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Tu tombes sur \((x – 3)(2x + 1) = 0\) et tu ne sais pas quoi en faire ? La propriété du produit nul permet de résoudre ce type d’équation en quelques lignes — sans discriminant. Voici la méthode en 4 étapes, 5 exemples résolus et les erreurs classiques qui coûtent des points.
I. La propriété du produit nul et du quotient nul
Avant de voir la méthode, rappelons la propriété mathématique qui rend tout possible. Elle repose sur un fait fondamental : dans \(\mathbb{R}\), le produit de deux nombres non nuls est toujours non nul. Autrement dit, la seule façon d’obtenir un produit égal à zéro est qu’au moins un des facteurs soit lui-même égal à zéro.
A. La propriété du produit nul
Propriété — Produit nul
Pour tous réels \(A\) et \(B\) :
\(A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ ou } B = 0\)
Le « ou » est un « ou inclusif » : un seul des deux facteurs peut être nul, ou les deux à la fois. Cette propriété se généralise naturellement à trois facteurs ou plus :
\(A \times B \times C = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ ou } B = 0 \text{ ou } C = 0\)C’est cette propriété qui transforme une équation complexe en plusieurs petites équations du premier degré, beaucoup plus simples à résoudre.
B. L’équation quotient : même logique, une condition en plus
Un quotient fonctionne de la même manière qu’un produit, à une différence près : le dénominateur ne doit jamais être égal à zéro (on ne divise pas par zéro). On obtient donc une propriété légèrement différente.
Propriété — Quotient nul
Pour tous réels \(A\) et \(B\) avec \(B \neq 0\) :
\(\displaystyle\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ et } B \neq 0\)
Attention — Valeurs interdites : avant toute résolution d’une équation quotient, identifie les valeurs de \(x\) qui annulent le dénominateur. Ces valeurs sont interdites : elles ne peuvent jamais être solutions, même si elles annulent le numérateur.
Tu connais maintenant les deux propriétés. Mais quand faut-il les utiliser plutôt qu’une autre méthode ? C’est ce que nous allons voir.
II. Quand utiliser la méthode du produit nul ?
La méthode du produit nul n’est pas la seule technique pour résoudre une équation. Le tableau ci-dessous te permet de choisir la bonne méthode selon la forme de ton équation.
| Forme de l’équation | Méthode à utiliser | Exemple |
|---|---|---|
| \(ax + b = 0\) | Résolution directe (isoler \(x\)) | \(3x – 7 = 0\) |
| \(A(x) \times B(x) = 0\) | Produit nul (cette page) ✓ | \((x – 3)(2x + 1) = 0\) |
| \(\displaystyle\frac{A(x)}{B(x)} = 0\) | Quotient nul (cette page) ✓ | \(\displaystyle\frac{x^2 – 4}{x + 1} = 0\) |
| \(ax^2 + bx + c = 0\) (non factorisable directement) | Discriminant \(\Delta\) | \(2x^2 – 3x + 1 = 0\) |
| Système de deux équations | Substitution ou combinaison | \(x + y = 5\) et \(2x – y = 1\) |
Règle d’or : si ton équation est déjà factorisée — ou si tu peux la factoriser — utilise le produit nul. C’est toujours plus rapide et plus sûr que le discriminant. Réserve le discriminant aux trinômes du second degré que tu ne parviens pas à factoriser.
La règle est simple : factoriser d’abord, discriminant ensuite. Voyons maintenant comment appliquer la méthode, étape par étape.
III. Méthode pas à pas en 4 étapes
A. Étape 1 — Rassembler tout du même côté
L’objectif est d’obtenir une expression de la forme \(\ldots = 0\). Si l’équation n’est pas déjà sous cette forme, déplace tous les termes du même côté du signe égal.
Exemple : si tu as \((x – 1)(x + 2) = (x – 1)(3x – 4)\), réécris :
\((x – 1)(x + 2) – (x – 1)(3x – 4) = 0\)B. Étape 2 — Factoriser l’expression
C’est l’étape clé. Cherche à écrire le membre de gauche comme un produit de facteurs. Trois techniques de factorisation reviennent en permanence :
- Facteur commun : \(x^2 – 5x = x(x – 5)\)
- Identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) : par exemple, \(x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)\). Pour revoir ces identités, consulte notre cours sur le calcul littéral.
- Regroupement (facteur commun dans une somme de produits) : \((x – 1)(x + 2) – (x – 1)(3x – 4) = (x – 1)[(x + 2) – (3x – 4)]\)
Si l’expression est un quotient, factorise séparément le numérateur et le dénominateur, puis identifie les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur).
C. Étape 3 — Appliquer la propriété du produit nul
Une fois l’expression factorisée sous la forme \(A(x) \times B(x) = 0\), applique la propriété :
\(A(x) = 0\) ou \(B(x) = 0\)
Résous chaque petite équation séparément. Chacune est en général une équation du premier degré, très rapide à résoudre.
Pour un quotient \(\displaystyle\frac{A(x)}{B(x)} = 0\) : résous uniquement \(A(x) = 0\), puis vérifie que chaque solution ne fait pas partie des valeurs interdites.
D. Étape 4 — Conclure
Rassemble toutes les solutions et rédige proprement ta conclusion.
Modèle de rédaction pour le DS :
« L’équation \((x – 3)(2x + 5) = 0\) admet deux solutions : \(x = 3\) et \(x = -\displaystyle\frac{5}{2}\). »
Ou, de façon plus formelle : « L’ensemble des solutions est \(S = \left\{-\displaystyle\frac{5}{2}\,;\, 3\right\}\). »
La méthode tient en 4 étapes. Voyons-la en action sur 5 exemples de difficulté croissante.
IV. 5 exemples résolus
🔵 Exemple 1 — Produit nul déjà factorisé (Seconde)
Énoncé : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((x – 3)(2x + 5) = 0\).
Résolution :
L’équation est déjà sous forme d’un produit de facteurs égal à zéro. On applique directement la propriété du produit nul :
\(x – 3 = 0\) ou \(2x + 5 = 0\)
\(x = 3\) ou \(x = -\displaystyle\frac{5}{2}\)
Conclusion : \(S = \left\{-\displaystyle\frac{5}{2}\,;\, 3\right\}\).
🔵 Exemple 2 — Identité remarquable \(a^2 – b^2\) (Seconde)
Énoncé : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^2 – 16 = 0\).
Résolution :
On reconnaît l’identité remarquable \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = x\) et \(b = 4\) :
\(x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4) = 0\)
Propriété du produit nul :
\(x – 4 = 0\) ou \(x + 4 = 0\)
\(x = 4\) ou \(x = -4\)
Conclusion : \(S = \{-4\,;\, 4\}\).
🔵 Exemple 3 — Mise en facteur commun \(x\) (Seconde)
Énoncé : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^2 – 5x = 0\).
Résolution :
On met \(x\) en facteur :
\(x^2 – 5x = x(x – 5) = 0\)
Propriété du produit nul :
\(x = 0\) ou \(x – 5 = 0\)
\(x = 0\) ou \(x = 5\)
Conclusion : \(S = \{0\,;\, 5\}\).
Piège classique : beaucoup d’élèves « simplifient » par \(x\) en écrivant \(x = 5\) directement. En faisant cela, ils perdent la solution \(x = 0\). Ne divise jamais les deux côtés d’une équation par une expression qui peut être nulle. Factorise à la place.
![Courbe de la fonction f(x) = x² − 5x sur l'intervalle [-1 ; 6]. La parabole est tracée en bleu #1f4acc, les deux solutio](https://www.excellence-maths.fr/wp-content/uploads/2026/04/graphe2_parabole_x2_5x.png)
🔵 Exemple 4 — Équation quotient (Seconde)
Énoncé : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\displaystyle\frac{x^2 – 9}{x – 3} = 0\).
Résolution :
Valeur interdite : le dénominateur \(x – 3\) s’annule pour \(x = 3\), donc \(x \neq 3\).
Numérateur : on résout \(x^2 – 9 = 0\).
\((x – 3)(x + 3) = 0\)
\(x = 3\) ou \(x = -3\)
Vérification : \(x = 3\) est une valeur interdite — on l’exclut. Il reste \(x = -3\), qui ne pose pas de problème.
Conclusion : \(S = \{-3\}\) (une seule solution).
🟠 Exemple 5 — Facteur commun dans une somme de produits (Première)
Énoncé : Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((2x – 1)(x + 3) + (2x – 1)(4x – 7) = 0\).
Résolution :
On repère le facteur commun \((2x – 1)\) dans les deux termes. On factorise :
\((2x – 1)\Big[(x + 3) + (4x – 7)\Big] = 0\)
\((2x – 1)(5x – 4) = 0\)
Propriété du produit nul :
\(2x – 1 = 0\) ou \(5x – 4 = 0\)
\(x = \displaystyle\frac{1}{2}\) ou \(x = \displaystyle\frac{4}{5}\)
Conclusion : \(S = \left\{\displaystyle\frac{1}{2}\,;\, \displaystyle\frac{4}{5}\right\}\).
La méthode du produit nul en recto-verso
Les 4 étapes, les 3 techniques de factorisation et les pièges à éviter — tout sur une fiche PDF prête à imprimer.
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Tu sais maintenant comment faire. Voyons maintenant ce qu’il ne faut surtout pas faire — les erreurs les plus fréquentes au DS.
V. Erreurs fréquentes et copies fautives
Voici les trois erreurs que les correcteurs retrouvent le plus souvent. Chaque erreur est illustrée par une copie fautive réelle, suivie du diagnostic et de la correction.
A. Erreur n°1 — Diviser par \(x\) (perte de solution)
❌ Copie fautive :
« \(x^2 = 5x\)
On divise par \(x\) : \(x = 5\).
Conclusion : \(S = \{5\}\). »
💬 Diagnostic : en divisant par \(x\), l’élève suppose implicitement que \(x \neq 0\). Il perd la solution \(x = 0\).
✅ Correction :
\(x^2 – 5x = 0\)
\(x(x – 5) = 0\)
\(x = 0\) ou \(x = 5\)
\(S = \{0\,;\, 5\}\) — il y a deux solutions.
B. Erreur n°2 — Oublier les valeurs interdites (quotient)
❌ Copie fautive :
« \(\displaystyle\frac{x^2 – 9}{x – 3} = 0\)
\(x^2 – 9 = 0\), donc \((x – 3)(x + 3) = 0\).
\(x = 3\) ou \(x = -3\).
Conclusion : \(S = \{-3\,;\, 3\}\). »
💬 Diagnostic : l’élève oublie que \(x = 3\) annule le dénominateur \(x – 3\). L’expression n’est même pas définie pour \(x = 3\) : ce n’est pas une solution.
✅ Correction :
Valeur interdite : \(x \neq 3\).
Numérateur : \((x – 3)(x + 3) = 0\) donne \(x = 3\) ou \(x = -3\).
On exclut \(x = 3\).
\(S = \{-3\}\).
C. Erreur n°3 — Développer au lieu de factoriser
❌ Copie fautive :
« \((x – 2)(x + 3) = 0\)
\(x^2 + 3x – 2x – 6 = 0\)
\(x^2 + x – 6 = 0\)
\(\Delta = 1 + 24 = 25\), \(\sqrt{\Delta} = 5\)
\(x_1 = \displaystyle\frac{-1 – 5}{2} = -3\) et \(x_2 = \displaystyle\frac{-1 + 5}{2} = 2\)
\(S = \{-3\,;\, 2\}\). »
💬 Diagnostic : le résultat est correct, mais l’élève a développé une expression déjà factorisée, puis utilisé le discriminant — 6 lignes de calcul au lieu de 2. Perte de temps, risque d’erreur de calcul, et mauvaise impression sur le correcteur.
✅ Correction :
\((x – 2)(x + 3) = 0\)
\(x – 2 = 0\) ou \(x + 3 = 0\), donc \(x = 2\) ou \(x = -3\).
Deux lignes suffisent.
Ces erreurs évitées, il est temps de t’entraîner. Teste ta maîtrise de la méthode avec les exercices suivants.
VI. Exercices d’application
Essaie de résoudre chaque exercice avant de consulter la correction. Tous sont conformes au programme de Seconde.
Exercice 1 ★
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((3x – 6)(x + 4) = 0\).
Voir la correction
L’équation est sous forme factorisée. On applique la propriété du produit nul :
\(3x – 6 = 0\) ou \(x + 4 = 0\)
\(3x = 6\) ou \(x = -4\)
\(x = 2\) ou \(x = -4\)
\(S = \{-4\,;\, 2\}\).
Exercice 2 ★
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(4x^2 – 25 = 0\).
Voir la correction
On reconnaît \(a^2 – b^2\) avec \(a = 2x\) et \(b = 5\) :
\(4x^2 – 25 = (2x)^2 – 5^2 = (2x – 5)(2x + 5) = 0\)\(2x – 5 = 0\) ou \(2x + 5 = 0\)
\(x = \displaystyle\frac{5}{2}\) ou \(x = -\displaystyle\frac{5}{2}\)
\(S = \left\{-\displaystyle\frac{5}{2}\,;\, \displaystyle\frac{5}{2}\right\}\).
Exercice 3 ★★
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((x + 2)(3x – 1) – (x + 2)(x + 5) = 0\).
Voir la correction
On repère le facteur commun \((x + 2)\) :
\((x + 2)\Big[(3x – 1) – (x + 5)\Big] = 0\) \((x + 2)(3x – 1 – x – 5) = 0\) \((x + 2)(2x – 6) = 0\)\(x + 2 = 0\) ou \(2x – 6 = 0\)
\(x = -2\) ou \(x = 3\)
\(S = \{-2\,;\, 3\}\).
Exercice 4 ★★
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\displaystyle\frac{x^2 – 2x}{x – 4} = 0\).
Voir la correction
Valeur interdite : \(x – 4 = 0\) pour \(x = 4\), donc \(x \neq 4\).
Numérateur : \(x^2 – 2x = x(x – 2) = 0\).
\(x = 0\) ou \(x – 2 = 0\), c’est-à-dire \(x = 0\) ou \(x = 2\).
Vérification : ni \(0\) ni \(2\) ne sont des valeurs interdites.
\(S = \{0\,;\, 2\}\).
Tu veux t’entraîner davantage sur les équations au collège ? Découvre nos exercices corrigés sur les équations en 3ème et nos exercices corrigés en 4ème.
VII. Questions fréquentes
Comment résoudre une équation produit nul ?
La méthode se déroule en 4 étapes : (1) rassembler tout du même côté pour obtenir \(\ldots = 0\) ; (2) factoriser l’expression en un produit de facteurs ; (3) appliquer la propriété « si \(A \times B = 0\), alors \(A = 0\) ou \(B = 0\) » et résoudre chaque petite équation ; (4) conclure en donnant l’ensemble des solutions.
Qu'est-ce que le théorème du produit nul ?
On l’appelle plus souvent « propriété du produit nul » au lycée. Elle dit que dans \(\mathbb{R}\), un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Autrement dit, \(A \times B = 0\) équivaut à « \(A = 0\) ou \(B = 0\) ». C’est cette propriété qui permet de transformer une seule équation complexe en deux équations simples.
Quelle est la différence entre la méthode du produit nul et le discriminant ?
Les deux méthodes servent à résoudre des équations du second degré, mais dans des situations différentes. Le produit nul s’utilise quand l’expression est déjà factorisée ou facilement factorisable (facteur commun, identité remarquable). Le discriminant s’utilise quand le trinôme \(ax^2 + bx + c\) ne se factorise pas directement. Si tu peux factoriser, le produit nul est toujours plus rapide.
La propriété du produit nul fonctionne-t-elle avec un quotient ?
Oui, avec une adaptation : un quotient \(\displaystyle\frac{A}{B}\) est nul si et seulement si le numérateur est nul et le dénominateur est non nul. Il faut donc commencer par identifier les valeurs interdites (celles qui annulent le dénominateur), résoudre le numérateur, puis exclure les valeurs interdites des solutions.
Comment se ramener à une équation produit nul quand l'expression n'est pas factorisée ?
Il faut factoriser. Les techniques les plus courantes sont : la mise en facteur commun (\(x^2 + 3x = x(x + 3)\)), les identités remarquables comme \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\), et le regroupement lorsqu’un même facteur apparaît dans plusieurs termes. Si aucune factorisation n’est possible, utilise plutôt le discriminant.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la méthode du produit nul et du quotient nul. Pour continuer à progresser en équations et inéquations, voici les ressources complémentaires :
- Équation du second degré — pour les trinômes que tu ne peux pas factoriser directement
- Factorisation — pour renforcer ta capacité à mettre en facteur
- Calcul littéral et identités remarquables — le socle indispensable
- Résoudre une inéquation — la méthode du tableau de signes utilise la même logique de factorisation
- Exercices d’équations corrigés — 3ème
