Un ballon de football, une pyramide d’Égypte, une canette de soda, un dé à jouer : ces objets ont tous une forme dans l’espace, mais seuls certains sont des polyèdres. Savoir les reconnaître, les nommer et compter leurs faces, c’est le point de départ de tout le chapitre sur les solides et les volumes. Dans ce cours, tu vas apprendre ce qu’est exactement un polyèdre, comment le distinguer d’un solide « rond », comment s’appellent les principaux solides, et pourquoi il n’existe que cinq polyèdres réguliers convexes.
Définition — Polyèdre
Un polyèdre est un solide de l’espace dont toutes les faces sont des polygones plans (des surfaces plates délimitées par des segments). Le cube, le pavé droit, le prisme et la pyramide sont des polyèdres. La boule, le cylindre et le cône n’en sont pas, car ils ont des surfaces courbes.
I. Qu’est-ce qu’un polyèdre ?
Un polyèdre est un solide de l’espace dont toutes les faces sont des polygones plans, c’est-à-dire des surfaces planes bordées par des segments de droite. Aucune partie de sa surface n’est arrondie. Le mot vient du grec polus (« plusieurs ») et hedra (« face »). Un polyèdre, c’est donc littéralement « plusieurs faces ».
A. Faces, arêtes et sommets : le vocabulaire à connaître
Tout polyèdre se décrit avec trois mots. Il faut les maîtriser parfaitement, car ils reviennent dans tous les exercices de géométrie dans l’espace.
Le vocabulaire en 3 mots :
- Une face est une surface plane du solide (un polygone : triangle, carré, rectangle…).
- Une arête est un segment où deux faces se rencontrent.
- Un sommet est un point où plusieurs arêtes se rejoignent (c’est un « coin » du solide).
Par exemple, un cube possède 6 faces (des carrés), 12 arêtes et 8 sommets. Un pavé droit possède exactement le même nombre de chaque : 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets, mais ses faces sont des rectangles.
B. Polygone ou polyèdre : ne pas confondre
C’est l’erreur la plus fréquente, et elle est facile à éviter une fois qu’on l’a comprise. Un polygone est une figure plate (à deux dimensions) : le carré, le triangle, le rectangle ou le pentagone se dessinent sur une feuille. Un polyèdre est un solide en volume (à trois dimensions) : il occupe de l’espace, on peut le tenir dans sa main.
Les faces d’un polyèdre sont des polygones. Un cube est un polyèdre ; chacune de ses faces est un carré, donc une figure plane. Ne confonds pas ce carré géométrique avec le carré d’un nombre, qui est une opération.
Erreur classique : écrire « le cube est un polygone ». C’est faux. Le cube est un polyèdre (il est en volume) ; ce sont ses faces qui sont des polygones. Retiens : polyGONE = plat, polyÈDRE = en relief.
II. Polyèdres et non-polyèdres : comment les distinguer
Un polyèdre est délimité par un nombre fini de faces polygonales planes. Une surface courbe exclut donc le solide de cette famille. Parmi les solides non polyédriques, certains sont des solides de révolution, obtenus en faisant tourner une figure autour d’un axe ; ce n’est pas le cas de tous.
A. Les solides qui sont des polyèdres
Voici les polyèdres que tu croiseras au collège. Tous ont uniquement des faces planes :
- le cube et le pavé droit (6 faces rectangulaires ou carrées) ;
- le prisme droit (deux bases identiques reliées par des rectangles) ;
- la pyramide et le tétraèdre (une base et un sommet pointu).
B. Les solides qui ne sont pas des polyèdres
Ces solides possèdent au moins une surface courbe, ils ne sont donc pas des polyèdres :
- le cylindre (sa surface latérale est arrondie) ;
- le cône (surface latérale courbe) ;
- la boule et la sphère (entièrement arrondies).
Une fois que tu sais reconnaître et nommer chaque solide, l’étape suivante est de savoir comment on les appelle précisément.
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III. Le nom des principaux solides
Chaque solide a un nom précis, qui dépend de la forme de ses faces et de sa base. Voici un tableau qui rassemble les solides du collège, avec le nombre de faces, d’arêtes et de sommets pour les cas les plus courants.
| Solide | Polyèdre ? | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|---|
| Cube | Oui | 6 carrés | 12 | 8 |
| Pavé droit | Oui | 6 rectangles | 12 | 8 |
| Prisme droit à base triangulaire | Oui | 5 | 9 | 6 |
| Pyramide à base carrée | Oui | 5 | 8 | 5 |
| Tétraèdre (pyramide à base triangulaire) | Oui | 4 triangles | 6 | 4 |
| Cylindre | Non | 2 disques + surface courbe | — | — |
| Cône | Non | 1 disque + surface courbe | — | 1 |
| Boule | Non | surface courbe | — | — |
Pour retenir : un prisme a deux bases identiques (comme une boîte de Toblerone) ; une pyramide a une seule base et un sommet pointu (comme les pyramides d’Égypte). Le tétraèdre est simplement une pyramide dont la base est un triangle : c’est le plus petit polyèdre possible, avec seulement 4 faces.
IV. Les polyèdres réguliers : les 5 solides de Platon
Un polyèdre régulier convexe a des faces qui sont des polygones réguliers identiques, avec la même disposition à chaque sommet. Il en existe exactement cinq : les solides de Platon. Le mot « convexe » compte : le solide n’a pas de creux et reste d’un seul côté du plan de chacune de ses faces.
Parmi les polyèdres convexes, seuls cinq sont réguliers. Voici leurs noms et leurs nombres de faces, d’arêtes et de sommets.
| Nom | Forme des faces | Nombre de faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|---|
| Tétraèdre | Triangles équilatéraux | 4 | 6 | 4 |
| Cube (hexaèdre) | Carrés | 6 | 12 | 8 |
| Octaèdre | Triangles équilatéraux | 8 | 12 | 6 |
| Dodécaèdre | Pentagones réguliers | 12 | 30 | 20 |
| Icosaèdre | Triangles équilatéraux | 20 | 30 | 12 |
Le sais-tu ? Un ballon de football classique ressemble à un icosaèdre « coupé » : il est fait d’hexagones et de pentagones. Ce n’est pas exactement un solide de Platon, mais c’est un cousin appelé « polyèdre semi-régulier ».
V. Compter faces, arêtes et sommets : la relation d’Euler
Voici un secret que peu d’élèves connaissent, et qui te permet de vérifier tes comptages. Pour tous les polyèdres « sans trou » (comme ceux du collège), il existe une relation étonnante découverte par le mathématicien Leonhard Euler. Elle relie le nombre de faces, de sommets et d’arêtes.
La relation d’Euler
Pour un polyèdre convexe, si on note F le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre d’arêtes, alors :
\(F + S = A + 2\)
Vérifions sur le cube : il a 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes. On calcule 6 + 8 = 14, et 12 + 2 = 14. Les deux résultats sont égaux, la relation fonctionne ! Essaie avec le tétraèdre : 4 faces, 4 sommets, 6 arêtes. On a 4 + 4 = 8 et 6 + 2 = 8. Encore vrai.
À quoi ça sert ? Si tu as compté 6 faces et 8 sommets sur un solide mais que tu obtiens 11 arêtes, tu sais tout de suite que tu t’es trompé : il devrait y en avoir 12. La relation d’Euler est un excellent outil de vérification.
VI. Les erreurs fréquentes à éviter
Trois pièges reviennent sans arrêt dans les copies. Les connaître à l’avance, c’est déjà les éviter.
Piège n°1 — Ranger le cylindre parmi les polyèdres. Le cylindre a deux disques plats, mais sa surface latérale est courbe : ce n’est donc pas un polyèdre. Même chose pour le cône et la boule.
Piège n°2 — Confondre arête et sommet. Une arête est un trait (un segment), un sommet est un point (un coin). Sur un cube, il y a 12 traits mais seulement 8 coins.
Piège n°3 — Oublier le mot convexe. Il existe exactement cinq polyèdres réguliers convexes. C’est cette famille que l’on appelle les solides de Platon.
Tu peux retrouver ces pièges et bien d’autres sur la page dédiée aux erreurs en géométrie au collège. Passons maintenant à la pratique.
VII. Exercices d’application corrigés
Voici quatre exercices classés du plus simple au plus complet. Essaie de les résoudre seul avant de regarder la correction.
Exercice 1 — Polyèdre ou non ? ★
Parmi ces solides, indique lesquels sont des polyèdres : un cube, une boule, une pyramide à base carrée, un cylindre, un tétraèdre.
Voir la correction de l’exercice 1
On regarde si toutes les faces sont planes.
- Cube : toutes ses faces sont des carrés (plats) → polyèdre.
- Boule : entièrement arrondie → pas un polyèdre.
- Pyramide à base carrée : une base carrée et des faces triangulaires plates → polyèdre.
- Cylindre : surface latérale courbe → pas un polyèdre.
- Tétraèdre : 4 faces triangulaires plates → polyèdre.
Les polyèdres sont donc : le cube, la pyramide et le tétraèdre.
Exercice 2 — Compter les faces, arêtes et sommets ★
Un pavé droit (une boîte à chaussures). Combien a-t-il de faces, d’arêtes et de sommets ?
Voir la correction de l’exercice 2
Un pavé droit a la même structure qu’un cube.
- Faces : le dessus, le dessous, l’avant, l’arrière, la gauche et la droite → 6 faces.
- Arêtes : 4 en haut, 4 en bas, 4 verticales → 12 arêtes.
- Sommets : 4 coins en haut, 4 coins en bas → 8 sommets.
Contrôle avec Euler : \(F+S=6+8=14\) et \(A+2=12+2=14\). Le comptage est cohérent avec cette relation. Cela ne dispense pas de compter correctement : plusieurs erreurs peuvent se compenser.
Exercice 3 — Nommer les solides ★★
Associe chaque description à son nom : (a) un solide avec deux bases triangulaires identiques reliées par des rectangles ; (b) un solide avec une base carrée et un sommet pointu ; (c) le plus petit polyèdre, avec 4 faces triangulaires.
Voir la correction de l’exercice 3
- (a) Deux bases triangulaires identiques → c’est un prisme droit à base triangulaire.
- (b) Une base carrée et un sommet pointu → c’est une pyramide à base carrée.
- (c) 4 faces triangulaires → c’est le tétraèdre.
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Exercice 4 — Un peu de raisonnement ★★★
Léa dessine un polyèdre. Elle compte 5 faces et 6 sommets. Sans voir le solide, peux-tu retrouver combien il a d’arêtes ? De quel solide peut-il s’agir ?
Voir la correction de l’exercice 4
On utilise la relation d’Euler : \(F + S = A + 2\).
On connaît \(F = 5\) et \(S = 6\). Donc :
\(5 + 6 = A + 2\) \(11 = A + 2\)On en déduit \(A = 11- 2 = 9\). Le solide a donc 9 arêtes.
Ces nombres sont compatibles avec un prisme à base triangulaire. Ils ne permettent pas, à eux seuls, de reconnaître son caractère droit : il faut vérifier que ses faces latérales sont des rectangles. La relation d’Euler contrôle une cohérence ; elle ne remplace pas les informations géométriques du dessin.
Pour t’entraîner davantage, retrouve une série complète d’exercices sur la page dédiée aux solides en 6ème.
VIII. Questions fréquentes
Comment reconnaître un polyèdre ?
Il suffit de vérifier une seule chose : toutes les faces du solide doivent être planes (des polygones). S’il y a la moindre surface arrondie ou courbe, ce n’est pas un polyèdre. Le cube, la pyramide et le prisme sont des polyèdres ; le cylindre, le cône et la boule n’en sont pas.
Le cylindre et le cône sont-ils des polyèdres ?
Non. Le cylindre possède une surface latérale courbe (arrondie), et le cône aussi. Comme un polyèdre doit avoir uniquement des faces planes, ni le cylindre ni le cône ne sont des polyèdres. On les appelle des solides de révolution.
Quelle est la différence entre un polygone et un polyèdre ?
Un polygone est une figure plate, à deux dimensions, qui se dessine sur une feuille (carré, triangle, rectangle). Un polyèdre est un solide en volume, à trois dimensions, qui occupe de l’espace (cube, pyramide). Les faces d’un polyèdre sont justement des polygones.
Quels sont les 5 solides de Platon ?
Ce sont les cinq polyèdres réguliers convexes : tétraèdre (4 faces), cube ou hexaèdre (6), octaèdre (8), dodécaèdre (12 faces pentagonales) et icosaèdre (20 faces triangulaires).
Quel est le polyèdre qui a le moins de faces ?
C’est le tétraèdre, avec seulement 4 faces triangulaires. C’est impossible de fabriquer un polyèdre avec moins de 4 faces : il faut au minimum quatre polygones pour fermer un solide dans l’espace.
IX. Pour aller plus loin
Maintenant que tu sais reconnaître et nommer les solides, tu peux découvrir comment on les fabrique et comment on calcule leur volume :
- Les 11 patrons du cube et du pavé droit : la méthode pour tous les reconnaître (avec PDF à imprimer)
- Les solides en CM1-CM2 : exercices et évaluation à imprimer
- Les solides en 6ème : 14 exercices corrigés pas à pas
- Le triangle rectangle : définition, propriétés et calculs
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