La fonction constante est l’une des premières familles de fonctions étudiées au collège (souvent avec la fonction linéaire et la fonction affine). Elle paraît simple, mais c’est une excellente base pour réussir les questions de lecture graphique, d’image / antécédent et les premiers tableaux de variation.
Dans ce cours, vous trouverez la définition rigoureuse, le graphique, l’étude complète des propriétés et des exercices corrigés progressifs. Chaque notion est présentée avec la rigueur d’Excellence Maths, de façon claire et accessible.
Ce cours fait partie du chapitre « Fonctions ». Voir aussi :
Qu’est-ce qu’une fonction constante ?
Définition formelle
Définition — Fonction constante
Soit \(k\) un nombre réel fixé. La fonction constante égale à \(k\) est la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f : x \longmapsto k\)
Autrement dit, pour tout réel \(x\), on a \(f(x) = k\). La valeur de \(f\) ne dépend pas de la variable \(x\) : elle reste la même quel que soit le nombre choisi.
La formule d’une fonction constante est donc simplement \(f(x) = k\), où \(k\) est un réel fixé une fois pour toutes. Par exemple, la fonction définie par \(f(x) = 5\) est une fonction constante : que l’on calcule \(f(0)\), \(f(100)\) ou \(f(-37)\), le résultat est toujours \(5\).
Cas particulier de la fonction affine
Rappelons qu’une fonction affine s’écrit sous la forme \(f(x) = ax + b\). Lorsque le coefficient directeur \(a\) est nul, on obtient \(f(x) = b\) : c’est exactement une fonction constante. La fonction constante est donc un cas particulier de la fonction affine, avec \(a = 0\).
On peut aussi la voir comme un polynôme de degré \(0\) (à condition que \(k \neq 0\)).
À retenir : toute fonction constante est affine, mais toute fonction affine n’est pas constante. Pour un cours complet sur les fonctions affines, consultez notre page dédiée à la fonction affine et linéaire.
Représentation graphique de la fonction constante
La droite horizontale y = k
La représentation graphique d’une fonction constante \(f(x) = k\) est une droite horizontale, parallèle à l’axe des abscisses, passant par le point de coordonnées \((0\,;\,k)\).
Intuitivement, puisque tous les points \((x\,;\,k)\) ont la même ordonnée \(k\), ils sont tous alignés sur une même droite horizontale.
Lire la valeur d’une fonction constante sur un graphique
Pour déterminer la valeur de \(k\) à partir du graphique d’une fonction constante, il suffit de repérer l’ordonnée de la droite horizontale. C’est le point où la droite coupe l’axe des ordonnées : on l’appelle l’ordonnée à l’origine.
Exemple de lecture graphique
Sur un graphique, une droite horizontale passe par le point \((0\,;\,4)\). L’expression de la fonction est donc \(f(x) = 4\).
Si une autre droite horizontale passe par \((0\,;\,-1)\), la fonction correspondante est \(g(x) = -1\).
Cette compétence est fondamentale pour les exercices de lecture graphique, notamment en classe de troisième et de seconde. Pour approfondir la notion d’image et d’antécédent dans ce contexte, consultez notre cours sur l’image et l’antécédent d’une fonction.
Propriétés de la fonction constante
Malgré sa simplicité, la fonction constante possède des propriétés remarquables. Les connaître est indispensable pour les études de fonctions au lycée et en prépa.
Ensemble de définition
La fonction constante \(f(x) = k\) est définie pour tout réel \(x\). Son ensemble de définition est \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\). Il n’y a aucune valeur interdite puisque l’expression ne contient ni dénominateur, ni racine, ni logarithme.
Sens de variation et tableau de variation
Puisque \(f(x) = k\) pour tout \(x\), la fonction ne varie jamais : elle n’est ni croissante, ni décroissante. On dit qu’elle est constante sur \(\mathbb{R}\).
Son tableau de variation est le plus simple possible :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(k\) | ||
La ligne de \(f(x)\) est parfaitement plate : c’est la signature d’une fonction constante dans un tableau de variation.
Parité
La fonction constante est une fonction paire. En effet, pour tout réel \(x\) :
\(f(-x) = k = f(x)\)
Graphiquement, cela se traduit par la symétrie de la droite horizontale par rapport à l’axe des ordonnées — ce qui est cohérent puisqu’une droite horizontale est, par nature, symétrique par rapport à cet axe.
Remarque : la fonction nulle \(f(x) = 0\) est la seule fonction qui soit à la fois paire et impaire. En effet, \(f(-x) = 0 = f(x)\) (paire) et \(f(-x) = 0 = -f(x)\) (impaire).
Dérivée d’une fonction constante
La dérivée d’une fonction constante est nulle. Plus précisément, si \(f(x) = k\) pour tout \(x\), alors \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\).
On peut le vérifier par le calcul du taux d’accroissement. Pour tout \(x\) et tout \(h \neq 0\) :
\(\frac{f(x+h) – f(x)}{h} = \frac{k – k}{h} = 0\)
La limite de ce quotient quand \(h\) tend vers \(0\) vaut \(0\), d’où \(f'(x) = 0\). Pour davantage de détails sur les règles de dérivation, consultez notre cours complet sur les dérivées.
Piège classique — La réciproque n’est pas toujours vraie
Beaucoup d’élèves pensent que « si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\), alors \(f\) est constante ». C’est vrai uniquement si l’ensemble de définition est un intervalle. Sur un ensemble de définition qui n’est pas connexe (par exemple \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)), une fonction peut avoir une dérivée nulle partout sans être constante.
Exemple : la fonction définie par \(f(x) = 1\) si \(x\) > \(0\) et \(f(x) = -1\) si \(x\) < \(0\) a une dérivée nulle sur chaque intervalle, mais elle n’est pas constante sur son ensemble de définition.
Limites et continuité
Les limites d’une fonction constante aux bornes de son ensemble de définition sont immédiates :
\(\lim_{x \to +\infty} k = k \qquad \text{et} \qquad \lim_{x \to -\infty} k = k\)
La fonction constante est continue sur \(\mathbb{R}\) tout entier. Elle ne présente aucun point de discontinuité.
Primitive d’une fonction constante
Si \(f(x) = k\), alors les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) sont les fonctions de la forme :
\(F(x) = kx + C\)
où \(C\) est une constante réelle quelconque. On retrouve ici la fameuse constante d’intégration \(+ C\) que l’on ajoute systématiquement lors du calcul d’une primitive.
Le lien avec la constante d’intégration : lorsqu’on écrit qu’une primitive est définie « à une constante près », c’est précisément parce que deux primitives d’une même fonction diffèrent par une fonction constante. Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur un intervalle, alors \(F – G\) est une fonction constante.
Comment montrer qu’une fonction est constante ?
En analyse, on demande régulièrement de démontrer qu’une fonction est constante. Voici les trois méthodes principales, de la plus élémentaire à la plus avancée.
Méthode 1 — Montrer que f(x) ne dépend pas de x
L’approche la plus directe consiste à calculer \(f(x)\) et à montrer que l’expression obtenue ne contient plus la variable \(x\).
Exemple
Soit \(f(x) = (x + 1)^2 – (x^2 + 2x + 1)\). Développons :
\(f(x) = x^2 + 2x + 1 – x^2 – 2x – 1 = 0\)
Le résultat ne dépend pas de \(x\), donc \(f\) est la fonction constante égale à \(0\).
Méthode 2 — Montrer que la dérivée est nulle sur un intervalle
Théorème
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\). Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
C’est la méthode la plus courante au lycée et en prépa. On calcule la dérivée de \(f\), on montre qu’elle est identiquement nulle, et on conclut par le théorème ci-dessus.
Exemple
Soit \(f(x) = \ln(e^x) – x\), définie sur \(\mathbb{R}\). On calcule :
\(f'(x) = \frac{e^x}{e^x} – 1 = 1 – 1 = 0\)
Comme \(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) (qui est un intervalle), \(f\) est constante. Pour trouver la valeur, on calcule \(f(0) = \ln(1) – 0 = 0\). Donc \(f(x) = 0\) pour tout \(x\).
Attention : l’hypothèse « sur un intervalle » est essentielle. N’oubliez pas de vérifier que le domaine de dérivabilité est bien un intervalle avant de conclure.
Méthode 3 — Utiliser une équation fonctionnelle (prépa)
En classe préparatoire, on rencontre des exercices où l’on doit montrer qu’une fonction vérifiant une certaine équation fonctionnelle est nécessairement constante.
Exemple classique (CPGE)
Soit \(f\) une fonction continue en \(0\) vérifiant \(f(2x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Montrons que \(f\) est constante.
Pour tout \(x\) et tout entier \(n\), on a par récurrence \(f(x) = f\!\left(\frac{x}{2^n}\right)\). Lorsque \(n \to +\infty\), la suite \(\frac{x}{2^n}\) tend vers \(0\). Par continuité de \(f\) en \(0\), on obtient \(f(x) = f(0)\) pour tout \(x\). Ainsi \(f\) est constante.
Exercices corrigés sur la fonction constante
Voici cinq exercices progressifs, du niveau collège jusqu’à la terminale et la prépa. Les corrections détaillées sont disponibles sous chaque énoncé.
Exercice 1 — Reconnaître une fonction constante (collège / seconde)
Énoncé : Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions constantes ?
- \(f(x) = 7\)
- \(g(x) = 3x\)
- \(h(x) = -2\)
- \(p(x) = x^2 – x^2 + 4\)
- \(q(x) = 0\)
Voir la correction
1) \(f(x) = 7\) : oui, c’est une fonction constante (la valeur est \(7\) quel que soit \(x\)).
2) \(g(x) = 3x\) : non, la valeur dépend de \(x\). C’est une fonction linéaire.
3) \(h(x) = -2\) : oui, c’est une fonction constante égale à \(-2\).
4) \(p(x) = x^2 – x^2 + 4 = 4\) : oui, après simplification, c’est une fonction constante égale à \(4\).
5) \(q(x) = 0\) : oui, c’est la fonction nulle, qui est un cas particulier de fonction constante (avec \(k = 0\)).
Exercice 2 — Lecture graphique (seconde)
Énoncé : On donne la représentation graphique de trois fonctions. Identifier celles qui sont constantes et donner leur expression.
- Une droite horizontale passant par le point \((0\,;\,5)\).
- Une droite passant par l’origine et le point \((2\,;\,6)\).
- Une droite horizontale passant par le point \((3\,;\,-1)\).
Voir la correction
1) Droite horizontale d’ordonnée \(5\) → fonction constante : \(f(x) = 5\).
2) La droite passe par l’origine mais n’est pas horizontale → ce n’est pas une fonction constante. C’est une fonction linéaire \(g(x) = 3x\).
3) Droite horizontale d’ordonnée \(-1\) → fonction constante : \(h(x) = -1\). Notez que le point \((3\,;\,-1)\) n’est qu’un point particulier : l’ordonnée est la même pour tout \(x\).
Exercice 3 — Étude complète (première / terminale)
Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -3\). Réaliser l’étude complète de \(f\) : ensemble de définition, parité, limites, dérivée, sens de variation.
Voir la correction
Ensemble de définition : \(\mathcal{D}_f = \mathbb{R}\).
Parité : pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(-x) = -3 = f(x)\), donc \(f\) est paire.
Limites : \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -3\) et \(\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3\).
Dérivée : \(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Sens de variation : \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\) (ni croissante, ni décroissante).
Exercice 4 — Montrer qu’une fonction est constante (terminale / prépa)
Énoncé : Soit \(f(x) = e^x \cdot e^{-x}\), définie sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(f\) est une fonction constante et déterminer sa valeur.
Voir la correction
Méthode directe : pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\(f(x) = e^x \cdot e^{-x} = e^{x + (-x)} = e^{0} = 1\)
Le résultat ne dépend pas de \(x\). Donc \(f\) est la fonction constante égale à \(1\).
Vérification par la dérivée : \(f'(x) = e^x \cdot e^{-x} + e^x \cdot (-e^{-x}) = e^0 – e^0 = 0\). La dérivée est nulle sur \(\mathbb{R}\) (intervalle), donc \(f\) est constante. On calcule \(f(0) = 1\), d’où \(f(x) = 1\) pour tout \(x\).
Exercice 5 — Primitive et constante d’intégration (terminale / prépa)
Énoncé : Soit \(f(x) = 5\).
- Déterminer l’ensemble des primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
- Trouver la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(2) = 3\).
Voir la correction
1) Les primitives de \(f(x) = 5\) sur \(\mathbb{R}\) sont de la forme \(F(x) = 5x + C\), où \(C \in \mathbb{R}\).
2) On cherche \(C\) tel que \(F(2) = 3\) :
\(5 \times 2 + C = 3 \iff 10 + C = 3 \iff C = -7\)
Donc \(F(x) = 5x – 7\).
L’essentiel à retenir
| Propriété | Résultat |
|---|---|
| Ensemble de définition | \(\mathbb{R}\) |
| Représentation graphique | Droite horizontale d’ordonnée \(k\) |
| Parité | Fonction paire |
| Dérivée | \(f'(x) = 0\) |
| Sens de variation | Constante sur \(\mathbb{R}\) |
| Limites | \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k\) |
| Continuité | Continue sur \(\mathbb{R}\) |
| Primitive | \(F(x) = kx + C\) |
C'est quoi une fonction constante ?
Une fonction constante est une fonction qui prend la même valeur pour tout nombre réel. Elle s’écrit \(f(x) = k\), où \(k\) est un réel fixé. Par exemple, \(f(x) = 7\) est une fonction constante : quelle que soit la valeur de \(x\), le résultat est toujours \(7\). Sa représentation graphique est une droite horizontale.
Comment savoir si une fonction est constante ?
Il existe plusieurs méthodes. La plus directe : simplifier l’expression de \(f(x)\) et vérifier que le résultat ne dépend pas de \(x\). Au lycée et en prépa, on peut aussi calculer la dérivée : si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\) sur un intervalle, alors \(f\) est constante sur cet intervalle. Graphiquement, une fonction constante se reconnaît par sa courbe : une droite horizontale.
Quelle est la dérivée d'une fonction constante ?
La dérivée d’une fonction constante est nulle. Si \(f(x) = k\), alors \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\). Cela se démontre facilement par le taux d’accroissement : \(\frac{k – k}{h} = 0\). Pour retrouver toutes les formules de dérivation, consultez notre cours sur les dérivées.
Quelle est la différence entre une fonction constante et une fonction affine ?
Une fonction affine s’écrit \(f(x) = ax + b\). Lorsque \(a = 0\), on obtient \(f(x) = b\) : c’est une fonction constante. La fonction constante est donc un cas particulier de fonction affine. La différence essentielle : une fonction affine (avec \(a \neq 0\)) est représentée par une droite oblique, tandis qu’une fonction constante est représentée par une droite horizontale.
Est-ce que la fonction nulle est une fonction constante ?
Oui. La fonction nulle \(f(x) = 0\) est un cas particulier de fonction constante, avec \(k = 0\). C’est même la seule fonction qui soit à la fois paire et impaire, et la seule fonction constante dont la représentation graphique passe par l’origine.
Quels sont les 3 types de fonctions : linéaire, affine et constante ?
Ces trois types forment une famille emboîtée. La fonction linéaire s’écrit \(f(x) = ax\) (droite passant par l’origine). La fonction affine s’écrit \(f(x) = ax + b\) (droite quelconque). La fonction constante s’écrit \(f(x) = b\) (droite horizontale). Toute fonction linéaire est affine, et toute fonction constante est affine.
Quelle est la primitive d'une fonction constante ?
La primitive de \(f(x) = k\) est \(F(x) = kx + C\), où \(C\) est une constante réelle. Par exemple, la primitive de \(f(x) = 3\) est \(F(x) = 3x + C\). La valeur de \(C\) est déterminée par une condition initiale.
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