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Les formules de trigonométrie sont omniprésentes : en Première pour simplifier des expressions, en Terminale pour résoudre des équations, en prépa pour linéariser et intégrer. La vraie difficulté n’est pas de les connaître, c’est de savoir laquelle utiliser. Ce guide te donne le formulaire complet, une méthode de choix en 4 étapes, et des astuces pour les retenir.
I. Le formulaire complet de trigonométrie
Cette section rassemble toutes les formules au programme, organisées par famille. Chaque famille a un rôle précis : tu verras dans la section II comment choisir la bonne. Les formules sont classées par niveau : 🔵 Seconde–Terminale puis 🟠 Prépa.
A. Identités fondamentales 🔵
Ces trois identités découlent directement de la définition de sinus, cosinus et tangente sur le cercle trigonométrique. Elles servent de « briques de base » : un peu comme les identités remarquables en algèbre.
Identités fondamentales
Pour tout réel \(x\) :
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
Pour tout réel \(x\) tel que \(\cos x \neq 0\) :
\(\tan x = \displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}\)
\(1 + \tan^2 x = \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}\)
D’où vient \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) ? Sur le cercle unité, le point \(M(\cos x;\, \sin x)\) est à distance 1 de l’origine. Le théorème de Pythagore donne immédiatement \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).
B. Formules d’addition 🔵
Les formules d’addition expriment le cosinus, le sinus et la tangente d’une somme ou d’une différence de deux angles. C’est la famille la plus fondamentale : presque toutes les autres formules s’en déduisent.
Formules d’addition
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\(\cos(a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b\)
\(\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\)
\(\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)
\(\sin(a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b\)
Pour \(a\), \(b\) et \(a \pm b\) différents de \(\displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\) :
\(\tan(a + b) = \displaystyle\frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b}\)
\(\tan(a – b) = \displaystyle\frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b}\)
Le piège des signes : dans \(\cos(a + b)\), le signe devant \(\sin a \sin b\) est opposé à celui de l’intérieur. La somme « \(+\) » donne un « \(–\) » dans la formule, et inversement. Retiens : le cosinus est « contrariant ».
📐 Démonstration géométrique de \(\cos(a – b)\) (clique pour déplier)
Sur le cercle unité, place les points \(M = (\cos a;\, \sin a)\) et \(N = (\cos b;\, \sin b)\). L’angle entre \(\overrightarrow{ON}\) et \(\overrightarrow{OM}\) vaut \(a – b\).
Calcule \(MN^2\) de deux façons :
Par les coordonnées : \(MN^2 = (\cos a – \cos b)^2 + (\sin a – \sin b)^2 = 2 – 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)\)
Par la formule avec l’angle : le point \(P = (\cos(a-b);\, \sin(a-b))\) est à la même distance de \(A = (1;\, 0)\) que \(M\) de \(N\) (même angle entre les vecteurs). Donc \(MN^2 = PA^2 = 2 – 2\cos(a-b)\).
En égalant : \(\cos(a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\). ∎
On en déduit \(\cos(a+b)\) en remplaçant \(b\) par \(-b\) et en utilisant la parité : \(\cos(-b) = \cos b\), \(\sin(-b) = -\sin b\).
🔴 Démonstration par la formule d’Euler (Prépa)
En utilisant \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) :
\(e^{i(a+b)} = e^{ia} \cdot e^{ib} = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b)\)En développant le produit et en identifiant parties réelle et imaginaire :
\(\cos(a+b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b\) \(\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\)Les deux formules d’addition tombent en une seule ligne. ∎
C. Formules de duplication (angle double) 🔵
Les formules de duplication sont un cas particulier des formules d’addition avec \(b = a\). Elles apparaissent constamment dans les exercices du bac et de prépa.
Formules de duplication
Pour tout réel \(a\) :
\(\cos(2a) = \cos^2 a – \sin^2 a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a\)
\(\sin(2a) = 2\sin a \cos a\)
Pour \(a \neq \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\) et \(a \neq \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}\) :
\(\tan(2a) = \displaystyle\frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}\)
Les trois formes de \(\cos(2a)\) : chacune est utile dans un contexte précis.
- \(\cos^2 a – \sin^2 a\) → quand tu as les deux (cos et sin).
- \(2\cos^2 a – 1\) → quand tu veux tout exprimer en cosinus (linéarisation de \(\cos^2 a\)).
- \(1 – 2\sin^2 a\) → quand tu veux tout exprimer en sinus (linéarisation de \(\sin^2 a\)).
Vérification rapide : en posant \(b = a\) dans \(\cos(a + b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b\), on obtient \(\cos(2a) = \cos^2 a – \sin^2 a\). Les deux autres formes s’obtiennent en remplaçant \(\sin^2 a\) par \(1 – \cos^2 a\) (ou inversement) grâce à l’identité fondamentale.
D. Formules d’angles associés 🔵
Ces formules permettent de ramener le cosinus ou le sinus de n’importe quel angle à celui d’un angle du premier quadrant \(\left[0\,;\, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\). Elles sont indispensables pour résoudre des équations trigonométriques.
| Angle | Cosinus | Sinus |
|---|---|---|
| \(-x\) | \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\pi – x\) | \(-\cos x\) | \(\sin x\) |
| \(\pi + x\) | \(-\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\displaystyle\frac{\pi}{2} – x\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\displaystyle\frac{\pi}{2} + x\) | \(-\sin x\) | \(\cos x\) |
Règle rapide pour retrouver ces formules :
- Quand \(\pi\) est impliqué (\(\pi \pm x\) ou \(-x\)) → la fonction ne change pas (cos reste cos, sin reste sin). Seul le signe peut changer.
- Quand \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) est impliqué → les fonctions s’échangent (cos devient sin, sin devient cos).
- Pour le signe : place l’angle dans le bon quadrant et regarde si cos/sin y est positif ou négatif.
E. Linéarisation et transformation produit ↔ somme 🟠 Prépa
Ces formules sont essentielles en prépa, notamment pour calculer des intégrales de fonctions trigonométriques et dans de nombreux problèmes d’analyse. Elles se déduisent directement des formules d’addition. En CPGE, tu retrouveras des formules analogues pour les fonctions hyperboliques.
Formules de linéarisation (produit → somme)
\(\cos a \cos b = \displaystyle\frac{1}{2}\bigl[\cos(a – b) + \cos(a + b)\bigr]\)
\(\sin a \sin b = \displaystyle\frac{1}{2}\bigl[\cos(a – b) – \cos(a + b)\bigr]\)
\(\sin a \cos b = \displaystyle\frac{1}{2}\bigl[\sin(a + b) + \sin(a – b)\bigr]\)
Cas particuliers (linéarisation des carrés) :
\(\cos^2 x = \displaystyle\frac{1 + \cos(2x)}{2} \qquad \sin^2 x = \displaystyle\frac{1 – \cos(2x)}{2}\)
Formules de factorisation (somme → produit)
\(\cos p + \cos q = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\displaystyle\frac{p-q}{2}\right)\)
\(\cos p – \cos q = -2\sin\!\left(\displaystyle\frac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\displaystyle\frac{p-q}{2}\right)\)
\(\sin p + \sin q = 2\sin\!\left(\displaystyle\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\displaystyle\frac{p-q}{2}\right)\)
\(\sin p – \sin q = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\displaystyle\frac{p-q}{2}\right)\)
Comment les retrouver : les formules de linéarisation s’obtiennent en additionnant (ou en soustrayant) les formules de \(\cos(a+b)\) et \(\cos(a-b)\). Les formules de factorisation s’obtiennent en posant \(p = a + b\) et \(q = a – b\) (donc \(a = \displaystyle\frac{p+q}{2}\) et \(b = \displaystyle\frac{p-q}{2}\)) dans les formules de linéarisation.
II. Quelle formule utiliser ? Méthode en 4 étapes
Face à un exercice de trigonométrie, la question n’est jamais « est-ce que je connais les formules ? » mais bien « laquelle appliquer ? ». Voici un tableau comparatif et un arbre de décision pour ne plus hésiter.
A. Tableau comparatif des familles de formules
| Situation | Famille de formules | Exemple type |
|---|---|---|
| Calculer cos/sin d’une somme ou différence d’angles | Addition | Calculer \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{12}\right)\) |
| Expression avec \(\cos 2x\), \(\sin 2x\), \(\cos^2 x\) ou \(\sin^2 x\) | Duplication | Simplifier \(2\cos^2 x – 1\) |
| Angle « décalé » de \(\pi\) ou \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) | Angles associés | Simplifier \(\cos\!\left(\pi + x\right)\) |
| Transformer un produit en somme (intégrer, par ex.) | Linéarisation 🟠 | Calculer \(\int \cos^2 x\, dx\) |
| Transformer une somme en produit (résoudre une équation) | Factorisation 🟠 | Résoudre \(\cos 3x + \cos x = 0\) |
B. Arbre de décision pas à pas
Face à une expression trigonométrique, pose-toi ces 4 questions dans l’ordre :
- L’expression contient-elle \(\cos(a \pm b)\) ou \(\sin(a \pm b)\) à développer (ou à reconnaître) ?
→ Formules d’addition. Ex : \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3} + \displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\) ou reconnaître \(\cos x \cos 2x – \sin x \sin 2x = \cos 3x\). - L’expression contient-elle \(\cos 2x\), \(\sin 2x\), \(\cos^2 x\) ou \(\sin^2 x\) ?
→ Formules de duplication. Choisis la forme adaptée (en cos², en sin², ou mixte). - L’expression contient-elle un angle « décalé » de \(\pi\) ou \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ?
→ Formules d’angles associés. Ramène-toi au premier quadrant. - Faut-il transformer un produit en somme, ou une somme en produit ?
→ Linéarisation (produit → somme) ou factorisation (somme → produit).
Et si aucune question ne correspond ? Commence toujours par l’identité fondamentale \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). Beaucoup d’exercices « cachés » se ramènent à cette identité après un bon coup d’œil.
III. Comment retenir les formules de trigonométrie ?
Aucun site concurrent ne propose de véritables moyens mnémotechniques. Voici ceux qui marchent le mieux chez nos élèves : et une règle d’or pour ne plus jamais sécher sur une formule.
Mnémotechnique : Formules d’addition
Retiens la structure, pas les formules isolées :
- Cosinus : « CC − SS » → \(\cos(a+b) = \textbf{C}\mathrm{os}\,a\;\textbf{C}\mathrm{os}\,b – \textbf{S}\mathrm{in}\,a\;\textbf{S}\mathrm{in}\,b\). Les fonctions sont « appariées » (cos avec cos, sin avec sin).
- Sinus : « SC + CS » → \(\sin(a+b) = \textbf{S}\mathrm{in}\,a\;\textbf{C}\mathrm{os}\,b + \textbf{C}\mathrm{os}\,a\;\textbf{S}\mathrm{in}\,b\). Les fonctions sont « croisées » (sin avec cos).
- Le cosinus est contrariant : dans \(\cos(a\boldsymbol{+}b)\), le signe est « \(\boldsymbol{-}\) ». Dans \(\cos(a\boldsymbol{-}b)\), le signe est « \(\boldsymbol{+}\) ». Le sinus, lui, garde le même signe.
Mnémotechnique : Angles associés
- \(\pi\) impliqué ? La fonction ne change pas (cos reste cos, sin reste sin). Seul le signe peut changer.
- \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) impliqué ? La fonction change (cos ↔ sin). C’est la « complémentarité ».
La règle d’or : ne cherche pas à mémoriser les formules par cœur de façon brute. Entraîne-toi à les re-dériver à partir des formules d’addition. Si tu sais retrouver \(\cos(a+b)\), tu retrouves la duplication (en posant \(b = a\)), la linéarisation (en combinant \(\cos(a+b)\) et \(\cos(a-b)\)), les angles associés (en posant \(b = \pi\), \(b = \displaystyle\frac{\pi}{2}\), etc.). En 30 secondes, tu reconstruis n’importe quelle formule.
IV. 6 exemples résolus
Voici 6 exemples classés par difficulté croissante, du lycée au concours. Pour chaque exemple, tu verras quelle famille de formules est mobilisée et comment l’appliquer. Les valeurs remarquables utilisées (comme \(\cos\displaystyle\frac{\pi}{3} = \displaystyle\frac{1}{2}\)) sont à connaître par cœur.
Exemple 1 🔵 Lycée : Calculer \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{12}\right)\) (formule d’addition)
On remarque que \(\displaystyle\frac{\pi}{12} = \displaystyle\frac{\pi}{3} – \displaystyle\frac{\pi}{4}\). On applique la formule de \(\cos(a – b)\) :
\(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{12}\right) = \cos\displaystyle\frac{\pi}{3}\cos\displaystyle\frac{\pi}{4} + \sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\)
\(= \displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \times \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\)
Exemple 2 🔵 Lycée : Simplifier \(\sin(\pi + x) + \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – x\right)\) (angles associés)
On utilise le tableau des angles associés :
- \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) (le \(\pi\) ne change pas la fonction, mais en troisième quadrant le sinus est négatif).
- \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin x\) (le \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) échange cos et sin).
Donc : \(\sin(\pi + x) + \cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{2} – x\right) = -\sin x + \sin x = 0\).
Exemple 3 🔵 Lycée : Résoudre \(\cos(2x) = \cos^2 x\) sur \([0\,;\, 2\pi]\) (duplication)
On choisit la forme de \(\cos(2x)\) qui fait apparaître \(\cos^2 x\) :
\(2\cos^2 x – 1 = \cos^2 x\)
\(\cos^2 x = 1\)
\(\cos x = 1\) ou \(\cos x = -1\)
Donc \(x = 0\) ou \(x = \pi\) (et \(x = 2\pi\) si on inclut les bornes).
Exemple 4 🟠 Prépa : Linéariser \(\sin^2 x \cos^2 x\)
On reconnaît d’abord que \(\sin x \cos x = \displaystyle\frac{\sin(2x)}{2}\), donc :
\(\sin^2 x \cos^2 x = \left(\displaystyle\frac{\sin(2x)}{2}\right)^{\!2} = \displaystyle\frac{\sin^2(2x)}{4}\)
Puis on linéarise \(\sin^2(2x)\) : \(\sin^2(2x) = \displaystyle\frac{1 – \cos(4x)}{2}\).
Finalement : \(\sin^2 x \cos^2 x = \displaystyle\frac{1 – \cos(4x)}{8}\).
Intérêt : sous cette forme, on peut primitiver directement (pas de produit de fonctions).
Exemple 5 🟠 Prépa : Résoudre \(\cos(3x) + \cos(x) = 0\) (factorisation)
On applique la formule de factorisation de \(\cos p + \cos q\) avec \(p = 3x\) et \(q = x\) :
\(\cos(3x) + \cos(x) = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{3x+x}{2}\right)\cos\!\left(\displaystyle\frac{3x-x}{2}\right) = 2\cos(2x)\cos(x)\)
L’équation devient : \(\cos(2x) = 0\) ou \(\cos(x) = 0\).
- \(\cos(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}\)
- \(\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\)
L’ensemble des solutions est \(\left\{\displaystyle\frac{\pi}{4} + k\displaystyle\frac{\pi}{2},\; k \in \mathbb{Z}\right\}\) (la seconde famille est incluse dans la première).
Exemple 6 🔴 Concours : Montrer que \(\cos^4 x + \sin^4 x = \displaystyle\frac{3 + \cos(4x)}{4}\)
Cet exercice combine trois familles de formules. Voici le plan de raisonnement :
Étape 1 : Identité algébrique. \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab\) avec \(a = \cos^2 x\), \(b = \sin^2 x\) :
\(\cos^4 x + \sin^4 x = (\cos^2 x + \sin^2 x)^2 – 2\cos^2 x \sin^2 x = 1 – 2\cos^2 x \sin^2 x\)
Étape 2 : Duplication. \(2\sin x \cos x = \sin(2x)\), donc \(\cos^2 x \sin^2 x = \displaystyle\frac{\sin^2(2x)}{4}\).
\(\cos^4 x + \sin^4 x = 1 – \displaystyle\frac{\sin^2(2x)}{2}\)
Étape 3 : Linéarisation. \(\sin^2(2x) = \displaystyle\frac{1 – \cos(4x)}{2}\).
\(\cos^4 x + \sin^4 x = 1 – \displaystyle\frac{1 – \cos(4x)}{4} = \displaystyle\frac{4 – 1 + \cos(4x)}{4} = \displaystyle\frac{3 + \cos(4x)}{4}\) ∎
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Ces erreurs reviennent chaque année sur les copies du bac et des concours. Pour chacune, tu verras la copie fautive, le diagnostic, et la correction.
Erreur 1 : Le signe dans \(\cos(a + b)\)
❌ Copie fautive : « \(\cos(a + b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\) »
Diagnostic : L’élève a écrit un « \(+\) » alors que c’est un « \(–\) ». C’est l’erreur la plus fréquente en trigonométrie.
✅ Correction : \(\cos(a + b) = \cos a \cos b \boldsymbol{-} \sin a \sin b\). Rappel : le cosinus est « contrariant » : le signe intérieur et le signe de la formule sont opposés.
Erreur 2 : Confondre « formule du cosinus » et « loi des cosinus » (Al-Kashi)
❌ Un élève écrit : « Par la formule du cosinus : \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C\) » alors qu’on lui demande de développer \(\cos(a + b)\).
Diagnostic : Ce sont deux résultats complètement différents. La « formule du cosinus » (formule d’addition) : \(\cos(a+b) = \cos a\cos b – \sin a\sin b\). La « loi des cosinus » (théorème d’Al-Kashi) : \(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C\) dans un triangle quelconque.
✅ Pour le théorème d’Al-Kashi, consulte la page loi des sinus et théorème d’Al-Kashi.
Erreur 3 : Oublier les conditions d’existence de \(\tan\)
❌ Copie fautive : « Pour tout réel \(a\), \(\tan(2a) = \displaystyle\frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}\). »
Diagnostic : Cette formule n’a de sens que si \(\tan a\) existe (donc \(a \neq \displaystyle\frac{\pi}{2} + k\pi\)) et si le dénominateur \(1 – \tan^2 a \neq 0\) (donc \(a \neq \displaystyle\frac{\pi}{4} + k\displaystyle\frac{\pi}{2}\)).
✅ Correction : toujours préciser les conditions de validité avant d’utiliser une formule avec \(\tan\).
Erreur 4 : Se tromper de quadrant dans les angles associés
❌ Copie fautive : « \(\cos(\pi + x) = \cos x\) »
Diagnostic : L’angle \(\pi + x\) est dans le troisième quadrant, où le cosinus est négatif.
✅ Correction : \(\cos(\pi + x) = \boldsymbol{-}\cos x\).
VI. Exercices d’application
Voici 4 exercices pour vérifier ta maîtrise. Essaie de les résoudre seul avant de déplier la correction. Pour un entraînement plus complet, consulte nos exercices de trigonométrie corrigés (lycée et prépa).
Exercice 1 ★ : Calculer \(\cos\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{12}\right)\).
Voir la correction
On écrit \(\displaystyle\frac{5\pi}{12} = \displaystyle\frac{\pi}{4} + \displaystyle\frac{\pi}{6}\). En appliquant la formule d’addition :
\(\cos\!\left(\displaystyle\frac{5\pi}{12}\right) = \cos\displaystyle\frac{\pi}{4}\cos\displaystyle\frac{\pi}{6} – \sin\displaystyle\frac{\pi}{4}\sin\displaystyle\frac{\pi}{6}\) \(= \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} – \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{2} = \displaystyle\frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}\)Exercice 2 ★★ : Simplifier \(E = \cos\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) + \cos\!\left(x – \displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\).
Voir la correction
Méthode 1 : Développement. On développe chaque terme avec la formule d’addition :
\(\cos\!\left(x + \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \cos x\cos\displaystyle\frac{\pi}{3} – \sin x\sin\displaystyle\frac{\pi}{3} = \displaystyle\frac{1}{2}\cos x – \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\) \(\cos\!\left(x – \displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = \cos x\cos\displaystyle\frac{\pi}{3} + \sin x\sin\displaystyle\frac{\pi}{3} = \displaystyle\frac{1}{2}\cos x + \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\)En additionnant : \(E = \cos x\).
Méthode 2 : Factorisation (🟠 Prépa). On utilise \(\cos p + \cos q = 2\cos\!\left(\displaystyle\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\displaystyle\frac{p-q}{2}\right)\) :
\(E = 2\cos(x)\cos\!\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right) = 2\cos(x)\cdot\displaystyle\frac{1}{2} = \cos(x)\). Même résultat, en une ligne.
Exercice 3 ★★ : Montrer que \((\cos x + \sin x)^2 = 1 + \sin(2x)\).
Voir la correction
On développe le carré :
\((\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\sin x\cos x + \sin^2 x\)On reconnaît \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) et \(2\sin x\cos x = \sin(2x)\). D’où :
\((\cos x + \sin x)^2 = 1 + \sin(2x)\) ∎
Exercice 4 ★★★ 🟠 Prépa : Linéariser \(\cos^3 x\).
Voir la correction
On écrit \(\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x\). On linéarise d’abord \(\cos^2 x\) :
\(\cos^3 x = \cos x \cdot \displaystyle\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \displaystyle\frac{\cos x + \cos x \cos(2x)}{2}\)Puis on linéarise le produit \(\cos x \cos(2x)\) :
\(\cos x \cos(2x) = \displaystyle\frac{1}{2}\bigl[\cos(x – 2x) + \cos(x + 2x)\bigr] = \displaystyle\frac{\cos(-x) + \cos(3x)}{2} = \displaystyle\frac{\cos x + \cos(3x)}{2}\)En rassemblant :
\(\cos^3 x = \displaystyle\frac{\cos x + \displaystyle\frac{\cos x + \cos(3x)}{2}}{2} = \displaystyle\frac{2\cos x + \cos x + \cos(3x)}{4} = \displaystyle\frac{3\cos x + \cos(3x)}{4}\)Toutes les formules de trigonométrie sur une fiche recto-verso
Formulaire complet + arbre de décision + moyens mnémotechniques. Le PDF à garder sous la main pendant tes révisions.
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VII. Rédaction concours : ce que le correcteur attend 🔴 Prépa
En concours (X, Mines-Ponts, Centrale), la rigueur de rédaction compte autant que le résultat. Voici les attentes spécifiques aux calculs trigonométriques :
À écrire sur la copie :
- Nommer la formule utilisée : « Par la formule d’addition… », « En linéarisant… », « Par la formule de factorisation de \(\cos p + \cos q\)… ».
- Identifier explicitement les paramètres : « On applique \(\cos(a+b)\) avec \(a = x\) et \(b = \displaystyle\frac{\pi}{3}\). »
- Vérifier les conditions d’existence quand \(\tan\) intervient.
- Ne pas sauter d’étape dans les linéarisations en chaîne (comme dans l’exemple 6).
- Conclure : « D’où le résultat. » ou « Ce qui achève la démonstration. »
Ce qui fait perdre des points : utiliser une formule sans la nommer, oublier les conditions de \(\tan\), ou écrire « on sait que \(\cos^2 x = \displaystyle\frac{1+\cos 2x}{2}\) » sans préciser qu’il s’agit de la formule de linéarisation (le correcteur veut voir que tu sais ce que tu fais, pas que tu récites).
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre les formules d'addition et de duplication ?
Les formules de duplication sont un cas particulier des formules d’addition. On obtient \(\cos(2a)\) en posant \(b = a\) dans \(\cos(a+b)\), et \(\sin(2a)\) en posant \(b = a\) dans \(\sin(a+b)\). La différence est pratique : on utilise l’addition quand deux angles différents interviennent, et la duplication quand on a un angle double ou un carré (\(\cos^2 x\), \(\sin^2 x\)).
Comment savoir quelle formule de trigonométrie utiliser ?
Pose-toi 4 questions dans l’ordre : (1) Y a-t-il un \(\cos(a \pm b)\) ou \(\sin(a \pm b)\) ? → Addition. (2) Y a-t-il un angle double ou un carré ? → Duplication. (3) Y a-t-il un angle décalé de \(\pi\) ou \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) ? → Angles associés. (4) Faut-il transformer un produit en somme (ou inversement) ? → Linéarisation / Factorisation. Consulte l’arbre de décision complet dans la section II.
Faut-il connaître les démonstrations des formules trigonométriques ?
Au lycée : non, les démonstrations ne sont pas exigées. Mais comprendre d’où vient \(\cos(a+b)\) (par la méthode du cercle unité) t’aide à la retenir. En prépa : la démonstration géométrique de \(\cos(a-b)\) est exigible. La méthode par les exponentielles complexes (formule d’Euler) est un outil incontournable que tu dois maîtriser.
À quoi servent les formules de linéarisation ?
Les formules de linéarisation transforment un produit de fonctions trigonométriques en une somme. C’est indispensable en prépa pour calculer des intégrales : par exemple, \(\int \cos^2 x\, dx\) ne se calcule pas directement, mais \(\int \displaystyle\frac{1+\cos(2x)}{2}\, dx\) est immédiat. On les utilise aussi en physique pour le traitement du signal.
Comment retenir les formules de trigonométrie rapidement ?
Plutôt que d’apprendre les formules par cœur, apprends à les re-dériver à partir de \(\cos(a+b)\). Avec cette seule formule et l’identité \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), tu peux retrouver toutes les autres en moins de 30 secondes. Consulte la section « Comment retenir les formules » pour les moyens mnémotechniques détaillés.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les formules de trigonométrie et la méthode pour les choisir. Voici les prochaines étapes selon ton niveau :
- 📖 Cours complet de trigonométrie : la vue d’ensemble du collège à la prépa.
- 📐 Cercle trigonométrique : comprendre graphiquement d’où viennent les formules.
- 📊 Tableau des valeurs trigonométriques : toutes les valeurs exactes à connaître.
- 📈 Fonctions trigonométriques : étude de sin, cos et tan comme fonctions (courbes, dérivées, variations).
- 🔢 Équations trigonométriques : résoudre cos(x) = a, sin(x) = a et tan(x) = a.
- 📏 Dérivées des fonctions trigonométriques : \((\cos x)^\prime = -\sin x\), \((\sin x)^\prime = \cos x\).
- 🟠 Sinus et cosinus hyperboliques : les formules analogues pour ch et sh (prépa).
- ✏️ Exercices de trigonométrie corrigés : entraîne-toi avec 20+ exercices classés par difficulté.
