Loi Normale : Cours Complet, Propriétés et Exercices Corrigés

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La loi normale — ou loi gaussienne — est sans doute la distribution de probabilité la plus importante en mathématiques. Du théorème de Moivre-Laplace aux intervalles de confiance, elle irrigue les sujets de concours et constitue un passage obligé du programme de Terminale comme de CPGE. Ce cours te donne les outils complets pour maîtriser la loi normale en tant que variable aléatoire : densité, espérance, variance, intégrale de Gauss, stabilité par somme, théorème central limite et fonction caractéristique. Tu trouveras ici les démonstrations exigibles au concours, 8 exercices corrigés classés par difficulté et les pièges à éviter.

I. Définition et densité de la loi normale

A. Densité de la loi normale \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)

La loi normale est une loi à densité définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier. Elle dépend de deux paramètres réels : un paramètre de position \(\mu\) et un paramètre de dispersion \(\sigma\) > \(0\).

Vérifions que \(f\) est bien une densité :

• \(f(x)\) > \(0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (la fonction exponentielle est strictement positive).
• \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1\) — c’est la conséquence de l’intégrale de Gauss, que nous démontrerons en section II.

B. Loi normale centrée réduite \(\mathcal{N}(0, 1)\)

Un cas particulier joue un rôle central dans toute la théorie : la loi obtenue pour \(\mu = 0\) et \(\sigma = 1\).

Propriétés immédiates de \(\varphi\) :

• Parité : \(\varphi(-x) = \varphi(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) — la densité est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Maximum : \(\varphi\) atteint son maximum en \(x = 0\), avec \(\varphi(0) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}399\).
• Points d’inflexion : \(\varphi^{\prime\prime}(x) = (x^2 – 1)\,\varphi(x)\), d’où les points d’inflexion en \(x = -1\) et \(x = 1\).
• Décroissance rapide : \(\varphi(x) \to 0\) quand \(|x| \to +\infty\), plus vite que toute puissance de \(\displaystyle\frac{1}{|x|}\).

C. Courbe de Gauss — influence des paramètres

La représentation graphique de la densité \(f\) est la célèbre courbe en cloche, ou courbe de Gauss.

Influence de \(\mu\) (position) : modifier \(\mu\) translate la courbe horizontalement sans changer sa forme. La courbe de \(\mathcal{N}(3, 1)\) est identique à celle de \(\mathcal{N}(0, 1)\), simplement décalée de 3 vers la droite.

Influence de \(\sigma\) (dispersion) : augmenter \(\sigma\) aplatit la courbe et l’étale. La hauteur du pic vaut \(\displaystyle\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\) : elle diminue quand \(\sigma\) croît. Mais l’aire sous la courbe reste toujours égale à 1.

Les points d’inflexion de la courbe de \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) sont situés en \(x = \mu – \sigma\) et \(x = \mu + \sigma\). C’est un moyen visuel rapide de lire \(\sigma\) sur un graphique.

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II. Propriétés fondamentales et démonstrations

Cette section regroupe les propriétés essentielles de la loi normale et les démonstrations exigibles en classe préparatoire, marquées ⋆.

A. Intégrale de Gauss ⋆

Le premier résultat fondamental est le calcul de l’intégrale de Gauss, qui assure que la fonction \(\varphi\) est bien une densité de probabilité. Ce résultat fait appel à un changement de variable en coordonnées polaires.

Démonstration ⋆. Posons \(I = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t\). On a \(I\) > \(0\) car l’intégrande est strictement positive.

Calculons \(I^2\) par le théorème de Fubini :

\(I^2 = \left(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x\right)\left(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-y^2/2}\,\mathrm{d}y\right) = \displaystyle\int\!\!\!\int_{\mathbb{R}^2} \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)/2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)

On effectue le passage en coordonnées polaires : \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), avec le jacobien \(r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\) :

\(I^2 = \displaystyle\int_0^{2\pi}\!\displaystyle\int_0^{+\infty} r\,\mathrm{e}^{-r^2/2}\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\)

L’intégrale radiale se calcule directement :

\(\displaystyle\int_0^{+\infty} r\,\mathrm{e}^{-r^2/2}\,\mathrm{d}r = \left[-\mathrm{e}^{-r^2/2}\right]_0^{+\infty} = 0 – (-1) = 1\)

D’où \(I^2 = \displaystyle\int_0^{2\pi} 1\,\mathrm{d}\theta = 2\pi\), et comme \(I\) > \(0\), on conclut \(I = \sqrt{2\pi}\). ∎

B. Espérance et variance ⋆

On démontre que les paramètres \(\mu\) et \(\sigma^2\) de la notation \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) coïncident bien avec l’espérance et la variance.

Démonstration de \(\mathbb{E}(X) = \mu\) ⋆. On effectue le changement de variable \(t = \displaystyle\frac{x – \mu}{\sigma}\), soit \(x = \sigma t + \mu\) et \(\mathrm{d}x = \sigma\,\mathrm{d}t\) :

\(\mathbb{E}(X) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x\,f(x)\,\mathrm{d}x = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} (\sigma t + \mu)\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t = \sigma\!\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} t\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t + \mu\!\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(t)\,\mathrm{d}t\)

La première intégrale est nulle : \(t \mapsto t\,\varphi(t)\) est une fonction impaire (produit d’une fonction impaire et d’une fonction paire) intégrable sur \(\mathbb{R}\). La seconde intégrale vaut \(1\). D’où \(\mathbb{E}(X) = \mu\). ∎

Démonstration de \(\mathrm{V}(X) = \sigma^2\) ⋆. Par le même changement de variable :

\(\mathrm{V}(X) = \mathbb{E}\!\left[(X – \mu)^2\right] = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} (x – \mu)^2 f(x)\,\mathrm{d}x = \sigma^2 \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} t^2\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t\)

On calcule \(J = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} t^2\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t\) par intégration par parties. Posons \(u(t) = t\) et \(v^{\prime}(t) = t\,\varphi(t)\). Comme \(\varphi^{\prime}(t) = -t\,\varphi(t)\), on a \(v(t) = -\varphi(t)\). Alors :

\(J = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\left[-t\,\mathrm{e}^{-t^2/2}\right]_{-\infty}^{+\infty} + \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t\right) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(0 + \sqrt{2\pi}\right) = 1\)

D’où \(\mathrm{V}(X) = \sigma^2 \cdot 1 = \sigma^2\). ∎

C. Symétrie et moments

La symétrie de la densité gaussienne engendre des propriétés remarquables sur les moments.

La démonstration est immédiate par calcul de densité (changement de variable \(u = 2\mu – x\)).

Moments de la loi \(\mathcal{N}(0, 1)\). Pour \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\) :

• Moments impairs : \(\mathbb{E}(Z^{2k+1}) = 0\) pour tout \(k \in \mathbb{N}\) (par imparité de \(t \mapsto t^{2k+1}\varphi(t)\)).
• Moments pairs : \(\mathbb{E}(Z^{2k}) = (2k-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)\).

En particulier : \(\mathbb{E}(Z^2) = 1\), \(\mathbb{E}(Z^4) = 3\), \(\mathbb{E}(Z^6) = 15\). Le moment d’ordre 4 (\(\mathbb{E}(Z^4) = 3\)) est lié au kurtosis : la loi normale sert de référence pour mesurer l’aplatissement de toute autre distribution.

D. Stabilité par combinaison linéaire ⋆

La famille des lois normales possède une propriété de stabilité algébrique remarquable, essentielle en pratique.

La preuve par changement de variable dans la densité est directe. En particulier, pour \(a = \displaystyle\frac{1}{\sigma}\) et \(b = -\displaystyle\frac{\mu}{\sigma}\), on obtient le résultat fondamental suivant.

La démonstration la plus élégante utilise la fonction caractéristique, détaillée en section V. L’idée clé : la FC d’une somme de v.a. indépendantes est le produit des FC, et le produit de deux FC gaussiennes est encore une FC gaussienne.

Voici un tableau récapitulatif des propriétés de la loi normale :

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III. Fonction de répartition et calcul de probabilités

Le calcul de probabilités pour une variable gaussienne passe systématiquement par la fonction de répartition de la loi centrée réduite.

A. La fonction \(\Phi\)

La fonction \(\Phi\) n’admet pas d’expression en forme close à l’aide des fonctions usuelles. En pratique, ses valeurs sont lues dans la table de la loi normale centrée réduite.

Propriétés fondamentales de \(\Phi\) :

• Relation de symétrie : \(\Phi(-x) = 1 – \Phi(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (conséquence de la parité de \(\varphi\)).
• Valeur en zéro : \(\Phi(0) = \displaystyle\frac{1}{2}\).
• Limites : \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \Phi(x) = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \Phi(x) = 1\).
• Dérivée : \(\Phi^{\prime}(x) = \varphi(x)\) > \(0\) — la fonction \(\Phi\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

B. Centrer et réduire — méthode en 3 étapes

Tout calcul de probabilité sur \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) se ramène à \(\Phi\) par la procédure suivante.

C. Quantiles et règle 68-95-99,7

On appelle quantile d’ordre \(\alpha\) de la loi \(\mathcal{N}(0,1)\) la valeur \(z_\alpha\) telle que \(\mathbb{P}(Z \leq z_\alpha) = \alpha\), soit \(z_\alpha = \Phi^{-1}(\alpha)\). Voici les quantiles les plus utilisés :

Ces quantiles conduisent à la règle 68-95-99,7, qui donne la probabilité de se trouver à \(k\) écarts-types de la moyenne :

Plus précisément, pour un intervalle de confiance bilatéral à 95 % :

\(\mathbb{P}\!\left(\mu – 1{,}96\,\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\,\sigma\right) = 0{,}95\)

C’est le fondement des intervalles de confiance en statistique. On en verra une application dans les exercices.

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IV. Théorème central limite et approximation normale

La raison profonde de l’omniprésence de la loi normale réside dans les théorèmes limites : toute somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, convenablement renormalisée, converge vers la loi normale.

A. Théorème de Moivre-Laplace

Le cas particulier le plus classique concerne l’approximation de la loi binomiale par la loi normale.

B. Théorème central limite — énoncé et idée de démonstration

Le théorème de Moivre-Laplace est un cas particulier du résultat suivant, qui s’applique à n’importe quelle loi ayant une variance finie.

Ce théorème explique pourquoi la loi normale apparaît partout en sciences : chaque fois qu’un phénomène résulte de la superposition d’un grand nombre de contributions indépendantes de même loi (erreurs de mesure, bruit thermique, taille dans une population…), la distribution globale est approximativement gaussienne.

Idée de démonstration ⋆. Notons \(Y_i = \displaystyle\frac{X_i – \mu}{\sigma}\) les variables centrées réduites, et \(Z_n = \displaystyle\frac{S_n – n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{i=1}^n Y_i\). La fonction caractéristique de \(Z_n\) est :

\(\varphi_{Z_n}(t) = \left[\varphi_{Y_1}\!\left(\displaystyle\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n\)

On développe \(\varphi_{Y_1}\) au voisinage de 0 grâce à \(\mathbb{E}(Y_1) = 0\) et \(\mathbb{E}(Y_1^2) = 1\) :

\(\varphi_{Y_1}(u) = 1 – \displaystyle\frac{u^2}{2} + o(u^2) \quad \text{quand } u \to 0\)

D’où \(\varphi_{Z_n}(t) = \left(1 – \displaystyle\frac{t^2}{2n} + o\!\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)\right)^n \longrightarrow \mathrm{e}^{-t^2/2}\) quand \(n \to +\infty\).

On reconnaît la FC de \(\mathcal{N}(0,1)\). Le théorème de Lévy (continuité de la FC) permet de conclure la convergence en loi. ∎

C. Correction de continuité

La loi binomiale est une loi discrète, tandis que la loi normale est continue. L’approximation normale introduit donc une erreur systématique sur les probabilités ponctuelles.

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V. Fonction caractéristique et résultats avancés 🔴

Cette section concerne principalement les filières MP/MP* et PC/PC*. La fonction caractéristique est l’outil qui donne les preuves les plus élégantes des propriétés de la loi normale.

Calcul de la FC de \(\mathcal{N}(0,1)\) ⋆. Pour \(Z \sim \mathcal{N}(0,1)\) :

\(\varphi_Z(t) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{itx}\,\mathrm{e}^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{itx – x^2/2}\,\mathrm{d}x\)

On complète le carré dans l’exposant :

\(itx – \displaystyle\frac{x^2}{2} = -\displaystyle\frac{1}{2}(x – it)^2 – \displaystyle\frac{t^2}{2}\)

D’où \(\varphi_Z(t) = \mathrm{e}^{-t^2/2} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-(x – it)^2/2}\,\mathrm{d}x\). L’intégrale se calcule par translation du contour dans le plan complexe (justifiée par le théorème de Cauchy ou par un argument de domination) et vaut \(\sqrt{2\pi}\). On obtient :

Application : preuve de la stabilité par somme. Soient \(X_1 \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)\) et \(X_2 \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)\) indépendantes. Par indépendance :

\(\varphi_{X_1 + X_2}(t) = \varphi_{X_1}(t) \cdot \varphi_{X_2}(t) = \exp\!\left(i(\mu_1 + \mu_2)t – \displaystyle\frac{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)t^2}{2}\right)\)

On reconnaît la FC de \(\mathcal{N}(\mu_1 + \mu_2,\; \sigma_1^2 + \sigma_2^2)\). L’injectivité de la FC permet de conclure. ∎

Application : preuve du TCL. La démonstration esquissée en section IV.B repose sur le fait que la FC de \(Z_n\) converge ponctuellement vers \(\mathrm{e}^{-t^2/2}\), qui est la FC de \(\mathcal{N}(0, 1)\).

Lien avec la fonction génératrice des moments. Pour \(X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\), la fonction génératrice des moments \(M_X(t) = \mathbb{E}(\mathrm{e}^{tX})\) existe pour tout \(t \in \mathbb{R}\) et vaut :

\(M_X(t) = \exp\!\left(\mu t + \displaystyle\frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)\)

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VI. Exercices corrigés

Voici 8 exercices classés par difficulté croissante, de l’application directe (★) aux problèmes de concours (★★★★★). Chaque correction détaille la rédaction attendue.

Exercice 1 — ★ (I)

Soit \(X \sim \mathcal{N}(3, 4)\) (donc \(\sigma = 2\)).

1. Calculer \(\mathbb{P}(X \leq 5)\).
2. Calculer \(\mathbb{P}(1 \leq X \leq 7)\).

Voir la correction

1. On centre et réduit : \(Z = \displaystyle\frac{X – 3}{2} \sim \mathcal{N}(0, 1)\).

\(\mathbb{P}(X \leq 5) = \mathbb{P}\!\left(Z \leq \displaystyle\frac{5 – 3}{2}\right) = \mathbb{P}(Z \leq 1) = \Phi(1) \approx 0{,}8413\)

2. \(\mathbb{P}(1 \leq X \leq 7) = \mathbb{P}\!\left(\displaystyle\frac{1-3}{2} \leq Z \leq \displaystyle\frac{7-3}{2}\right) = \mathbb{P}(-1 \leq Z \leq 2)\)

\(= \Phi(2) – \Phi(-1) = \Phi(2) – \bigl(1 – \Phi(1)\bigr) \approx 0{,}9772 – 0{,}1587 = 0{,}8185\)

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Exercice 2 — ★★

Soit \(X \sim \mathcal{N}(10, 25)\). Déterminer \(a\) > \(0\) tel que \(\mathbb{P}(|X – 10| \leq a) = 0{,}95\).

Voir la correction

On a \(\sigma = 5\) et \(Z = \displaystyle\frac{X – 10}{5} \sim \mathcal{N}(0, 1)\).

\(\mathbb{P}(|X – 10| \leq a) = \mathbb{P}\!\left(|Z| \leq \displaystyle\frac{a}{5}\right) = 2\Phi\!\left(\displaystyle\frac{a}{5}\right) – 1 = 0{,}95\)

D’où \(\Phi\!\left(\displaystyle\frac{a}{5}\right) = 0{,}975\), ce qui donne \(\displaystyle\frac{a}{5} = \Phi^{-1}(0{,}975) = 1{,}96\).

Conclusion : \(a = 9{,}80\).

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Exercice 3 — ★★ (I)

Soient \(X \sim \mathcal{N}(2, 1)\) et \(Y \sim \mathcal{N}(-1, 4)\) deux variables indépendantes. Déterminer la loi de \(W = 3X – 2Y + 5\).

Voir la correction

Par stabilité de la loi normale par combinaison linéaire (les variables étant indépendantes) :

\(\mathbb{E}(W) = 3 \times 2 + (-2) \times (-1) + 5 = 6 + 2 + 5 = 13\) \(\mathrm{V}(W) = 3^2 \times 1 + (-2)^2 \times 4 = 9 + 16 = 25\)

Conclusion : \(W \sim \mathcal{N}(13, 25)\).

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Exercice 4 — ★★★

On lance 400 fois une pièce équilibrée. Soit \(X\) le nombre de « pile » obtenus. En utilisant l’approximation normale avec correction de continuité, calculer \(\mathbb{P}(190 \leq X \leq 210)\).

Voir la correction

\(X \sim \mathcal{B}(400 \,; 0{,}5)\). On a \(\mathbb{E}(X) = 200\) et \(\mathrm{V}(X) = 100\), donc \(\sigma = 10\).

Vérification des conditions : \(np = 200 \geq 5\) et \(n(1-p) = 200 \geq 5\). L’approximation normale est valide.

Avec correction de continuité :

\(\mathbb{P}(190 \leq X \leq 210) \approx \Phi\!\left(\displaystyle\frac{210{,}5 – 200}{10}\right) – \Phi\!\left(\displaystyle\frac{189{,}5 – 200}{10}\right) = \Phi(1{,}05) – \Phi(-1{,}05)\) \(= 2\Phi(1{,}05) – 1 \approx 2 \times 0{,}8531 – 1 = 0{,}7062\)

Sans correction : on obtiendrait \(\mathbb{P}(-1 \leq Z \leq 1) \approx 0{,}6827\). La correction de continuité fournit ici une approximation plus précise.

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Exercice 5 — ★★★

Soit \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\). Calculer \(\mathbb{E}(Z^4)\) par intégration par parties.

Voir la correction

\(\mathbb{E}(Z^4) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} t^4\,\mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t\)

IPP avec \(u(t) = t^3\) et \(v^{\prime}(t) = t\,\mathrm{e}^{-t^2/2}\), d’où \(u^{\prime}(t) = 3t^2\) et \(v(t) = -\mathrm{e}^{-t^2/2}\) :

\(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} t^4\,\mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t = \left[-t^3\,\mathrm{e}^{-t^2/2}\right]_{-\infty}^{+\infty} + 3\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} t^2\,\mathrm{e}^{-t^2/2}\,\mathrm{d}t\)

Le crochet est nul (croissance de l’exponentielle). L’intégrale restante est \(\sqrt{2\pi}\,\mathbb{E}(Z^2) = \sqrt{2\pi}\).

Conclusion : \(\mathbb{E}(Z^4) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \times 3\sqrt{2\pi} = 3\).

Résultat général : \(\mathbb{E}(Z^{2k}) = (2k-1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)\) (démonstration par récurrence avec IPP).

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Exercice 6 — ★★★★

Soient \(X_1, \ldots, X_n\) des v.a.r. i.i.d. de loi \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) avec \(\mu\) inconnu et \(\sigma\) connu. On pose \(\overline{X}_n = \displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\).

1. Déterminer la loi de \(\overline{X}_n\).
2. Montrer que \(\mathbb{P}\!\left(|\overline{X}_n – \mu| \leq \displaystyle\frac{1{,}96\,\sigma}{\sqrt{n}}\right) = 0{,}95\).
3. Application : \(n = 100\), \(\overline{X}_{100} = 10{,}3\), \(\sigma = 0{,}5\). Donner un intervalle de confiance à 95 % pour \(\mu\).

Voir la correction

1. Par stabilité, \(\overline{X}_n = \displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i\) est une combinaison linéaire de gaussiennes indépendantes :

\(\mathbb{E}(\overline{X}_n) = \mu, \quad \mathrm{V}(\overline{X}_n) = \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\)

Donc \(\overline{X}_n \sim \mathcal{N}\!\left(\mu, \displaystyle\frac{\sigma^2}{n}\right)\).

2. On centre et réduit : \(Z_n = \displaystyle\frac{\overline{X}_n – \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0, 1)\).

\(\mathbb{P}\!\left(|\overline{X}_n – \mu| \leq \displaystyle\frac{1{,}96\,\sigma}{\sqrt{n}}\right) = \mathbb{P}(|Z_n| \leq 1{,}96) = 2\Phi(1{,}96) – 1 = 0{,}95\) ∎

3. L’intervalle de confiance à 95 % pour \(\mu\) est :

\(\left[\overline{X}_n – \displaystyle\frac{1{,}96\,\sigma}{\sqrt{n}} \;;\; \overline{X}_n + \displaystyle\frac{1{,}96\,\sigma}{\sqrt{n}}\right] = \left[10{,}3 – \displaystyle\frac{1{,}96 \times 0{,}5}{10} \;;\; 10{,}3 + \displaystyle\frac{1{,}96 \times 0{,}5}{10}\right] = [10{,}202 \;;\; 10{,}398]\)

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Exercice 7 — ★★★★ (Encadrement de Mill)

Soit \(Z \sim \mathcal{N}(0, 1)\). Montrer que pour tout \(a\) > \(0\) :

\(\left(\displaystyle\frac{1}{a} – \displaystyle\frac{1}{a^3}\right)\varphi(a) \leq \mathbb{P}(Z \geq a) \leq \displaystyle\frac{1}{a}\,\varphi(a)\)

Voir la correction

Majoration. Pour \(t \geq a\) > \(0\), on a \(1 \leq \displaystyle\frac{t}{a}\), d’où \(\varphi(t) \leq \displaystyle\frac{t}{a}\,\varphi(t)\). En intégrant :

\(\mathbb{P}(Z \geq a) = \displaystyle\int_a^{+\infty} \varphi(t)\,\mathrm{d}t \leq \displaystyle\frac{1}{a}\displaystyle\int_a^{+\infty} t\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t\)

Or \(\displaystyle\int_a^{+\infty} t\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t = \left[-\varphi(t)\right]_a^{+\infty} = \varphi(a)\) (car \(\varphi^{\prime}(t) = -t\,\varphi(t)\)).

D’où \(\mathbb{P}(Z \geq a) \leq \displaystyle\frac{\varphi(a)}{a}\). ✓

Minoration. On intègre par parties \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \varphi(t)\,\mathrm{d}t\) avec \(u(t) = \displaystyle\frac{1}{t}\) et \(v^{\prime}(t) = t\,\varphi(t)\), soit \(v(t) = -\varphi(t)\) :

\(\mathbb{P}(Z \geq a) = \left[-\displaystyle\frac{\varphi(t)}{t}\right]_a^{+\infty} – \displaystyle\int_a^{+\infty} \displaystyle\frac{\varphi(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{\varphi(a)}{a} – \displaystyle\int_a^{+\infty} \displaystyle\frac{\varphi(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\)

On majore le reste en réutilisant la même idée : \(\displaystyle\int_a^{+\infty} \displaystyle\frac{\varphi(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t = \displaystyle\int_a^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{t^3}\cdot t\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t \leq \displaystyle\frac{1}{a^3}\displaystyle\int_a^{+\infty} t\,\varphi(t)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{\varphi(a)}{a^3}\)

D’où \(\mathbb{P}(Z \geq a) \geq \displaystyle\frac{\varphi(a)}{a} – \displaystyle\frac{\varphi(a)}{a^3} = \left(\displaystyle\frac{1}{a} – \displaystyle\frac{1}{a^3}\right)\varphi(a)\). ✓ ∎

Intérêt de ce résultat : l’encadrement de Mill donne un équivalent de la queue de la loi normale : \(\mathbb{P}(Z \geq a) \sim \displaystyle\frac{\varphi(a)}{a}\) quand \(a \to +\infty\). C’est un outil classique aux concours pour majorer des probabilités de grands écarts.

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Exercice 8 — ★★★★★ (Type concours)

Soit \((X_n)_{n \geq 1}\) une suite de v.a.r. i.i.d. de loi uniforme sur \([0 \,; 1]\). On pose \(S_n = X_1 + \cdots + X_n\) et \(Y_n = \displaystyle\frac{S_n – n/2}{\sqrt{n/12}}\).

1. Rappeler l’espérance et la variance de \(X_1\).
2. Calculer la fonction caractéristique de \(X_1\), puis celle de \(Y_n\).
3. Montrer que \(\varphi_{Y_n}(t) \to \mathrm{e}^{-t^2/2}\) quand \(n \to +\infty\) et conclure.
4. En déduire un équivalent de \(\mathbb{P}\!\left(S_n \leq \displaystyle\frac{n}{2}\right)\) quand \(n \to +\infty\).

Voir la correction

1. \(\mathbb{E}(X_1) = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\mathrm{V}(X_1) = \displaystyle\frac{1}{12}\).

2. \(\varphi_{X_1}(t) = \mathbb{E}(\mathrm{e}^{itX_1}) = \displaystyle\int_0^1 \mathrm{e}^{itx}\,\mathrm{d}x = \displaystyle\frac{\mathrm{e}^{it} – 1}{it}\) pour \(t \neq 0\), et \(\varphi_{X_1}(0) = 1\).

Comme \(Y_n = \displaystyle\frac{S_n – n/2}{\sqrt{n/12}} = \sqrt{12/n} \cdot S_n – \sqrt{3n}\) n’est pas une simple somme, on procède par étapes. Posons \(U_i = X_i – \displaystyle\frac{1}{2}\), de sorte que \(Y_n = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n/12}} \displaystyle\sum_{i=1}^n U_i\). La FC de \(U_i\) est \(\varphi_{U_i}(t) = \mathrm{e}^{-it/2}\,\varphi_{X_1}(t)\), et par indépendance :

\(\varphi_{Y_n}(t) = \left[\varphi_{U_1}\!\left(\displaystyle\frac{t}{\sqrt{n/12}}\right)\right]^n\)

3. On effectue un DL au voisinage de 0. On a \(\varphi_{U_1}(u) = 1 – \displaystyle\frac{u^2}{2}\mathrm{V}(U_1) + o(u^2) = 1 – \displaystyle\frac{u^2}{24} + o(u^2)\).

En substituant \(u = \displaystyle\frac{t}{\sqrt{n/12}} = t\sqrt{\displaystyle\frac{12}{n}}\) :

\(\varphi_{Y_n}(t) = \left(1 – \displaystyle\frac{12t^2}{24n} + o\!\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)\right)^n = \left(1 – \displaystyle\frac{t^2}{2n} + o\!\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)\right)^n \longrightarrow \mathrm{e}^{-t^2/2}\)

Par le théorème de Lévy, \(Y_n \overset{\mathcal{L}{\longrightarrow}} \mathcal{N}(0, 1)\). C’est une application directe du TCL.

4. \(\mathbb{P}\!\left(S_n \leq \displaystyle\frac{n}{2}\right) = \mathbb{P}(Y_n \leq 0) \longrightarrow \Phi(0) = \displaystyle\frac{1}{2}\).

L’équivalent cherché est donc \(\mathbb{P}\!\left(S_n \leq \displaystyle\frac{n}{2}\right) \longrightarrow[n \to +\infty]{} \displaystyle\frac{1}{2}\).

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VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques

Voici les erreurs qui reviennent le plus souvent dans les copies de concours sur la loi normale.

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VIII. Questions fréquentes

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IX. Pour aller plus loin

Tu maîtrises maintenant la loi normale, de la définition aux résultats avancés. Pour approfondir, voici les prolongements naturels :

• Table de la loi normale centrée réduite — toutes les valeurs de \(\Phi\) pour tes calculs et tes révisions.
• Espérance : formule, calcul et définition — le cours complet sur l’espérance d’une variable aléatoire.
• Variance : formule, calcul et définition — propriétés de la variance, formule de König-Huygens et inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• Écart-type : formule et interprétation — le lien entre écart-type et dispersion.
• Loi binomiale — l’autre loi fondamentale du programme, et le point de départ du théorème de Moivre-Laplace.
• Loi de Poisson — la loi des événements rares, autre approximation classique de la binomiale.
• Loi exponentielle — la loi des temps d’attente, liée au processus de Poisson.
• Exercices corrigés sur les variables aléatoires — entraîne-toi sur l’ensemble du chapitre.