Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec un niveau de rigueur pensé pour le lycée et la prépa. Découvrir le professeur
Résoudre \(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2}\), \(\sin(2x) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) ou \(\tan(x) = -1\) : les équations trigonométriques reviennent dans presque tous les sujets du bac et des concours. Bonne nouvelle : avec une méthode claire en 4 étapes, elles deviennent systématiques. Tu trouveras ici les trois formules fondamentales, un tableau pour choisir la bonne technique, 5 exemples résolus et les pièges classiques à éviter — un chapitre clé de notre cours complet de trigonométrie.
Programme officiel : La résolution des équations trigonométriques est au programme de Terminale (spécialité mathématiques) et de classes préparatoires (MPSI, PCSI, MP, PC). Les formules de résolution de \(\cos(x) = \cos(\alpha)\), \(\sin(x) = \sin(\alpha)\) et \(\tan(x) = \tan(\alpha)\) sont des compétences exigibles au bac et aux concours.
I. Les formules de résolution des équations trigonométriques
Toute équation trigonométrique se ramène, après simplification, à l’une des trois formes ci-dessous. Ce sont les trois briques élémentaires — tu dois les connaître par cœur.
A. Résoudre cos(x) = cos(α)
Formule — Équation en cosinus
Pour tout réel \(\alpha\) :
\(\cos(x) = \cos(\alpha) \;\Leftrightarrow\; x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Interprétation sur le cercle : sur le cercle trigonométrique, deux points ont le même cosinus (même abscisse) s’ils sont symétriques par rapport à l’axe horizontal. Les angles \(\alpha\) et \(-\alpha\) pointent vers ces deux points, ce qui donne deux familles de solutions séparées par un pas de \(2\pi\).
B. Résoudre sin(x) = sin(α)
Formule — Équation en sinus
Pour tout réel \(\alpha\) :
\(\sin(x) = \sin(\alpha) \;\Leftrightarrow\; x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi – \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Interprétation sur le cercle : deux points du cercle trigonométrique ont le même sinus (même ordonnée) s’ils sont symétriques par rapport à l’axe vertical. Le deuxième angle est l’angle supplémentaire \(\pi – \alpha\).
La confusion la plus fréquente : pour le sinus, la deuxième famille est \(x = \pi – \alpha + 2k\pi\) (angle supplémentaire), pas \(x = -\alpha + 2k\pi\) (c’est la formule du cosinus !). Ne mélange jamais les deux.
C. Résoudre tan(x) = tan(α)
Formule — Équation en tangente
Pour tout réel \(\alpha \neq \displaystyle\frac{\pi}{2} + n\pi\) (avec \(n \in \mathbb{Z}\)) :
\(\tan(x) = \tan(\alpha) \;\Leftrightarrow\; x = \alpha + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Pourquoi une seule famille ? La tangente a pour période \(\pi\) (pas \(2\pi\)). Les deux points du cercle qui donnent la même tangente sont diamétralement opposés, ce qui correspond exactement à un décalage de \(\pi\). Les deux familles « fusionnent » en une seule.
Moyen mnémotechnique pour retenir les trois formules :
- cos → ±α : le cosinus est « symétrique », comme le signe ±
- sin → π − α : le sinus utilise « l’angle supplémentaire »
- tan → une seule famille : la tangente est « simple » (période \(\pi\))
D. Quand l’équation a-t-elle des solutions ?
Avant d’appliquer les formules, vérifie que l’équation admet bien des solutions :
| Équation | Condition sur \(a\) | Si non vérifiée |
|---|---|---|
| \(\cos(x) = a\) | \(a \in [-1\,;\,1]\) | Aucune solution |
| \(\sin(x) = a\) | \(a \in [-1\,;\,1]\) | Aucune solution |
| \(\tan(x) = a\) | \(a \in \mathbb{R}\) (toujours) | — (toujours des solutions) |
Résoudre \(\cos(x) = 2\) n’a aucun sens : le cosinus est toujours compris entre \(-1\) et \(1\). Pense à vérifier cette condition avant de te lancer dans les calculs.
Ces trois formules sont les outils fondamentaux. Mais en pratique, les équations posées au bac ou en colle ne sont pas toujours directement sous cette forme. Comment choisir la bonne technique pour s’y ramener ?
II. Quelle technique utiliser ? Tableau comparatif
Face à une équation trigonométrique, la première question est : comment la ramener à une forme élémentaire ? Le tableau ci-dessous t’indique la technique adaptée selon la forme de ton équation. C’est un arbre de décision à suivre systématiquement.
| Forme de l’équation | Technique | Exemple |
|---|---|---|
| \(\cos(u) = \cos(\alpha)\) (idem sin, tan) | Résolution directe (formules de la section I) | \(\cos\!\left(2x – \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) |
| \(\cos(x) = a\) (valeur numérique) | Angle de référence via le tableau des valeurs ou arccos | \(\cos(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) |
| Polynôme en \(\cos(x)\) ou \(\sin(x)\) | Changement de variable \(t = \cos(x)\) ou \(t = \sin(x)\) | \(2\sin^2(x) – 3\sin(x) + 1 = 0\) |
| Mélange \(\cos^2(x)\) et \(\sin^2(x)\) | Identité \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) pour tout ramener à une fonction | \(\sin^2(x) + 2\cos(x) = 2\) |
| \(a\cos(x) + b\sin(x) = c\) | Forme harmonique : écrire \(R\cos(x – \varphi) = c\) | \(\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) = \sqrt{3}\) |
| Somme de cos/sin d’angles différents | Formules de factorisation (somme → produit) | \(\cos(x) + \cos(3x) = 0\) |
| Produit de fonctions trigo \(= 0\) | Factorisation : chaque facteur \(= 0\) | \(\sin(x)(2\cos(x) – 1) = 0\) |
Réflexe à adopter : commence toujours par te demander « puis-je factoriser ? ». La factorisation est souvent la voie la plus rapide et elle évite les erreurs de calcul.
La maîtrise des formules de trigonométrie (addition, duplication, factorisation) est un prérequis indispensable. Si tu hésites sur les formules, commence par les consolider avant de t’attaquer aux équations.
III. Méthode pas à pas en 4 étapes
Voici la démarche à appliquer systématiquement, que l’équation soit posée au bac ou en colle de prépa.
A. Étape 1 — Se ramener à une forme élémentaire
Utilise le tableau comparatif de la section précédente. L’objectif est d’obtenir :
\(\cos(u) = \cos(\alpha), \quad \sin(u) = \sin(\alpha) \quad \text{ou} \quad \tan(u) = \tan(\alpha)\)où \(u\) est une expression en \(x\) et \(\alpha\) est un angle connu.
Astuce : si l’équation contient \(\cos^2(x)\) ou \(\sin^2(x)\), utilise d’abord \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) pour n’avoir plus qu’une seule fonction trigonométrique.
B. Étape 2 — Identifier l’angle de référence α
Une fois l’équation sous forme élémentaire, exprime le second membre comme le cosinus (ou le sinus, ou la tangente) d’un angle connu :
- Si c’est une valeur remarquable (\(\displaystyle\frac{1}{2}\), \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), 0, 1, −1…), consulte le tableau des valeurs trigonométriques.
- Sinon, l’angle de référence s’écrit à l’aide de \(\arccos\), \(\arcsin\) ou \(\arctan\).
Exemple : pour \(\cos(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), on reconnaît \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{6}\).
C. Étape 3 — Appliquer la formule de résolution
Applique la formule correspondante en remplaçant \(x\) par \(u\) si l’argument n’est pas simplement \(x\). N’oublie pas d’écrire « pour tout \(k \in \mathbb{Z}\) ».
| Équation | Solutions |
|---|---|
| \(\cos(u) = \cos(\alpha)\) | \(u = \alpha + 2k\pi\) ou \(u = -\alpha + 2k\pi\) |
| \(\sin(u) = \sin(\alpha)\) | \(u = \alpha + 2k\pi\) ou \(u = \pi – \alpha + 2k\pi\) |
| \(\tan(u) = \tan(\alpha)\) | \(u = \alpha + k\pi\) |
D. Étape 4 — Exprimer les solutions en x
Deux cas se présentent :
- Si \(u = x\) : les solutions sont celles de l’étape 3.
- Si \(u\) est une expression en \(x\) (par exemple \(u = 2x – \displaystyle\frac{\pi}{3}\)) : isole \(x\) dans chaque équation.
Si l’énoncé demande les solutions sur un intervalle (par exemple \([0\,;\,2\pi]\)) : teste les valeurs entières de \(k\) (\(k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\)) et ne conserve que celles qui appartiennent à l’intervalle.
Piège : quand tu résous \(\sin(2x) = \sin(\alpha)\), tu obtiens \(2x = \ldots + 2k\pi\), soit \(x = \ldots + k\pi\). Le \(2k\pi\) est divisé par 2, pas seulement le membre de gauche ! Beaucoup d’élèves oublient de diviser le terme en \(k\).
IV. 5 exemples résolus
Appliquons la méthode en 4 étapes sur des équations de difficulté croissante.
Exemple 1 🔵 Lycée (★)
Énoncé : Résoudre \(\cos(x) = \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) sur \([0\,;\,2\pi]\).
Étape 1 : L’équation est déjà sous forme élémentaire.
Étape 2 : On reconnaît \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\), donc \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).
Étape 3 :
\(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Étape 4 (restriction à \([0\,;\,2\pi]\)) :
- \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) : seul \(k = 0\) convient → \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4}\).
- \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) : \(k = 1\) donne \(x = \displaystyle\frac{7\pi}{4}\).
Conclusion : \(S = \left\{\displaystyle\frac{\pi}{4}\,;\,\displaystyle\frac{7\pi}{4}\right\}\)
Exemple 2 🔵 Lycée (★★)
Énoncé : Résoudre \(\sin\!\left(2x – \displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) sur \(\mathbb{R}\).
L’équation est de la forme \(\sin(u) = \sin(\alpha)\) avec \(u = 2x – \displaystyle\frac{\pi}{6}\) et \(\alpha = \displaystyle\frac{\pi}{3}\).
Cas 1 : \(2x – \displaystyle\frac{\pi}{6} = \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi\)
\(2x = \displaystyle\frac{\pi}{3} + \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi = \displaystyle\frac{\pi}{2} + 2k\pi\), soit \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi\).
Cas 2 : \(2x – \displaystyle\frac{\pi}{6} = \pi – \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi = \displaystyle\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\)
\(2x = \displaystyle\frac{2\pi}{3} + \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi = \displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), soit \(x = \displaystyle\frac{5\pi}{12} + k\pi\).
Conclusion : \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{ou} \quad x = \displaystyle\frac{5\pi}{12} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Exemple 3 🔵 Lycée (★★)
Énoncé : Résoudre \(2\sin^2(x) – 3\sin(x) + 1 = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 1 : C’est un polynôme du second degré en \(\sin(x)\). On pose \(t = \sin(x)\) avec \(t \in [-1\,;\,1]\).
L’équation devient \(2t^2 – 3t + 1 = 0\).
Discriminant : \(\Delta = 9 – 8 = 1\). Racines : \(t = \displaystyle\frac{3 – 1}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}\) ou \(t = \displaystyle\frac{3 + 1}{4} = 1\).
Les deux racines sont dans \([-1\,;\,1]\). On résout chaque équation :
• \(\sin(x) = 1\) : \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + 2k\pi\)
• \(\sin(x) = \displaystyle\frac{1}{2} = \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) : \(x = \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)
Conclusion : \(x \in \left\{\displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right\} \cup \left\{\displaystyle\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right\} \cup \left\{\displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right\}, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Exemple 4 🟠 Avancé (★★★)
Énoncé : Résoudre \(\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) = \sqrt{3}\) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 1 : L’équation est de la forme \(a\cos(x) + b\sin(x) = c\). On utilise la mise sous forme harmonique.
On calcule \(R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\).
On cherche \(\varphi\) tel que \(\cos(\varphi) = \displaystyle\frac{a}{R} = \displaystyle\frac{1}{2}\) et \(\sin(\varphi) = \displaystyle\frac{b}{R} = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), d’où \(\varphi = \displaystyle\frac{\pi}{3}\).
Ainsi : \(\cos(x) + \sqrt{3}\sin(x) = 2\cos\!\left(x – \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).
Étape 2 : L’équation devient :
\(2\cos\!\left(x – \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \;\Leftrightarrow\; \cos\!\left(x – \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\)
Étape 3 :
\(x – \displaystyle\frac{\pi}{3} = \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x – \displaystyle\frac{\pi}{3} = -\displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi\)
Étape 4 :
\(x = \displaystyle\frac{\pi}{3} + \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi = \displaystyle\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \displaystyle\frac{\pi}{3} – \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi = \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi\)
Conclusion : \(x = \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Exemple 5 🔴 Concours (★★★★)
Énoncé : Résoudre \(\cos(x) + \cos(2x) + \cos(3x) = 0\) sur \(\mathbb{R}\).
Étape 1 (Factorisation) : on regroupe les termes « extrêmes » \(\cos(x)\) et \(\cos(3x)\) avec la formule de factorisation \(\cos p + \cos q = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\displaystyle\frac{p-q}{2}\right)\) :
\(\cos(x) + \cos(3x) = 2\cos(2x)\cos(x)\)
L’équation devient :
\(2\cos(2x)\cos(x) + \cos(2x) = 0 \;\Leftrightarrow\; \cos(2x)\big(2\cos(x) + 1\big) = 0\)
Cas 1 : \(\cos(2x) = 0\), donc \(2x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\), soit \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}\).
Cas 2 : \(2\cos(x) + 1 = 0\), donc \(\cos(x) = -\displaystyle\frac{1}{2} = \cos\!\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\), soit \(x = \pm\displaystyle\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\).
Conclusion : \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\displaystyle\frac{\pi}{2} \quad \text{ou} \quad x = \pm\displaystyle\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
La méthode complète sur une fiche recto-verso
Les 3 formules, la méthode en 4 étapes et les pièges à éviter — tout tient sur une fiche prête à glisser dans ton classeur.
📄 Télécharger la fiche méthode (PDF)Idéal pour réviser la veille du bac ou avant une colle.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois erreurs que je vois le plus souvent sur les copies — et comment les corriger.
Erreur n°1 — Oublier une famille de solutions
❌ Copie fautive :
« \(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2}\) donc \(x = \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi\). »
Diagnostic : une seule famille a été écrite. Or \(\cos(x) = \cos(\alpha)\) donne deux familles : \(x = \alpha + 2k\pi\) et \(x = -\alpha + 2k\pi\). Il manque \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi\).
✅ Correction :
\(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2} = \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) \;\Leftrightarrow\; x = \displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi \;\text{ou}\; x = -\displaystyle\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)Erreur n°2 — Confondre les formules sin et cos
❌ Copie fautive :
« \(\sin(x) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) donc \(x = \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi\). »
Diagnostic : l’élève a appliqué la formule du cosinus (avec \(-\alpha\)) au lieu de celle du sinus (avec \(\pi – \alpha\)). La deuxième famille est \(x = \pi – \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi = \displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), pas \(-\displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi\).
✅ Correction :
\(\sin(x) = \sin\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right) \;\Leftrightarrow\; x = \displaystyle\frac{\pi}{6} + 2k\pi \;\text{ou}\; x = \displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)Erreur n°3 — Diviser par sin(x) ou cos(x) sans discuter
❌ Copie fautive :
« \(\sin(x)\cos(x) = \sin(x)\), donc \(\cos(x) = 1\), d’où \(x = 2k\pi\). »
Diagnostic : l’élève a divisé par \(\sin(x)\), ce qui est interdit quand \(\sin(x) = 0\). On perd toutes les solutions où \(\sin(x) = 0\).
✅ Correction : on factorise au lieu de diviser.
\(\sin(x)\cos(x) – \sin(x) = 0 \;\Leftrightarrow\; \sin(x)\big(\cos(x) – 1\big) = 0\)Donc \(\sin(x) = 0\) (soit \(x = k\pi\)) ou \(\cos(x) = 1\) (soit \(x = 2k\pi\)).
Comme \(\{2k\pi\} \subset \{k\pi\}\), l’ensemble des solutions est \(S = \{k\pi\,,\; k \in \mathbb{Z}\}\).
Règle d’or : ne jamais diviser par une expression qui peut s’annuler. Factorise et applique la règle du produit nul.
VI. Exercices d’application
Entraîne-toi avec ces quatre exercices. Essaie de les résoudre entièrement avant de dérouler la correction.
Exercice 1 ★
Résoudre \(\tan(x) = -1\) sur \([0\,;\,2\pi]\).
Voir la correction
On écrit \(-1 = \tan\!\left(-\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\), donc :
\(x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)Restriction à \([0\,;\,2\pi]\) :
- \(k = 1\) : \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + \pi = \displaystyle\frac{3\pi}{4}\) ✓
- \(k = 2\) : \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + 2\pi = \displaystyle\frac{7\pi}{4}\) ✓
Conclusion : \(S = \left\{\displaystyle\frac{3\pi}{4}\,;\,\displaystyle\frac{7\pi}{4}\right\}\)
Exercice 2 ★★
Résoudre \(2\cos^2(x) + \cos(x) – 1 = 0\) sur \([0\,;\,2\pi]\).
Voir la correction
On pose \(t = \cos(x)\), \(t \in [-1\,;\,1]\). L’équation devient \(2t^2 + t – 1 = 0\).
Discriminant : \(\Delta = 1 + 8 = 9\). Racines : \(t = \displaystyle\frac{-1 + 3}{4} = \displaystyle\frac{1}{2}\) ou \(t = \displaystyle\frac{-1 – 3}{4} = -1\).
• \(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2}\) : sur \([0\,;\,2\pi]\), \(x = \displaystyle\frac{\pi}{3}\) ou \(x = \displaystyle\frac{5\pi}{3}\).
• \(\cos(x) = -1\) : sur \([0\,;\,2\pi]\), \(x = \pi\).
Conclusion : \(S = \left\{\displaystyle\frac{\pi}{3}\,;\,\pi\,;\,\displaystyle\frac{5\pi}{3}\right\}\)
Exercice 3 ★★
Résoudre \(\cos(2x) = \cos\!\left(x – \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
On applique la formule \(\cos(u) = \cos(v)\) avec \(u = 2x\) et \(v = x – \displaystyle\frac{\pi}{4}\) :
Cas 1 : \(2x = x – \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), soit \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi\).
Cas 2 : \(2x = -\!\left(x – \displaystyle\frac{\pi}{4}\right) + 2k\pi = -x + \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), soit \(3x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi\), d’où \(x = \displaystyle\frac{\pi}{12} + \displaystyle\frac{2k\pi}{3}\).
Conclusion : \(x = -\displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \displaystyle\frac{\pi}{12} + \displaystyle\frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Remarque : le pas de la deuxième famille est \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) (et non \(2\pi\)) car on a divisé par 3.
Exercice 4 ★★★ 🟠
Résoudre \(\sqrt{3}\cos(x) – \sin(x) = -1\) sur \(\mathbb{R}\).
Voir la correction
Mise sous forme harmonique : \(a = \sqrt{3}\), \(b = -1\).
\(R = \sqrt{3 + 1} = 2\). On cherche \(\varphi\) avec \(\cos(\varphi) = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin(\varphi) = \displaystyle\frac{-1}{2}\), d’où \(\varphi = -\displaystyle\frac{\pi}{6}\).
Donc \(\sqrt{3}\cos(x) – \sin(x) = 2\cos\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\).
Résolution :
\(2\cos\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = -1 \;\Leftrightarrow\; \cos\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{6}\right) = -\displaystyle\frac{1}{2} = \cos\!\left(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\right)\) \(x + \displaystyle\frac{\pi}{6} = \displaystyle\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \;\Rightarrow\; x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) \(x + \displaystyle\frac{\pi}{6} = -\displaystyle\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \;\Rightarrow\; x = -\displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\)Vérification : \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2}\) → \(\sqrt{3} \times 0 – 1 = -1\) ✓ ; \(x = -\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) → \(\sqrt{3}\!\left(-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right) – \!\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right) = -\displaystyle\frac{3}{2} + \displaystyle\frac{1}{2} = -1\) ✓
Conclusion : \(x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\displaystyle\frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\)
Tu veux t’entraîner sur davantage d’exercices ? Découvre nos exercices de trigonométrie corrigés (Lycée & Prépa).
VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend 🔴 Prépa
En concours (X, Mines-Ponts, Centrale, CCP), les équations trigonométriques apparaissent régulièrement, souvent au sein d’un problème plus large (étude de fonction, calcul intégral, suites). Voici ce que le correcteur attend de ta rédaction.
- Annoncer la méthode : « On résout l’équation \(\cos(u) = \cos(\alpha)\) » avant de dérouler les calculs.
- Quantifier explicitement : écrire \(\forall k \in \mathbb{Z}\) ou « pour tout \(k \in \mathbb{Z}\) ». L’absence du paramètre \(k\) coûte des points.
- Justifier l’existence : si \(\cos(x) = a\), vérifier que \(|a| \leq 1\). En une phrase : « Or \(\left|\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right| \leq 1\), donc l’équation admet des solutions. »
- Restreindre proprement : pour trouver les solutions dans \([0\,;\,2\pi[\), écrire la double inégalité \(0 \leq \alpha + 2k\pi\) < \(2\pi\) et en déduire les valeurs de \(k\).
- Conclure avec un ensemble : noter \(\mathcal{S} = \{\ldots\}\) en utilisant la notation ensembliste propre.
- Vérifier au moins une solution — c’est optionnel mais cela montre de la rigueur et rassure le correcteur.
Gain de temps en concours : pour les équations classiques (\(\cos(x) = 0\), \(\sin(x) = 1\), \(\tan(x) = 1\)), tu peux écrire directement la solution sans détailler les étapes. En revanche, pour toute équation non triviale, déroule la méthode complète.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre les formules pour cos(x) = cos(α) et sin(x) = sin(α) ?
La formule du cosinus donne \(x = \pm\alpha + 2k\pi\) (deux angles opposés). La formule du sinus donne \(x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi – \alpha + 2k\pi\) (deux angles supplémentaires). L’erreur la plus courante est d’écrire \(-\alpha\) au lieu de \(\pi – \alpha\) pour le sinus. Retiens : cos = ± (symétrique), sin = π − (supplémentaire).
Comment résoudre une équation trigonométrique sur un intervalle donné ?
Résous d’abord l’équation sur \(\mathbb{R}\) pour obtenir les solutions générales (avec le paramètre \(k \in \mathbb{Z}\)). Ensuite, teste les valeurs de \(k\) (0, ±1, ±2…) et ne conserve que les solutions qui appartiennent à l’intervalle demandé. Par exemple, pour \([0\,;\,2\pi]\), les solutions \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ne donnent que \(x = \displaystyle\frac{\pi}{4}\) (avec \(k = 0\)).
Quelle est la différence entre une équation trigonométrique et une identité trigonométrique ?
Une équation n’est vraie que pour certaines valeurs de \(x\) — c’est ce qu’on cherche. Exemple : \(\cos(x) = \displaystyle\frac{1}{2}\). Une identité est vraie pour tout \(x\) du domaine. Exemple : \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\). Les identités sont des outils pour transformer et résoudre les équations. Tu retrouveras les identités utiles dans notre formulaire de trigonométrie.
Peut-on toujours résoudre une équation trigonométrique ?
Pour \(\cos(x) = a\) ou \(\sin(x) = a\), l’équation n’a de solutions que si \(a \in [-1\,;\,1]\). Si \(a\) est en dehors de cet intervalle, l’ensemble des solutions est vide. Pour \(\tan(x) = a\), il y a toujours des solutions quel que soit \(a \in \mathbb{R}\). Les équations plus complexes se ramènent toujours, après transformation, à ces cas élémentaires.
Comment choisir entre factorisation et mise sous forme harmonique ?
Utilise la factorisation quand tu repères un facteur commun ou un produit nul : par exemple, \(\sin(x)(2\cos(x) – 1) = 0\). Utilise la forme harmonique quand l’équation est de la forme \(a\cos(x) + b\sin(x) = c\) sans factorisation possible. Le tableau comparatif de la section II t’aide à trancher en un coup d’œil.
Tu maîtrises maintenant la résolution des équations trigonométriques. Pour approfondir, explore ces ressources :
- Formulaire complet de trigonométrie — formules d’addition, duplication et factorisation
- Fonctions trigonométriques — étude complète de sin, cos, tan comme fonctions
- Exercices de trigonométrie corrigés (Lycée & Prépa) — pour continuer à t’entraîner
- Sinus, cosinus et tangente — définitions et propriétés fondamentales
