Une pyramide, c’est un solide qui monte vers un sommet unique : la pyramide de Khéops, une tente scoute, un toit en pointe. Pour calculer son volume, tu n’as besoin que d’une seule formule : \(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3}\), où \(B\) est l’aire de la base et \(h\) la hauteur. Dans cet article, tu vas comprendre d’où vient ce fameux « diviser par 3 », apprendre à appliquer la formule pas à pas quelle que soit la base, et t’entraîner sur des exercices corrigés — y compris ceux où il faut d’abord retrouver la hauteur avec Pythagore.
I. La formule du volume d’une pyramide
Le volume d’une pyramide est égal au tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur. Autrement dit, tu calcules l’aire de la base, tu la multiplies par la hauteur, puis tu divises le tout par 3. Cette formule marche pour toutes les pyramides, peu importe la forme de la base.
Formule — Volume d’une pyramide
\(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3}\)
où \(B\) est l’aire de la base (en cm², m²…) et \(h\) la hauteur de la pyramide (en cm, m…). Le volume \(V\) s’exprime alors dans l’unité de longueur au cube (cm³, m³…).
A. Le rôle de chaque grandeur
Deux mots à ne surtout pas confondre :
- La hauteur \(h\) : c’est le segment qui descend tout droit du sommet jusqu’à la base, perpendiculairement à celle-ci. C’est la « hauteur du toit », pas la longueur d’une arête.
- L’aire de la base \(B\) : c’est l’aire de la figure plane du dessous (un carré, un rectangle, un triangle…). On la calcule avant tout le reste.
B. Base carrée, rectangulaire ou triangulaire : c’est toujours la même formule
La seule chose qui change d’une pyramide à l’autre, c’est la façon de calculer l’aire de la base \(B\). Ensuite, le \(\times h\) et le \(\div 3\) sont identiques pour tout le monde.
| Forme de la base | Aire de la base \(B\) | Volume \(V\) |
|---|---|---|
| Carré de côté \(c\) | \(c^2\) | \(\displaystyle\frac{c^2 \times h}{3}\) |
| Rectangle de longueur \(L\) et largeur \(\ell\) | \(L \times \ell\) | \(\displaystyle\frac{L \times \ell \times h}{3}\) |
| Triangle de base \(b\) et hauteur \(a\) | \(\displaystyle\frac{b \times a}{2}\) | \(\displaystyle\frac{b \times a}{2} \times \displaystyle\frac{h}{3}\) |
II. Pourquoi diviser par 3 : les trois pyramides qui remplissent un cube
Ce « divisé par 3 » n’est pas un caprice de mathématicien : on peut le voir avec ses yeux. Prends un cube et découpe-le astucieusement depuis un de ses sommets : tu obtiens exactement 3 pyramides identiques, chacune ayant pour base une face du cube et pour hauteur l’arête du cube. Comme les trois se rangent parfaitement dans le cube, chaque pyramide occupe le tiers du volume du cube.
Vérifions avec des nombres. Un cube d’arête 6 cm a pour volume \(6 \times 6 \times 6 = 216\) cm³. Une pyramide qui occupe son tiers a une base carrée d’aire \(6 \times 6 = 36\) cm² et une hauteur de 6 cm. Avec la formule :
\(V = \displaystyle\frac{36 \times 6}{3} = \displaystyle\frac{216}{3} = 72 \text{ cm}^3\)Et \(72 \times 3 = 216\) cm³ : on retombe bien sur le volume du cube. La formule est cohérente.
À retenir : une pyramide « creuse » beaucoup l’espace autour d’elle. Elle contient trois fois moins qu’un pavé (ou un prisme) qui aurait la même base et la même hauteur. C’est exactement ce que raconte le \(\div 3\).
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III. Calculer le volume d’une pyramide en 4 étapes
Comment calculer le volume d’une pyramide sans se tromper ? Il suffit de suivre toujours le même ordre : identifier la base, calculer son aire, multiplier par la hauteur, puis diviser par 3 sans oublier l’unité.
- Repérer la base et sa forme (carré, rectangle, triangle) et repérer la hauteur \(h\) (le segment perpendiculaire à la base).
- Calculer l’aire de la base \(B\) avec la bonne formule d’aire.
- Appliquer la formule \(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3}\).
- Écrire le résultat avec son unité de volume (cm³, m³…) et arrondir si l’énoncé le demande.
Erreur classique : confondre les unités. Si la base est en cm² et la hauteur en cm, le volume est en cm³, jamais en cm². Vérifie toujours que toutes tes longueurs sont dans la même unité avant de calculer.
IV. Trois exemples résolus pas à pas
Voici la méthode appliquée à trois pyramides différentes, de la plus simple à la plus technique.
Exemple 1 — Base carrée. Une pyramide a une base carrée de côté 6 cm et une hauteur de 10 cm. Quel est son volume ?
Aire de la base : \(B = 6 \times 6 = 36\) cm².
Volume : \(V = \displaystyle\frac{36 \times 10}{3} = \displaystyle\frac{360}{3} = 120\) cm³.
Le volume est de 120 cm³.
Exemple 2 — Base rectangulaire. Une pyramide a une base rectangulaire de 4 cm sur 5 cm et une hauteur de 9 cm.
Aire de la base : \(B = 4 \times 5 = 20\) cm².
Volume : \(V = \displaystyle\frac{20 \times 9}{3} = \displaystyle\frac{180}{3} = 60\) cm³.
Le volume est de 60 cm³.
Exemple 3 — Base triangulaire. Une pyramide (un tétraèdre) a pour base un triangle rectangle de côtés 3 cm et 4 cm ; sa hauteur est de 8 cm.
Aire de la base : \(B = \displaystyle\frac{3 \times 4}{2} = 6\) cm².
Volume : \(V = \displaystyle\frac{6 \times 8}{3} = \displaystyle\frac{48}{3} = 16\) cm³.
Le volume est de 16 cm³.
V. Retrouver la hauteur ou un côté à partir du volume
Au brevet, l’exercice le plus fréquent n’est pas le calcul direct : c’est le calcul inverse. On te donne le volume et une partie des dimensions, et tu dois retrouver ce qui manque. Il suffit de « remonter » la formule.
Comme \(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3}\), on en déduit deux formules utiles :
- Pour trouver la hauteur : \(h = \displaystyle\frac{3 \times V}{B}\)
- Pour trouver l’aire de la base : \(B = \displaystyle\frac{3 \times V}{h}\)
Exemple : une pyramide a un volume de 180 cm³ et une base d’aire 45 cm². Quelle est sa hauteur ?
\(h = \displaystyle\frac{3 \times 180}{45} = \displaystyle\frac{540}{45} = 12\) cm.
La hauteur est de 12 cm.
Astuce pour ne pas te tromper : le « \(\times 3\) » qui apparaît vient du fait qu’on multiplie les deux côtés de l’égalité par 3 pour faire disparaître la division. C’est la même logique que pour retrouver une dimension d’un pavé droit à partir de son volume.
VI. Le tétraèdre et la pyramide tronquée
Deux cas reviennent souvent et méritent un mot.
Le tétraèdre est tout simplement une pyramide dont la base est un triangle. Rien de nouveau : tu calcules l’aire du triangle de base, puis tu appliques la même formule \(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3}\) (c’est exactement l’exemple 3 ci-dessus).
La pyramide tronquée est une pyramide dont on a coupé la pointe. Son volume se calcule en enlevant le volume de la petite pyramide (la pointe) au volume de la grande pyramide complète :
\(V_{\text{tronquée}} = V_{\text{grande}}- V_{\text{pointe}}\)Comment retenir : une pyramide tronquée, c’est « une grande pyramide moins la petite pyramide du dessus ». Tu calcules les deux volumes séparément, puis tu soustrais.
VII. Ne pas confondre volume et aire d’une pyramide
Attention à une question piège : l’aire d’une pyramide n’est pas son volume. L’aire mesure la surface de « peau » de la pyramide (le carton pour la construire), tandis que le volume mesure l’espace intérieur.
Pour l’aire totale d’une pyramide, on additionne l’aire de la base et l’aire de toutes les faces triangulaires latérales :
\(\mathcal{A}_{\text{totale}} = \mathcal{A}_{\text{base}} + \mathcal{A}_{\text{faces latérales}}\)Dans une pyramide régulière, l’apothème est la hauteur d’une face latérale. Pour une pyramide quelconque, les hauteurs de ses différentes faces peuvent être différentes : on calcule chaque aire triangulaire avec la base et la hauteur correspondantes. Ces hauteurs ne sont pas la hauteur h du solide.
VIII. Les erreurs les plus fréquentes
Erreur n°1 — Oublier de diviser par 3. C’est l’erreur numéro un. Beaucoup calculent \(B \times h\) et s’arrêtent là… mais \(B \times h\) est le volume d’un prisme, pas d’une pyramide. La pyramide en contient trois fois moins.
Erreur n°2 — Prendre l’apothème pour la hauteur. Une mesure portée sur une face inclinée ne donne pas directement h. La hauteur du solide est perpendiculaire au plan de base ; son pied est au centre dans le cas d’une pyramide régulière. Dans ce cas, utilise Pythagore avec le bon triangle rectangle avant de calculer le volume.
Erreur n°3 — Mélanger les unités. Une base en m² et une hauteur en cm donnent un résultat faux. Convertis tout dans la même unité avant de calculer.
IX. Exercices corrigés
À toi de jouer. Cherche d’abord seul, puis déplie la correction. Tu trouveras une série complète sur la page exercices de volumes 4ème.
Exercice 1 — Pyramide à base carrée ★
Une pyramide a une base carrée de côté 5 cm et une hauteur de 12 cm. Calcule son volume.
Voir la correction de l’exercice 1
Aire de la base : \(B = 5 \times 5 = 25\) cm².
Volume : \(V = \displaystyle\frac{25 \times 12}{3} = \displaystyle\frac{300}{3} = 100\) cm³.
Le volume de la pyramide est de 100 cm³.
Exercice 2 — Retrouver la hauteur ★★
Une pyramide a un volume de 240 cm³ et une base rectangulaire de 8 cm sur 6 cm. Quelle est sa hauteur ?
Voir la correction de l’exercice 2
Aire de la base : \(B = 8 \times 6 = 48\) cm².
On utilise la formule inverse : \(h = \displaystyle\frac{3 \times V}{B} = \displaystyle\frac{3 \times 240}{48} = \displaystyle\frac{720}{48} = 15\) cm.
La hauteur de la pyramide est de 15 cm.
Exercice 3 — Hauteur cachée avec Pythagore ★★★
SABCD est une pyramide régulière à base carrée de côté 6 cm. La hauteur d’une face triangulaire (l’apothème) mesure 5 cm. Calcule d’abord la hauteur \(h\) de la pyramide, puis son volume.
Voir la correction de l’exercice 3
La hauteur \(h\), l’apothème (5 cm) et la moitié d’un côté de la base forment un triangle rectangle. La moitié du côté vaut \(6 \div 2 = 3\) cm.
D’après le théorème de Pythagore, dans ce triangle rectangle d’hypoténuse l’apothème :
\(5^2 = h^2 + 3^2\)Donc \(h^2 = 25- 9 = 16\), d’où \(h = 4\) cm.
Aire de la base : \(B = 6 \times 6 = 36\) cm².
Volume : \(V = \displaystyle\frac{36 \times 4}{3} = \displaystyle\frac{144}{3} = 48\) cm³.
La hauteur vaut 4 cm et le volume 48 cm³.
X. 🔵 Pour aller plus loin : d’où vient vraiment le tiers ?
Prolongement lycée et supérieur : à la distance x du sommet, mesurée dans la direction de la hauteur, une section parallèle à la base a pour aire \(B(x/h)^2\). L’intégration de 0 à h donne \(V=Bh/3\). Le principe de Cavalieri dit que deux solides de même hauteur ayant des sections de même aire à chaque niveau ont le même volume. Le découpage du cube présenté plus haut illustre un cas particulier ; il ne constitue pas à lui seul la démonstration générale.
XI. Questions fréquentes
Comment calculer le volume d’une pyramide ?
On calcule l’aire de base B, puis \(V=Bh/3\). La hauteur h est la distance perpendiculaire du sommet au plan de base. Son pied peut être décentré, voire extérieur à la base pour certaines pyramides. Si les longueurs sont en cm, B est en cm² et V en cm³.
Quel est le volume d’une pyramide à base carrée ?
Pour une pyramide à base carrée de côté \(c\), l’aire de la base est \(c^2\), donc le volume vaut \(V = \displaystyle\frac{c^2 \times h}{3}\). Par exemple, avec un côté de 6 cm et une hauteur de 10 cm : \(V = \displaystyle\frac{36 \times 10}{3} = 120\) cm³.
Quelle est la différence entre la hauteur et l’apothème d’une pyramide ?
La hauteur du solide est perpendiculaire au plan de base et sert au calcul du volume. Dans une pyramide régulière, son pied est le centre de la base. L’apothème est alors la hauteur d’une face triangulaire latérale et sert au calcul de son aire. Une arête latérale relie le sommet principal à un sommet de la base.
Une pyramide et un cône ont-ils la même formule de volume ?
Oui ! Les deux utilisent \(V = \displaystyle\frac{B \times h}{3}\). La seule différence est la base : le cône a une base ronde (un disque, d’aire \(\pi \times r^2\)), la pyramide a une base polygonale (carré, rectangle, triangle). Le facteur \(\displaystyle\frac{1}{3}\) est identique dans les deux cas.
Comment calculer l’aire d’une pyramide ?
L’aire totale est la somme de l’aire de base et des aires des faces latérales. Pour une pyramide régulière, ces dernières se calculent avec l’apothème. Pour une pyramide quelconque, utilise la hauteur propre à chaque face. L’aire mesure la surface, le volume mesure l’espace occupé.
XII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer le volume de n’importe quelle pyramide, retrouver une dimension manquante et éviter les pièges. Pour continuer :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- Règles des puissances : toutes les formules de calcul (4e, 3e)
- Simplifier une racine carrée : la méthode expliquée pas à pas
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