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Le sujet de Mathématiques CCINP PSI 2026, d’une durée de 4 heures et sans calculatrice, propose deux exercices indépendants et un problème structuré en trois parties. L’exercice 1 mêle séries entières et probabilités discrètes autour d’un jeu de pile ou face. L’exercice 2, centré sur la fonction Gamma et le théorème de Bohr-Mollerup, constitue la partie la plus exigeante en analyse. Le problème d’algèbre linéaire étudie une classe d’endomorphismes dont la matrice admet une décomposition en blocs de taille au plus 2, avec une montée en difficulté progressive jusqu’aux questions finales.
| Partie du sujet | Thème | Niveau | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Exercice 1 – Préliminaires (Q1-Q2) | Dérivées successives et séries | Accessible | Récurrence, série géométrique dérivée |
| Exercice 1 – Jeu de pile ou face (Q3-Q7) | Probabilités discrètes | Accessible | Loi géométrique, loi binomiale, probabilités totales |
| Exercice 2 – Existence et régularité (Q8-Q14) | Fonction Gamma | Élevé | Intégrales généralisées, dérivation sous l’intégrale, Cauchy-Schwarz |
| Exercice 2 – Unicité (Q15-Q20) | Théorème de Bohr-Mollerup | Très élevé | Convexité logarithmique, encadrement, passage à la limite |
| Problème – Parties I et II (Q21-Q36) | Exemples et endomorphismes nilpotents | Élevé | Sous-espaces stables, nilpotence, décomposition en blocs |
| Problème – Partie III (Q37-Q43) | Critère par polynôme annulateur | Très élevé | Identité de Bézout, somme directe de noyaux, polynôme scindé |
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Structure et thèmes du sujet
Exercice 1 – Un jeu de pile ou face (Q1-Q7)
L’exercice commence par des préliminaires analytiques (Q1-Q2). On étudie la fonction \(f : x \mapsto \displaystyle\frac{1}{1-x}\) sur l’intervalle \(]-1, 1[\) : il faut montrer par récurrence que \(f^{(k)}(x) = \displaystyle\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}\), puis établir une identité de série entière reliant les coefficients factoriels à cette même expression. Ces résultats servent d’outils de calcul pour la partie probabiliste.
La suite (Q3-Q7) modélise un jeu de pile ou face entre deux joueurs. Le joueur 1 lance une pièce jusqu’à obtenir Pile pour la première fois, ce qui définit la variable \(X\) suivant une loi géométrique. Le joueur 2 effectue alors \(X\) lancers et on compte le nombre \(Y\) de Pile obtenus. Les questions demandent de calculer \(\mathrm{P}(Y = k \mid X = n)\) via une probabilité conditionnelle, puis d’utiliser la formule des probabilités totales et les résultats de Q2 pour obtenir \(\mathrm{P}(Y = k)\) sous forme explicite.
Exercice 2 – Une caractérisation de la fonction Gamma (Q8-Q20)
Cet exercice ambitieux démontre le théorème de Bohr-Mollerup : la fonction \(\Gamma(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} \, dt\) est l’unique fonction de \(\mathbb{R}_+^*\) dans \(\mathbb{R}_+^*\) vérifiant la relation fonctionnelle \(f(x+1) = x f(x)\), la condition \(f(1) = 1\) et la convexité de \(\ln \circ f\).
La partie existence (Q8-Q14) traite la convergence de l’intégrale, la relation fonctionnelle par intégration par parties, la régularité \(\mathcal{C}^2\) par dérivation sous le signe intégral, puis la convexité de \(\ln \circ \Gamma\) via l’inégalité de Cauchy-Schwarz sur un produit scalaire intégral.
La partie unicité (Q15-Q20) suppose qu’une fonction \(f\) vérifie le système et introduit \(g = \ln \circ f\). Par un encadrement fin utilisant la convexité (Lemme 1 de l’énoncé) et un passage à la limite, on montre que \(f\) coïncide avec \(\Gamma\) d’abord sur \(]0, 1]\), puis partout par la relation fonctionnelle.
Problème – Étude d’une classe d’endomorphismes (Q21-Q43)
Le problème étudie l’ensemble \(\mathcal{D}\) des endomorphismes de \(E\) dont la matrice admet une décomposition diagonale par blocs de taille 1 ou 2. La Partie I (Q21-Q28) examine deux exemples concrets sur \(E = \mathbb{K}_2[X]\) : l’endomorphisme \(u : P \mapsto X^2 P^{\prime\prime} + P^\prime\) (qui est dans \(\mathcal{D}\)) et \(v : P \mapsto P^\prime\) (qui n’y est pas). La Partie II (Q29-Q36) caractérise les endomorphismes nilpotents de \(\mathcal{D}\) : ce sont exactement ceux dont le carré est nul (\(\mathcal{D} \cap \mathcal{N} = \mathcal{N}_2\)). La Partie III (Q37-Q43) établit un critère général : si \(u\) admet un polynôme annulateur scindé à racines simples ou doubles, alors \(u \in \mathcal{D}\).
Notions et chapitres testés
- Analyse – Séries entières : rayon de convergence, dérivation terme à terme, identification de sommes de séries.
- Analyse – Intégrales généralisées : convergence (comparaison en 0 et en \(+\infty\)), dérivation sous le signe intégral, théorème de convergence dominée.
- Analyse – Convexité : caractérisation par les pentes, convexité logarithmique, inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux fonctions.
- Probabilités – Variables aléatoires discrètes : loi géométrique, loi binomiale, formule des probabilités totales, conditionnement.
- Algèbre linéaire – Endomorphismes : matrice dans une base, sous-espaces vectoriels stables, noyaux et images.
- Algèbre linéaire – Réduction : diagonalisation, endomorphismes nilpotents, décomposition en blocs, polynômes annulateurs.
Niveau de difficulté et comparaison aux années précédentes
Ce sujet présente un gradient de difficulté bien construit : les premières questions de chaque partie sont accessibles à tout candidat correctement préparé, tandis que les fins de parties requièrent une maîtrise technique poussée. L’exercice 1 est globalement classique et constitue un réservoir de points pour les candidats solides en probabilités. L’exercice 2 est nettement plus ambitieux, le théorème de Bohr-Mollerup sortant des sentiers battus du programme PSI. Le problème d’algèbre linéaire est long (23 questions) mais progressif.
Par rapport aux sessions précédentes, le sujet 2026 se situe dans la moyenne haute du niveau CCINP PSI. L’exercice sur la fonction Gamma rappelle la tendance observée en 2023 et 2024 à proposer des sujets d’analyse ambitieux mêlant intégrales à paramètre et convexité. Le problème d’algèbre linéaire, avec sa caractérisation de \(\mathcal{D}\) par les polynômes annulateurs, est plus original que les sujets de réduction habituels et se rapproche du style Centrale-Supélec. La présence de 43 questions en 4 heures impose une gestion du temps rigoureuse : viser l’exhaustivité est irréaliste, et il faut savoir sélectionner les questions abordables.
Pièges et points techniques délicats
Q1 – Oubli de la récurrence. Beaucoup de candidats écrivent directement la formule de la dérivée \(k\)-ième sans justifier proprement la récurrence. Il faut montrer la classe \(\mathcal{C}^k\) à chaque étape et dériver explicitement le quotient \(\displaystyle\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}\).
Q2 – Reconnaissance de la série. Le piège est de ne pas voir que le membre de gauche est la dérivée \(k\)-ième de la série géométrique \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} x^n\). Il faut identifier \(\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!} x^{n-k}\) comme le terme général de \(f^{(k)}(x)\) via le résultat de Q1.
Q6-Q7 – Interversion série et somme. Pour calculer \(\mathrm{P}(Y = k)\) par la formule des probabilités totales, on obtient une série double. L’erreur fréquente est de ne pas justifier l’interversion ou de mal factoriser pour se ramener à la série de Q2. Le changement d’indice \(m = n – k\) est crucial.
Q8 – Découpage de l’intégrale. La convergence de \(\Gamma(x)\) doit être étudiée séparément en \(0\) et en \(+\infty\). En \(0\), le comportement dépend de \(x\) (l’intégrande est équivalent à \(t^{x-1}\)) et en \(+\infty\), la décroissance exponentielle domine. Oublier l’un des deux cas est une erreur classique.
Q14 – Choix des fonctions pour Cauchy-Schwarz. Il faut poser \(u(t) = t^{\displaystyle\frac{x-1}{2}} e^{-\displaystyle\frac{t}{2}}\) et \(v(t) = \ln(t) \cdot t^{\displaystyle\frac{x-1}{2}} e^{-\displaystyle\frac{t}{2}}\) dans le produit scalaire de Q13. L’identification \(\langle u, u \rangle = \Gamma(x)\), \(\langle v, v \rangle = \Gamma^{\prime\prime}(x)\) et \(\langle u, v \rangle = \Gamma^\prime(x)\) n’est pas immédiate et requiert d’avoir correctement traité Q12.
Q27 – Exhaustion des cas pour \(v \notin \mathcal{D}\). Il faut montrer qu’aucune décomposition \(E = D_1 \oplus \cdots \oplus D_p \oplus P_1 \oplus \cdots \oplus P_q\) n’est possible. Les cas \((p,q) = (3,0)\) et \((p,q) = (1,1)\) doivent être traités séparément. Le point clé est que le seul sous-espace de dimension 1 stable par \(v\) est \(\mathrm{Vect}(1)\), et le seul de dimension 2 est \(\mathbb{K}_1[X]\), mais ces deux espaces ne sont pas en somme directe.
Méthodes attendues et stratégies de résolution
Exercice 1
- Q1 : Récurrence sur \(k\). Le pas de récurrence utilise la dérivation du quotient \(\displaystyle\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}\).
- Q2 : Reconnaître la dérivée \(k\)-ième de \(\displaystyle\sum x^n = \displaystyle\frac{1}{1-x}\) et appliquer la dérivation terme à terme (licite sur \(]-1, 1[\)).
- Q3 : \(X\) suit la loi géométrique de paramètre \(p\) : \(\mathrm{P}(X = n) = (1-p)^{n-1} p\) pour \(n \geq 1\).
- Q4 : Sachant \(X = n\), le joueur 2 effectue \(n\) lancers indépendants de paramètre \(p\), d’où \(Y \mid (X=n) \sim \mathcal{B}(n, p)\) et \(\mathrm{P}(Y = k \mid X = n) = C_n^k \, p^k (1-p)^{n-k}\).
- Q5-Q7 : Formule des probabilités totales \(\mathrm{P}(Y = k) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \mathrm{P}(Y = k \mid X = n) \, \mathrm{P}(X = n)\), puis factorisation et utilisation de Q2 avec \(x = (1-p)^2\) pour obtenir les formules closes.
Exercice 2
- Q8-Q9 : Découper l’intégrale en \(\displaystyle\int_0^1 + \displaystyle\int_1^{+\infty}\). Pour Q9, une intégration par parties sur \([{\varepsilon}, A]\) suivie d’un passage à la limite.
- Q10-Q12 : Dominer \(t^{x-1} e^{-t}\) par la fonction \(\varphi(t)\) introduite, montrer l’intégrabilité des \(\psi_k\), puis appliquer le théorème de dérivation sous le signe intégral pour déduire \(\Gamma \in \mathcal{C}^2\).
- Q13-Q14 : Vérifier les axiomes du produit scalaire (bilinéarité, symétrie, définie positivité). Appliquer Cauchy-Schwarz : \((\Gamma^\prime(x))^2 \leq \Gamma(x) \, \Gamma^{\prime\prime}(x)\), ce qui donne \((\ln \circ \Gamma)^{\prime\prime}(x) \geq 0\), donc \(\ln \circ \Gamma\) est convexe.
- Q15-Q18 : Utiliser \(f(x+n) = x(x+1) \cdots (x+n-1) f(x)\) et le Lemme 1 sur \(g = \ln \circ f\) pour encadrer \(g(x+n+1) – g(n+1)\), puis montrer par le théorème des gendarmes que \(f(x) = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} \displaystyle\frac{n^x \, n!}{x(x+1) \cdots (x+n)}\).
- Q19-Q20 : Montrer que \(\Gamma\) vérifie la même limite (Q14 + Q18), d’où \(f = \Gamma\) sur \(]0, 1]\), puis étendre à \(\mathbb{R}_+^*\) par la relation fonctionnelle.
Problème
- Q21-Q23 : Calculer les images de \(1, X, X^2\) par \(u\), identifier les valeurs propres \(0\) (double) et \(2\), trouver un vecteur propre pour \(\lambda = 2\) et une base adaptée à la structure en blocs.
- Q24-Q27 : Pour \(v : P \mapsto P^\prime\), déterminer tous les sous-espaces stables de dimensions 1 et 2 (respectivement \(\mathrm{Vect}(1)\) et \(\mathbb{K}_1[X]\)), puis conclure par incompatibilité de somme directe.
- Q29-Q36 : Cas \(n = 1\) trivial, cas \(n = 2\) par analyse du rang. Cas général : utiliser \(\mathrm{Im}\, u \subset \mathrm{Ker}\, u\) pour construire une base adaptée donnant la forme bloc-diagonale avec des blocs \(J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\).
- Q37-Q43 : Montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme par dimension et injectivité, en déduire une identité de Bézout. Montrer la somme directe des noyaux par récurrence (Q40), décomposer \(E\) en utilisant le polynôme annulateur (Q42), puis conclure via Q36 sur chaque bloc.
Conseils pour les futurs candidats
Gestion du temps : avec 43 questions en 4 heures, visez d’abord les questions accessibles de chaque partie (Q1-Q5, Q8-Q9, Q15, Q21-Q24, Q29). Ces points « faciles » représentent une fraction significative du barème. Ne restez pas bloqué sur les questions finales de l’exercice 2 (Q17-Q20) si vous n’avez pas encore abordé le problème.
1. Maîtriser les probabilités discrètes. L’exercice 1 est un cadeau pour les candidats à l’aise avec la loi géométrique, la loi binomiale et la formule des probabilités totales. Travaillez systématiquement les exercices de conditionnement et les calculs de lois marginales à partir de lois conditionnelles.
2. Pratiquer les intégrales à paramètre. La fonction Gamma est un classique des concours. Entraînez-vous sur les intégrales généralisées : convergence par domination, dérivation et intégration sous le signe intégral. Ces techniques reviennent chaque année.
3. Approfondir la réduction au-delà de la diagonalisation. Ce sujet montre que la simple diagonalisation ne suffit pas : il faut savoir manipuler les sous-espaces stables, les endomorphismes nilpotents et les polynômes annulateurs. Travaillez les exercices sur la décomposition de Dunford et les blocs de Jordan, même si le programme PSI ne les exige pas formellement — la compréhension du mécanisme est souvent testée.
4. S’entraîner aux démonstrations de convexité. L’utilisation de l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour montrer la convexité logarithmique (Q14) est une technique élégante mais peu pratiquée. Révisez les différentes caractérisations de la convexité et les applications des produits scalaires sur les espaces de fonctions continues.
5. Ne pas négliger les résultats « préliminaires ». Les questions Q1-Q2 et le Lemme 1 sont des outils conçus pour être réutilisés. En concours, relisez toujours les préliminaires avant d’attaquer une question difficile : la clé y est souvent cachée.
