Tu dois calculer le volume d’un objet en forme de « barre à section triangulaire » (un Toblerone, une tente canadienne, un morceau de fromage) et tu ne sais pas quelle formule utiliser ? Bonne nouvelle : en géométrie, ce solide s’appelle un prisme droit, et son volume se calcule toujours de la même façon. On multiplie l’aire de la base par la hauteur : \(V = B \times h\). Dans ce cours de 5ème, tu vas apprendre à reconnaître un prisme droit, à calculer son volume et son aire, et à éviter les pièges classiques.
I. Qu’est-ce qu’un prisme droit ?
Un prisme droit est un solide qui possède deux faces identiques et parallèles (les bases) reliées par des faces rectangulaires (les faces latérales). Les bases peuvent être des triangles, des rectangles, des pentagones, des hexagones… mais les faces latérales sont toujours des rectangles, perpendiculaires aux bases.
Définition — Prisme droit
Un prisme droit est un solide de l’espace qui possède :
- deux faces parallèles et superposables, appelées bases (ce sont des polygones) ;
- des faces latérales qui sont toutes des rectangles ;
- une hauteur égale à la distance entre les deux bases.
A. Le vocabulaire à connaître
Pour ne pas te tromper dans tes calculs, tu dois savoir nommer chaque élément :
- les bases : les deux polygones identiques (par exemple deux triangles) ;
- les faces latérales : les rectangles qui relient les deux bases ;
- les arêtes : les segments où deux faces se rencontrent ;
- les sommets : les « coins » du solide ;
- la hauteur : la distance entre les deux bases. Attention, ce n’est pas la hauteur du triangle de base !
B. Prisme droit ou pavé droit : quelle différence ?
Le pavé droit est en réalité un cas particulier de prisme droit : c’est un prisme dont les bases sont des rectangles. Tout pavé droit est donc un prisme droit, mais tous les prismes droits ne sont pas des pavés droits. Quand la base est un triangle, un pentagone ou un hexagone, on parle de prisme droit mais pas de pavé droit.
Pour retenir : pose-toi la question « quelle est la forme des deux bases ? ». Si ce sont des rectangles, c’est un pavé droit. Si c’est un triangle, un pentagone ou un autre polygone, c’est un prisme droit tout court.
C. Les différents types de prismes
On nomme un prisme droit d’après la forme de sa base :
- base triangulaire → prisme droit à base triangulaire (le plus courant en 5ème) ;
- base rectangulaire → c’est un pavé droit ;
- base pentagonale, hexagonale… → prisme à 5 ou 6 côtés de base.
Quel que soit le nombre de côtés de la base, la formule du volume reste la même. C’est ce qui fait toute la puissance de cette formule.
II. La formule du volume d’un prisme droit
Le volume d’un prisme droit se calcule en multipliant l’aire de sa base par sa hauteur : \(V = B \times h\), où \(B\) est l’aire d’une base et \(h\) la hauteur du prisme. Le résultat s’exprime en unités de volume (cm³, dm³, m³).
Formule à retenir — Volume d’un prisme droit
\(V = B \times h\)
où :
- \(B\) = aire d’une base (en cm² par exemple) ;
- \(h\) = hauteur du prisme (la distance entre les deux bases) ;
- \(V\) = volume (en cm³ si l’aire est en cm² et la hauteur en cm).
A. Pourquoi cette formule fonctionne
Imagine que tu empiles des feuilles de papier toutes identiques, découpées en forme de triangle. Une seule feuille couvre une aire \(B\). En empilant ces feuilles sur une hauteur \(h\), tu construis un prisme droit. Plus la pile est haute, plus le volume est grand : c’est pour cela qu’on multiplie l’aire de la base par la hauteur. Cette idée « aire de la base multipliée par la hauteur » se retrouve pour le pavé droit et pour le cylindre : ce sont tous des solides « à base constante ».
Toute la méthode du volume du prisme droit en 1 page
Définition, formule, méthode en 4 étapes et pièges à éviter : la fiche récap’ à imprimer et à glisser dans ton classeur.
📄 Télécharger la fiche méthodeGratuit · prêt à imprimer · idéal pour réviser avant un contrôle
III. Calculer le volume : la méthode pas à pas
Pour calculer le volume d’un prisme droit sans te tromper, suis toujours ces quatre étapes dans l’ordre.
Méthode en 4 étapes
- Identifie la base : quelle est la forme du polygone répété (triangle, rectangle…) ?
- Calcule l’aire de la base \(B\) avec la formule correspondante.
- Multiplie par la hauteur du prisme : \(V = B \times h\).
- Vérifie l’unité : une aire en cm² fois une longueur en cm donne un volume en cm³.
Prenons un exemple concret. On veut le volume d’un prisme droit dont la base est un triangle rectangle de côtés 3 cm et 4 cm, et dont la hauteur mesure 10 cm.
Exemple : prisme droit à base triangulaire.
Étape 1 : la base est un triangle rectangle.
Étape 2 : son aire vaut \(B = \displaystyle\frac{3 \times 4}{2} = 6\) cm².
Étape 3 : on multiplie par la hauteur : \(V = 6 \times 10 = 60\) cm³.
Résultat : le volume est de 60 cm³.
La difficulté ne vient jamais de la formule \(V = B \times h\) elle-même, mais du calcul de l’aire de la base. Si tu maîtrises l’aire d’un triangle rectangle, tu maîtrises le volume du prisme.
IV. Calculer le volume en litres
Une fois le volume trouvé en cm³ ou en dm³, on te demande souvent de le convertir en litres, par exemple pour savoir combien un récipient peut contenir. Le lien à connaître par cœur est : 1 dm³ = 1 L et 1 m³ = 1 000 L.
Erreur classique : convertir 60 cm³ en écrivant « 60 L ». C’est faux ! Il faut d’abord passer en dm³ : \(60\) cm³ \(= 0{,}06\) dm³, donc \(0{,}06\) L. Pour tout maîtriser sur ce point, va voir la page calculer un volume en litres et en m³.
V. L’aire d’un prisme droit
Il ne faut pas confondre le volume (l’espace intérieur, en cm³) et l’aire (la surface, en cm²). L’aire du prisme droit se calcule en deux parties : l’aire latérale (les rectangles) et l’aire des deux bases.
Aire latérale et aire totale
L’aire latérale est égale au périmètre d’une base multiplié par la hauteur :
\(\mathcal{A}_{\text{latérale}} = P_{\text{base}} \times h\)
L’aire totale ajoute les deux bases :
\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{latérale}} + 2 \times B\)
Reprenons notre prisme à base triangulaire (triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm, hauteur 10 cm). Le périmètre de la base vaut \(3 + 4 + 5 = 12\) cm, donc l’aire latérale est \(12 \times 10 = 120\) cm². En ajoutant les deux bases (\(2 \times 6 = 12\) cm²), l’aire totale vaut \(120 + 12 = 132\) cm².
VI. Retrouver une dimension manquante
Au collège, on te donne parfois le volume et on te demande de retrouver la hauteur, ou une dimension de la base. C’est l’exercice qui piège le plus d’élèves, alors qu’il suffit de « remonter » la formule.
Si tu connais le volume \(V\) et l’aire de la base \(B\), alors la hauteur se retrouve par une division :
\(h = \displaystyle\frac{V}{B}\)Exemple : un prisme droit a un volume de 240 cm³ et une base d’aire 30 cm². Quelle est sa hauteur ?
On divise : \(h = \displaystyle\frac{240}{30} = 8\) cm.
La hauteur est de 8 cm.
VII. Le patron du prisme droit
Le patron d’un prisme droit est la figure à plat qui, une fois découpée et pliée, redonne le solide. Pour un prisme à base triangulaire, il est formé des deux triangles (les bases) et de trois rectangles (les faces latérales) mis côte à côte.
Construire le patron aide à comprendre pourquoi l’aire latérale vaut « périmètre de la base multiplié par la hauteur » : les trois rectangles mis bout à bout forment un grand rectangle de longueur égale au périmètre de la base. Pour t’entraîner à tracer et reconnaître des patrons, va voir la page patrons du cylindre, du cône et de la pyramide.
VIII. Exemples d’application corrigés
Voici quatre exemples de difficulté croissante. Essaie de les résoudre seul avant d’ouvrir la correction. Pour t’entraîner davantage, retrouve tous les exercices de volumes de 5ème.
Exercice 1 — Volume d’un prisme à base triangulaire ★
Un prisme droit a pour base un triangle rectangle de côtés 6 cm et 8 cm. Sa hauteur mesure 15 cm. Calcule son volume.
Voir la correction de l’exercice 1
On calcule d’abord l’aire de la base (un triangle rectangle) :
\(B = \displaystyle\frac{6 \times 8}{2} = 24\) cm².
Puis on applique la formule du volume :
\(V = B \times h = 24 \times 15 = 360\) cm³.
Le volume est de 360 cm³.
Exercice 2 — Volume puis conversion en litres ★★
Un bac en forme de prisme droit a une base rectangulaire de 20 cm sur 10 cm, et une hauteur de 25 cm. Quel est son volume en cm³, puis en litres ?
Voir la correction de l’exercice 2
La base est un rectangle, donc son aire vaut :
\(B = 20 \times 10 = 200\) cm².
Le volume est :
\(V = 200 \times 25 = 5000\) cm³.
On convertit ensuite en litres. Comme \(1000\) cm³ \(= 1\) dm³ \(= 1\) L :
\(5000\) cm³ \(= 5\) dm³ \(= 5\) L.
Le bac contient 5 litres.
Exercice 3 — Retrouver la hauteur ★★
Un prisme droit a un volume de 480 cm³. Sa base est un triangle d’aire 40 cm². Quelle est la hauteur du prisme ?
Voir la correction de l’exercice 3
On part de la formule \(V = B \times h\) et on cherche \(h\). On divise donc le volume par l’aire de la base :
\(h = \displaystyle\frac{V}{B} = \displaystyle\frac{480}{40} = 12\) cm.
La hauteur du prisme est de 12 cm.
La fiche méthode du prisme droit à imprimer
Formule du volume, aire latérale, méthode en 4 étapes : tout le cours résumé sur une seule page pour réviser efficacement.
📄 Télécharger la fiche méthodeGratuit · prêt à imprimer · à garder sous la main
Exercice 4 — Raisonnement sur l’aire et le volume ★★★
Deux prismes droits ont exactement la même base (un triangle d’aire 12 cm²). Le premier a une hauteur de 5 cm, le second une hauteur de 15 cm. Sans calculer les deux volumes, explique combien de fois le second volume est plus grand que le premier.
Voir la correction de l’exercice 4
Les deux prismes ont la même base, donc la même valeur de \(B\). Dans la formule \(V = B \times h\), seule la hauteur change.
Or \(15 = 3 \times 5\) : la hauteur du second est 3 fois celle du premier. Le volume, qui dépend directement de la hauteur, est donc lui aussi 3 fois plus grand.
Vérification : le premier vaut \(12 \times 5 = 60\) cm³, le second \(12 \times 15 = 180\) cm³, et \(180 = 3 \times 60\). ∎
IX. Les erreurs fréquentes à éviter
Trois pièges reviennent sans arrêt dans les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Piège 1 — confondre les deux hauteurs. La hauteur \(h\) de la formule est la distance entre les deux bases du prisme, pas la hauteur du triangle qui sert de base. Repère bien les deux « hauteurs » dans l’énoncé.
Piège 2 — mélanger aire et volume. Une aire s’exprime en cm², un volume en cm³. Si tu trouves un volume « en cm² », c’est le signal qu’une erreur s’est glissée dans ton calcul.
Piège 3 — oublier de calculer l’aire de la base. On ne multiplie pas directement les longueurs entre elles au hasard : il faut d’abord trouver \(B\), l’aire de la base, avec la bonne formule (triangle, rectangle…). Retrouve les autres erreurs classiques en géométrie.
X. Questions fréquentes
Comment définir un prisme droit ?
Un prisme droit est un solide qui a deux bases identiques et parallèles (des polygones) reliées par des faces latérales rectangulaires perpendiculaires aux bases. La forme des bases donne son nom au prisme : base triangulaire, base pentagonale, etc.
Quelle est la différence entre un prisme droit et un pavé droit ?
Un pavé droit est un prisme droit dont les bases sont des rectangles. Tout pavé droit est donc un prisme droit, mais l’inverse est faux : un prisme à base triangulaire ou hexagonale est un prisme droit sans être un pavé droit. Pour tout savoir, va voir la page volume d’un pavé droit et d’un cube.
Quel est le volume du prisme droit ?
Le volume d’un prisme droit est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur : \(V = B \times h\). Si l’aire de la base est en cm² et la hauteur en cm, le volume est en cm³.
Comment calculer l’aire d’un prisme droit ?
On additionne l’aire latérale (le périmètre d’une base multiplié par la hauteur) et l’aire des deux bases. Cela donne \(\mathcal{A}_{\text{totale}} = P_{\text{base}} \times h + 2 \times B\), le résultat étant en cm².
Quels sont les différents types de prismes droits ?
On classe les prismes droits selon la forme de leur base : base triangulaire, rectangulaire (c’est un pavé droit), pentagonale, hexagonale… La formule du volume \(V = B \times h\) reste la même quel que soit le nombre de côtés de la base.
XI. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant reconnaître un prisme droit et calculer son volume. Pour continuer sur ta lancée :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- 12 Exercices de Proportionnalité en 4ème Corrigés (PDF)
- 12 exercices de proportionnalité corrigés en 5ème (avec PDF)
