Le raisonnement par récurrence est l’un des rares outils du programme de Terminale où une seule méthode bien maîtrisée te permet de traiter des dizaines d’exercices différents : sommes, inégalités, divisibilité, suites bornées… Le principe est toujours le même, seul le calcul change. Voici 15 exercices classés par difficulté croissante, tous corrigés pas à pas, du calcul direct au problème type bac. Chaque correction respecte scrupuleusement les trois étapes (initialisation, hérédité, conclusion) attendues le jour de l’épreuve. Un PDF téléchargeable regroupe des exercices bonus pour t’entraîner encore plus.
Rappel de la méthode et des formules utiles
Avant de te lancer, garde en tête le squelette d’une démonstration par récurrence. C’est exactement ce que le correcteur cherche dans ta copie.
La méthode en 3 étapes
On veut démontrer qu’une propriété \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \geq n_0\).
- Initialisation : on vérifie que \(P(n_0)\) est vraie (souvent \(n_0 = 0\) ou \(n_0 = 1\)).
- Hérédité : on suppose \(P(n)\) vraie pour un entier \(n \geq n_0\) fixé (hypothèse de récurrence), et on démontre que \(P(n+1)\) est alors vraie.
- Conclusion : par récurrence, \(P(n)\) est vraie pour tout \(n \geq n_0\).
Pour la rédaction détaillée de chaque étape, revois la méthode complète pour rédiger une récurrence.
Quelques résultats qui reviennent souvent dans les exercices :
| Nom | Formule |
|---|---|
| Somme des entiers | \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\) |
| Somme des carrés | \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) |
| Somme des cubes | \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\) |
| Inégalité de Bernoulli | \((1+a)^n \geq 1 + na\) pour \(a \geq -1\) |
Tous les exercices de récurrence dans un seul PDF
Les 15 exercices corrigés de cette page + 12 exercices bonus, avec toutes les corrections rédigées étape par étape. Idéal pour réviser hors ligne.
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Exercices d’application directe (★)
On commence par les grands classiques : des sommes et des propriétés de divisibilité. L’objectif ici est d’automatiser le mécanisme de l’hérédité.
Exercice 1 — Somme des premiers entiers (★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\) :
\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\)Voir la correction — Exercice 1
On note \(P(n)\) la propriété : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\).
Initialisation. Pour \(n=1\) : à gauche \(1\), à droite \(\displaystyle\frac{1 \times 2}{2} = 1\). Donc \(P(1)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(P(n)\) vraie pour un \(n \geq 1\) fixé. Alors :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k = \underbrace{\sum_{k=1}^{n} k}_{= \displaystyle\frac{n(n+1)}{2}} + (n+1) = \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} + (n+1)\)
\(\displaystyle = (n+1)\left(\displaystyle\frac{n}{2}+1\right) = \displaystyle\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)
C’est bien la formule au rang \(n+1\), donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, la formule est vraie pour tout \(n \geq 1\). ∎
Exercice 2 — Somme des impairs (★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\) :
\(\displaystyle 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2\)Voir la correction — Exercice 2
On note \(P(n)\) : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2\).
Initialisation. Pour \(n=1\) : à gauche \(2 \times 1 - 1 = 1\), à droite \(1^2 = 1\). Donc \(P(1)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(P(n)\) vraie. Le terme suivant est \(2(n+1)-1 = 2n+1\). Alors :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1) = n^2 + (2n+1) = (n+1)^2\)
Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Par récurrence, la somme des \(n\) premiers nombres impairs vaut \(n^2\) pour tout \(n \geq 1\). ∎
Exercice 3 — Somme des carrés (★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\) :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)Voir la correction — Exercice 3
Initialisation. Pour \(n=1\) : à gauche \(1\), à droite \(\displaystyle\frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1\). Vrai.
Hérédité. Supposons la formule vraie au rang \(n\). Alors :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2\)
On factorise par \(\displaystyle\frac{n+1}{6}\) :
\(\displaystyle = \displaystyle\frac{n+1}{6}\Big[n(2n+1) + 6(n+1)\Big] = \displaystyle\frac{n+1}{6}\big(2n^2 + 7n + 6\big)\)
Or \(2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)\), d’où :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \displaystyle\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\)
C’est la formule au rang \(n+1\) (en remplaçant \(n\) par \(n+1\)).
Conclusion. La formule est vraie pour tout \(n \geq 1\). ∎
Exercice 4 — Divisibilité par 3 (★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 0\), le nombre \(4^n - 1\) est divisible par \(3\).
Voir la correction — Exercice 4
On note \(P(n)\) : « \(3\) divise \(4^n - 1\) », c’est-à-dire il existe un entier \(k\) tel que \(4^n - 1 = 3k\).
Initialisation. Pour \(n=0\) : \(4^0 - 1 = 0 = 3 \times 0\), divisible par \(3\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(4^n - 1 = 3k\). Alors :
\(4^{n+1} - 1 = 4 \times 4^n - 1 = 4(4^n - 1) + 3 = 4 \times 3k + 3 = 3(4k + 1)\)
Comme \(4k+1\) est un entier, \(4^{n+1}-1\) est divisible par \(3\).
Conclusion. Par récurrence, \(3\) divise \(4^n - 1\) pour tout \(n \geq 0\). ∎
Astuce de rédaction : l’idée clé est de « faire apparaître » \(4^n - 1\) pour utiliser l’hypothèse, puis de ranger le reste.
Exercice 5 — Divisibilité par 8 (★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 0\), le nombre \(9^n - 1\) est divisible par \(8\).
Voir la correction — Exercice 5
Initialisation. Pour \(n=0\) : \(9^0 - 1 = 0\), divisible par \(8\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(9^n - 1 = 8k\) avec \(k\) entier. Alors :
\(9^{n+1} - 1 = 9 \times 9^n - 1 = 9(9^n - 1) + 8 = 9 \times 8k + 8 = 8(9k + 1)\)
Donc \(9^{n+1} - 1\) est divisible par \(8\).
Conclusion. Par récurrence, \(8 \mid 9^n - 1\) pour tout \(n \geq 0\). ∎
Ces techniques de divisibilité se prolongent naturellement en arithmétique : voir le chapitre sur la divisibilité et les congruences.
Exercices d’approfondissement (★★)
On passe aux inégalités et aux suites. Ici, la difficulté n’est plus le calcul mais le raisonnement : encadrer, majorer, comparer.
Exercice 6 — Inégalité de Bernoulli (★★)
Soit \(a\) un réel tel que \(a > -1\). Démontrer que pour tout entier \(n \geq 0\) :
\((1+a)^n \geq 1 + na\)Voir la correction — Exercice 6
Initialisation. Pour \(n=0\) : \((1+a)^0 = 1\) et \(1 + 0 \times a = 1\). On a bien \(1 \geq 1\). Vrai.
Hérédité. Supposons \((1+a)^n \geq 1 + na\). Comme \(a > -1\), on a \(1 + a > 0\), donc on peut multiplier l’inégalité par \(1+a\) sans changer de sens :
\((1+a)^{n+1} = (1+a)^n (1+a) \geq (1 + na)(1 + a)\)
On développe le membre de droite :
\((1+na)(1+a) = 1 + a + na + na^2 = 1 + (n+1)a + na^2\)
Comme \(na^2 \geq 0\), on obtient \((1+a)^{n+1} \geq 1 + (n+1)a\).
Conclusion. Par récurrence, l’inégalité de Bernoulli est vraie pour tout \(n \geq 0\). ∎
Erreur classique : multiplier une inégalité par \(1+a\) sans vérifier son signe. Si \(1+a\) était négatif, le sens de l’inégalité changerait ! C’est précisément pour cela que l’énoncé impose \(a > -1\). Toujours justifier la positivité avant de multiplier.
Exercice 7 — Comparaison exponentielle / linéaire (★★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 0\) : \(2^n \geq n + 1\).
Voir la correction — Exercice 7
Initialisation. Pour \(n=0\) : \(2^0 = 1\) et \(0 + 1 = 1\), donc \(1 \geq 1\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(2^n \geq n+1\). Alors :
\(2^{n+1} = 2 \times 2^n \geq 2(n+1) = 2n + 2\)
Or, comme \(n \geq 0\), on a \(2n + 2 = (n+2) + n \geq n + 2\). Donc :
\(2^{n+1} \geq n + 2 = (n+1) + 1\)
C’est la propriété au rang \(n+1\).
Conclusion. Par récurrence, \(2^n \geq n+1\) pour tout \(n \geq 0\). ∎
Exercice 8 — Suite bornée (★★)
On considère la suite définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \geq 0\), \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\). Démontrer que pour tout \(n \geq 0\) : \(1 \leq u_n \leq 3\).
Voir la correction — Exercice 8
On note \(P(n)\) : \(1 \leq u_n \leq 3\).
Initialisation. \(u_0 = 1\), donc \(1 \leq u_0 \leq 3\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(1 \leq u_n \leq 3\). En multipliant par \(2\) puis en ajoutant \(3\) :
\(2 \leq 2u_n \leq 6 \quad \Rightarrow \quad 5 \leq 2u_n + 3 \leq 9\)
La fonction racine carrée étant croissante :
\(\sqrt{5} \leq \sqrt{2u_n + 3} \leq \sqrt{9} = 3\)
Comme \(\sqrt{5} \approx 2{,}24 \geq 1\), on a bien \(1 \leq u_{n+1} \leq 3\).
Conclusion. Par récurrence, \(1 \leq u_n \leq 3\) pour tout \(n \geq 0\). ∎
Exercice 9 — Suite croissante (★★)
Avec la même suite qu’à l’exercice 8 (\(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}\)), démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante, c’est-à-dire que \(u_n \leq u_{n+1}\) pour tout \(n \geq 0\).
Voir la correction — Exercice 9
On note \(P(n)\) : \(u_n \leq u_{n+1}\).
Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(u_1 = \sqrt{2 \times 1 + 3} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\). Donc \(u_0 \leq u_1\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(u_n \leq u_{n+1}\). En multipliant par \(2\) et en ajoutant \(3\) :
\(2u_n + 3 \leq 2u_{n+1} + 3\)
La fonction racine carrée étant croissante sur \([0\,;+\infty[\) :
\(\sqrt{2u_n + 3} \leq \sqrt{2u_{n+1} + 3}\) soit \(u_{n+1} \leq u_{n+2}\)
Conclusion. Par récurrence, \((u_n)\) est croissante. ∎
En combinant les exercices 8 et 9, \((u_n)\) est croissante et majorée par \(3\) : elle converge (théorème de la limite monotone). Sa limite se trouve en résolvant \(\ell = \sqrt{2\ell + 3}\).
Pour approfondir l’étude de ce type de suites, consulte le cours sur les suites définies par récurrence et l’étude des limites de suites.
Exercice 10 — Factorielle et puissance (★★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\) : \(n! \geq 2^{\,n-1}\).
Voir la correction — Exercice 10
Initialisation. Pour \(n=1\) : \(1! = 1\) et \(2^{0} = 1\). On a \(1 \geq 1\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(n! \geq 2^{\,n-1}\). Alors :
\((n+1)! = (n+1) \times n! \geq (n+1) \times 2^{\,n-1}\)
Comme \(n \geq 1\), on a \(n + 1 \geq 2\), donc :
\((n+1)! \geq 2 \times 2^{\,n-1} = 2^{\,n}\)
C’est bien la propriété au rang \(n+1\).
Conclusion. Par récurrence, \(n! \geq 2^{\,n-1}\) pour tout \(n \geq 1\). ∎
Exercices de synthèse et type bac (★★★)
Ces exercices combinent plusieurs compétences : conjecturer une formule, l’articuler avec la récurrence, ou manipuler des expressions plus lourdes. C’est le niveau attendu dans un problème de bac.
Exercice 11 — Trouver puis démontrer une formule explicite (★★★)
On considère la suite définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \geq 0\), \(u_{n+1} = 2u_n + 1\).
a. Calculer \(u_1, u_2, u_3\) et conjecturer une expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
b. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Voir la correction — Exercice 11
a. \(u_1 = 3\), \(u_2 = 7\), \(u_3 = 15\). On reconnaît \(2^2 - 1,\ 2^3 - 1,\ 2^4 - 1\). On conjecture : \(u_n = 2^{\,n+1} - 1\).
b. On note \(P(n)\) : \(u_n = 2^{\,n+1} - 1\).
Initialisation. \(u_0 = 1\) et \(2^{1} - 1 = 1\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(u_n = 2^{\,n+1} - 1\). Alors :
\(u_{n+1} = 2u_n + 1 = 2\big(2^{\,n+1} - 1\big) + 1 = 2^{\,n+2} - 2 + 1 = 2^{\,n+2} - 1\)
C’est la formule au rang \(n+1\).
Conclusion. Par récurrence, \(u_n = 2^{\,n+1} - 1\) pour tout \(n \geq 0\). ∎
Exercice 12 — Divisibilité par 7 (★★★)
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 0\), le nombre \(A_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2}\) est divisible par \(7\).
Voir la correction — Exercice 12
Initialisation. Pour \(n=0\) : \(A_0 = 3^{1} + 2^{2} = 3 + 4 = 7\), divisible par \(7\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(A_n = 3^{2n+1} + 2^{n+2}\) divisible par \(7\). Calculons \(A_{n+1}\) :
\(A_{n+1} = 3^{2n+3} + 2^{n+3} = 9 \times 3^{2n+1} + 2 \times 2^{n+2}\)
L’astuce : écrire \(9 = 2 + 7\) pour faire apparaître \(A_n\) :
\(A_{n+1} = 2 \times 3^{2n+1} + 7 \times 3^{2n+1} + 2 \times 2^{n+2}\)
\(= 2\big(3^{2n+1} + 2^{n+2}\big) + 7 \times 3^{2n+1} = 2 A_n + 7 \times 3^{2n+1}\)
\(2A_n\) est divisible par \(7\) (hypothèse) et \(7 \times 3^{2n+1}\) aussi. Donc \(A_{n+1}\) l’est.
Conclusion. Par récurrence, \(7 \mid A_n\) pour tout \(n \geq 0\). ∎
Le réflexe des divisibilités « à deux termes » : il faut faire apparaître l’expression \(A_n\) entière. On isole donc un coefficient qu’on décompose (ici \(9 = 2 + 7\)) pour reconstruire \(A_n\) et ranger le reste comme multiple du diviseur.
Exercice 13 — Somme d’une suite géométrique (★★★)
Soit \(q\) un réel différent de \(1\). Démontrer que pour tout entier \(n \geq 0\) :
\(\displaystyle 1 + q + q^2 + \cdots + q^n = \displaystyle\frac{q^{\,n+1} - 1}{q - 1}\)Voir la correction — Exercice 13
Initialisation. Pour \(n=0\) : à gauche \(1\), à droite \(\displaystyle\frac{q^{1} - 1}{q-1} = 1\). Vrai.
Hérédité. Supposons la formule vraie au rang \(n\). Alors :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} q^k = \displaystyle\frac{q^{\,n+1} - 1}{q-1} + q^{\,n+1} = \displaystyle\frac{q^{\,n+1} - 1 + q^{\,n+1}(q-1)}{q-1}\)
\(\displaystyle = \displaystyle\frac{q^{\,n+1} - 1 + q^{\,n+2} - q^{\,n+1}}{q-1} = \displaystyle\frac{q^{\,n+2} - 1}{q-1}\)
C’est la formule au rang \(n+1\).
Conclusion. Par récurrence, la formule est vraie pour tout \(n \geq 0\). ∎
Cette formule est fondamentale pour l’étude des suites géométriques ; on peut aussi la démontrer par télescopage, comme pour les suites arithmétiques.
Exercice 14 — Étude complète type bac (★★★)
Soit la suite définie par \(u_0 = 4\) et, pour tout \(n \geq 0\), \(\displaystyle u_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2}u_n + 1\).
a. Démontrer par récurrence que \(u_n \geq 2\) pour tout \(n \geq 0\).
b. En déduire que \((u_n)\) est décroissante.
c. Que peut-on conclure sur la convergence de la suite ?
Voir la correction — Exercice 14
a. On note \(P(n)\) : \(u_n \geq 2\).
Initialisation. \(u_0 = 4 \geq 2\). Vrai.
Hérédité. Supposons \(u_n \geq 2\). Alors \(\displaystyle\frac{1}{2}u_n \geq 1\), donc \(\displaystyle u_{n+1} = \displaystyle\frac{1}{2}u_n + 1 \geq 2\).
Conclusion. \(u_n \geq 2\) pour tout \(n \geq 0\).
b. On étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\) :
\(\displaystyle u_{n+1} - u_n = \displaystyle\frac{1}{2}u_n + 1 - u_n = 1 - \displaystyle\frac{1}{2}u_n\)
Or \(u_n \geq 2\) donne \(\displaystyle\frac{1}{2}u_n \geq 1\), donc \(\displaystyle 1 - \displaystyle\frac{1}{2}u_n \leq 0\). Ainsi \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) : la suite est décroissante.
c. \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(2\) : d’après le théorème de la limite monotone, elle converge. La limite \(\ell\) vérifie \(\displaystyle \ell = \displaystyle\frac{1}{2}\ell + 1\), soit \(\ell = 2\). ∎
Exercice 15 — Somme avec facteur variable 🔴 Prépa
🔴 Extension prépa
Démontrer que pour tout entier \(n \geq 1\) :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^{k} = (n-1)\,2^{\,n+1} + 2\)Voir la correction — Exercice 15
Initialisation. Pour \(n=1\) : à gauche \(1 \times 2^{1} = 2\) ; à droite \((1-1)\,2^{2} + 2 = 0 + 2 = 2\). Vrai.
Hérédité. Supposons la formule vraie au rang \(n\). Le terme suivant est \((n+1)\,2^{\,n+1}\) :
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k\,2^{k} = (n-1)\,2^{\,n+1} + 2 + (n+1)\,2^{\,n+1}\)
On regroupe les termes en \(2^{\,n+1}\) :
\(\displaystyle = 2^{\,n+1}\big[(n-1) + (n+1)\big] + 2 = 2^{\,n+1} \times 2n + 2 = n \cdot 2^{\,n+2} + 2\)
Or \(n \cdot 2^{\,n+2} + 2 = \big((n+1) - 1\big)\,2^{\,(n+1)+1} + 2\), qui est bien la formule au rang \(n+1\).
Conclusion. Par récurrence, la formule est vraie pour tout \(n \geq 1\). ∎
En prépa, ce type de sommes se retrouve aussi via des dérivations de séries entières, mais la récurrence reste la preuve la plus élémentaire.
En prépa, tu rencontreras aussi des récurrences plus puissantes : la récurrence forte et la récurrence double (indispensable pour la suite de Fibonacci), et les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 avec leur équation caractéristique.
Erreurs fréquentes et pièges à éviter
La plupart des points perdus en récurrence ne viennent pas du calcul mais de la rédaction. Voici les fautes les plus sanctionnées.
Erreur n°1 — Oublier ou bâcler l’initialisation.
❌ Copie fautive : « Il est évident que c’est vrai pour \(n=0\). »
Diagnostic : l’initialisation doit être vérifiée numériquement, pas affirmée. Sans elle, l’hérédité seule ne prouve rien.
✅ Correction : calculer explicitement les deux membres au rang \(n_0\) et conclure « donc \(P(n_0)\) est vraie ».
Erreur n°2 — Confondre hypothèse et conclusion.
❌ Copie fautive : « Supposons \(P(n)\) vraie pour tout \(n\). »
Diagnostic : si on suppose la propriété vraie pour tout \(n\), on suppose déjà ce qu’on veut démontrer ! On suppose \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\) fixé.
✅ Correction : « Soit \(n \geq n_0\) fixé. Supposons \(P(n)\) vraie. Montrons \(P(n+1)\). »
Erreur n°3 — Ne pas utiliser l’hypothèse de récurrence.
Une hérédité correcte doit obligatoirement s’appuyer sur \(P(n)\). Si ta démonstration du rang \(n+1\) n’utilise jamais l’hypothèse, c’est le signe que ta rédaction est fausse — ou que la récurrence n’était pas nécessaire. Souligne le moment précis où tu remplaces grâce à l’hypothèse.
Pour une méthode de rédaction irréprochable phrase par phrase, va voir la fiche « Rédiger une récurrence en 3 étapes ».
Questions fréquentes
Quand doit-on utiliser un raisonnement par récurrence ?
Dès qu’une propriété dépend d’un entier \(n\) et qu’on cherche à la prouver pour tous les entiers à partir d’un certain rang : formules de sommes, inégalités du type \(a^n \geq \ldots\), divisibilité, propriétés d’une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\). Si tu peux relier le rang \(n+1\) au rang \(n\), la récurrence est l’outil adapté.
Peut-on toujours commencer l'initialisation à n = 0 ?
Non. On initialise au plus petit rang \(n_0\) pour lequel la propriété a un sens et doit être vraie. Certaines inégalités ne sont valables qu’à partir de \(n = 1\) ou \(n = 4\). Lis bien l’énoncé : le rang de départ est parfois précisé, sinon on prend le plus petit rang pertinent.
Quelle est la différence entre récurrence simple et récurrence forte ?
Dans une récurrence simple, l’hérédité utilise uniquement le rang précédent \(P(n) \Rightarrow P(n+1)\). Dans une récurrence forte, on suppose la propriété vraie pour tous les rangs jusqu’à \(n\) pour démontrer \(P(n+1)\). Elle est utile quand \(u_{n+1}\) dépend de plusieurs termes précédents (comme la suite de Fibonacci). Détails sur la page récurrence forte et double.
Comment rédiger la phrase d'hérédité sans se tromper ?
La structure gagnante : « Soit \(n \geq n_0\) fixé. Supposons \(P(n)\) vraie (hypothèse de récurrence). Montrons que \(P(n+1)\) est vraie. » Puis tu pars du membre correspondant au rang \(n+1\), tu fais apparaître l’expression du rang \(n\), et tu utilises l’hypothèse. Termine par « donc \(P(n+1)\) est vraie ».
La récurrence est-elle au programme de Première ?
Non. Le raisonnement par récurrence apparaît en Terminale (spécialité mathématiques) et se prolonge en prépa. En Première, on démontre les propriétés des suites autrement. C’est pourquoi ces exercices sont calibrés pour la Terminale et au-delà.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les grands types d’exercices de récurrence. Pour consolider :
- 📖 Le cours complet sur le raisonnement par récurrence (principe, axiomes, histoire)
- → La méthode de rédaction en 3 étapes pour ne plus perdre de points
- → Les suites définies par récurrence (représentation graphique, limites)
- → La récurrence forte et double et l’exemple de Fibonacci
- → Les suites récurrentes linéaires d’ordre 2 (prépa)
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