Degré (1ère) : Cours et Méthodes
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour préparer sereinement la suite du lycée.
